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3.2.2 奇偶性
数学
第三章 函数的概念与性质
一、学习目标
二、课堂探究
三、课堂练习
四、课堂小结
五、布置作业
学习目标
①掌握奇函数、偶函数的概念及符号表示．
②会利用奇偶性定义判断具体函数的奇偶性．
③能够利用函数的奇偶性解决相关函数问题．
【观察】
在我们的日常生活中，随时随处可以看到许许多多对称的现象，例如，六角形的雪花晶体、窗花图案、蝴蝶等.
① ② ③
① ② ③
问题1：上面的图形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？
问题2：我们现在正在学习的函数图象，是否也具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？
结论　①②③都是轴对称图形,①②是中心对称图形.
结论　有些函数的图象具有对称性.
【问题探究1】画出并观察函数与 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
偶函数
结论　这两个函数的图象都关于y轴对称.
【问题探究2】观察下面表格，你能发现函数值分布有何特征吗？
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... 9 4 1 0 1 4 9 ...
... -1 0 1 2 1 0 -1 ...
偶函数
结论　当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等.
【追问1】上述结论是否具有一般性？换言之，是否，都有
， 成立？
【追问2】图象关于 y 轴对称的函数是否都满足上面的结论？
偶函数
结论　 x∈R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x),所以上面的结论成立.
结论　满足.
【问题探究3】
类似于函数 与 ，我们将图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数，你能给出偶函数定义的符号表示吗？
一般地，设函数 定义域为 D，如果 ，都有__________，且_______________，
那么函数就叫做偶函数（even function）.
偶函数
【追问1】偶函数的概念中，为什么强调，都有 ？
【追问2】你能举出几个偶函数的例子吗？
偶函数
结论　偶函数的定义域关于原点对称.
结论　开放性问题,是偶函数即可,例如f(x)=x2+1，
【问题探究4】画出并观察函数 与 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
结论　这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
奇函数
【问题探究5】观察下面的表格，你能发现函数值分布有何特征吗？
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... ...
... ...
奇函数
-3 -2 -1 0 1 2 3
- - -1 无 1
结论　当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数.
【追问1】上述结论是否具有一般性？换言之，是否 ，其中是函数定义域，，都有 ， 成立？
【追问2】图象关于原点中心对称的函数是否都满足上面的结论？
结论　 ∈ ，其中 是函数的定义域，且 ∈ ,所以上面的结论成立
结论　满足.
奇函数
【问题探究6】
类似于函数 与 ，我们将图象关于原点中心对称的函数称为奇函数，你能给出奇函数定义的符号表示吗？
一般地，设函数 定义域为 D，如果 ，都有__________，且_______________，
那么函数 就叫做奇函数（odd function）.
奇函数
【追问1】奇函数的概念中，为什么强调 ，都有 ？
【追问2】你能举出几个奇函数的例子吗？
结论　奇函数的定义域关于原点对称.
结论　开放性问题,是奇函数即可,例如f(x)=x3,g(x)=2x+.
奇函数
【例题讲解】
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解 (1)函数的定义域为R.
因为 x∈R,都有-x∈R,且所以函数为偶函数.
(2)函数的定义域为R.
因为 x∈R,都有R,且
所以函数为奇函数.
(3)函数的定义域为.
因为,都有,且
所以函数为奇函数.
(4)函数的定义域为.
因为,都有,且
所以函数为偶函数.
【规律方法】
根据定义判断一个函数是否具有奇偶性的一般步骤：
（1）求解函数 定义域，若定义域不关于原点对称，则函数 为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步骤；
（2）计算 ，确定 与 关系；
（3）若 ，则 为偶函数；
若 ，则 为奇函数；
若 且 ，则 既是奇函数也是偶函数；
若 且 ，则 既不是奇函数也不是偶函数.
【跟踪训练1】
判断下列函数的奇偶性：
（1） ; （2） .
解 (1)函数f(x)=2x4+3x2的定义域为R.
因为 x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),
所以函数f(x)=2x4+3x2为偶函数.
(2)函数f(x)=x3-2x的定义域为R.
因为 x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),
所以函数f(x)=x3-2x为奇函数.
【思考1】判断函数 的奇偶性.
因为 x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x),
所以函数f(x)=x3+x为奇函数.
【思考2】下图是函数 图象的一部分，你能根据 的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗？
　因为函数f(x)=x3+x是奇函数,所以其图象关于原点中心对称,由此可快速画出其在y轴左边的图象（图略）.
【思考3】一般地，如果知道 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
结论 可以作出f(x)在y轴某一侧的图象,研究f(x)在这一侧的性质,然后推断出函数f(x)在另一侧的图象与性质,进而简化对函数f(x)的研究.
【小试牛刀】
例2 已知 是偶函数， 是奇函数，试将下图补充完整.
【跟踪训练2】
定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数 是奇函数，其部分图象如图所示．
（1）请在坐标系中补全函数的图象；
（2）比较 与 的大小．
解 (1)由于f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称,其图象如图所示.
(2)观察图象,知f(3)例3 已知函数 是定义在 R上的奇函数，当 时， .
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的解析式；
（3）求 在 R 上的解析式.
解 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
(2)当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=2x2+3x-1.
(3)由(1)(2) 可得f(x)=
【跟踪训练3】
已知是偶函数， 是奇函数，且 ，求函数 ， 的解析式.
1.下列函数中，偶函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
B
评价反馈
2.下列说法正确的是（ ）
A. 偶函数的图象一定与 y 轴相交
B. 若奇函数在 x = 0处有定义，则 f (0) = 0
C. 奇函数的图象一定过原点
D. 图象过原点的函数一定是奇函数
B
评价反馈
3.已知函数 是定义在R上的偶函数，当 x <0时， ，则
( )
A. 8
B. -8
C.
D.
B
评价反馈
4.(多选题）设函数 的定义域都为R，且是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是偶函数
C. 是奇函数
D. 是奇函数
BC
评价反馈
5.若函数 是偶函数，定义域为 ，则a＋b＝________.
评价反馈
1.奇函数、偶函数的概念及其符号表示；
2.判断函数奇偶性的方法图象法、定义法；
3.利用奇偶性定义判断函数奇偶性的一般步骤；
4.利用函数奇偶性探究函数性质.
课堂小结
完成学案

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