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第三章
第六单元 幂函数
（共1课时）
人教A版必修第一册
学习目标
经历从函数中提取共性，抽象出幂函数的描述性定义的过程，发展学生数学抽象核心素养；
经历画幂函数的图象，并结合这几个幂函数的图象归纳出幂函数的图象变化和性质的过程，发展学生逻辑推理核心素养；
经历研究幂函数的方法，体会一般观念指引下的数学对象研究思路.
【问题1】以下是我们生活中遇到的几个函数问题，请写出解析式.
（1）如果张红购买了每千克1元的水果w千克，她需要付的钱数为p，试将p表示成w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，面积为S，试将S表示成a的函数；
（3）如果立方体的边长为a，体积为V，试将V表示成a的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，正方形的边长为a，试将a表示成S的函数.
（5）如果某人t 秒内骑车行进了1km，他骑车的平均速度为v，试将v表示成 t 的函数.
情境引入
【追问1】以上问题中的函数具有什么共同特征？
(1)以幂的底为自变量,幂指数为常数；
(2)系数为1，且只有一项.
情境引入
1.幂函数的概念
幂函数：
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数.
【追问2】接下来，我们应该研究幂函数的哪些内容？
2.简单幂函数的图象和性质
【问题2】在第一象限，幂函数y=xα的共同特征是什么？
当α的变化怎样影响函数图象？幂函数有渐近线吗？
引导语：在同一坐标系中画出函数，，，和在第一象限的图象.
第一象限的图象特征及函数性质：
(1)幂函数的图像都过(1，1)点；
(2)当α>0时，图象从左往右上升，为增函数；
且α>1时图象较为陡峭，是下凸函数；
0<α<1 时图象较为平缓，是上凸函数；
当α<0时，图象从左往右下降，为减函数；
(3)y=x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近(有渐近线).
几何画板1
几何画板2
【追问2】幂函数y=xα有奇偶性吗？如果有α取何值 ？
幂函数的图像特征及性质：
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；
当α为偶数时，幂函数为偶函数.
2.简单幂函数的图象和性质
解析式
图像
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点 观察函数图像，完成下表
{x|x≠0}
[0,+∞)
R
R
R
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
在R上单增
在(-∞,0]上单减；在(0,+∞)上单增
在R上单增
在(-∞,0)上单减；在(0,+∞)上单减
在[0,+∞)上单增
(1,1)
R
R
{y|y≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
【例2】证明幂函数是增函数，呢？
证明：函数的定义域是.
，且，有
，
因为 ， ，
所以 ，即幂函数是增函数.
2.简单幂函数的图象和性质
【例2】（1）幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，则幂函数的图象经过的“卦限”是 (　　)
A．④，⑦ B．④，⑧
C．③，⑧ D．①，⑤
3. 幂函数的图象和性质的应用
D
【例2】（2）如图所示是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像，则(　　)
A. 1B.n< 1，0C. 11
D.n< 1，m>1
B
3. 幂函数的图象和性质的应用
3. 幂函数的图象和性质的应用
【例2】（3）函数的图象是（ ）
B
解之得 ：f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象
(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－13. 幂函数的图象和性质的应用
03. 幂函数的图象和性质的应用
C
3. 幂函数的图象和性质的应用
3. 幂函数的图象和性质的应用
m＝2
m＝－1
【探究】本例中将条件“增函数”改为“减函数”，求m的值．
【例5】若幂函数y＝(m2－m－1)x2m-1在x∈(0，＋∞)时为增函数，求实数m的值．
3. 幂函数的图象和性质的应用
3. 幂函数的图象和性质的应用
几何画板3
课后思考
布置作业
1.教材P91，第1，2，3题；
2.课时训练
1
课堂小结
幂函数
定义
常见幂函数
一般地，函数叫做幂函数
，，，，
图象
性质
作业布置
作业布置
作业布置
作业布置

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