资源简介

1.1　基本关系式 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3　综合应用
1.已知cos θ＝且＜θ＜2π，则sin θ＋tan θ＝（　　）
A.－　　　　　　　B.
C.－ D.
2.若α为第三象限角，则＋＝（　　）
A.3 B.－3
C.1 D.－1
3.若＝－5，则tan α＝（　　）
A.－2 B.2
C. D.－
4.若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.（多选）若＝1，则下列结论正确的为（　　）
A.tan α＝2 B.tan α＝－2
C.sin2α＝ D.sin α＝
6.（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（　　）
A.θ∈ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
7.若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α＝　　　.
8.已知向量a＝（3，4），b＝（sin α，cos α），且a∥b，则tan α＝　　　　.
9.计算：＝　　　　.
10.已知sin θ＋cos θ＝－，求：
（1）＋的值；
（2）tan θ的值.
11.若点（4，tan θ）在函数y＝log2x的图象上，则sin θcos θ＋1＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）下列计算或化简结果正确的是（　　）
A.＝2
B.若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2
C.若tan x＝，则＝1
D.若α为第一象限角，则＋＝2
13.在△ABC中，sin A＝，则A＝　　　　.
14.若cos α＝－且tan α＞0，求的值.
15.已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜，则cos α＋sin α＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
16.已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝2x.
（1）当f（sin α）＋f（cos α）＝f（）时，求sin α＋cos α的值；
（2）当g2（sin α）＝g（cos α）时，求＋tan α的值.
1.1　基本关系式 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3　综合应用
1.A　由cos θ＝且＜θ＜2π，得sin θ＝－＝－，∴tan θ＝＝－.∴sin θ＋tan θ＝－－＝－.故选A.
2.B　∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴原式＝－－＝－3.
3.D　＝＝＝－5，解得tan α＝－.
4.A　因为sin Acos A＝＞0，所以A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.
5.AC　依题意＝1，3sin α－cos α＝sin α＋3cos α，sin α＝2cos α，所以tan α＝2，将cos α＝sin α代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1，sin2α＝，sin α＝±，所以A、C选项正确，B、D选项错误.故选A、C.
6.ABD　由题知sin θ＋cos θ＝①，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－＜0.又∵θ∈（0，π），∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.∵（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，∴sin θ－cos θ＝②.联立①②，得∴tan θ＝－.故选A、B、D .
7.－　解析：α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
8.　解析：∵a＝（3，4），b＝（sin α，cos α），且a∥b，∴3cos α－4sin α＝0.∴tan α＝.
9.1　解析：
＝
＝.
∵＜4＜，∴sin 4＜cos 4＜0.
∴＝
＝＝＝1.
10.解：（1）因为sin θ＋cos θ＝－，
所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，
所以＋＝＝.
（2）由（1）得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
11.B　因为点（4，tan θ）在函数y＝log2x的图象上，所以tan θ＝log24＝2，所以sin θcos θ＋1＝＋1＝＋1＝.
12.ABD　A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D.
13.　解析：由题意知cos A＞0，即A为锐角.将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A.∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝或cos A＝－2（舍去），∴A＝.
14.解：＝
＝＝
＝
＝sin α（1＋sin α）.
∵tan α＝＞0，cos α＝－＜0，
∴sin α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝－＝－，
∴原式＝sin α（1＋sin α）＝－×＝－.
15.D　∵tan α·＝k2－3＝1，∴k＝±2，∵3π＜α＜，∴tan α＞0，则tan α＋＝k＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－，∴cos α＋sin α＝－.故选D.
16.解：（1）因为f（sin α）＋f（cos α）＝f（），
所以ln（sin α）＋ln（cos α）＝ln ，
即
所以（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α＝，
所以sin α＋cos α＝.
（2）因为g2（sin α）＝g（cos α），
所以（2sin α）2＝2cos α，即2sin α＝cos α.
又cos α≠0，故tan α＝.
因为2sin α＝cos α，且sin2α＋cos2α＝1，
解得sin2α＝，cos2α＝，
所以＋tan α＝.
1 / 2§1　同角三角函数的基本关系
1.1　基本关系式 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3　综合应用
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x 逻辑推理、数学运算
2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其他三角函数值（简称“知一求二”）及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题 逻辑推理、数学运算
　　因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点.
【问题】　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的　　　　等于1
商数关系 　　　　＝ 同一个角α的正弦、余弦的　 　等于角α的　 　
【想一想】
1.同角三角函数的基本关系式成立的条件分别是什么？
2.对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）sin2α＋cos2β＝1.（　　）
（2）对任意角α，＝tan .（　　）
（3）利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值.（　　）
（4）若sin α＝，则cos α＝.（　　）
2.已知cos α＝，α是第四象限角，则tan α＝（　　）
A.　　　　　 　　　 B.－
C. D.－
3.已知sin θ＝，cos θ＝，则m＝　　　　.
题型一 由一个三角函数值求其他三角函数值
【例1】　（1）若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
（2）若cos α＝，求tan α的值；
（3）已知α∈（π，），且tan α＝2，求sin α，cos α的值.
尝试解答
通性通法
　　已知角α的某个三角函数值，求角α的其他三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.
　　
【跟踪训练】
1.若α是第四象限角，且cos α＝，则sin α＝（　　）
A. B.－
C. D.－
2.已知tan φ＝－，且φ为三角形的内角，则cos φ的值为（　　）
A.－ B.
C.－ D.－2
题型二 关于sin α，cos α的齐次式的求值
【例2】　已知tan α＝2，则
（1）＝　　　　；
（2）＝　　　　；
（3）4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝　　　　.
尝试解答
通性通法
求关于sin α，cos α齐次式的值的基本方法
　　已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式（每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同）的值.
（1）形如的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值；
（2）形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解.
【跟踪训练】
1.已知tan α＝2，则cos2α＝（　　）
A.　　　B.　　　C.　　D.
2.若α∈R，且log4（2sin α＋cos α）＋log4（sin α＋2cos α）＝1，则tan α的值是（　　）
A. B.2
C.或2 D.不存在
题型三 利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值
【例3】　已知sin α＋cos α＝，α∈（0，π），求tan α的值.
尝试解答
通性通法
　　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号.
【跟踪训练】
　已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝（　　）
A.　　B.－　　C.　　D.－
题型四 利用同角三角函数关系化简、证明
【例4】　（1）化简：；
（2）求证：＝.
尝试解答
通性通法
1.三角函数的化简方法
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
2.证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边；
（2）证明左右两边都等于同一个式子；
（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式.
【跟踪训练】
　（1）化简tan α·，其中α是第二象限角；
（2）求证：＝.
1.若α是第四象限角，则下列各式中，成立的是（　　）
A.tan α＝－
B.cos α＝－
C.sin α＝－
D.tan α＝
2.化简的结果为（　　）
A.sin 50°－cos 50°
B.sin 50°＋cos 50°
C.cos 50°－sin 50°
D.－sin 50°－cos 50°
3.若tan α＝2，则＝（　　）
A.0　　　B.　　　C.1　　 D.
4.已知角A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
1.1　基本关系式
1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3　综合应用
【基础知识·重落实】
知识点
平方和　tan α　商　正切
想一想
1.提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立，公式tan α＝适用的条件为.
2.提示：成立.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　因为cos α＝，且α是第四象限角.所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝－.
3.0或8　解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为sin α＝－，α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－＝－.
所以tan α＝＝－×（－）＝.
（2）因为cos α＝＞0，
且cos α≠1，
所以α是第一或第四象限角.
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝.
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
（3）依题意，得
解得cos2α＝.
又α∈（π，），
所以cos α＝－，sin α＝－.
跟踪训练
1.B　因为α是第四象限角，cos α＝，所以sin α＝－＝－＝－.
2.C　由tan φ＝－＜0，且φ为三角形的内角，知φ为钝角.将sin φ＝－cos φ代入sin2φ＋cos2φ＝1中，得cos2φ＝，所以cos φ＝－.
【例2】　（1）－1　（2）　（3）1
解析：（1）注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，由题意得cos α≠0，所以可将分子分母同时除以cos α，然后整体代入tan α＝2的值.
＝＝＝－1.
（2）注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，因为cos2α≠0，所以分子分母可同时除以cos2α，则＝＝＝.
（3）似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin2α＋cos2α＝1，则有4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝，这样便使得分子分母均为二次齐次式.
同（2）有＝＝＝1.
跟踪训练
1.D　由已知易得cos2α≠0，∵cos2α＝＝，且tan α＝2，∴cos2α＝＝.
2.C　∵log4（2sin α＋cos α）＋log4（sin α＋2cos α）＝1，∴log4[（2sin α＋cos α）（sin α＋2cos α）]＝1，即（2sin α＋cos α）（sin α＋2cos α）＝4，化简得2sin2α＋5sin αcos α＋2cos2α＝4，∴＝4，＝4，即2tan2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝或tan α＝2.
【例3】　解：已知sin α＋cos α＝， ①
两边平方得1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
又α∈（0，π），故cos α＜0＜sin α，
所以sin α－cos α＞0.因此（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝，
即sin α－cos α＝. ②
由①②可得sin α＝，cos α＝，
因此tan α＝＝－（2＋）.
跟踪训练
　B　∵（cos α－sin α）2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝±.又＜α＜，sin α＞cos α，∴cos α－sin α＝－.
【例4】　解：（1）原式＝
＝
＝
＝
＝sin α＋cos α.
（2）证明：法一　左边＝
＝
＝
＝＝右边，所以原等式成立.
法二　因为－
＝
＝＝＝0，
所以＝.
法三　因为1－sin2α＝cos2α，
所以（1－sin α）（1＋sin α）＝cos2α，
由已知得cos α≠0，1－sin α≠0，
所以＝，
所以＝.
跟踪训练
　解：（1）因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α·＝tan α·
＝tan α·＝·＝·＝－1.
（2）证明：左边＝
＝＝＝＝右边.
所以原式成立.
随堂检测
1.C　由同角三角函数的基本关系式得sin α＝－（α是第四象限角）是成立的.
2.A　＝＝｜sin 50°－cos 50°｜＝sin 50°－cos 50.故选A.
3.B　易知cos α≠0，则＝＝＝.
4.B　∵sin A＋cos A＝，∴1＋2sin A·cos A＝，∴sin A cos A＝－＜0，又∵A∈（0，π），sin A＞0，∴cos A＜0，A为钝角.故选B.
5.证明：由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝（tan2α－1），
即＝，
故＝＝×，整理得＝，
即sin2β（1－sin2α）＝（1－sin2β），
展开得sin2β＝sin2α＋sin2β－，即sin2β＝2sin2α－1.
4 / 4(共64张PPT)
1.1　基本关系式
1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3　综合应用
新课程标准解读 核心素养
逻辑推理、
数学运算
2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角
的某个三角函数值求其他三角函数值（简称“知一求
二”）及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点.
【问题】　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？




知识点　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方
关系 sin 2α＋ cos
2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的 等于1
商数
关系 同一个角α的正弦、余弦的 等于角α
的
平方和　
tan α　
商　
正切　
【想一想】
1. 同角三角函数的基本关系式成立的条件分别是什么？
提示：公式 sin 2α＋ cos 2α＝1对α∈R成立，公式tan α＝ 适
用的条件为 .
2. 对任意的角α， sin 22α＋ cos 22α＝1是否成立？
提示：成立.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） sin 2α＋ cos 2β＝1. （　×　）
（2）对任意角α， ＝tan . （　×　）
（3）利用平方关系求 sin α或 cos α时，会得到正负两个值.
（　×　）
（4）若 sin α＝ ，则 cos α＝ . （　×　）
×
×
×
×
2. 已知 cos α＝ ，α是第四象限角，则tan α＝（　　）
解析：　因为 cos α＝ ，且α是第四象限角.所以 sin α＝－
＝－ ，所以tan α＝ ＝－ .
3. 已知 sin θ＝ ， cos θ＝ ，则m＝ .
解析：由 sin 2θ＋ cos 2θ＝1得，m＝0或8.
0或8　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由一个三角函数值求其他三角函数值
【例1】　（1）若 sin α＝－ ，且α是第三象限角，求 cos α，tan
α的值；
解：因为 sin α＝－ ，α是第三象限角，
所以 cos α＝－ ＝－ ＝－ .
所以tan α＝ ＝－ ×（－ ）＝ .
（2）若 cos α＝ ，求tan α的值；
解：因为 cos α＝ ＞0，
且 cos α≠1，
所以α是第一或第四象限角.
当α是第一象限角时，
sin α＝ ＝ ＝ ，
所以tan α＝ ＝ .
当α是第四象限角时，
sin α＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan α＝ ＝－ .
（3）已知α∈（π， ），且tan α＝2，求 sin α， cos α的值.
解：依题意，得
解得 cos 2α＝ .
又α∈（π， ），所以 cos α＝－ ， sin α＝－ .
通性通法
　　已知角α的某个三角函数值，求角α的其他三角函数值时，要注
意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也
要注意“1”的代换，如“1＝ sin 2α＋ cos 2α”.
【跟踪训练】
1. 若α是第四象限角，且 cos α＝ ，则 sin α＝（　　）
解析：　因为α是第四象限角， cos α＝ ，所以 sin α＝－
＝－ ＝－ .
2. 已知tan φ＝－ ，且φ为三角形的内角，则 cos φ的值为（　　）
D. －2
解析：　由tan φ＝－ ＜0，且φ为三角形的内角，知φ为钝角.
将 sin φ＝－ cos φ代入 sin 2φ＋ cos 2φ＝1中，得 cos 2φ＝ ，所以
cos φ＝－ .
题型二 关于 sin α， cos α的齐次式的求值
【例2】　已知tan α＝2，则
（1） ＝ ；
解析：注意到分式的分子和分母均是关于 sin α， cos α的一次齐次式，由题意得 cos α≠0，所以可将分子分母同时除以 cos α，然后整体代入tan α＝2的值.
＝ ＝ ＝－1.
－1　
（2） ＝ 　 　；
解析：注意到分式的分子和分母均是关于 sin α， cos α
的二次齐次式，因为 cos 2α≠0，所以分子分母可同时除以 cos
2α，则 ＝ ＝ ＝ .
　
（3）4 sin 2α－3 sin α cos α－5 cos 2α＝ .
解析：似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到 sin 2α＋
cos 2α＝1，则有4 sin 2α－3 sin α cos α－5 cos 2α＝
＝ ，这样便使得分
子分母均为二次齐次式.
同（2）有 ＝ ＝
＝1.
1　
通性通法
求关于 sin α， cos α齐次式的值的基本方法
　　已知角α的正切值，求由 sin α和 cos α构成的齐次式（每个单
项式的次数相同或分子、分母的次数相同）的值.
（1）形如 的分式，可将分子、分母同时除以 cos α；形
如 的分式，可将分子、分母同时除以
cos 2α，将正、余弦转化为正切，从而求值；
（2）形如a sin 2α＋b sin α cos α＋c cos 2α的式子，可将其看成分
母为1的分式，再将分母1变形为 sin 2α＋ cos 2α，转化为形如
的分式求解.
【跟踪训练】
1. 已知tan α＝2，则 cos 2α＝（　　）
解析：　由已知易得 cos 2α≠0，∵ cos 2α＝ ＝
，且tan α＝2，∴ cos 2α＝ ＝ .
2. 若α∈R，且log4（2 sin α＋ cos α）＋log4（ sin α＋2 cos α）＝
1，则tan α的值是（　　）
B. 2
D. 不存在
解析：　∵log4（2 sin α＋ cos α）＋log4（ sin α＋2 cos α）＝
1，∴log4[（2 sin α＋ cos α）（ sin α＋2 cos α）]＝1，即（2
sin α＋ cos α）（ sin α＋2 cos α）＝4，化简得2 sin 2α＋5 sin
α cos α＋2 cos 2α＝4，∴ ＝4，
＝4，即2tan2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝ 或
tan α＝2.
题型三 利用 sin θ± cos θ与 sin θ cos θ之间的关系求值
【例3】　已知 sin α＋ cos α＝ ，α∈（0，π），求tan α的值.
解：已知 sin α＋ cos α＝ ， ①
两边平方得1＋2 sin α cos α＝ ，
即2 sin α cos α＝－ .
又α∈（0，π），
故 cos α＜0＜ sin α，
所以 sin α－ cos α＞0.
因此（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝ ，
即 sin α－ cos α＝ . ②
由①②可得 sin α＝ ， cos α＝ ，
因此tan α＝ ＝－（2＋ ）.
通性通法
　　 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α三个式子中，已
知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系
是：（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α，利用此关系求 sin α＋
cos α或 sin α－ cos α的值时，要注意判断它们的符号.
【跟踪训练】
已知 sin α cos α＝ ，且 ＜α＜ ，则 cos α－ sin α＝（　　）
解析：　∵（ cos α－ sin α）2＝ sin 2α－2 sin α cos α＋ cos 2α
＝1－2× ＝ ，∴ cos α－ sin α＝± .又 ＜α＜ ， sin α＞ cos
α，∴ cos α－ sin α＝－ .
题型四 利用同角三角函数关系化简、证明
【例4】　（1）化简： ；
解：原式＝
＝
＝
＝ ＝ sin α＋ cos α.
（2）求证： ＝ .
解：证明：法一　左边＝
＝ ＝
＝ ＝右边，所以原等式成立.
法二　因为 －
＝
＝ ＝ ＝0，
所以 ＝ .
法三　因为1－ sin 2α＝ cos 2α，
所以（1－ sin α）（1＋ sin α）＝ cos 2α，
由已知得 cos α≠0，1－ sin α≠0，
所以 ＝ ，
所以 ＝ .
通性通法
1. 三角函数的化简方法
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数，
从而减少函数名称，达到化简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号
达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构
造 sin 2α＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
2. 证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边；
（2）证明左右两边都等于同一个式子；
（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其
等价的等式.
【跟踪训练】
　（1）化简tan α· ，其中α是第二象限角；
解：因为α是第二象限角，
所以 sin α＞0， cos α＜0.
故tan α· ＝tan α·
＝tan α· ＝ · ＝ · ＝－1.
（2）求证： ＝ .
解：证明：左边＝
＝ ＝
＝ ＝右边.
所以原式成立.
1. 若α是第四象限角，则下列各式中，成立的是（　　）
解析：　由同角三角函数的基本关系式得 sin α＝－
（α是第四象限角）是成立的.
2. 化简 的结果为（　　）
A. sin 50°－ cos 50° B. sin 50°＋ cos 50°
C. cos 50°－ sin 50° D. － sin 50°－ cos 50°
解析：　 ＝
＝｜ sin 50°－ cos 50°｜＝ sin 50°－ cos 50.故选A.
3. 若tan α＝2，则 ＝（　　）
A. 0
C. 1
解析：　易知 cos α≠0，则 ＝ ＝ ＝ .
4. 已知角A是三角形的一个内角， sin A＋ cos A＝ ，则这个三角形
是（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　∵ sin A＋ cos A＝ ，∴1＋2 sin A cos A＝ ，∴ sin A cos
A＝－ ＜0，又∵A∈（0，π）， sin A＞0，∴ cos A＜0，A为钝
角.故选B.
5. 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证： sin 2β＝2 sin 2α－1.
证明：由tan2α＝2tan2β＋1，
可得tan2β＝ （tan2α－1），
即 ＝ ，
故 ＝ ＝ × ，
整理得 ＝ ，
即 sin 2β（1－ sin 2α）＝（1－ sin 2β） ，
展开得 sin 2β＝ sin 2α＋ sin 2β－ ，即 sin 2β＝2 sin 2α－1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 cos θ＝ 且 ＜θ＜2π，则 sin θ＋tan θ＝（　　）
解析：　由 cos θ＝ 且 ＜θ＜2π，得 sin θ＝－
＝－ ，∴tan θ＝ ＝－ .∴ sin θ＋tan θ＝－ － ＝－ .
故选A.
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2. 若α为第三象限角，则 ＋ ＝（　　）
A. 3 B. －3 C. 1 D. －1
解析：　∵α为第三象限角，∴ cos α＜0， sin α＜0，∴原式
＝－ － ＝－3.
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3. 若 ＝－5，则tan α＝（　　）
A. －2 B. 2
解析： ＝ ＝ ＝－5，解得tan α＝－ .
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4. 若△ABC的内角A满足 sin A cos A＝ ，则 sin A＋ cos A＝（　　）
解析：　因为 sin A cos A＝ ＞0，所以A为锐角，所以 sin A＋
cos A＝ ＝ ＝ .
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5. （多选）若 ＝1，则下列结论正确的为（　　）
A. tan α＝2 B. tan α＝－2
解析：　依题意 ＝1，3 sin α－ cos α＝ sin α＋3
cos α， sin α＝2 cos α，所以tan α＝2，将 cos α＝ sin α代入
sin 2α＋ cos 2α＝1得 sin 2α＝1， sin 2α＝ ， sin α＝± ，
所以A、C选项正确，B、D选项错误.故选A、C.
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6. （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos θ＝ ，则下列结论正
确的是（　　）
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解析：　由题知 sin θ＋ cos θ＝ ①，∴（ sin θ＋ cos θ）
2＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ＜0.又∵θ∈
（0，π），∴ ＜θ＜π， sin θ－ cos θ＞0.∵（ sin θ－ cos
θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝1－ ＝ ，∴ sin θ－ cos θ＝
②.联立①②，得∴tan θ＝－ .故选A、B、D .
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7. 若 sin α＝ ，且α是第二象限角，则tan α＝ .
解析：α为第二象限角， sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－ .
－ 　
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8. 已知向量a＝（3，4），b＝（ sin α， cos α），且a∥b，则tan
α＝ .
解析：∵a＝（3，4），b＝（ sin α， cos α），且a∥b，∴3
cos α－4 sin α＝0.∴tan α＝ .
　
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9. 计算： ＝ .
解析： ＝
＝ .∵ ＜4＜ ，∴ sin 4＜ cos 4＜0.
∴ ＝
＝ ＝ ＝1.
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10. 已知 sin θ＋ cos θ＝－ ，求：
（1） ＋ 的值；
解：因为 sin θ＋ cos θ＝－ ，
所以（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，
即 sin θ cos θ＝－ ，
所以 ＋ ＝ ＝ .
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（2）tan θ的值.
解：由（1）得 ＝－ ，
所以 ＝－ ，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－ .
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11. 若点（4，tan θ）在函数y＝log2x的图象上，则 sin θ cos θ＋1
＝（　　）
解析：　因为点（4，tan θ）在函数y＝log2x的图象上，所以
tan θ＝log24＝2，所以 sin θ cos θ＋1＝ ＋1＝
＋1＝ .
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12. （多选）下列计算或化简结果正确的是（　　）
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解析：　A正确， ＝ · ＝2；B正确，tan θ
＋ ＝ ＋ ＝ ＝2；C不正确， ＝
＝ ＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝ ＋ ＝2.
故选A、B、D.
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13. 在△ABC中， sin A＝ ，则A＝ 　 　.
解析：由题意知 cos A＞0，即A为锐角.将 sin A＝ 两边
平方得2 sin 2A＝3 cos A. ∴2 cos 2A＋3 cos A－2＝0，解得 cos A
＝ 或 cos A＝－2（舍去），∴A＝ .
　
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14. 若 cos α＝－ 且tan α＞0，求 的值.
解： ＝
＝ ＝
＝ ＝ sin α（1＋ sin α）.
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∵tan α＝ ＞0， cos α＝－ ＜0，
∴ sin α＜0.又 sin 2α＋ cos 2α＝1，
∴ sin α＝－ ＝－ ，
∴原式＝ sin α（1＋ sin α）＝－ × ＝－ .
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15. 已知tan α， 是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，
且3π＜α＜ ，则 cos α＋ sin α＝（　　）
解析：　∵tan α· ＝k2－3＝1，∴k＝±2，∵3π＜α＜
，∴tan α＞0，则tan α＋ ＝k＝2，得tan α＝1，则 sin α
＝ cos α＝－ ，∴ cos α＋ sin α＝－ .故选D.
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16. 已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝2x.
（1）当f（ sin α）＋f（ cos α）＝f（ ）时，求 sin α＋ cos
α的值；
解：因为f（ sin α）＋f（ cos α）＝f（ ），
所以ln（ sin α）＋ln（ cos α）＝ln ，
即所以（ sin α＋ cos α）2＝1＋2 sin α
cos α＝ ，所以 sin α＋ cos α＝ .
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（2）当g2（ sin α）＝g（ cos α）时，求 ＋tan α的值.
解：因为g2（ sin α）＝g（ cos α），
所以（2 sin α）2＝2 cos α，即2 sin α＝ cos α.
又 cos α≠0，故tan α＝ .
因为2 sin α＝ cos α，且 sin 2α＋ cos 2α＝1，
解得 sin 2α＝ ， cos 2α＝ ，
所以 ＋tan α＝ .
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