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2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
1.sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝（　　）
A.　　　 B.　　　C.　　　　D.
2.已知角θ的终边经过点P（，－），则cos＝（　　）
A. B.
C. D.
3.如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则·＝（　　）
A.sin（α－β） B.sin（α＋β）
C.cos（α－β） D.cos（α＋β）
4.cos 15°＋sin 15°＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.（多选）下列各式化简正确的是（　　）
A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B.cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D.cos＝cos α＋sin α
6.（多选）已知sin α＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则下列结论正确的有（　　）
A.cos（α－β）＝－ B.cos（α－β）＝
C.cos α＝ D.β＝
7.已知α，β均为锐角，若cos αcos β＝＋sin αsin β，则α＋β＝　　　　.
8.化简＝　　　　.
9.在△ABC中，cos A＝，且cos B＝，则cos C＝　　　　.
10.已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值.
11.已知点A（cos 80°，sin 80°），B（cos 20°，sin 20°），则｜｜＝（　　）
A. B.
C. D.1
12.若α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α－β）＝，则cos β＝（　　）
A. B.
C.或－ D.或
13.若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos（α－β）＝　　　　.
14.已知cos（α－β）＝－，cos（α＋β）＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值.
15.（多选）已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是（　　）
A.cos（β－α）＝ B.cos（β－α）＝－
C.β－α＝ D.β－α＝－
16.已知函数f（x）＝2cos（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈［0，］，f（ 5α＋）＝－，f（ 5β－）＝，求cos（α－β）的值.
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
1.C　sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos（70°－10°）＝cos 60°＝.故选C.
2.D　∵角θ的终边经过点P（，－），则点P到原点的距离为＝3，∴cos θ＝，sin θ＝－，∴cos＝cos θ－sin θ＝.故选D.
3.C　根据题意角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则A（cos α，sin α），B（cos β，sin β），则·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）.故选C.
4.A　原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos（60°－15°）＝cos 45°＝.故选A.
5.ABC　根据两角差的余弦公式可知A、B、C都是正确的；而对于D，cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D是错误的.
6.BCD　因为α，β均为锐角，所以－＜α－β＜.又sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝.故A错误，B正确；又sin α＝，所以cos α＝，所以C正确；cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝，所以β＝.故D正确.
7.　解析：由已知cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.
8.　解析：原式＝＝＝.
9.　解析：因为在△ABC中，cos A＝，可知A为锐角，所以sin A＝＝.因为cos B＝，可知B也为锐角，所以sin B＝＝.所以cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝sin Asin B－cos Acos B＝×－×＝.
10.解：因为α，β均为锐角，所以cos α＝，cos β＝.
因此cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又因为sin α＞sin β，所以0＜β＜α＜，因此0＜α－β＜.故α－β＝.
11.D　｜｜＝
＝
＝＝＝1.
12.A　因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α－β）＝，所以sin α＝，cos（α－β）＝，从而cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝，故选A.
13.　解析：由已知得cos α－cos β＝， ①
sin α－sin β＝－. ②
①2＋②2得（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2＝＋，即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，所以cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，所以cos（α－β）＝.
14.解：由α－β∈，且cos（α－β）＝－，得sin（α－β）＝.
由α＋β∈，且cos（α＋β）＝，
得sin（α＋β）＝－.
∴cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）·sin（α－β）
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，α－β∈，
∴2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
15.AC　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方并相加，得（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝1.∴－2cos（β－α）＝－1，∴cos（β－α）＝，∴A正确，B错误.∵sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选A、C.
16.解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝.
（2）由（1）知f（x）＝2cos（x＋），因为f（5α＋）＝－，
所以2cos
＝2cos＝－，所以sin α＝.
又因为f＝，
所以2cos
＝2cos β＝，所以cos β＝.
因为α，β∈，
所以cos α＝，sin β＝，
所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
2 / 22.1　两角和与差的余弦公式及其应用
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能够运用两角和与差的余弦公式解决、化简求值问题 数学运算
　　很多同学认为两角差的余弦cos（α－β）＝cos α－cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos（60°－30°）与cos 60°－cos 30°的值作比较，cos（60°－30°）＝cos 30°＝，cos 60°－cos 30°＝－，显然，cos（60°－30°）≠cos 60°－cos 30°，由此可得cos（α－β）＝cos α－cos β不一定成立.
【问题】　如何用α，β的正、余弦值表示cos（α－β）呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 Cα－β cos（α－β）＝　　　 α，β∈R
两角和的余弦公式 Cα＋β cos（α＋β）＝　　　 α，β∈R
提醒　（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos（α－β），cos（α＋β）是一个整体；（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式.【想一想】
1.如何由公式Cα－β推导公式Cα＋β？
2.诱导公式cos＝sin α与公式Cα－β有何关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的.（　　）
（2）cos（60°＋30°）＝cos 60°＋cos 30°.（　　）
（3） α，β∈R，cos（α＋β）＝cos α－cos β成立.（　　）
2.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝（　　）
A.　　　B.－　　　C.0　　　D.1
3.已知cos α＝－，α∈（0，π），则cos＝　　　　.
题型一 两角差（和）的余弦公式的简单应用
【例1】　求下列各式的值：
（1）cos（－375°）；
（2）cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
（3）cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α.
尝试解答
通性通法
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
　 求下列各式的值：
（1）cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）·sin（θ－24°）；
（2）cos.
题型二 给值求值
【例2】　（1）已知cos α－2cos β＝－，sin α－2sin β＝，求cos（α－β）的值；
（2）已知α，β∈，且sin α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值.
尝试解答
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
　已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos 2α的值.
题型三 给值求角
【例3】　已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
尝试解答
通性通法
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）确定角的范围.根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
提醒　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
【跟踪训练】
　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值.
1.cos 50°＝（　　）
A.cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20°
B.cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20°
C.cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°
D.cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20°
2.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）·sin（25°＋α）的值为（　　）
A.－　　B.　　C.－　　D.
3.已知点P（1，2）是角α终边上一点，则cos（－α）＝（　　）
A. B.
C.－ D.
4.若α∈，sin α＝－，则cos＝　　　　.
5.若a＝（cos 60°，sin 60°），b＝（cos 15°，sin 15°），则a·b＝　　　　.
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
【基础知识·重落实】
知识点
cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β
想一想
1.提示：在公式Cα－β中令－β代替β即可.
2.提示：诱导公式cos＝sin α是公式Cα－β中，β＝的特殊情况.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）√
2.C　逆用两角和的余弦公式可得cos 75°·cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°）＝cos 90°＝0.
3.　解析：因为α∈（0，π），且cos α＝－，所以sin α＝＝，所以cos＝coscos α＋sin sin α＝×＋×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）cos（－375°）＝cos 375°＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
（2）cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos（75°－15°）＝cos 60°＝.
（3）cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α
＝cos[（α＋45°）－α]＝cos 45°＝.
跟踪训练
　解：（1）原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）]＝cos 45°＝.
（2）cos＝cos＝cos ＝cos＝cos cos －sin sin ＝×－×＝.
【例2】　解：（1）由
得
两式相加，得5－4cos（α－β）＝，
所以cos（α－β）＝.
（2）因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，
由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos[（α＋β）－α]
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α
＝×＋×＝.
跟踪训练
　解：因为cos（α＋β）＝，＜α＋β＜2π，
所以sin（α＋β）＝－＝－.
因为cos（α－β）＝－，＜α－β＜π，
所以sin（α－β）＝＝.
所以cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）
＝×－×＝－.
【例3】　解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又∵cos（α－β）＝，
∴sin（α－β）＝＝＝.
∵β＝α－（α－β），
∴cos β＝cos[α－（α－β）]
＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）
＝×＋×＝.
∵0＜β＜，∴β＝.
跟踪训练
　解：∵α，β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝.
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又sin α＜sin β，
∴0＜α＜β＜，
∴－＜α－β＜0.
故α－β＝－.
随堂检测
1.C　cos 50°＝cos（70°－20°）＝cos 70°·cos 20°＋sin 70°sin 20°.
2.B　原式＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos 60°＝.
3.A　由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos（－α）＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.故选A.
4.　解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，于是cos＝cos ·cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
5.　解析：a·b＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos（60°－15°）＝cos 45°＝.
3 / 3(共57张PPT)
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦
公式的意义 数学抽象、
逻辑推理
2.能够运用两角和与差的余弦公式解决、化简求值问
题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
很多同学认为两角差的余弦 cos （α－β）＝ cos α－ cos β，
那么这个结论正确吗？让我们做一个试验： cos （60°－30°）与
cos 60°－ cos 30°的值作比较， cos （60°－30°）＝ cos 30°＝
， cos 60°－ cos 30°＝ － ，显然，
cos （60°－30°）≠ cos 60°－ cos 30°，
由此可得 cos （α－β）＝ cos α－ cos β
不一定成立.
【问题】　如何用α，β的正、余弦值表示 cos （α－β）呢？




知识点　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 Cα－β cos （α－β）＝
α，β∈R
两角和的余弦公式 Cα＋β cos （α＋β）＝
α，β∈R
cos
α· cos β＋ sin α sin β　
cos
α· cos β－ sin α sin β　
提醒　（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数
表示复角的三角函数， cos （α－β）， cos （α＋β）是一个整
体；（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接
符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记
忆公式.
【想一想】
1. 如何由公式Cα－β推导公式Cα＋β？
提示：在公式Cα－β中令－β代替β即可.
2. 诱导公式 cos ＝ sin α与公式Cα－β有何关系？
提示：诱导公式 cos ＝ sin α是公式Cα－β中，β＝ 的特
殊情况.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的. （　√　）
（2） cos （60°＋30°）＝ cos 60°＋ cos 30°. （　×　）
（3） α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α－ cos β成立.
（　√　）
√
×
√
2. cos 75° cos 15°－ sin 75° sin 15°＝（　　）
C. 0 D. 1
解析：逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°· cos 15°－ sin
75° sin 15°＝ cos （75°＋15°）＝ cos 90°＝0.
3. 已知 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 cos ＝ 　 　.
解析：因为α∈（0，π），且 cos α＝－ ，
所以 sin α＝ ＝ ，
所以 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝
.
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两角差（和）的余弦公式的简单应用
【例1】　求下列各式的值：
（1） cos （－375°）；
解： cos （－375°）＝ cos 375°＝ cos 15°
＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°
＝ × ＋ × ＝ .
（2） cos 75° cos 15°－ sin 75° sin 195°；
解： cos 75° cos 15°－ sin 75° sin 195°
＝ cos 75° cos 15°＋ sin 75° sin 15°
＝ cos （75°－15°）＝ cos 60°＝ .
（3） cos （α＋45°） cos α＋ sin （α＋45°） sin α.
解： cos （α＋45°） cos α＋ sin （α＋45°） sin α
＝ cos [（α＋45°）－α]＝ cos 45°＝ .
通性通法
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦公式
的右边形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
　 求下列各式的值：
（1） cos （θ＋21°） cos （θ－24°）＋ sin （θ＋21°）· sin
（θ－24°）；
解：原式＝ cos [θ＋21°－（θ－24°）]＝ cos 45° .
（2） cos .
解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos
＝ cos cos － sin sin ＝ × － × ＝ .
题型二 给值求值
【例2】　（1）已知 cos α－2 cos β＝－ ， sin α－2 sin β＝ ，
求 cos （α－β）的值；
解：由
得
两式相加，得5－4 cos （α－β）＝ ，
所以 cos （α－β）＝ .
（2）已知α，β∈ ，且 sin α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，
求 cos β的值.
解：因为α，β∈ ，所以0＜α＋β＜π，
由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ，
又 sin α＝ ，所以 cos α＝ ，
所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]
＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α
＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注
意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵
活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－
β）＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－
β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ， ＜α＋β＜
2π， ＜α－β＜π，求 cos 2α的值.
解：因为 cos （α＋β）＝ ， ＜α＋β＜2π，
所以 sin （α＋β）＝－ ＝－ .
因为 cos （α－β）＝－ ， ＜α－β＜π，
所以 sin （α－β）＝ ＝ .
所以 cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－β）]
＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α－β）
＝ × － × ＝－ .
题型三 给值求角
【例3】　已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，
求β的值.
解：由 cos α＝ ，0＜α＜ ，得 sin α＝ ＝
＝ .
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又∵ cos （α－β）＝ ，∴ sin （α－β）＝
＝ ＝ .
∵β＝α－（α－β），∴ cos β＝ cos [α－（α－β）]
＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）
＝ × ＋ × ＝ .
∵0＜β＜ ，∴β＝ .
通性通法
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）确定角的范围.根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调
的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
提醒　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误
答案.
【跟踪训练】
已知α，β均为锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，求α－
β的值.
解：∵α，β均为锐角，∴ sin α＝ ， sin β＝ .
∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β
＝ × ＋ × ＝ .
又 sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ，
∴－ ＜α－β＜0.故α－β＝－ .
1. cos 50°＝（　　）
A. cos 70° cos 20°－ sin 70° sin 20°
B. cos 70° sin 20°－ sin 70° cos 20°
C. cos 70° cos 20°＋ sin 70° sin 20°
D. cos 70° sin 20°＋ sin 70° cos 20°
解析：　 cos 50°＝ cos （70°－20°）＝ cos 70°· cos 20°＋
sin 70° sin 20°.
2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°）· sin
（25°＋α）的值为（　　）
解析：原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos 60°＝ .
3. 已知点P（1，2 ）是角α终边上一点，则 cos （ －α）＝
（　　）
解析：　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，则 cos （ －α）
＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .故选A.
4. 若α∈ ， sin α＝－ ，则 cos ＝ 　 　.
解析：因为α∈ ， sin α＝－ ，所以 cos α＝ ，于是
cos ＝ cos · cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .
　
5. 若a＝（ cos 60°， sin 60°），b＝（ cos 15°， sin 15°），则
a·b＝ .
解析：a·b＝ cos 60° · cos 15°＋ sin 60°· sin 15°＝ cos （60°
－15°）＝ cos 45°＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin 20° cos 10°＋ sin 10° sin 70°＝（　　）
解析：　 sin 20° cos 10°＋ sin 10° sin 70°＝ cos 70° cos
10°＋ sin 70° sin 10°＝ cos （70°－10°）＝ cos 60°＝ .故
选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
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2. 已知角θ的终边经过点P（ ，－ ），则 cos ＝（　　）
解析：　∵角θ的终边经过点P（ ，－ ），则点P到原点
的距离为 ＝3，∴ cos θ＝ ， sin θ＝－
，∴ cos ＝ cos θ－ sin θ＝ .故选D.
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3. 如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，
B，则 · ＝（　　）
A. sin （α－β） B. sin （α＋β）
C. cos （α－β） D. cos （α＋β）
解析：　根据题意角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别
交于点A，B，则A（ cos α， sin α），B（ cos β， sin β），
则 · ＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ cos （α－β）.故选C.
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4. cos 15°＋ sin 15°＝（　　）
解析：　原式＝ cos 60° cos 15°＋ sin 60° sin 15°＝ cos
（60°－15°）＝ cos 45°＝ .故选A.
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5. （多选）下列各式化简正确的是（　　）
A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60°
B. cos 15°＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°
C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45°
解析：　根据两角差的余弦公式可知A、B、C都是正确的；而对于D， cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α，故D是错误的.
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6. （多选）已知 sin α＝ ， sin （α－β）＝－ ，α，β均为
锐角，则下列结论正确的有（　　）
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解析：　因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ .又 sin
（α－β）＝－ ，所以 cos （α－β）＝ .故A错误，B正
确；又 sin α＝ ，所以 cos α＝ ，所以C正确； cos β＝ cos
[α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）
＝ × ＋ × ＝ ，所以β＝ .故D正确.
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7. 已知α，β均为锐角，若 cos α cos β＝ ＋ sin α sin β，则α＋
β＝ .
解析：由已知 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ，
又α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝ .
　
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8. 化简 ＝ .
解析：原式＝
＝ ＝ .
　
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9. 在△ABC中， cos A＝ ，且 cos B＝ ，则 cos C＝ .
解析：因为在△ABC中， cos A＝ ，可知A为锐角，所以 sin A＝
＝ .因为 cos B＝ ，可知B也为锐角，所以 sin B＝
＝ .所以 cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A
＋B）＝ sin A sin B－ cos A cos B＝ × － × ＝ .
　
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10. 已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，求α－
β的值.
解：因为α，β均为锐角，所以 cos α＝ ， cos β＝ .
因此 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋
× ＝ .又因为 sin α＞ sin β，所以0＜β＜α＜ ，因此
0＜α－β＜ .故α－β＝ .
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11. 已知点A（ cos 80°， sin 80°），B（ cos 20°， sin 20°），
则｜ ｜＝（　　）
D. 1
解析：　｜ ｜＝
＝
＝ ＝ ＝1.
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12. 若α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，则
cos β＝（　　）
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解析：　因为α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α－β）
＝ ，所以 sin α＝ ， cos （α－β）＝ ，从而 cos β＝
cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α
－β）＝ × ＋ × ＝ ，故选A.
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13. 若 cos α－ cos β＝ ， sin α－ sin β＝－ ，则 cos （α－β）
＝ .
解析：由已知得 cos α－ cos β＝ ， ①
sin α－ sin β＝－ . ②
①2＋②2得（ cos α－ cos β）2＋（ sin α－ sin β）2＝ ＋ ，
即2－2 cos α cos β－2 sin α sin β＝ ，所以 cos α cos β＋
sin α sin β＝ × ＝ ，所以 cos （α－β）＝ .
　
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14. 已知 cos （α－β）＝－ ， cos （α＋β）＝ ，且α－
β∈ ，α＋β∈ ，求角β的值.
解：由α－β∈ ，且 cos （α－β）＝－ ，
得 sin （α－β）＝ .
由α＋β∈ ，且 cos （α＋β）＝ ，
得 sin （α＋β）＝－ .
∴ cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]
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＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β）· sin （α
－β）
＝ × ＋ × ＝－1.
又∵α＋β∈ ，α－β∈ ，
∴2β∈ .∴2β＝π，则β＝ .
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15. （多选）已知α，β，γ∈ ， sin α＋ sin γ＝ sin β，
cos β＋ cos γ＝ cos α，则下列说法正确的是（　　）
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解析：　由已知，得 sin γ＝ sin β－ sin α， cos γ＝ cos α
－ cos β.两式分别平方并相加，得（ sin β－ sin α）2＋（ cos
α－ cos β）2＝1.∴－2 cos （β－α）＝－1，∴ cos （β－
α）＝ ，∴A正确，B错误.∵ sin γ＝ sin β－ sin α＞0，∴β
＞α，∴β－α＝ ，∴C正确，D错误，故选A、C.
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16. 已知函数f（x）＝2 cos （其中ω＞0，x∈R）的最小正
周期为10π.
（1）求ω的值；
解：因为函数f（x）的最小正周期为10π，所以10π＝
，所以ω＝ .
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解：由（1）知f（x）＝2 cos （ x＋ ），
因为f（5α＋ ）＝－ ，
所以2 cos
＝2 cos ＝－ ，所以 sin α＝ .
（2）设α，β∈［0， ］，f（ 5α＋ ）＝－ ，f（ 5β－
）＝ ，求 cos （α－β）的值.
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又因为f ＝ ，
所以2 cos
＝2 cos β＝ ，所以 cos β＝ .
因为α，β∈ ，所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β
＝ × ＋ × ＝ .
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