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2.3　三角函数的叠加及其应用
1.计算cos ＋sin ＝（　　）
A. B.2
C.2 D.
2.已知函数f（x）＝cos 2x－sin 2x＋2，则（　　）
A.f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B.f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C.f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D.f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
3.已知向量a＝（sin（α＋），1），b＝（4，4cos α－），若a⊥b，则sin（α＋）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
4.函数y＝cos 2x－sin 2x的部分图象是（　　）
5.（多选）设函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x）的最大值为
D.y＝f（x）的图象关于点（，0）对称
6.（多选）关于函数f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋），下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的最大值是
B.函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数
C.函数f（x）在区间［，］上单调递增
D.函数f（x）在区间［，］上单调递减
7.已知sin x＋cos x＝2a－3，则a的取值范围是　　　　.
8.函数y＝cos 2x＋sin 2x的单调递减区间为　　　　.
9.已知函数f（x）＝sin x－acos x的图象经过点（ ，1），则f（x）的最小正周期是　　　　.
10.已知函数f（x）＝sin－sin.
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的取值范围.
11.若函数f（x）＝sin ＋cos 在（－a，a）（a＞0）上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.（0，］
C.（0，］ D.（0，］
12.（多选）设f（x）＝asin 2x＋bcos 2x，ab≠0，若f（x）≤｜f｜对任意x∈R成立，则下列命题中正确的是（　　）
A.f＝0
B.｜f｜＜｜f｜
C.f（x）是非奇非偶函数
D.可能存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交
13.已知函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）＋cos（2ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），若f（x）的最小正周期为π，且f（－x）＝－f（x），则f（x）的解析式为　　　　.
14.已知函数f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋acos x＋b（a，b∈R，且均为常数）.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间［－，0］上单调递增，且恰好能够取得f（x）的最小值2，试求a，b的值.
15.已知函数f（x）＝（a－）sin x＋（a＋1）·cos x，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤g（），则a的值为　　　　.
16.函数f（x）＝asin x＋bcos x称为向量＝（a，b）的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（1）设函数h（x）＝2sin－cos，求证：h（x）∈S；
（2）记＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若函数g（x）＝f（x）＋2｜sin x｜－1，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围.
2.3　三角函数的叠加及其应用
1.C　cos ＋sin ＝2（cos ＋sin ）＝2＝2sin＝2sin ＝2.
2.B　易知f（x）＝cos 2x－sin 2x＋2＝2cos＋2，则f（x）的最小正周期为π，当2x＋＝2kπ（k∈Z），即x＝kπ－（k∈Z）时，f（x）取得最大值，最大值为4.
3.B　因为a⊥b，所以a·b＝4sin（α＋）＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin（α＋）－＝0，所以sin（α＋）＝，sin（α＋）＝－sin（α＋）＝－.
4.A　由y＝cos 2x－sin 2x＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C，故选A.
5.BCD　f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），最小正周期为＝π，故A不正确；令2x＋＝＋kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）.当k＝0时，x＝，所以y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确；f（x）的最大值为，故C正确；令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－＋（k∈Z），所以当k＝2时，x＝，故D正确.故选B、C、D.
6.ABD　因为f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋）＝cos（2x－）＋cos［（2x－）＋］＝cos（2x－）－sin（2x－）＝ ［cos（2x－）－sin（2x－）］＝cos（2x－＋）＝cos（2x－）.所以函数f（x）的最大值是，最小正周期为T＝＝π，选项A、B正确；由2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数f（x）在区间［，］上单调递减，所以C错误，D正确.
7.［，］　解析：因为sin x＋cos x＝2sin（x＋）＝2a－3，所以sin（x＋）＝a－，所以－1≤a－≤1，即≤a≤.
8.（k∈Z）
解析：y＝cos 2x＋sin 2x＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数的单调递减区间为（k∈Z）.
9.2π　解析：由于f（x）的图象经过点（ ，1），∴·sin－acos＝1，即a＝1.
∴f（x）＝sin x－cos x
＝2（ sin x－cos x）
＝2sin（ x－），
故f（x）的最小正周期T＝2π.
10.解：（1）f（x）＝sin－sin
＝cos x－sin x＋cos x
＝cos，
又x∈[0，π]，可得x＋∈，
由于函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，
故函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为.
（2）函数f（x）＝cos向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）＝2cos（2x－）＋1的图象，
又x∈，
可得2x－∈，
故cos∈，
可得g（x）∈[－2，2＋1]，
故函数g（x）的值域为[－2，2＋1].
11.A　f（x）＝sin ＋cos ＝2sin（＋），由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ（k∈Z）得－＋4kπ≤x≤＋4kπ（k∈Z），所以（－a，a） ［－，］，则a∈（0，］，故选A.
12.AC　依题意f（x）＝sin（2x＋θ）（ 其中tan θ＝），由于f（x）≤｜f｜对任意x∈R成立，故x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×＋θ＝kπ＋（k∈Z），θ＝kπ＋（k∈Z）.所以f（x）＝sin＝±·sin.因为f＝±sin（2×＋）＝0，所以A正确.显然｜f｜＝｜f｜，所以B错误.根据f（x）的解析式可知f（x）是非奇非偶函数，所以C正确.要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）没有交点，则此直线和x轴平行，且｜b｜＞，两边平方得b2＞a2＋b2，这不可能，矛盾，所以不存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交，所以D错误.故选A、C.
13.f（x）＝－sin 2x　解析：由三角函数的叠加公式可得f（x）＝sin（2ωx＋φ＋），因为f（x）的最小正周期为π，所以2｜ω｜＝＝＝2，因为ω＞0，所以ω＝1，则f（x）＝sin（2x＋φ＋）.又因为f（－x）＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以φ＋＝kπ（k∈Z），即φ＝kπ－（k∈Z）.又因为0＜φ＜π，则令k＝1，所以φ＝，所以f（x）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.
14.解：（1）f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋acos x＋b＝2sin xcos＋acos x＋b＝sin x＋acos x＋b＝sin（x＋φ）＋b（ 其中tan α＝）.所以函数f（x）的最小正周期为2π.
（2）由（1）可知：f（x）的最小值为－＋b.
所以－＋b＝2.
另外，由f（x）在区间［－，0］上单调递增.
可知f（x）在区间［－，0］上的最小值为f（－）.
所以f（－）＝－＋＋b＝2.解得a＝－1，b＝4.
15.2　解析：已知函数f（x）＝sin x＋acos x＋cos x－sin x＝asin（x＋）＋2cos（x＋）＝·sin（x＋＋α）（cos α＝，sin α＝），由题意得，函数g（x）＝sin（x－＋＋α）＝·sin（x＋α）≤sin（＋α），当sin（＋α）＝1时，α＝2kπ＋（k∈Z）.∴＝，解得a＝2.
16.解：（1）证明：因为h（x）＝2sin－cos（＋x）＝－sin x＋cos x，
所以函数h（x）是向量＝的“相伴函数”，
所以h（x）∈S.
（2）因为f（x）＝2cos x，所以g（x）＝2cos x＋2｜sin x｜－1
＝
则g（x）在上单调递增，上单调递减，上单调递增，上单调递减，
又g（0）＝1，g＝3，g（π）＝－3，g＝3，g（2π）＝1，
因为函数g（x）＝f（x）＋2｜sin x｜－1，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，所以实数k的取值范围为[1，3）.
2 / 22.3　三角函数的叠加及其应用
新课程标准解读 核心素养
熟记三角函数的叠加公式，能熟练运用三角函数的叠加求解相关问题 数学抽象、数学运算
我们知道，在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要作用.在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可归结为三角函数的叠加.
【问题】　你知道两个三角函数叠加后是一个什么函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　三角函数的叠加公式
一般地，当a，b不同时为0时，asin α＋bcos α＝（sin α＋cos α）.
根据Sα＋β，引入辅助角φ，使得　　　　　＝cos φ，　　　　＝sin φ.
所以asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）（a，b不同时为0）.其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定.
提醒　三角函数叠加公式的常见结论：①sin x±cos x＝ sin（x±）；②cos x±sin x＝ cos（x ）；③sin x± cos x＝2sin（x±）；④cos x±sin x＝2cos（x ）.
1.函数f（x）＝sin x－cos x的最小正周期为（　　）
A.π　　　B.2π　　　C.　　　D.4π
2.若α∈（ 0，），则sin α＋cos α的取值范围是　　　　.
题型一 利用叠加公式化简求值
【例1】　化简下列各式：
（1）cos x－sin x；
（2）sin x＋cos x；
（3）（sin x－cos x）.
尝试解答
通性通法
　　三角函数的叠加公式实质上是两角和与差的正弦、余弦公式的逆用，可以将非特殊角化为特殊角的和或差的形式.
【跟踪训练】
1.（多选）化简cos x－sin x＝（　　）
A.2cos（－x）　　　B.2sin（＋x）
C.2sin（－x） D.2cos（＋x）
2.计算sin＋cos ＝　　　　.
题型二 利用叠加公式解决三角函数的图象问题
【例2】　（1）函数f（x）＝sin 2x－cos 2x（　　）
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x＝对称
D.关于直线x＝对称
（2）将函数f（x）＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t（t＞0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若g（x）＝g，则实数t的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答
通性通法
1.研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式后解决问题.
2.对于可化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）形式的函数，如果求f（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x即可；如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x即可.
【跟踪训练】
　设函数f（x）＝cos x－sin x，则下列结论错误的是（　　）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x＋π）的一个零点为x＝
D.f（x）在上单调递减
题型三 利用叠加公式解决三角函数的性质问题
【例3】　已知函数f（x）＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求证：当x∈［－，］时，f（x）≥－.
尝试解答
通性通法
　　对于形如f（x）＝asin x±bcos x的三角函数式，若研究f（x）的性质，首先根据三角函数的叠加公式将其转化为f（x）＝Asin（x±φ）的形式，然后把x±φ看作一个整体，进而讨论他的性质（对称轴、单调性、最值、对称中心等）.
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝sin 4x＋cos 4x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间.
1.已知2sin 2x－2cos 2x＝a，则（　　）
A.2sin（2x－）＝a
B.2sin（2x＋）＝a
C.2sin（x－）＝a
D.sin（2x－）＝a
2.已知cos（x－）＝－，则cos x＋cos（x－）的值是（　　）
A.－　 B.±　 C.－1　 D.±1
3.若将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
4.函数f（x）＝5cos x＋12sin x的最大值为　　　　.
5.已知函数f（x）＝－cos 2x＋sin 2x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的值域.
2.3　三角函数的叠加及其应用
【基础知识·重落实】
知识点
　
自我诊断
1.B　f（x）＝sin x－cos x＝2（sin x－cos x）＝2sin（x－），所以f（x）的最小正周期为2π.
2.（1，]　解析：∵sin α＋cos α＝sin（ α＋）且α∈（ 0，），∴＜α＋＜π，∴sin（ α＋）∈（ ，1］，∴sin α＋cos α的取值范围是（1，].
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝cos cos x－sin ·sin x＝cos（＋x）.
（2）原式＝2（sin x＋cos x）
＝2（sin xcos＋cos xsin）
＝2sin（x＋）.
（3）原式＝2（sin x－cos x）
＝2（sin xcos－cos xsin）
＝2sin（x－）.
跟踪训练
1.CD　原式＝2（cos x－sin x）＝2（sincos x－cossin x）＝2sin（－x）.原式＝2（cos x－sin x）＝2（cos xcos－sin xsin）＝2cos（＋x）.故选C、D.
2.　解析：原式＝2（sin＋cos）＝2（sincos＋cos·sin）＝2sin（＋）＝2sin ＝.
【例2】　（1）C　（2）B　解析：（1）由题意得f（x）＝sin 2x－cos 2x＝2sin，因为f＝－1，选项A、D错误；f＝2，选项B错误，C正确.
（2）由题意得，f（x）＝sin 2x－cos 2x ＝2sin，则g（x）＝2sin（2x＋2t－），若g（x）＝g，则函数g（x）的图象关于直线x＝对称，所以2×－＋2t＝kπ＋，k∈Z，即t＝＋，k∈Z，又t＞0，所以实数tmin＝.
跟踪训练
　D　f（x）＝cos x－sin x＝2cos，因为f（x）的周期为2kπ（k∈Z且k≠0），所以f（x）的一个周期为－2π，A项正确.因为f（x）图象的对称轴为直线x＝kπ－（k∈Z），当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确.f（x＋π）＝2cos，将x＝代入得到f＝2cos ＝0，所以x＝是f（x＋π）的一个零点，C项正确.因为f（x）＝2cos的单调递减区间为 （k∈Z），单调递增区间为 （k∈Z），所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，D项错误.
【例3】　解：（1）f（x）＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），
所以f（x）的最小正周期是T＝＝π.
（2）证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
所以sin（2x＋）≥sin（－）＝－.
所以当x∈［－，］时，f（x）≥－.
跟踪训练
　解：（1）f（x）＝sin，∴f（x）的最小正周期T＝.
（2）令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋（k∈Z），得＋≤x≤＋（k∈Z）.
∴f（x）的单调递减区间为（k∈Z）.
随堂检测
1.A　因为2sin 2x－2cos 2x＝a，所以2（sin 2x－cos 2x）＝a，所以2sin（2x－）＝a.
2.C　cos x＋cos（x－）＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝cos（x－）＝－1.
3.D　函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin（2x＋）的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin［2＋］＝2sin，故选D.
4.13　解析：f（x）＝5cos x＋12sin x＝13（·cos x＋sin x）＝13sin（φ＋x）.其中sin φ＝，cos φ＝.∴f（x）的最大值为13.
5.解：（1）f（x）＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.
（2）由（1）可知f（x）＝sin＋，
因为sin∈[－1，1]，所以sin＋∈，即f（x）的值域为.
3 / 3(共63张PPT)
2.3　三角函数的叠加及其应用
新课程标准解读 核心素养
熟记三角函数的叠加公式，能熟练运用三角函数的叠
加求解相关问题 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们知道，在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要作用.在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可归结为三角函数的叠加.
【问题】　你知道两个三角函数叠加后是一个什么函数吗？




知识点　三角函数的叠加公式
一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝
（ sin α＋ cos α）.
根据Sα＋β，引入辅助角φ，使得 ＝ cos φ， 　 　
＝ sin φ.
　
　
所以a sin α＋b cos α＝ sin （α＋φ）（a，b不同时为0）.
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由 sin φ和 cos φ的值确
定，也就是由tan φ＝ 来确定.
提醒　三角函数叠加公式的常见结论：① sin x± cos x＝ sin
（x± ）；② cos x± sin x＝ cos （x ）；③ sin x± cos x＝2
sin （x± ）；④ cos x± sin x＝2 cos （x ）.
1. 函数f（x）＝ sin x－ cos x的最小正周期为（　　）
A. π B. 2π
D. 4π
解析：　f（x）＝ sin x－ cos x＝2（ sin x－ cos x）＝2 sin
（x－ ），所以f（x）的最小正周期为2π.
2. 若α∈（ 0， ），则 sin α＋ cos α的取值范围是 　（1， ]　.
解析：∵ sin α＋ cos α＝ sin （ α＋ ）且α∈（ 0， ），
∴ ＜α＋ ＜ π，∴ sin （ α＋ ）∈（ ，1］，∴ sin α＋
cos α的取值范围是（1， ].
（1， ]　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用叠加公式化简求值
【例1】　化简下列各式：
（1） cos x－ sin x；
解：原式＝ cos cos x－ sin · sin x
＝ cos （ ＋x）.
（2） sin x＋ cos x；
解：原式＝2（ sin x＋ cos x）
＝2（ sin x cos ＋ cos x sin ）＝2 sin （x＋ ）.
（3） （ sin x－ cos x）.
解：原式＝2（ sin x－ cos x）
＝2（ sin x cos － cos x sin ）＝2 sin （x－ ）.
通性通法
　　三角函数的叠加公式实质上是两角和与差的正弦、余弦公式的逆
用，可以将非特殊角化为特殊角的和或差的形式.
【跟踪训练】
1. （多选）化简 cos x－ sin x＝（　　）
解析：　原式＝2 （ cos x－ sin x）＝2 （ sin cos x－
cos sin x）＝2 sin （ －x）.原式＝2 （ cos x－ sin x）＝
2 （ cos x cos － sin x sin ）＝2 cos （ ＋x）.故选C、D.
2. 计算 sin ＋ cos ＝ 　 　.
解析：原式＝2（ sin ＋ cos ）＝2（ sin cos ＋ cos sin
）＝2 sin （ ＋ ）＝2 sin ＝ .
　
题型二 利用叠加公式解决三角函数的图象问题
【例2】　（1）函数f（x）＝ sin 2x－ cos 2x（　　）
解析：由题意得f（x）＝ sin 2x－ cos 2x＝2 sin ，因为f ＝－1，选项A、D错误；f ＝2，选项B错误，C正确.
（2）将函数f（x）＝ sin 2x－ cos 2x的图象向左平移t（t＞0）
个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若g（x）＝
g ，则实数t的最小值为（　　）
解析：由题意得，f（x）＝ sin 2x－ cos 2x ＝2 sin ，
则g（x）＝2 sin ，若g（x）＝g ，则函
数g（x）的图象关于直线x＝ 对称，所以2× － ＋2t＝kπ
＋ ，k∈Z，即t＝ ＋ ，k∈Z，又t＞0，所以实数tmin＝ .
通性通法
1. 研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为y
＝A sin （ωx＋φ）的形式后解决问题.
2. 对于可化为f（x）＝A sin （ωx＋φ）形式的函数，如果求f
（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），求x即可；如
果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ
（k∈Z），求x即可.
【跟踪训练】
设函数f（x）＝ cos x－ sin x，则下列结论错误的是（　　）
A. f（x）的一个周期为－2π
解析：　f（x）＝ cos x－ sin x＝2 cos ，因为f（x）的周
期为2kπ（k∈Z且k≠0），所以f（x）的一个周期为－2π，A项正
确.因为f（x）图象的对称轴为直线x＝kπ－ （k∈Z），当k＝3
时，直线x＝ 是其对称轴，B项正确.f（x＋π）＝2 cos ，
将x＝ 代入得到f ＝2 cos ＝0，所以x＝ 是f（x＋π）的一个
零点，C项正确.因为f（x）＝2 cos 的单调递减区间为
（k∈Z），单调递增区间为
（k∈Z），所以f（x）在 上单调递减，在 上单
调递增，D项错误.
题型三 利用叠加公式解决三角函数的性质问题
【例3】　已知函数f（x）＝ cos 2x＋ sin 2x－ sin 2x.
（1）求f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝ cos 2x＋ sin 2x－ sin 2x＝ sin 2x＋
cos 2x＝ sin （2x＋ ），
所以f（x）的最小正周期是T＝ ＝π.
（2）求证：当x∈［－ ， ］时，f（x）≥－ .
解：证明：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ .
所以 sin （2x＋ ）≥ sin （－ ）＝－ .
所以当x∈［－ ， ］时，f（x）≥－ .
通性通法
　　对于形如f（x）＝a sin x±b cos x的三角函数式，若研究f（x）
的性质，首先根据三角函数的叠加公式将其转化为f（x）＝A sin
（x±φ）的形式，然后把x±φ看作一个整体，进而讨论他的性质
（对称轴、单调性、最值、对称中心等）.
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝ sin 4x＋ cos 4x.
（1）求f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝ sin ，∴f（x）的最小正周期T＝ .
（2）求f（x）的单调递减区间.
解：令2kπ＋ ≤4x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），得 ＋
≤x≤ ＋ （k∈Z）.
∴f（x）的单调递减区间为 （k∈Z）.
1. 已知2 sin 2x－2 cos 2x＝a，则（　　）
解析：　因为2 sin 2x－2 cos 2x＝a，所以2 （ sin 2x－
cos 2x）＝a，所以2 sin （2x－ ）＝a.
2. 已知 cos （x－ ）＝－ ，则 cos x＋ cos （x－ ）的值是（　）
C. －1 D. ±1
解析：　 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ cos x＋ sin x＝ cos x
＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos （x－ ）＝－1.
3. 若将函数y＝ sin 2x＋ cos 2x的图象向右平移 个周期后，所得
图象对应的函数为（　　）
解析：　函数y＝ sin 2x＋ cos 2x＝2 sin （2x＋ ）的周期
为π，将函数y＝2 sin 的图象向右平移 个周期即 个单
位长度，所得函数为y＝2 sin ［2 ＋ ］＝2 sin ，故选D.
4. 函数f（x）＝5 cos x＋12 sin x的最大值为 .
解析：f（x）＝5 cos x＋12 sin x＝13（ · cos x＋ sin x）＝13
sin （φ＋x）.其中 sin φ＝ ， cos φ＝ .∴f（x）的最大值为
13.
13　
5. 已知函数f（x）＝ － cos 2x＋ sin 2x.
（1）求f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝ － cos 2x＋ sin 2x
＝ sin ＋ .
所以f（x）的最小正周期为T＝ ＝π.
（2）求f（x）的值域.
解：由（1）可知f（x）＝ sin ＋ ，
因为 sin ∈[－1，1]，所以 sin ＋ ∈ ，即f（x）的值域为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 计算 cos ＋ sin ＝（　　）
B. 2
解析：　 cos ＋ sin ＝2 （ cos ＋ sin ）＝
2 ＝2 sin ＝2 sin ＝2 .
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2. 已知函数f（x）＝ cos 2x－ sin 2x＋2，则（　　）
A. f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B. f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C. f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D. f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
解析：　易知f（x）＝ cos 2x－ sin 2x＋2＝2 cos ＋
2，则f（x）的最小正周期为π，当2x＋ ＝2kπ（k∈Z），即x＝
kπ－ （k∈Z）时，f（x）取得最大值，最大值为4.
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3. 已知向量a＝（ sin （α＋ ），1），b＝（4，4 cos α－ ），
若a⊥b，则 sin （α＋ ）＝（　　）
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解析：　因为a⊥b，所以a·b＝4 sin （α＋ ）＋4 cos α－
＝2 sin α＋6 cos α－ ＝4 sin （α＋ ）－ ＝0，所以
sin （α＋ ）＝ ， sin （α＋ ）＝－ sin （α＋ ）＝－ .
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4. 函数y＝ cos 2x－ sin 2x的部分图象是（　　）
解析：　由y＝ cos 2x－ sin 2x＝2 cos 可知，函数的
最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点 ，故排除B；
又因为函数图象过点 ，故排除C，故选A.
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5. （多选）设函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x，则下列结论正确的是
（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π
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解析：　f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin （2x＋ ），最小
正周期为 ＝π，故A不正确；令2x＋ ＝ ＋kπ（k∈Z），得x
＝ ＋ （k∈Z）.当k＝0时，x＝ ，所以y＝f（x）的图象关
于直线x＝ 对称，故B正确；f（x）的最大值为 ，故C正确；
令2x＋ ＝kπ（k∈Z），得x＝－ ＋ （k∈Z），所以当k＝2
时，x＝ ，故D正确.故选B、C、D.
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6. （多选）关于函数f（x）＝ cos （2x－ ）＋ cos （2x＋ ），下
列说法正确的是（　　）
B. 函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数
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解析：　因为f（x）＝ cos （2x－ ）＋ cos （2x＋ ）＝
cos （2x－ ）＋ cos ［（2x－ ）＋ ］＝ cos （2x－ ）－
sin （2x－ ）＝ ［ cos （2x－ ）－ sin （2x－ ）］＝
cos （2x－ ＋ ）＝ cos （2x－ ）.所以函数f（x）的
最大值是 ，最小正周期为T＝ ＝π，选项A、B正确；
由2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ＋ ≤x≤kπ＋
（k∈Z），所以函数f（x）在区间［ ， ］上单调递减，所以
C错误，D正确.
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7. 已知 sin x＋ cos x＝2a－3，则a的取值范围是 　［ ］　.
解析：因为 sin x＋ cos x＝2 sin （x＋ ）＝2a－3，所以 sin
（x＋ ）＝a－ ，所以－1≤a－ ≤1，即 ≤a≤ .
［ ， ］　
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8. 函数y＝ cos 2x＋ sin 2x的单调递减区间为
.
解析：y＝ cos 2x＋ sin 2x＝ cos ，由2kπ≤2x－
≤2kπ＋π（k∈Z），解得kπ＋ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），所以函
数的单调递减区间为 （k∈Z）.
（k∈Z）　
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9. 已知函数f（x）＝ sin x－a cos x的图象经过点（ ，1），则f
（x）的最小正周期是 .
解析：由于f（x）的图象经过点（ ，1），∴ · sin －a cos
＝1，即a＝1.∴f（x）＝ sin x－ cos x＝2（ sin x－ cos x）
＝2 sin （ x－ ），故f（x）的最小正周期T＝2π.
2π　
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10. 已知函数f（x）＝ sin － sin .
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
解：f（x）＝ sin － sin ＝ cos x－
sin x＋ cos x＝ cos ，
又x∈[0，π]，可得x＋ ∈ ，
由于函数y＝ cos x在[π，2π]上单调递增，
故函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为 .
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（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图
象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的
倍，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，求函
数g（x）在 上的取值范围.
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解：函数f（x）＝ cos 向右平移 个单位长度，得到y＝ cos 的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的 倍，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）＝2 cos （2x－ ）＋1的图象，
又x∈ ，可得2x－ ∈ ，
故 cos ∈ ，
可得g（x）∈[－2，2 ＋1]，
故函数g（x）的值域为[－2，2 ＋1].
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11. 若函数f（x）＝ sin ＋ cos 在（－a，a）（a＞0）上单调
递增，则a的取值范围是（　　）
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解析：　f（x）＝ sin ＋ cos ＝2 sin （ ＋ ），由－ ＋
2kπ≤ ＋ ≤ ＋2kπ（k∈Z）得－ ＋4kπ≤x≤ ＋4kπ
（k∈Z），所以（－a，a） ［－ ， ］，则a∈（0， ］，
故选A.
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12. （多选）设f（x）＝a sin 2x＋b cos 2x，ab≠0，若f（x）≤｜
f ｜对任意x∈R成立，则下列命题中正确的是（　　）
C. f（x）是非奇非偶函数
D. 可能存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交
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解析：　依题意f（x）＝ sin （2x＋θ）（ 其中tan
θ＝ ），由于f（x）≤｜f ｜对任意x∈R成立，故x＝ 是
函数f（x）的对称轴，所以2× ＋θ＝kπ＋ （k∈Z），θ＝
kπ＋ （k∈Z）.所以f（x）＝ sin ＝
± sin .因为f ＝± sin （2× ＋
）＝0，所以A正确.显然｜f ｜＝｜f ｜，所以B错误.根
据f（x）的解析式可知f（x）是非奇非偶函数，
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所以C正确.要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）没有交点，则
此直线和x轴平行，且｜b｜＞ ，两边平方得b2＞a2＋b2，这
不可能，矛盾，所以不存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不
相交，所以D错误.故选A、C.
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f（x）＝－ sin 2x　
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解析：由三角函数的叠加公式可得f（x）＝ sin （2ωx＋φ＋
），因为f（x）的最小正周期为π，所以2｜ω｜＝ ＝ ＝2，
因为ω＞0，所以ω＝1，则f（x）＝ sin （2x＋φ＋ ）.又因
为f（－x）＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以φ＋ ＝kπ
（k∈Z），即φ＝kπ－ （k∈Z）.又因为0＜φ＜π，则令k＝1，
所以φ＝ ，所以f（x）＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x.
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14. 已知函数f（x）＝ sin （x＋ ）＋ sin （x－ ）＋a cos x＋b
（a，b∈R，且均为常数）.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝ sin （x＋ ）＋ sin （x－ ）＋a cos x
＋b＝2 sin x cos ＋a cos x＋b＝ sin x＋a cos x＋b＝
sin （x＋φ）＋b（ 其中tan α＝ ）.所以函数f
（x）的最小正周期为2π.
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（2）若f（x）在区间［－ ，0］上单调递增，且恰好能够取得f
（x）的最小值2，试求a，b的值.
解：由（1）可知：f（x）的最小值为－ ＋b.
所以－ ＋b＝2.
另外，由f（x）在区间［－ ，0］上单调递增.
可知f（x）在区间［－ ，0］上的最小值为f（－ ）.
所以f（－ ）＝－ ＋ ＋b＝2.
解得a＝－1，b＝4.
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15. 已知函数f（x）＝（ a－ ） sin x＋（ a＋1）· cos x，将f
（x）的图象向右平移 个单位长度得到函数g（x）的图象，若
对任意x∈R，都有g（x）≤g（ ），则a的值为 .
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解析：已知函数f（x）＝ sin x＋ a cos x＋ cos x－ sin x＝a
sin （x＋ ）＋2 cos （x＋ ）＝ · sin （x＋ ＋α）
（ cos α＝ ， sin α＝ ），由题意得，函数g（x）＝
· sin （x－ ＋ ＋α）＝ sin （x＋α）
≤ sin （ ＋α），当 sin （ ＋α）＝1时，α＝2kπ＋
（k∈Z）.∴ ＝ ，解得a＝2.
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16. 函数f（x）＝a sin x＋b cos x称为向量 ＝（a，b）的“相伴
函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（1）设函数h（x）＝2 sin － cos ，求证：h
（x）∈S；
解：证明：因为h（x）＝2 sin － cos （ ＋x）＝－ sin x＋ cos x，所以函数h（x）是向量 ＝ 的“相伴函数”，所以h（x）∈S.
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（2）记 ＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若函数g
（x）＝f（x）＋2 ｜ sin x｜－1，x∈[0，2π]与直线y
＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围.
解：因为f（x）＝2 cos x，所以g（x）＝2 cos x＋
2 ｜ sin x｜－1＝
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则g（x）在 上单调递增， 上单调递减，
上单调递增， 上单调递减，
又g（0）＝1，g ＝3，g（π）＝－3，g ＝3，g
（2π）＝1，因为函数g（x）＝f（x）＋2 ｜ sin x｜－
1，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，所
以实数k的取值范围为[1，3）.
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