资源简介 章末检测（二） 平面向量及其应用（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知a＝（－5，6），b＝（－3，2），c＝（x，y），若a－3b＋2c＝0，则c＝（ ）A.（－2，6） B.（－4，0）C.（7，6） D.（－2，0）2.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（ ）A.5 B.4C.3 D.23.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任一点，且（－）·（＋）＝0，则△ABC是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形4.已知平面向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝1，a⊥（a＋2b），则向量a，b的夹角为（ ）A. B.C. D.5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向（ ）A. km/h正北B. km/h与水流方向夹角为63.4°C. km/h与水流方向夹角为41°D. km/h垂直于河岸6.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝m，＝n，，则＝（ ）A.m＋n B.m＋nC.m＋n D.m＋n7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝（ ）A. B.2C.2 D.28.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1，且（a－b）sin A＝（c＋b）（sin C－sin B），则△ABC面积的最大值为（ ）A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是（ ）A.a＝－2b B.a＋b＝0C.a∥b D.a⊥b10.下列说法中，正确的是（ ）A.（＋＋）－（－－）＝0B.若a·b＜0，则a与b的夹角是钝角C.向量e1＝（2，－3），e2＝能作为平面内所有向量的一组基D.若a⊥b，则a在b上的投影向量为011.在△ABC中，已知（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确的结论是（ ）A.由已知条件，这个三角形被唯一确定B.若b＋c＝8，则△ABC的面积是C.sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3D.△ABC一定是钝角三角形三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12.若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则＋＝ .13.如图，在△ABC中，B＝120°，AB＝，AD为角平分线，点D在边BC上，且AD＝，则∠ADB＝ ，AC＝ .14.正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多饰品中就出现了正六角星图案（如图①）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图②）.如图③所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，若｜｜＝2，则·＝ .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝（1，0），e2＝（0，1）.（1）求a·b，｜a＋b｜；（2）求a与b的夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）某考古队在科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图①所示，通过测量得到数据AC＝－1，BC＝，AB＝2.（图①中破碎边缘呈锯齿形状）（1）求这个扇形玉佩的半径；（2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图②所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角、弧长、面积）.17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A（2，3），B（1，4），C（3，3）.（1）求向量与 夹角的余弦值；（2）若点D满足//，⊥，求点D的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标.18.（本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.（1）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形“沟通的桥梁”.（1）如图，在△ABC中，G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交AB，AC于点M，N.（ⅰ）记＝a，＝b，请用a，b表示；（ⅱ）设＝m，＝n（m，n＞0），求4m＋n的最小值；（2）已知点O是△ABC的 ，且＝＋，求cos∠BAC.请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答.①外心（三条边的垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.章末检测（二） 平面向量及其应用1.D 2.A 3.A 4.C 5.A6.B 如图所示，过点E分别作EM⊥DC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，可知四边形DMEN为矩形，不妨设DE＝a＞0，由题意可知：DE＝AF＝AE＝a，在Rt△ADE中，AD＝＝a，则sin∠ADE＝＝，cos∠ADE＝＝，在Rt△DEN中，DN＝DEcos∠ADE＝a，NE＝DM＝DEsin∠ADE＝a，即＝，＝，所以＝＋＝＋＝m＋n.故选B.7.B ∵C＝，a＝4，S△ABC＝2，∴S△ABC＝absin＝×4×b×＝2，解得b＝.由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos＝10，c＝.由正弦定理可得＝＝＝2，故选B.8.A ∵（a－b）sin A＝（c＋b）（sin C－sin B），∴由正弦定理可得（a－b）a＝（c＋b）（c－b），∴整理可得a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理可得cos C＝＝＝，∵C∈（0°，180°），∴C＝60°，则sin C＝.∵D为AB的中点，∴＝（＋），故＝（＋2·＋）＝（b2＋a2＋2abcos C），∴4＝b2＋a2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时取等号，∴ab≤.∴△ABC的面积S＝absin C≤.9.AB 由题意知，是与a同向的单位向量，是与b同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以a，b方向相反.因此，使得＋＝0成立的条件为a＋b＝0和a＝－2b.故选A、B.10.AD （＋＋）－（－－）＝（＋）－（－）＝－＝0，A正确；当｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b反向时，a·b＝－1＜0，此时a与b的夹角为180°，B不正确；因为e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为一组基，C不正确；由投影向量的定义知D正确.故选A、D.11.CD 由（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，可设（t＞0），所以a＝t，b＝t，c＝t，对A，只知道各边的比值关系，并不能确定大小，所以这个三角形不能被唯一确定，故A错误；对B，若b＋c＝8，即b＋c＝4t＝8，所以t＝2，所以a＝7，b＝5，c＝3，所以cos A＝＝＝－，所以A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝×5×3×＝，故B错误；对C，sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝7∶5∶3，故C正确；对D，由cos A＝＝＝－，所以A＝为钝角，故D正确.故选C、D.12. 解析：＝（a－2，－2），＝（－2，b－2），依题意，有（a－2）（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.13.45° 解析：在△ABD中，由正弦定理，得sin ∠ADB＝＝＝.由题意知0°＜∠ADB＜60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－120°－45°＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以C＝30°，所以BC＝AB＝.在△ABC中，由余弦定理，得AC＝＝＝.14.－6 解析：延长CO至正六角星的一个顶点D，如图所示，由题意可知∠AOB＝，则cos∠AOB＝－，根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知＝2＋，所以＝－＝－（2＋），则·＝·（－2－）＝－2×4－2×2×（－）＝－6.15.解：（1）因为e1＝（1，0），e2＝（0，1），所以a＝3e1－2e2＝（3，－2），b＝4e1＋e2＝（4，1），所以a·b＝（3，－2）·（4，1）＝12－2＝10，a＋b＝（7，－1），所以｜a＋b｜＝＝5.（2）设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.16.解：（1）如图，设扇形的圆心为O，连接CO，BO，在△ABC中，由余弦定理可得cos∠BAC＝＝＝，因为∠BAC∈（0，π），可得∠BAC＝，在△AOB中，因为OA＝OB，则∠ABO＝∠BAC＝，即∠AOB＝，可得BO＝ABsin∠BAC＝2×＝，所以这个扇形玉佩的半径为.（2）设扇形的圆心角为α∈（0，π），因为cos α＝＝－，可得α＝，所以扇形的圆心角为，弧长为×＝π，面积为×π×＝.17.解：（1）因为A（2，3），B（1，4），C（3，3），所以＝（2，3），＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1），所以cos＜，＞＝＝＝，故向量与夹角的余弦值为.（2）依题意可得＝（1，4），＝（3，3），由//，不妨设＝λ＝（λ，4λ）（λ≠0），所以＝＋＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3），因为⊥，所以·＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1，所以＝（1，－1），即D（1，－1），所以·＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜｜＝＝，所以向量在向量上的投影向量为·＝·（1，4）＝（－，－），故向量在向量上的投影向量的坐标为（－，－）.18.解：（1）由2sin C＝3sin A及正弦定理，得2c＝3a.又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，所以b＝a＋1＝5.由余弦定理，得cos A＝＝＝，又A∈（0，π），所以sin A＝.所以S△ABC＝bcsin A＝×5×6×＝.（2）存在.由题意知c＞b＞a，要使△ABC为钝角三角形，需cos C＝＝＝＜0，得0＜a＜3.因为a为正整数，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，b＝2，c＝3，此时不能构成三角形；当a＝2时，b＝3，c＝4，满足题意.综上，存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形.19.解：（1）（ⅰ）设D是BC的中点，连接AD（图略），则＝（a＋b），∵点G是△ABC的重心，∴＝＝（a＋b）.（ⅱ）由（ⅰ）知＝＋＝＋，∵M，G，N三点共线，G在线段MN上，∴＋＝1（m＞0，n＞0），∴4m＋n＝（4m＋n）（＋）＝×（5＋＋）≥×（5＋2）＝3，当且仅当n＝2m＝1时取等号，∴4m＋n的最小值为3.（2）设△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.由＝＋可知点O在△ABC的内部.若选①，如图所示，取AB的中点M，AC的中点N，连接OM，ON，可知OM⊥AB，ON⊥AC，从而·＝·＝c2，即（＋）·＝c2，∴c2＋bc·cos∠BAC＝c2，故b·cos∠BAC＝c，同理，·＝·＝b2，可得c·cos∠BAC＝b，联立得cos∠BAC＝.若选②，由已知得＝－＝－，＝－＝－，由得∴cos∠BAC＝.3 / 3(共47张PPT)章末检测（二）平面向量及其应用（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知a＝（－5，6），b＝（－3，2），c＝（x，y），若a－3b＋2c＝0，则c＝（ ）A. （－2，6） B. （－4，0）C. （7，6） D. （－2，0）12345678910111213141516171819解析： ∵a－3b＋2c＝0，∴（－5，6）－（－9，6）＋（2x，2y）＝（0，0），即解得故c＝（－2，0）.故选D.123456789101112131415161718192. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2）， ＝（2，1），则 · ＝（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2解析： ∵四边形ABCD为平行四边形，∴ ＝ ＋ ＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1），∴ · ＝2×3＋（－1）×1＝5.123456789101112131415161718193. 已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任一点，且（ － ）·（ ＋ ）＝0，则△ABC是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形解析： （ － ）·（ ＋ ）＝0 ·（ ＋ ）＝0 （ － ）·（ ＋ ）＝0 ｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等腰三角形.123456789101112131415161718194. 已知平面向量a，b满足｜a｜＝ ，｜b｜＝1，a⊥（a＋2b），则向量a，b的夹角为（ ）A. B. C. D.解析： ∵a⊥（a＋2b），∴a·（a＋2b）＝0，即a2＋2a·b＝0，又∵｜a｜＝ ，∴a·b＝－1，∴ cos ＜a，b＞＝＝ ＝－ ，又∵＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞＝ ，故选C.123456789101112131415161718195. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向（ ）A. km/h正北B. km/h与水流方向夹角为63.4°C. km/h与水流方向夹角为41°D. km/h垂直于河岸12345678910111213141516171819解析： 如图， 为河水速度， 为小船航行速度，设 为小船实际航行速度.设E为渡口A在对岸对应的点，则∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，在△ACE中，∵AC＝｜ ｜＝15，∴CE＝ AC＝7.5＝｜ ｜，∴E和D重合，｜ ｜＝AE＝ ＝ ＝ （km/h）.∴小船实际航行速度的大小为 km/h，方向为正北方向.故选A.123456789101112131415161718196. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝m， ＝n， ＝ ，则 ＝（ ）A. m＋ n B. m＋ nC. m＋ n D. m＋ n12345678910111213141516171819解析： 如图所示，过点E分别作EM⊥DC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，可知四边形DMEN为矩形，不妨设DE＝a＞0，由题意可知：DE＝AF＝ AE＝a，在Rt△ADE中，AD＝＝ a，则 sin ∠ADE＝ ＝ ，12345678910111213141516171819cos ∠ADE＝ ＝ ，在Rt△DEN中，DN＝DE cos ∠ADE＝a，NE＝DM＝DE sin ∠ADE＝ a，即 ＝ ， ＝，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ m＋ n.故选B.123456789101112131415161718197. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝4，S△ABC＝2，则 ＝（ ）A. B. 2 C. 2 D. 2解析： ∵C＝ ，a＝4，S△ABC＝2，∴S△ABC＝ ab sin ＝×4×b× ＝2，解得b＝ .由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos ＝10，c＝ .由正弦定理可得 ＝ ＝＝2 ，故选B.123456789101112131415161718198. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1，且（a－b） sin A＝（c＋b）·（ sin C－ sinB），则△ABC面积的最大值为（ ）A. B. C. D.12345678910111213141516171819解析： ∵（a－b） sin A＝（c＋b）（ sin C－ sin B），∴由正弦定理可得（a－b）a＝（c＋b）（c－b），∴整理可得a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理可得 cos C＝ ＝ ＝ ，∵C∈（0°，180°），∴C＝60°，则 sin C＝ .∵D为AB的中点，∴ ＝ （ ＋ ），故 ＝ （ ＋2 · ＋）＝ （b2＋a2＋2ab cos C），∴4＝b2＋a2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时取等号，∴ab≤ .∴△ABC的面积S＝ ab sin C≤ .12345678910111213141516171819二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 ＋＝0成立的是（ ）A. a＝－2b B. a＋b＝0C. a∥b D. a⊥b12345678910111213141516171819解析： 由题意知， 是与a同向的单位向量， 是与b同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以a，b方向相反.因此，使得 ＋ ＝0成立的条件为a＋b＝0和a＝－2b.故选A、B.1234567891011121314151617181910. 下列说法中，正确的是（ ）A. （ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝0B. 若a·b＜0，则a与b的夹角是钝角C. 向量e1＝（2，－3），e2＝ 能作为平面内所有向量的一组基D. 若a⊥b，则a在b上的投影向量为012345678910111213141516171819解析： （ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝（＋ ）－（ － ）＝ － ＝0，A正确；当｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b反向时，a·b＝－1＜0，此时a与b的夹角为180°，B不正确；因为e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为一组基，C不正确；由投影向量的定义知D正确.故选A、D.1234567891011121314151617181911. 在△ABC中，已知（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确的结论是（ ）A. 由已知条件，这个三角形被唯一确定B. 若b＋c＝8，则△ABC的面积是C. sin A∶ sin B∶ sin C＝7∶5∶3D. △ABC一定是钝角三角形12345678910111213141516171819解析： 由（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，可设（t＞0），所以a＝ t，b＝ t，c＝ t，对A，只知道各边的比值关系，并不能确定大小，所以这个三角形不能被唯一确定，故A错误；对B，12345678910111213141516171819若b＋c＝8，即b＋c＝4t＝8，所以t＝2，所以a＝7，b＝5，c＝3，所以 cos A＝ ＝ ＝－ ，所以A＝ ，所以 sin A＝ ，所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×5×3× ＝ ，故B错误；对C， sin A∶ sin B∶ sin C＝ ∶ ∶ ＝7∶5∶3，故C正确；对D，由 cos A＝ ＝ ＝－ ，所以A＝ 为钝角，故D正确.故选C、D.12345678910111213141516171819三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12. 若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则 ＋ ＝ .解析： ＝（a－2，－2）， ＝（－2，b－2），依题意，有（a－2）（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以 ＋ ＝. 1234567891011121314151617181913. 如图，在△ABC中，B＝120°，AB＝ ，AD为角平分线，点D在边BC上，且AD＝ ，则∠ADB＝ ，AC＝ .45° 12345678910111213141516171819解析：在△ABD中，由正弦定理，得 sin ∠ADB＝ ＝＝ .由题意知0°＜∠ADB＜60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－120°－45°＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以C＝30°，所以BC＝AB＝ .在△ABC中，由余弦定理，得AC＝＝ ＝ .1234567891011121314151617181914. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多饰品中就出现了正六角星图案（如图①）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图②）.如图③所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，若｜ ｜＝2，则 · ＝ .－6 12345678910111213141516171819解析：延长CO至正六角星的一个顶点D，如图所示，由题意可知∠AOB＝ ，则 cos ∠AOB＝－，根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知 ＝2 ＋ ，所以 ＝－ ＝－（2 ＋ ），则 · ＝ ·（－2 －）＝－2×4－2×2×（－ ）＝－6.12345678910111213141516171819四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分）已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝（1，0），e2＝（0，1）.（1）求a·b，｜a＋b｜；解：因为e1＝（1，0），e2＝（0，1），所以a＝3e1－2e2＝（3，－2），b＝4e1＋e2＝（4，1），所以a·b＝（3，－2）·（4，1）＝12－2＝10，a＋b＝（7，－1），所以｜a＋b｜＝ ＝5 .12345678910111213141516171819（2）求a与b的夹角的余弦值.解：设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .1234567891011121314151617181916. （本小题满分15分）某考古队在科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图①所示，通过测量得到数据AC＝ －1，BC＝，AB＝2.（图①中破碎边缘呈锯齿形状）（1）求这个扇形玉佩的半径；12345678910111213141516171819解：如图，设扇形的圆心为O，连接CO，BO，在△ABC中，由余弦定理可得 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ ，因为∠BAC∈（0，π），可得∠BAC＝ ，12345678910111213141516171819在△AOB中，因为OA＝OB，则∠ABO＝∠BAC＝ ，即∠AOB＝ ，可得BO＝AB sin ∠BAC＝2× ＝ ，所以这个扇形玉佩的半径为 .12345678910111213141516171819（2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图②所示，其三边长分别为 ， ，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角、弧长、面积）.12345678910111213141516171819解：设扇形的圆心角为α∈（0，π），因为 cos α＝ ＝－ ，可得α＝ ，所以扇形的圆心角为 ，弧长为 × ＝ π，面积为 × π× ＝ .1234567891011121314151617181917. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A（2，3），B（1，4），C（3，3）.（1）求向量 与 夹角的余弦值；解：因为A（2，3），B（1，4），C（3，3），所以 ＝（2，3）， ＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1），所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，故向量 与 夹角的余弦值为 .12345678910111213141516171819（2）若点D满足 // ， ⊥ ，求点D的坐标及向量在向量 上的投影向量的坐标.解：依题意可得 ＝（1，4）， ＝（3，3），由 // ，不妨设 ＝λ ＝（λ，4λ）（λ≠0），所以 ＝ ＋ ＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3），因为 ⊥ ，所以 · ＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1，所以 ＝（1，－1），即D（1，－1），12345678910111213141516171819所以 · ＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜ ｜＝ ＝ ，所以向量 在向量 上的投影向量为 · ＝ ·（1，4）＝（－ ，－ ），故向量 在向量 上的投影向量的坐标为（－ ，－ ）.1234567891011121314151617181918. （本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.（1）若2 sin C＝3 sin A，求△ABC的面积；解：由2 sin C＝3 sin A及正弦定理，得2c＝3a.又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，所以b＝a＋1＝5.由余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，π），所以 sin A＝ .所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×5×6× ＝ .12345678910111213141516171819（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.解：存在.由题意知c＞b＞a，要使△ABC为钝角三角形，需 cos C＝ ＝＝ ＜0，得0＜a＜3.因为a为正整数，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，b＝2，c＝3，此时不能构成三角形；当a＝2时，b＝3，c＝4，满足题意.综上，存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形.1234567891011121314151617181919. （本小题满分17分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形“沟通的桥梁”.12345678910111213141516171819（1）如图，在△ABC中，G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交AB，AC于点M，N.（ⅰ）记 ＝a， ＝b，请用a，b表示 ；（ⅱ）设 ＝m ， ＝n （m，n＞0），求4m＋n的最小值；12345678910111213141516171819解：（ⅰ）设D是BC的中点，连接AD（图略），则 ＝ （a＋b），∵点G是△ABC的重心，∴ ＝ ＝ （a＋b）.12345678910111213141516171819（ⅱ）由（ⅰ）知 ＝ ＋ ＝＋ ，∵M，G，N三点共线，G在线段MN上，∴ ＋ ＝1（m＞0，n＞0），∴4m＋n＝ （4m＋n）（ ＋ ）＝ ×（5＋ ＋ ）≥ ×（5＋2 ）＝3，当且仅当n＝2m＝1时取等号，∴4m＋n的最小值为3.12345678910111213141516171819（2）已知点O是△ABC的 ，且 ＝ ＋ ，求 cos∠BAC.请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答.①外心（三条边的垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：设△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.由 ＝ ＋ 可知点O在△ABC的内部.12345678910111213141516171819若选①，如图所示，取AB的中点M，AC的中点N，连接OM，ON，可知OM⊥AB，ON⊥AC，从而 · ＝ · ＝ c2，即（ ＋ ）· ＝ c2，∴ c2＋ bc· cos ∠BAC＝ c2，12345678910111213141516171819故 b· cos ∠BAC＝ c，同理， · ＝ · ＝ b2，可得 c· cos ∠BAC＝ b，联立得 cos ∠BAC＝ .12345678910111213141516171819若选②，由已知得 ＝ － ＝ － ， ＝ － ＝ － ，由得∴ cos ∠BAC＝ .12345678910111213141516171819谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 章末检测（二） 平面向量及其应用.docx 章末检测（二） 平面向量及其应用.pptx
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