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(共36张PPT)
3.1.1 函数的概念(第1课时)
人教A版2019必修第一册
第 3 章
函数的概念与性质
目录
壹
01.函数的概念
肆
04.课堂小结
叁
03.例题讲解与随堂练习
贰
02.区间的概念
课标要求
壹
会用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念。
贰
体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
叁
了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域。
天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化！
中国高铁营业里程逐年增加，已突破2万公里！
所有这些都表现为变量间的对应关系！
这种关系常常可用函数模型来描述，通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律！
新课导入
思考1：初中我们已经接触过函数的概念，初中函数是如何定义的？
初中学过哪些函数？
新课导入
思考2：正方形周长L与边长x的对应关系是L=4x，它与y=4x是同一个函数吗？
要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念.
新课导入
函数的概念(第1课时)
第一部分
函数的概念
导入新知 剖析实例 抽象函数概念
问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速
运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运
行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
思考1.1：有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗
t 和S是两个变量，且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，故S是 t 的函数。
此说法错误。理由：没有注意 t 的变化范围。根据问题1的条件,不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.
导入新知 剖析实例 类比归纳
问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速
运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运
行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
思考1.2：如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间 t 的关系？
t 和S是两个变量，且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，故S是 t 的函数。
对于数集A1中的任一时刻 t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
S与 t 的关系是：S=350t ①
其中，t 的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？一个工人的工资W是他工作天数的d 的函数吗？
显然，工资W一周工作天数d的函数，其对应关系是：W=350d ②
d的变化范围是数集A2={1，2，3，4，5，6}，
W的变化范围是数集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}，
对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资W与它对应.
导入新知 剖析实例 类比归纳
问题3： 下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图.
思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数的值 I
思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗
思考3.3：你认为这里的 I 是 t 的函数吗？
t=8时,I=50
对于数集A3=____________的任一时刻 t，按照图中曲线给定的对应关系，
在数集B3=____________中都有唯一确定的工资w和它对应．
{I |0{t |0≤t≤24}
故 I 是 t 的函数.
导入新知 剖析实例 类比归纳
问题4：国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57
思考5：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数
对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应．
{y∈Z|2006≤y≤2015}
{r|0故 r 是 y 的函数.
导入新知 剖析实例 类比归纳
共同点
不同点
1、都有两个非空数集，用A、B来表示；
2、两个数集之间都有一种确定的对应关系；
3、对应关系都有以下特性：
对于数集A中任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y与之对应。
实例一、二是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例三是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例四是用表格刻画变量之间的对应关系。
函数概念你能概括出来吗？
为了表示方便，对应关系我们统一用f表示.
函数的概念：
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
记作 y=f(x) , x∈A
新知讲解
函数概念的理解：
1、对数集的要求：集合A、B为非空数集；
2、任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性（即定义域中的每一个元素都有函数值），集合B中的数具有唯一性（每一个自变量都有唯一的函数值与之对应）. （允许一对一或者多对一，不能一对多）
3、函数的三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可。
新知讲解
函数概念的理解：
4、对符号“f”的认识：它表示对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格、也可以是文字描述，在不同的函数中f的具体含义不一样。
5、一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x=a时的一个函数值。
例如：y=3x+1可以写成f(x)=3x+1 .当x=2时y=7可以写成f(2)=7
应用新知
【例1】
应用新知
应用新知
练习
函数的概念(第1课时)
第二部分
区间的概念
区间的概念:
设a,b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b];
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x新知讲解
新知讲解
区间 数轴表示
区间的几何表示:
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
实数集R用区间
怎么表示？
新知讲解
区间 数轴表示
区间的几何表示:
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，
“∞”读作“无穷大”.
注意：
①区间是一种连续性的数集；
②定义域、值域经常用区间表示；
③用中括号表示包括在区间内的端点，用小括号表示不包括在区间内的端点。
新知讲解
练习：试用区间表示下列实数集.
（1）{x|2 ≤ x<3}
（2）{x|x ≥15}
（3）{x|x ≤ 0}∩{x|-3 ≤ x<8}
（4）{x|x < -10}∪{x|3< x<6}
[2,3)
[15,+∞)
[-3,0]
新知应用
函数的概念(第1课时)
第三章
例题讲解与随堂检测
例1、集合A、B与对应关系f如下图所示：
f：A→B是否为集合A到集合B的函数？
1
2
-1
1
4
9
10
A
B
平方
注：
2、值域是集合B的子集，即：{f(x)|x∈A} B
1、函数概念的要点：任意性，存在性，唯一性
函数只能是一对一或多对一，不能一对多
题型一：函数的概念
题型一：函数的概念
(1)根据函数的概念判断
(2)根据图形判断
①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
判断一个对应关系是否为函数的方法
题型一：函数的概念
题型一：函数的概念
题型二：求函数值
题型三：区间的应用
函数的概念(第1课时)
第四章
课堂小结
课堂小结
课堂小结
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集；
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性；
（允许一对一或者多对一，不能一对多）
(3)符号“f ”：它表示对应关系，在不同的函数中f 的具体含义不一样；
(4)一个区别：f (x)是一个符号，不表示f 与x的乘积，
而f (a)表示函数f (x)当自变量x取a时的一个函数值；
(5)函数三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，三者缺一不可．
对函数概念的五点说明：
2、实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，
“∞”读作“无穷大”.
注意：
①区间是一种连续性的数集；
②定义域、值域经常用区间表示；
③用中括号表示包括在区间内的端点，用小括号表示不包括在区间内的端点。
课堂小结
1、区间的概念(共19张PPT)
3.1.1 函数的概念(第3课时)
人教A版2019必修第一册
第 3 章
函数的概念与性质
专题：
函数值域的求法
求简单函数的定义域的常用方法：
（1）如果f(x)是分式，则应考虑使分母不等于零 .
（2）如果f(x)是偶次根式，根号内的式子大于或等于零.
（4）如果f(x)是由几个式子构成的，那么函数定义域是 使各部分式子都有意义的取值集合的交集.
（5）如果f(x)是实际问题的解析式，应使实际问题有意义.
（3）如果f(x)是指数幂，应使幂运算有意义 .
复习回顾
复习回顾
求抽象函数的定义域的方法：
(1)已知f (x)的定义域为[a，b]，求f (g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域．
(2)已知f (g(x))的定义域为[c，d]，求f (x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]的范围(值域)即为定义域．
题型一：观察法求值域
观察法:
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到.
题型一：观察法求值域
题型二：求二次函数值域（配方法、数形结合）
题型二：求二次函数值域（配方法、数形结合）
配方法：
是求“二次函数”类值域的基本方法.
题型二：求二次函数值域（配方法、数形结合）
借助函数
图像可以简
化计算！
题型二：求二次函数值域（配方法、数形结合）
借助函数
图像可以简
化计算！
题型三：分离常数法求函数值域
小结
此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
题型三：分离常数法求函数值域
题型三：分离常数法求函数值域
题型四：含根式的函数求值域（换元法、数形结合法）
题型四：含根式的函数求值域（换元法、数形结合法）
题型四：含根式的函数求值域（换元法、数形结合法）
函数的概念(第1课时)
第二部分
课堂小结
求函数值域的方法
(1)简单的函数可以直接观察得到。
(2)分式（或者可以化成分式的形式）可以采用常数分离法求解
(3)二次函数常用配方法求解。
(4)含根号的式子注意观察式子本身的隐含条件，结合根式的意义求出其取值范围
(5)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域。
课堂小结
课堂小结
注意事项：
1、定义域优先原则；
2、多用图像；
3、换元法要注意新元的取值范围；(共34张PPT)
3.1.1 函数的概念(第2课时)
人教A版2019必修第一册
第 3 章
函数的概念与性质
目录
壹
01.函数定义域的求法
叁
03.课堂小结
贰
02.同一个函数的判断
课标要求
壹
体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
贰
了解构成函数的要素，能求函数的定义域。
叁
会判断两个函数是不是同一个函数。
函数的发展历程
Eluer(欧拉)1748
一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析式。
解析式定义
Cauchy(柯西)
在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
变量间的依赖关系
Dirichlet
(狄利克雷)
只须有一个法则存在，以使得这个函数取值范围中的每一个值，都只有一个确定的值和它对应。
集合和对应的观点
函数：清代数学家李善兰、翻译《代数学》时把“function”译为“函数”.
“凡式中含天,为天之函数”
天、地、人、物表示4个不同的未知数或变量。
即:凡式中含有变量x,则该式叫做x的函数”
新课导入
函数的概念：
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
记作 y=f(x) , x∈A
取值范围
新课导入
班级“身高统计”的函数争议
“班主任说：“男生身高函数h(x)”与“女生身高函数h(y)”是同一个函数吗？
想要判断是否为同一个函数，就要了解函数的三要素，接下来先来求函数的定义域
函数的概念(第1课时)
第一部分
函数数定义域的求法
题型一：具体函数定义域的求法
解：
题型一：具体函数定义域的求法
解：
解：
题型一：具体函数定义域的求法
题型一：具体函数定义域的求法
题型一：具体函数定义域的求法
题型一：具体函数定义域的求法
题型二：实际问题中定义域的求法
总结新知
求函数的定义域的常用方法：
（1）如果f(x)是分式，则应考虑使分母不等于零 .
（2）如果f(x)是偶次根式，根号内的式子大于或等于零.
（4）如果f(x)是由几个式子构成的，那么函数定义域是 使各部分式子都有意义的取值集合的交集.
（5）如果f(x)是实际问题的解析式，应使实际问题有意义.
（3）如果f(x)是指数幂，应使幂运算有意义 .
总结新知
题型三：抽象函数定义域的求法
【例1】已知f(x)的定义域为［0,1］，求f(x+1)的定义域；
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数.
题型三：抽象函数定义域的求法
【例2】已知f(x+1)的定义域为［0,1］，求f(x)的定义域；
题型三：抽象函数定义域的求法
【例3】已知f(x+1)的定义域为［0,1］，求f(2x-1)的定义域.
抽象函数的定义域求法：
1
定义域：自变量x的范围
2
括号内的范围相同
总结新知
题型三：抽象函数定义域的求法
【练习】
函数的概念(第1课时)
第二部分
同一函数的判断
由函数的定义可知，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．
如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一个函数．
如S=350t，t∈{t|0≤t≤0.5}与W=350d，d∈{1，2，3，4，5，6}的对应关系都为y=350x，但它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，同时，因为它们的定义域都不为R，所以它们与正比例函数y=350x，(x∈R)也不是同一个函数．
应用新知
应用新知
由函数的定义可知，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．

解：
应用新知
解：
应用新知
应用新知
应用新知
函数的概念(第1课时)
第三部分
课堂小结
1．知识清单：
(1)求简单函数的定义域．
(2)求抽象函数的定义域．
(3)判断是否为同一个函数．
2．方法归纳：整体代换．
3．常见误区：不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域．
课堂小结
求简单函数的定义域的常用方法：
（1）如果f(x)是分式，则应考虑使分母不等于零 .
（2）如果f(x)是偶次根式，根号内的式子大于或等于零.
（4）如果f(x)是由几个式子构成的，那么函数定义域是 使各部分式子都有意义的取值集合的交集.
（5）如果f(x)是实际问题的解析式，应使实际问题有意义.
（3）如果f(x)是指数幂，应使幂运算有意义 .
课堂小结
课堂小结
求抽象函数的定义域的方法：
(1)已知f (x)的定义域为[a，b]，求f (g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域．
(2)已知f (g(x))的定义域为[c，d]，求f (x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]的范围(值域)即为定义域．
课堂小结
判断两个函数为同一个函数的条件：
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．

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