资源简介

一、数学抽象
　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理解向量的基本概念.
培优一 平面向量的基本概念
【例1】　（1）（多选）下列命题中，其中正确的是（　　）
A.a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa
B.e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜e
C.｜a·a·a｜＝｜a｜3
D.若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c
（2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且a∥c，则a在b上的投影向量为（　　）
A.　　 　　 B.
C. D.
尝试解答
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中.
培优二 平面向量的线性运算
【例2】　（1）在△ABC，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）
A.－ B.－
C.＋ D.＋
（2）如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.2
尝试解答
培优三 平面向量的数量积运算
【例3】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
（2）（2022·全国甲卷13题）设向量a，b的夹角的余弦值为，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝　　　　.
尝试解答
培优四 利用正、余弦定理解三角形
【例4】　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，cos B＝.
（1）求△ABC的面积；
（2）若sin Asin C＝，求b.
尝试解答
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中.
培优五 平面向量的应用
【例5】　（1）O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所在平面内的一动点，若（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝0，则O为△ABC的（　　）
A.内心　　B.外心　　C.重心　　D.垂心
（2）若＝（a＋5b），＝－2a＋8b，＝3（a－b），则共线的三点是　　　　.
尝试解答
培优六 判定三角形的形状
【例6】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
尝试解答
培优七 向量在平面几何中的应用
【例7】　如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
尝试解答
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中主要表现在利用正弦、余弦定理解决实际问题中.
培优八 余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
【例8】　某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为 m，测得∠MBA＝θ，∠MAB＝－θ，其中sin θ＝，在A点处测得旗杆顶点的仰角为φ，sin φ＝，则该旗杆的高度为（单位：m）（　　）
A.9 B.12
C.15 D.18
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　（1）BC　（2）C　解析：（1）若a为零向量，则A不成立.根据向量数量积的概念可知D错误.易知B、C正确.
（2）因为a＝（x，2），c＝（2，－4），且a∥c，所以－4x＝4，解得x＝－1.所以a＝（－1，2），所以a在b上的投影向量为b＝（2，3）＝（2，3）＝.故选C.
【例2】　（1）A　（2）B
解析：（1）如图，＝－＝－＝－×（＋）＝－.故选A.
（2）以A为坐标原点，以，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系（图略），设正方形边长为1，则＝（1，1），＝，＝（－1，1），故1＝λ－μ，1＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.故选B.
【例3】　（1）D　（2）11　解析：（1）法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
（2）（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×＋32＝11.
【例4】　解：（1）由S1－S2＋S3＝，得（a2－b2＋c2）＝，即a2－b2＋c2＝2，
又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1.
由cos B＝得ac＝＝，
则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝.
（2）由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，
即b2＝×＝，得b＝.
【例5】　（1）B　（2）A，B，D
解析：（1）由（－）·（＋）＝0，知·2＝0（其中D为CB的中点），所以O在BC的垂直平分线上.同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心.
（2）因为＝＋＝a＋5b，所以＝，则A，B，D三点共线.
【例6】　C　由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝，又由sin B·sin C＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以（b－c）2＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形.
【例7】　证明：设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有＝＋＝λ＋＝λ＋＝（2λ＋1）－λ，＝－.
∵∥，
∴（2λ＋1）－λ＝k－k，
则有
解得λ＝.
∴＝.
＝＋＝＋＝＋，
∴·＝·＝a2－a2－a2cos 60°＝0，∴⊥，∴BP⊥DC.
【例8】　B　在△ABM中，AB＝，∠AMB＝，sin∠MBA＝，∵＝，∴MA＝15，在Rt△ACM中，MC＝MAsin∠MAC＝15×sin φ＝15×＝12.故选B.
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章末复习与总结
一、数学抽象
　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思
维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数
学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结
构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理
解向量的基本概念.
培优一 平面向量的基本概念
【例1】　（1）（多选）下列命题中，其中正确的是（　　）
A. a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa
B. e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜e
C. ｜a·a·a｜＝｜a｜3
D. 若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c
解析：若a为零向量，则A不成立.根据向量数量积的概念可知D错误.易知B、C正确.
（2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且
a∥c，则a在b上的投影向量为（　　）
解析：因为a＝（x，2），c＝（2，－4），且a∥c，所以－4x
＝4，解得x＝－1.所以a＝（－1，2），所以a在b上的投影向
量为 b＝ （2，3）＝ （2，3）＝ .故
选C.
二、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学
问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方
向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要
表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中.
培优二 平面向量的线性运算
【例2】　（1）在△ABC，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
则 ＝（　　）
解析：如图， ＝ － ＝ － ＝ － × （ ＋ ）＝ － .故选A.
（2）如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点.若 ＝λ ＋
μ ，则λ＋μ的值为（　　）
D. 2
解析： 以A为坐标原点，以 ， 的方向分别为x轴，y轴正
方向建立平面直角坐标系（图略），设正方形边长为1，则
＝（1，1）， ＝ ， ＝（－1，1），故1＝λ－
μ，1＝ λ＋μ，解得λ＝ ，μ＝ ，∴λ＋μ＝ .故选B.
培优三 平面向量的数量积运算
【例3】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝
（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－
4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－
4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x
－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
解析：法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝
0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
（2）（2022·全国甲卷13题）设向量a，b的夹角的余弦值为 ，且｜
a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝ 　　.
11
解析： （2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜· cos ＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3× ＋32＝11.
培优四 利用正、余弦定理解三角形
【例4】　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别
以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1
－S2＋S3＝ ， cos B＝ .
（1）求△ABC的面积；
解：由S1－S2＋S3＝ ，得 （a2－b2＋c2）＝ ，
即a2－b2＋c2＝2，
又a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1.
由 cos B＝ 得ac＝ ＝ ，
则△ABC的面积S＝ ac sin B＝ × × ＝ .
（2）若 sin A sin C＝ ，求b.
解：由 sin A sin C＝ ，ac＝ 及正弦定理知 ＝
＝ ＝ ，
即b2＝ × ＝ ，得b＝ .
三、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命
题的思维过程.在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利
用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中.
培优五 平面向量的应用
【例5】　（1）O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所在平
面内的一动点，若（ － ）·（ ＋ ）＝（ －
）·（ ＋ ）＝0，则O为△ABC的（　B　）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
解析：由（ － ）·（ ＋ ）＝0，知 ·2 ＝0（其中D为CB的中点），所以O在BC的垂直平分线上.同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心.
B
（2）若 ＝ （a＋5b）， ＝－2a＋8b， ＝3（a－b），
则共线的三点是 .
解析：因为 ＝ ＋ ＝a＋5b，所以 ＝ ，则A，B，D三点共线.
A，B，D　
培优六 判定三角形的形状
【例6】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且b2＋c2＝a2＋bc.若 sin B· sin C＝ sin 2A，则△ABC的形状是（　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝ ，又由 sin B· sin C＝
sin 2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以（b－c）2＝0，即b
＝c，所以△ABC为一个内角为 的等腰三角形，即为等边三角形.
培优七 向量在平面几何中的应用
【例7】　如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P. 求证：BP⊥DC.
证明：设 ＝λ ，并设△ABC的边长为a，则有 ＝ ＋
＝λ ＋ ＝λ ＋ ＝ （2λ＋1） －
λ ， ＝ － .
∵ ∥ ，
∴ （2λ＋1） －λ ＝k － k ，
则有解得λ＝ .∴ ＝ .
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，
∴ · ＝ · ＝ a2－ a2－ a2 cos 60°
＝0，
∴ ⊥ ，
∴BP⊥DC.
四、数学建模
　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用
数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中主要表现在利用
正弦、余弦定理解决实际问题中.
培优八 余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
【例8】　某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高
度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点
间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张
角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.
该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC（C
在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为 m，测得
∠MBA＝θ，∠MAB＝ －θ，其中 sin θ＝ ，在A点处测得旗杆
顶点的仰角为φ， sin φ＝ ，则该旗杆的高度为（单位：m）（　　）
A. 9 B. 12
C. 15 D. 18
解析：　在△ABM中，AB＝ ，∠AMB＝ ， sin ∠MBA＝ ，
∵ ＝ ，∴MA＝15，在Rt△ACM中，MC＝MA sin
∠MAC＝15× sin φ＝15× ＝12.故选B.
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