资源简介

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（　　）
A.－　　　　　　　　 B.
C.－ D.
2.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C ，那么这个三角形一定是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
3.我国唐朝天文学家一行应用“九服晷影算法”在 《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上最早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h·tan θ，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan（α－β）＝，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，则第二次的“晷影长”是“表高”的（　　）
A.1倍 B.倍
C.倍 D.倍
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），则（　　）
A.tan α＋tan β＝16
B.tan αtan β＝2
C.tan（α＋β）＝16
D.＝－8
6.（多选）下列四个选项中，化简正确的是（　　）
A.cos（－15°）＝
B.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝cos[（α－35°）－（25°＋α）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝
C.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
D.[2sin 50°＋sin 10°（1＋tan 10°）]·＝
7.化简：sin＋cos＝　　　　.
8.化简：＝　　　　.
9.已知tan（α＋β）＝，tan α＝－2，则tan β＝　　　　.
10.已知cos α＝，sin（α＋β）＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值.
11.如果tan（α＋β）＝，tan（ β－）＝，那么＝（　　）
A. B.
C. D.
12.已知函数f（x）＝xsin 126°sin（x－36°）＋xcos 54°·cos（x－36°），则函数f（x）是（　　）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
13.若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝　　　　.
14.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求tan α·tan β的值.
15.定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝　　　　.
16.设α∈R，函数f（x）＝sin 2xcos α＋cos 2xsin α－cos（2x＋α）＋cos α，x∈R.
（1）若α∈［，］，求f（x）在区间［0，］上的最大值；
（2）若f（x）＝3，求α与x的值.
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1.D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.故选D.
2.D　sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，由sin A＝2sin Bcos C，得cos Bsin C＝sin Bcos C，所以cos Bsin C－sin Bcos C＝0，即sin（C－B）＝0，因为B，C为三角形内角，所以C＝B，故为等腰三角形.
3.A　由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，得tan α＝3，由tan（α－β）＝，得＝，∴＝，∴6－2tan β＝1＋3tan β，解得tan β＝1，故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
4.B　由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cos·sin∠BEC＝×－×＝.
5.BCD　由题意得，故A错误，B正确；由于tan（α＋β）＝＝16，故C正确；
又＝＝＝＝－8，故D正确.故选B、C、D.
6.BCD　对于A，原式＝cos（30°－45°）＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误；对于B，原式＝cos[（α－35°）－（25°＋α）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝，B正确；对于C，原式＝sin 14°·cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin（14°＋16°）＝sin 30°＝，C正确；对于D，原式＝·sin 80°＝（2sin 50°＋2sin 10°·）·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos（60°－10°）]＝2sin（50°＋10°）＝2×＝，D正确.
7.cos α　解析：原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α.
8.－1　解析：原式＝
＝＝－1.
9.7　解析：∵β＝（α＋β）－α，∴tan β＝＝7.
10.解：因为0＜α＜，cos α＝，所以sin α＝，
又因为0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，
因为sin（α＋β）＝＜sin α，
所以cos（α＋β）＝－，
所以sin β＝sin [（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－＝，
又因为0＜β＜，所以β＝.
11.B　＝tan（ ＋α）＝tan［（α＋β）－（ β－）］＝＝＝.故选B.
12.B　因为函数的定义域为R，且f（x）＝xsin 126°sin（x－36°）＋xcos 54°cos（x－36°）＝xsin 54°sin（x－36°）＋xcos 54°·cos（x－36°）＝x[sin 54°sin（x－36°）＋cos 54°cos（x－36°）]＝xcos[54°－（x－36°）]＝xcos（90°－x）＝xsin x，所以任取x∈R，f（－x）＝（－x）sin（－x）＝xsin x＝f（x），故函数f（x）为偶函数.
13.　解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2－＝2sin＝2sin＝2sin ＝.
14.解：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝， ①
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝， ②
由①②得
则tan αtan β＝＝＝－.
15.　解析：依题设得，＝sin α·cos β－cos α·sin β＝sin（α－β）＝.因为0＜β＜α＜，所以cos（α－β）＝.又因为cos α＝，所以sin α＝，所以sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin α·cos（α－β）－cos α·sin（α－β）＝×－×＝，所以β＝.
16.解：（1）f（x）＝sin（2x＋α）－cos（2x＋α）＋cos α＝2sin（2x＋α－）＋cos α.
因为x∈［0，］，所以2x∈［0，］，2x＋α－∈［α－，α＋］.又α∈［，］，所以∈［α－，α＋］.
因此f（x）的最大值为2＋cos α.
（2）若f（x）＝2sin（2x＋α－）＋cos α＝3，则cos α＝1且sin（2x＋α－）＝1，所以α＝2mπ，m∈Z，从而2x－＝2nπ＋，n∈Z，即x＝nπ＋，n∈Z.
2 / 22.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
新课程标准解读 核心素养
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决三角函数的化简、求值问题 逻辑推理、数学运算
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】　你能用类比的方法推导出sin（α±β）吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的正弦、正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正弦 sin（α＋β）＝　　　　 Sα＋β α，β∈R
两角差的正弦 sin（α－β）＝　　　 Sα－β
两角和的正切 tan（α＋β）＝ Tα＋β α，β，α＋β≠　　　　
两角差的正切 tan（α－β）＝　　　 Tα－β α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）
提醒　两角和与差的正切公式的变形与特例
①变形公式：tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
tan αtan β＝1－.
②公式的特例：tan＝；
tan＝.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.（　　）
（2）存在α，β∈R，使得sin（α－β）＝sin α－sin β成立.（　　）
（3）sin（α－β）＝sin βcos α－sin αcos β.（　　）
（4）tan能根据公式tan（α＋β）直接展开.（　　）
（5）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.（　　）
2.＝（　　）
A.　　　　　　　 B.－
C. D.－
3.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝　　　　.
题型一 给角化简求值
【例1】　化简下列各式：
（1）；
（2）tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°；
（3）（tan 10°－）·.
尝试解答
通性通法
解决给角化简求值问题的策略
（1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦；
（2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin（60°－45°）；二是逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin（13°＋17°）＝sin 30°；三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β.
【跟踪训练】
化简下列各式：
（1）tan 10°·tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）；
（2）sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β].
题型二 给值求值
【例2】　已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝.
（1）求sin（α＋β）的值；
（2）求tan α的值.
尝试解答
通性通法
给值求值的解题策略
　　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
【跟踪训练】
　　
1.若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　）
A. B.－
C.1　 D.－1
2.已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos β＝，则sin（α＋β）＝　　　　　　.
题型三 给值求角
【例3】　已知tan（α－β）＝，tan β＝－，α，β∈（0，π），求2α－β的值.
尝试解答
通性通法
　　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定.一般地，若θ∈（0，π），则通常求cos θ或tan θ；若θ∈，则通常求sin θ或tan θ，否则容易导致增解.
【跟踪训练】
已知sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值.
1.sin 35°cos 5°－cos 35°sin 5°＝（　　）
A.　　　B.1　　　C.2　　　D.2sin 40°
2.＝（　　）
A.－1 B.1
C.－ D.－
3.函数f（x）＝sin＋cos的最大值是（　　）
A. B.1 C. D.2
4.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝　　　　.
5.求的值.
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
【基础知识·重落实】
知识点
sin αcos β＋cos αsin β　　kπ＋（k∈Z）　
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）×　（5）√　
2.C　原式＝＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝.
3.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝
＝
＝＝.
（2）因为＝tan（12°＋33°）＝tan 45°＝1，
所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
（3）原式＝（tan 10°－tan 60°）·
＝·
＝·
＝－·
＝－＝－2.
跟踪训练
　解：（1）原式＝tan 10°·tan 20°＋[tan（10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
（2）原式＝sin（α＋β）cos α－[sin（α＋α＋β）－sin（α＋β－α）]＝sin（α＋β）cos α－[sin αcos（α＋β）＋cos αsin（α＋β）－sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α]
＝sin（α＋β）cos α－×2sin αcos（α＋β）
＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α
＝sin（α＋β－α）＝sin β.
【例2】　解：（1）因为＜α＜，
所以＜＋α＜π，所以sin＝＝.
因为0＜β＜，
所以＜＋β＜π，
所以cos＝－＝－.
所以sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β）
＝－sin
＝－［sincos＋
cossin（＋β）］
＝－
＝.
（2）由（1）可得tan
＝＝－，
于是tan α＝tan
＝
＝＝7.
跟踪训练
1.A　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.
2.0　解析：因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝.因为β是第四象限角，cos β＝，所以sin β＝－.所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝0.
【例3】　解：∵tan β＝－，tan（α－β）＝，
∴tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.
tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝＝＝1.
∵tan α＝＞0，tan β＝－＜0，
∴α∈，β∈，
∴α－β∈（－π，0）.
又∵tan（α－β）＝＞0，
∴α－β∈，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）.
又tan（2α－β）＝1，∴2α－β＝－π.
跟踪训练
　解：因为α∈，β∈，且sin α＝－，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝－×＋×＝.又因为α∈，β∈，所以α＋β∈，故α＋β＝.
随堂检测
1.A　sin 35°cos 5°－cos 35°sin 5°＝sin（35°－5°）＝sin 30°＝.
2.A　＝＝tan（－45°）＝－1.
3.C　f（x）＝sin x·cos －cos x·sin ＋cos x·cos ＋sin x·sin ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，∵－1≤sin x≤1，∴函数f（x）的最大值是.故选C.
4.　解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，∴tan（A＋B）＝＝＝1.∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.
5.解：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°（1－tan 18°tan 42°）＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
2 / 3(共61张PPT)
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
新课程标准解读 核心素养
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正
弦、正切公式 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决三角函
数的化简、求值问题 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的
思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这
一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就
会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】　你能用类比的方法推导出 sin （α±β）吗？




知识点　两角和与差的正弦、正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的
正弦 sin （α＋β）＝
Sα＋β α，β∈R
两角差的
正弦 sin （α－β）
＝ Sα－β sin α
cos β＋ cos α sin β　
　
名称 公式 简记符号 条件
两角和的
正切 Tα＋β α，β，α＋
β≠

两角差 的正切 tan（α－β）
＝ Tα－β
kπ＋
（k∈Z）　
　
提醒　两角和与差的正切公式的变形与特例
①变形公式：tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
tan αtan β＝1－ .
②公式的特例：tan ＝ ；
tan ＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.
（　√　）
（2）存在α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立.
（　√　）
（3） sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β. （　×　）
√
√
×
（4）tan 能根据公式tan（α＋β）直接展开. （　×　）
（5）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.
（　√　）
×
√
2. ＝（　　）
解析：　原式＝ ＝tan（45°＋15°）＝tan 60°
＝ .
3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，则 sin C＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角化简求值
【例1】　化简下列各式：
（1） ；
解：原式＝
＝
＝
＝ .
（2）tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°；
解：因为 ＝tan（12°＋33°）＝tan 45°＝1，
所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
（3）（tan 10°－ ）· .
解：原式＝（tan 10°－tan 60°）·
＝ ·
＝ ·
＝－ · ＝－ ＝－2.
通性通法
解决给角化简求值问题的策略
（1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充
分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待
求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切
化弦；
（2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几
种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如 sin 15°
＝ sin （45°－30°）＝ sin （60°－45°）；二是逆用公式凑
成特殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin
（13°＋17°）＝ sin 30°；三是进行拆角、拼角，整体代换求
值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝
（α＋β）－β＝（α－β）＋β.
【跟踪训练】
化简下列各式：
（1）tan 10°·tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）；
解：原式＝tan 10°·tan 20°＋ [tan（10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
（2） sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β].
解：原式＝ sin （α＋β） cos α－ [ sin （α＋α＋β）－ sin （α＋β－α）]＝ sin （α＋β） cos α－ [ sin α cos （α＋β）＋ cos α sin （α＋β）－ sin （α＋β） cos α＋ cos （α＋β）· sin α]
＝ sin （α＋β） cos α－ ×2 sin α cos （α＋β）
＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ sin （α＋
β－α）＝ sin β.
题型二 给值求值
【例2】　已知 ＜α＜ ，0＜β＜ ， cos ＝－ ， sin ＝ .
（1）求 sin （α＋β）的值；
解：因为 ＜α＜ ，所以 ＜ ＋α＜π，
所以 sin ＝ ＝ .
因为0＜β＜ ，所以 ＜ ＋β＜π，
所以 cos ＝－ ＝－ .
所以 sin （α＋β）＝－ sin （π＋α＋β）
＝－ sin ［ ＋ ］
＝－［ sin cos ＋ cos sin （ ＋β）］
＝－ ＝ .
（2）求tan α的值.
解：由（1）可得tan ＝ ＝－ ，
于是tan α＝tan
＝ ＝ ＝7.
通性通法
给值求值的解题策略
　　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰
当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化
异角为同角，具体做法是：
（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和
或差；
（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
【跟踪训练】
1. 若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　）
C. 1 D. －1
解析：　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝
＝ .
2. 已知α为锐角， sin α＝ ，β是第四象限角， cos β＝ ，则 sin
（α＋β）＝ .
解析：因为α为锐角， sin α＝ ，所以 cos α＝ .因为β是第四
象限角， cos β＝ ，所以 sin β＝－ .所以 sin （α＋β）＝ sin
α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝0.
0　
题型三 给值求角
【例3】　已知tan（α－β）＝ ，tan β＝－ ，α，β∈（0，
π），求2α－β的值.
解：∵tan β＝－ ，tan（α－β）＝ ，
∴tan α＝tan[（α－β）＋β]＝
＝ ＝ .
tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝
＝ ＝1.∵tan α＝ ＞0，tan β＝－ ＜0，
∴α∈ ，β∈ ，
∴α－β∈（－π，0）.
又∵tan（α－β）＝ ＞0，
∴α－β∈ ，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）.
又tan（2α－β）＝1，
∴2α－β＝－ π.
通性通法
　　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再
确定该角的取值范围，最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三
角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同
象限的符号来确定.一般地，若θ∈（0，π），则通常求 cos θ或tan
θ；若θ∈ ，则通常求 sin θ或tan θ，否则容易导致增解.
【跟踪训练】
已知 sin α＝－ ， cos β＝ ，且α∈ ，β∈ ，
求α＋β的值.
解：因为α∈ ，β∈ ，
且 sin α＝－ ， cos β＝ ，
所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝－ × ＋
× ＝ .
又因为α∈ ，β∈ ，
所以α＋β∈ ，
故α＋β＝ .
1. sin 35° cos 5°－ cos 35° sin 5°＝（　　）
B. 1
C. 2 D. 2 sin 40°
解析：　 sin 35° cos 5°－ cos 35° sin 5°＝ sin （35°－5°）
＝ sin 30°＝ .
2. ＝（　　）
A. －1 B. 1
解析：　 ＝ ＝tan（－45°）＝－1.
3. 函数f（x）＝ sin ＋ cos 的最大值是（　　）
B. 1 D. 2
解析：　f（x）＝ sin x· cos － cos x· sin ＋ cos x· cos ＋ sin
x· sin ＝ sin x－ cos x＋ cos x＋ sin x＝ sin x，∵－1≤ sin
x≤1，∴函数f（x）的最大值是 .故选C.
4. 已知A，B都是锐角，且tan A＝ ， sin B＝ ，则A＋B＝ 　 　.
解析：∵B为锐角， sin B＝ ，∴ cos B＝ ，∴tan B＝ ，
∴tan（A＋B）＝ ＝ ＝1.∵0＜A＋B＜π，∴A＋
B＝ .
　
5. 求 的值.
解：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°（1－tan 18°tan 42°）＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝（　　）
解析：　 sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin 20° cos
10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin 30°＝ .故选D.
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2. 在△ABC中，若 sin A＝2 sin B cos C ，那么这个三角形一定是（　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
解析：　 sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C，由 sin
A＝2 sin B cos C，得 cos B sin C＝ sin B cos C，所以 cos B sin C－ sin
B cos C＝0，即 sin （C－B）＝0，因为B，C为三角形内角，所
以C＝B，故为等腰三角形.
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3. 我国唐朝天文学家一行应用“九服晷影算法”在 《大衍历》中建
立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是
世界数学史上最早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影
长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ，对
同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，
β，且tan（α－β）＝ ，若第一次的“晷影长”是“表高”的3
倍，则第二次的“晷影长”是“表高”的（　　）
A. 1倍
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解析：　由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，得tan α＝
3，由tan（α－β）＝ ，得 ＝ ，∴ ＝ ，∴6－
2tan β＝1＋3tan β，解得tan β＝1，故第二次的“晷影长”是
“表高”的1倍.
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4. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则 sin ∠CED＝（　　）
解析：　由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED
＝ －∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin cos ∠BEC－ cos sin
∠BEC＝ × － × ＝ .
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5. （多选）已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），
则（　　）
A. tan α＋tan β＝16
B. tan αtan β＝2
C. tan（α＋β）＝16
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解析：　由题意得，故A错误，B正
确；由于tan（α＋β）＝ ＝16，故C正确；又
＝ ＝ ＝ ＝－8，故
D正确.故选B、C、D.
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6. （多选）下列四个选项中，化简正确的是（　　）
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解析：　对于A，原式＝ cos （30°－45°）＝ cos 30°· cos
45°＋ sin 30° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，A错误；对
于B，原式＝ cos [（α－35°）－（25°＋α）]＝ cos （－
60°）＝ cos 60°＝ ，B正确；对于C，原式＝ sin 14°· cos 16°
＋ cos 14° sin 16°＝ sin （14°＋16°）＝ sin 30°＝ ，C正确；
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对于D，原式＝ · sin 80°
＝（2 sin 50°＋2 sin 10°· ）· cos 10°＝2
[ sin 50°· cos 10°＋ sin 10°· cos （60°－10°）]＝2 sin （50°
＋10°）＝2 × ＝ ，D正确.
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7. 化简： sin ＋ cos ＝ .
解析：原式＝ sin cos α＋ cos sin α＋ cos cos α－ sin sin α＝
cos α.
cos α　
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8. 化简： ＝ .
解析：原式＝
＝ ＝－1.
－1　
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9. 已知tan（α＋β）＝ ，tan α＝－2，则tan β＝ 　　.
解析：∵β＝（α＋β）－α，∴tan β＝ ＝7.
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解：因为0＜α＜ ， cos α＝ ，所以 sin α＝ ，
又因为0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π，
因为 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ，
所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β）· cos α－
cos （α＋β） sin α＝ × － ＝ ，
又因为0＜β＜ ，所以β＝ .
10. 已知 cos α＝ ， sin （α＋β）＝ ，0＜α＜ ，0＜β＜ ，
求角β的值.
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11. 如果tan（α＋β）＝ ，tan（ β－ ）＝ ，那么 ＝（　）
解析：　 ＝tan（ ＋α）＝tan［（α＋β）－（ β－
）］＝ ＝ ＝ .故选B.
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12. 已知函数f（x）＝x sin 126° sin （x－36°）＋x cos 54°· cos
（x－36°），则函数f（x）是（　　）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
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解析：　因为函数的定义域为R，且f（x）＝x sin 126° sin
（x－36°）＋x cos 54° cos （x－36°）＝x sin 54° sin （x－
36°）＋x cos 54°· cos （x－36°）＝x[ sin 54° sin （x－
36°）＋ cos 54° cos （x－36°）]＝x cos [54°－（x－
36°）]＝x cos （90°－x）＝x sin x，所以任取x∈R，f（－
x）＝（－x） sin （－x）＝x sin x＝f（x），故函数f（x）为
偶函数.
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13. 若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则 cos α cos
β－ sin α cos β－ cos α sin β－ sin α sin β＝　　 .
解析：由题意知α＋β＝－ ，所以 cos α cos β－ sin α cos
β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ cos （α＋β）－ sin
（α＋β）＝2 － ＝2 sin
＝2 sin ＝2 sin ＝ .
　
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14. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，求tan α·tan
β的值.
解： cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， ①
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ， ②
由①②得
则tan αtan β＝ ＝ ＝－ .
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15. 定义运算 ＝ad－bc，若 cos α＝ ， ＝ ，
0＜β＜α＜ ，则β＝　　 .
　
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解析：依题设得， ＝ sin α· cos β－ cos α· sin β＝
sin （α－β）＝ .因为0＜β＜α＜ ，所以 cos （α－β）
＝ .又因为 cos α＝ ，所以 sin α＝ ，所以 sin β＝ sin [α
－（α－β）]＝ sin α· cos （α－β）－ cos α· sin （α－β）
＝ × － × ＝ ，所以β＝ .
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16. 设α∈R，函数f（x）＝ sin 2x cos α＋ cos 2x sin α－
cos （2x＋α）＋ cos α，x∈R.
（1）若α∈［ ， ］，求f（x）在区间［0， ］上的最大值；
解：f（x）＝ sin （2x＋α）－ cos （2x＋α）＋ cos α＝2 sin （2x＋α－ ）＋ cos α.
因为x∈［0， ］，
所以2x∈［0， ］，2x＋α－ ∈［α－ ，α＋ ］.
又α∈［ ， ］，所以 ∈［α－ ，α＋ ］.
因此f（x）的最大值为2＋ cos α.
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（2）若f（x）＝3，求α与x的值.
解：若f（x）＝2 sin （2x＋α－ ）＋ cos α＝3，
则 cos α＝1且 sin （2x＋α－ ）＝1，所以α＝2mπ，m∈Z，从而2x－ ＝2nπ＋ ，n∈Z，即x＝nπ＋ ，n∈Z.
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