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(共34张PPT)
第二单元
充分条件与必要条件
（共2课时）
人教A版必修第一册第一章
第1课时 充分条件与必要条件
人教A版必修第一册第一章
学习目标
1.能够判断“p是不是q的充分条件”，能举例说明每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
2.能够判断“q是不是p的必要条件”，能举例说明每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
3.初步学会使用充分条件和必要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养.
环节一 创设情境，提出问题
【问题1】在初中，我们已经对命题有了初步的认识.
（1）什么是命题？什么是真命题和假命题？
（2）命题通常写成什么形式？你能够列举出一些数学命题吗？
1. 命题
（1）定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
（2）结构形式：命题通常可写成“若p，则q”的形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．
如：若x>3，则x>2
环节二 抽象概念，内涵辨析
【问题2】命题“若x>3，则x>2” 是真命题吗？此时条件和结论之间从逻辑上有什么关系？命题“若x>3，则x>4”呢？
2. 符号 、
（1）当命题“若p,则q”为真命题时，则p q成立；
（2）当命题“若p,则q”为假命题时，则p q成立.
3. 充分条件与必要条件
一般地，如果命题“若p，则q”为真，那么p q成立，我们就说条件p是条件q的充分条件，同时条件q是条件p的必要条件.
【追问】你能再举出几个“x>3”的充分条件和必要条件来吗？
环节二 抽象概念，内涵辨析
【追问】在上述的（1）、 （4）、 （5）命题中，若q不成立，则p成立吗？你对 “q是p的必要条件”中“必要”一词是如何理解的？
【问题3】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些 p是q的充分条件？你是如何判断的？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2－4x+3=0，则x=1；
（4）若平面内两条直线a和直线b均垂直于直线l，则a//b;
（5）若小李是四川人，则他是中国人.
【例1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若x2=1，则x=1；
（5）若a=b，则ac=bc；
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.
解：
（1） ，所以是的充分条件；
（2） ，所以是的充分条件.
（3） ，所以是的充分条件.
（4） ，所以不是的充分条件.
（5） ，所以是的充分条件.
（6） ，所以不是的充分条件.
举反例是判断一个命题是假命题的重要方法.
环节三 典例分析、巩固理解
【问题4】例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？
①四边形的两组对边分别相等； ②四边形的两组对边分别平行；
③四边形的两条对角线互相平分； ④四边形的一组对边平行且相等.
【追问】你能说出几个两条直线平行或两个三角形相似的充分条件？从这些例子中你能得到什么结论？
4. 判定定理与充分条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
环节三 典例分析、巩固理解
环节三 典例分析、巩固理解
【例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；
（4）若x=1，则x2=1；
（5）若ac=bc，则a=b；
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数.
解：
（1） ，所以是的必要条件.
（2） ，所以是的必要条件.
（3） ，所以不是的必要条件.
（4） ，所以是的必要条件.
（5） ，所以不是的必要条件.
（6） ，所以不是的必要条件.
A
B
C
D
一般地，要判断“若 ，则 ”形式的命题中 是否为 的必要条件，只需判断是否有“ ”，即“若 ，则 ”是否为真命题.
环节三 典例分析、巩固理解
【问题5】例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？类比充分条件你有什么发现？
5. 性质定理与必要条件
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
【追问】结合初中的判定定理和性质定理，你能说出“两个三角形全等”，“两条直线平行”的一些充分条件和必要条件吗？
①四边形的两组对边分别相等； ②四边形的两组对边分别平行；
③四边形的两条对角线互相平分； ④四边形的一组对边平行且相等.
环节三 典例分析、巩固理解
【例3】　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足
－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．q：－2≤x≤3，
即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p q，所以A B，
(变条件)若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．q：－2≤x≤3，
即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q p，所以B A，
环节三 典例分析、巩固理解
环节四 小结提升，形成结构
【问题6】请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）判断命题真假的一般方法是什么
（2）你能举例说明什么是充分条件，什么是必要条件吗
环节五 目标检测，检验效果
①③
环节五 目标检测，检验效果
【练习2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
【练习3】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与☉O有且仅有一个交点，则l为☉O的一条切线；
（2）若x是无理数，则x2也是无理数.
环节六 布置作业，应用迁移
1. 教材P20，练习 第1，2，3题；
2. 助学案.
第2课时 充要条件
人教A版必修第一册第一章
学习目标
1.能够判断“p是不是q的充要条件”，能举例说明每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件.
2.初步学会使用充要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养.
环节一 创设情境，提出问题
1. 逆命题
将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题.
【问题1】（1）命题“若p，则q”的逆命题是什么
（2）p q，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果再加上q p，p是q的什么条件？
2. 充要条件
若命题“若p，则q”为真，且“若q，则p”也为真，即p q成立，我们就说条件p是条件q的充分必要条件，简称充要条件.
环节二 抽象概括，内涵辨析
【问题2】下列“若p，则q”形式的命题中， P是q的充要条件吗？你是如何判断的？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等;
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac < 0;
（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集.
解：
命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题，充要条件；
命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.
【追问1】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？这样的充要条件唯一吗？
①四边形的两组对角分别相等； ②四边形的两组对边分别相等；
③四边形的一组对边平行且相等； ④四边形的对角线互相平分；
⑤四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件.
环节三 典例练习，巩固理解
3. 定义与充要条件
一般地，数学中的每一条定义都给出了相应数学对象的一个充要条件.
【追问2】我们学习了判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么充要条件和什么有关系呢？
【追问3】你能根据“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式吗
环节二 抽象概括，内涵辨析
梳理p和q的关系，得出下表:
【问题3】命题“若p，则q”及其逆命题的真假有哪些情况，其对应的p与q的条件关系有哪些？
命题真假 条件关系 条件p是条件q的
若p，则q为真，若q，则p为假
若p，则q为假，若q，则p为真
若p，则q为真，若q，则p为真
若p，则q为假，若q，则p为假
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
p q , q p
p q , q p
p q , q p
p q , q p
【例1】下列各题中，哪些p是q的充要条件
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q： x>0，y> 0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0 (a≠0).
环节三 典例练习，巩固理解
解:
（1），所以不是的充要条件；
（2），所以是的充要条件；
（3），所以不是的充要条件；
（4），所以是的充要条件.
环节二 抽象概括，内涵辨析
【问题4】已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}.
(1)若A B， A B， A=B时，则p分别是q的什么条件？
(2)若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？其他情形呢？
小充分、大必要
环节二 抽象概括，内涵辨析
4. 从集合角度看充分、必要条件——设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}.
B
A
A
B
（B）
A
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的充要条件
B
A
且
是的既不充分也不必要条件
B
A
【例2】已知p:－2≤x≤10，q:1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【变式1】若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
【变式2】本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
环节三 典例练习，巩固理解
环节三 典例练习，巩固理解
【例3】已知☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
求证：d=r是直线l与☉O相切的充要条件.
证明：设，：直线与相切.
（1）充分性()：
如图，作于点，则.若，则点在上，在直线上任取一点(异于点)，连接，在中，.
所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点，所以直线与相切.
（2）必要性()：
若直线与相切，不妨设切点为,则。因此，.
由（1）（2）可得，是直线与相切的充要条件.
环节三 典例练习，巩固理解
【变式】求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长)
证明　必要性：
因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立；
充分性：
由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立．
综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
环节四 小结提升，形成结构
【问题5】请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）请用结构框图的形式表示本单元所学的知识；
（2）你能举例说明什么是充要条件吗
本单元所学的知识结构图如下
说明：
（1）充要条件是相互的，同时存在的， p q即和互为充要条件.
（2）是的充要条件也可以说成：①和是等价的；
②成立当且仅当成立；
③成立当且仅当成立.
课堂小结
1
命题真假
推出关系
条件关系
p与q的关系 结论
环节五 目标检测，检验效果
【练习1】下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2) p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等；
(3) p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集.
【练习2】写出“两个三角形相似”的几个充要条件.
【思考】若p是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则：
(1)s是P的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
环节五 目标检测，检验效果
环节六 布置作业，应用迁移
教科书第22~23页习题1.4 第2、3、4、5、6题.
课时训练 .
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
思考
证明:假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0.
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
综上，由①②知命题成立.

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