资源简介

2.4　积化和差与和差化积公式
1.sin 37.5°cos 7.5°＝（　　）
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2.有下列关系式：
①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；
②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；
③cos 5θ＋cos 3θ＝2cos 4θcos θ，
其中正确的个数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.化简：＝（　　）
A.sin 10° B.tan 10°
C.sin 20° D.tan 20°
4.cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝（　　）
A.－ B.
C. D.
5.函数f（x）＝2sinsin（－）的最大值是（　　）
A.－ B.
C. D.－
6.（多选）在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值可以是（　　）
A.－1 B.－
C.－ D.
7.cos（x＋2 024）－cos（x－2 024）＝　　　　.
8.cos 37.5°cos 22.5°＝　　　　　　.
9.＝　　　　　　.
10.化简：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β].
11.在△ABC中，若sin Asin B＝（1＋cos C），则△ABC是（　　）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
12.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α）且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
13.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是　　　　.
14.求证：·tan 25°＝.
15.已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，＋＝－，则cos ＝　　　　.
16.已知向量a＝（sin B，1－cos B）与向量b＝（2，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角.
（1）求B的大小；
（2）求sin A＋sin C的取值范围.
2.4　积化和差与和差化积公式
1.C　原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）]＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝.
2.B　sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故①错误；cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin（－θ）＝2sin 4θsin θ，故②错误，③正确.
3.D　原式＝＝＝tan 20°.
4.B　原式＝（cos 20°＋cos 140°）＋cos 100°＋cos 60°＝2cos 80°cos 60°＋cos 100°＋cos 60°＝cos 80°－cos 80°＋cos 60°＝.
5.C　f（x）＝2sin sin（－）＝2×（－）·［cos（＋－）－cos（－＋）］＝－cos ＋cos（x－）＝－＋cos（x－）≤－＋1＝，即f（x）的最大值为.
6.CD　cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝－sin（A－C）.∵－1≤sin（A－C）≤1，∴cos Asin C∈［－，］.
7.－2sin xsin 2 024
解析：原式＝－2sin ·
sin
＝－2sin xsin 2 024.
8.　解析：cos 37.5°cos 22.5°＝（cos 60°＋cos 15°）＝＋cos 15°＝.
9.　解析：
＝
＝
＝
＝＝＝.
10.解：sin（α＋β）cos α－［sin（2α＋β）－sin β］＝［sin（α＋β＋α）＋sin（α＋β－α）］－［sin（2α＋β）－sin β］＝sin（2α＋β）＋sin β－sin（2α＋β）＋sin β＝sin β.
11.B　由已知得sin Asin B＝－[cos（A＋B）－cos（A－B）]＝（1＋cos C）.又A＋B＝π－C，所以cos（A－B）－cos（π－C）＝1＋cos C，所以cos（A－B）＝1.又－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形.
12.D　∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，cos β＞cos α.又在（0，π）上，y＝cos x单调递减，∴β＜α，∴0＜α－β＜π.由题意可知，2sin ·cos ＝（－2sin ·sin ），∴tan ＝，∴＝，∴α－β＝.
13.（0，］　解析：由已知可得A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos（A－B）＋cos（A＋B）]＝cos（A－B）.又因为A－B∈（－，），所以cos（A－B）∈（0，］.
14.证明：左边＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝＝右边.
所以原等式成立.
15.　解析：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，所以＋＝＝－2，即cos A＋cos C＝－2cos Acos C，则2cos cos ＝－[cos（A＋C）＋cos（A－C）]，将cos ＝cos 60°＝，cos（A＋C）＝cos 120°＝－代入上式，得cos ＝－cos（A－C），因为cos（A－C）＝cos（＋）＝cos cos －sin sin ＝cos2－sin2＝cos2－（1－cos2）＝2cos2－1，代入上式并整理得4·cos2＋2cos －3＝0，即（2cos －）（2cos ＋3）＝0.因为2cos ＋3≠0，所以2cos －＝0.
所以cos ＝.
16.解：（1）由题意，得
｜a｜＝
＝，｜b｜＝2，a·b＝2sin B.
由夹角公式，得cos ＝，
整理得2sin2B＋cos B－1＝0，
即2cos2B－cos B－1＝0.
所以cos B＝1（舍去）或cos B＝－.
又因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）因为A＋B＋C＝π，B＝，
所以A＋C＝.
所以－＜A－C＜.
所以－＜＜.
所以sin A＋sin C＝2sin cos
＝2sin cos ＝cos .
所以sin A＋sin C的取值范围是.
1 / 22.4　积化和差与和差化积公式
新课程标准解读 核心素养
了解积化和差与和差化积公式，并会简单应用 逻辑推理、数学运算
　观察下列学过的两组公式：
　（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ①
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β； ②
（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ③
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. ④
尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？
【问题】　（1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β 的值？
（2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β 的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　积化和差与和差化积公式
1.积化和差公式
cos αcos β＝　　　　　　　　；
sin αsin β＝　　　　　　　　；
sin αcos β＝　　　　　　　　；
cos αsin β＝　　　　　　　　.
2.和差化积公式
sin x＋sin y＝　　　　　　　　；
sin x－sin y＝　　　　　　　　；
cos x＋cos y＝　　　　　　　　；
cos x－cos y＝　　　　　　　　.【想一想】
1.公式中α，β是任意角吗？
2.积化和差公式与两角和与差的正弦、余弦公式有何联系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）cos αsin β＝[sin（α－β）－sin（α＋β）].（　　）
（2）cos θ－cos φ＝2sinsin.（　　）
（3）cos x＋＝2coscos.（　　）
2.sin 64°cos 20°化成和差形式为（　　）
A.（sin 84°＋sin 44°）
B.（sin 84°－sin 44°）
C.（cos 84°＋cos 44°）
D.（cos 84°－cos 44°）
3.sin 101°＋sin 19°化为积的形式为　　　　.
题型一 积化和差公式的应用
【例1】　把下列各式化成和或差的形式：
（1）2sin 64°cos 10°；（2）sin 80°cos 132°；
（3）cos cos ；（4）sin 2sin 1.
尝试解答
通性通法
　　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时右端是正弦的和、差形式，左端是同名函数乘积形式时右端是余弦的和、差形式.
【跟踪训练】
求cos 15°cos 60°cos 75°的值.
题型二 和差化积公式的应用
【例2】　把下列各式化成积的形式：
（1）sin 44°＋sin 76°；
（2）cos 50°＋cos 42°；
（3）cos 3x－cos 5x；
（4）sin 50°－sin 70°.
尝试解答
通性通法
利用和差化积公式化简求值时应注意以下2点
（1）必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式；
（2）若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和与差的形式再利用和差化积公式.
【跟踪训练】
将下列各式化成积的形式：
（1）sin－sin；
（2）sin x＋.
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式
【例3】　在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋2sin ·cos ＝4cos cos cos .
尝试解答
通性通法
1.证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值.
2.证明三角恒等式的总体要求：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密.
【跟踪训练】
求证：tan－tan＝.
1.cos cos ＝（　　）
A.　　　　　　　　　 B.－
C.－ D.＋
2.将sin 40°＋化为积的形式为（　　）
A.sin 50°sin 10° B.－sin 50°sin 10°
C.sin 50°cos 10° D.－sin 50°cos 10°
3.2sin 50°cos 10°＝（　　）
A.－sin 40° B.＋sin 40°
C.－sin 40° D.
4.把cos x＋化为积的形式为　　　　.
5.求函数y＝sinsin的最小正周期.
2.4　积化和差与和差化积公式
【基础知识·重落实】
知识点
1.[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2.2sincos　2cossin　2coscos　
－2sinsin
想一想
1.提示：是任意角.
2.提示：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ①
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β， ②
sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ③
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β， ④
利用①±②和③±④即得出积化和差公式.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.A　sin 64°cos 20°＝[sin（64°＋20°）＋sin（64°－20°）]＝（sin 84°＋sin 44°）.
3.cos 41°　解析：sin 101°＋sin 19°＝2sincos＝2sin 60°cos 41°＝cos 41°.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）2sin 64°cos 10°＝sin（64°＋10°）＋sin（64°－10°）＝sin 74°＋sin 54°.
（2）sin 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°
＝[sin（132°＋80°）－sin（132°－80°）]
＝（sin 212°－sin 52°）
＝－（sin 32°＋sin 52°）.
（3）cos cos ＝［cos＋cos］＝［cos ＋cos］＝（cos ＋cos ）.
（4）sin 2sin 1＝－[cos（2＋1）－cos（2－1）]＝－（cos 3－cos 1）.
跟踪训练
　解：原式＝cos 15°cos 75°
＝×[cos（15°＋75°）＋cos（15°－75°）]
＝（0＋cos 60°）＝.
【例2】　解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 60°cos 16°＝cos 16°.
（2）原式＝2coscos＝2cos 46°cos 4°.
（3）原式＝－2sinsin
＝2sin 4xsin x.
（4）原式＝2cossin
＝2cos 60°sin（－10°）＝－sin 10°.
跟踪训练
　解：（1）原式＝2cos·sin
＝2cos αsin ＝cos α.
（2）sin x＋＝sin x＋sin
＝2sin cos
＝2sincos.
【例3】　证明：由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－（A＋B），
即＝90°－，∴cos ＝sin ，
∴sin A＋sin B＋2sin cos ＝2sin cos ＋2sin cos
＝2sin （cos ＋cos ）
＝2cos ·2cos ·cos（－）
＝4cos cos cos ，
∴原等式成立.
跟踪训练
　证明：法一　∵tan－tan＝－＝＝＝
＝
＝.
∴原式成立.
法二　∵
＝
＝
＝－
＝tan－tan.
∴原式成立.
随堂检测
1.D　cos cos ＝［cos（＋）＋cos］＝＋cos ＝＋.
2.C　sin 40°＋＝（sin 40°＋sin 60°）＝sin 50°cos 10°.
3.B　2sin 50°cos 10°＝sin（50°＋10°）＋sin（50°－10°）＝sin 60°＋sin 40°＝＋sin 40°.
4.2coscos
解析：cos x＋＝cos x＋cos
＝2cos·cos
＝2coscos.
5.解：y＝sincos x
＝［sin＋sin ］
＝sin＋，
∴函数的最小正周期T＝＝π.
2 / 3(共55张PPT)
2.4　积化和差与和差化积公式
新课程标准解读 核心素养
了解积化和差与和差化积公式，并会简单应用 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　观察下列学过的两组公式：
（1） sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， ①
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β； ②
（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， ③
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β. ④
尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，
看看能得到些什么？
【问题】　（1）如何用 sin （α＋β）， sin （α－β）表示 sin α cos β及 cos α sin β 的值？
（2）如何用 cos （α＋β）， cos （α－β）表示 cos α cos β及 sin α sin β 的值？





[ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]　
－ [ cos （α＋β）－ cos （α－β）]　
[ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]　
[ sin （α＋β）－ sin （α－β）]　
2. 和差化积公式
sin x＋ sin y＝ ；
sin x－ sin y＝ ；
cos x＋ cos y＝ ；
cos x－ cos y＝ .
2 sin cos 　
2 cos sin 　
2 cos cos 　
－2 sin sin 　
【想一想】
1. 公式中α，β是任意角吗？
提示：是任意角.
2. 积化和差公式与两角和与差的正弦、余弦公式有何联系？
提示： cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， ①
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β，
②
sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β，
③
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β，
④
利用①±②和③±④即得出积化和差公式.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） cos α sin β＝ [ sin （α－β）－ sin （α＋β）].
（　×　）
（2） cos θ－ cos φ＝2 sin sin . （　×　）
（3） cos x＋ ＝2 cos cos . （　√　）
×
×
√
2. sin 64° cos 20°化成和差形式为（　　）
解析：　 sin 64° cos 20°＝ [ sin （64°＋20°）＋ sin （64°
－20°）]＝ （ sin 84°＋ sin 44°）.
3. sin 101°＋ sin 19°化为积的形式为 .
解析： sin 101°＋ sin 19°＝2 sin cos ＝2 sin
60° cos 41°＝ cos 41°.
cos 41°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 积化和差公式的应用
【例1】　把下列各式化成和或差的形式：
（1）2 sin 64° cos 10°；
解：2 sin 64° cos 10°＝ sin （64°＋10°）＋ sin
（64°－10°）＝ sin 74°＋ sin 54°.
（2） sin 80° cos 132°；
解： sin 80° cos 132°＝ cos 132° sin 80°＝ [ sin （132°
＋80°）－ sin （132°－80°）]＝ （ sin 212°－ sin 52°）
＝－ （ sin 32°＋ sin 52°）.
解： cos cos ＝ ［ cos ＋ cos ］＝ ［ cos
＋ cos ］＝ （ cos ＋ cos ）.
解： sin 2 sin 1＝－ [ cos （2＋1）－ cos （2－1）]＝－
（ cos 3－ cos 1）.
（3） cos cos ；
（4） sin 2 sin 1.
通性通法
　　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积
形式时右端是正弦的和、差形式，左端是同名函数乘积形式时右端是
余弦的和、差形式.
【跟踪训练】
求 cos 15° cos 60° cos 75°的值.
解：原式＝ cos 15° cos 75°
＝ × [ cos （15°＋75°）＋ cos （15°－75°）]
＝ （0＋ cos 60°）＝ .
题型二 和差化积公式的应用
【例2】　把下列各式化成积的形式：
（1） sin 44°＋ sin 76°；
解：原式＝2 sin · cos
＝2 sin 60° cos 16°＝ cos 16°.
（2） cos 50°＋ cos 42°；
解：原式＝2 cos cos ＝2 cos 46° cos 4°.
（3） cos 3x－ cos 5x；
解：原式＝－2 sin sin
＝2 sin 4x sin x.
（4） sin 50°－ sin 70°.
解：原式＝2 cos sin
＝2 cos 60° sin （－10°）＝－ sin 10°.
通性通法
利用和差化积公式化简求值时应注意以下2点
（1）必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式；
（2）若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和与差的形式再
利用和差化积公式.
【跟踪训练】
将下列各式化成积的形式：
（1） sin － sin ；
解：原式
＝2 cos · sin
＝2 cos α sin ＝ cos α.
（2） sin x＋ .
解：sin x＋ ＝ sin x＋ sin ＝2 sin cos ＝2 sin
cos .
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式
【例3】　在△ABC中，求证： sin A＋ sin B＋2 sin · cos ＝4
cos cos cos .
证明：由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－（A＋B），
即 ＝90°－ ，
∴ cos ＝ sin ，
∴ sin A＋ sin B＋2 sin cos
＝2 sin cos ＋2 sin cos
＝2 sin （ cos ＋ cos ）
＝2 cos ·2 cos · cos （－ ）
＝4 cos cos cos ，
∴原等式成立.
通性通法
1. 证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数
式的化简与求值.
2. 证明三角恒等式的总体要求：通过三角公式进行恒等变形，论证等
式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密.
【跟踪训练】
求证：tan －tan ＝ .
证明：法一　∵tan －tan ＝ －
＝ ＝ ＝ ＝
＝ .∴原式成立.
法二　∵ ＝
＝ ＝ － ＝tan －tan .∴原式成立.
1. cos cos ＝（　　）
解析：　 cos cos ＝ ［ cos （ ＋ ）＋ cos ］＝
＋ cos ＝ ＋ .
2. 将 sin 40°＋ 化为积的形式为（　　）
A. sin 50° sin 10° B. － sin 50° sin 10°
C. sin 50° cos 10° D. － sin 50° cos 10°
解析：　 sin 40°＋ ＝ （ sin 40°＋ sin 60°）＝ sin 50°
cos 10°.
3.2 sin 50° cos 10°＝（　　）
解析：　2 sin 50° cos 10°＝ sin （50°＋10°）＋ sin （50°－
10°）＝ sin 60°＋ sin 40°＝ ＋ sin 40°.
4. 把 cos x＋ 化为积的形式为 　2 　.
解析： cos x＋ ＝ cos x＋ cos ＝2 cos · cos ＝2 cos
cos .
2 cos cos 　
5. 求函数y＝ sin sin 的最小正周期.
解：y＝ sin cos x＝ ［ sin ＋ sin ］＝ sin
＋ ，
∴函数的最小正周期T＝ ＝π.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin 37.5° cos 7.5°＝（　　）
解析：　原式＝ [ sin （37.5°＋7.5°）＋ sin （37.5°－
7.5°）]＝ （ sin 45°＋ sin 30°）＝ ×（ ＋ ）＝ .
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2. 有下列关系式：① sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 8θ cos 2θ；② cos 3θ
－ cos 5θ＝－2 sin 4θ sin θ；③ cos 5θ＋ cos 3θ＝2 cos 4θ cos
θ，其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：　 sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 4θ cos θ，故①错误； cos 3θ
－ cos 5θ＝－2 sin 4θ sin （－θ）＝2 sin 4θ sin θ，故②错误，
③正确.
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3. 化简： ＝（　　）
A. sin 10° B. tan 10°
C. sin 20° D. tan 20°
解析：　原式＝ ＝ ＝tan 20°.
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4. cos 20°＋ cos 60°＋ cos 100°＋ cos 140°＝（　　）
解析：　原式＝（ cos 20°＋ cos 140°）＋ cos 100°＋ cos 60°
＝2 cos 80° cos 60°＋ cos 100°＋ cos 60°＝ cos 80°－ cos 80°
＋ cos 60°＝ .
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5. 函数f（x）＝2 sin sin （ － ）的最大值是（　　）
解析：　f（x）＝2 sin sin （ － ）＝2×（－ ）·［ cos （
＋ － ）－ cos （ － ＋ ）］＝－ cos ＋ cos （x－ ）＝－
＋ cos （x－ ）≤－ ＋1＝ ，即f（x）的最大值为 .
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6. （多选）在△ABC中，若B＝30°，则 cos A sin C的取值可以是
（　　）
A. －1
解析：　 cos A sin C＝ [ sin （A＋C）－ sin （A－C）]＝
－ sin （A－C）.∵－1≤ sin （A－C）≤1，∴ cos A sin C∈
［－ ， ］.
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7. cos （x＋2 024）－ cos （x－2 024）＝ .
解析：原式＝－2 sin · sin ＝－2 sin
x sin 2 024.
－2 sin x sin 2 024　
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8. cos 37.5° cos 22.5°＝ .
解析： cos 37.5° cos 22.5°＝ （ cos 60°＋ cos 15°）＝ ＋
cos 15°＝ .
　
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9. ＝ 　 　.
解析： ＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
　
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10. 化简： sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β].
解： sin （α＋β） cos α－ ［ sin （2α＋β）－ sin β］＝
［ sin （α＋β＋α）＋ sin （α＋β－α）］－ ［ sin （2α＋
β）－ sin β］＝ sin （2α＋β）＋ sin β－ sin （2α＋β）
＋ sin β＝ sin β.
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11. 在△ABC中，若 sin A sin B＝ （1＋ cos C），则△ABC是（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 直角三角形
解析：　由已知得 sin A sin B＝－ [ cos （A＋B）－ cos （A－
B）]＝ （1＋ cos C）.又A＋B＝π－C，所以 cos （A－B）－
cos （π－C）＝1＋ cos C，所以 cos （A－B）＝1.又－π＜A－
B＜π，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形.
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12. 若 sin α＋ sin β＝ （ cos β－ cos α）且α∈（0，π），β∈
（0，π），则α－β＝（　　）
解析：　∵α，β∈（0，π），∴ sin α＋ sin β＞0，∴ cos β
－ cos α＞0， cos β＞ cos α.又在（0，π）上，y＝ cos x单调递
减，∴β＜α，∴0＜α－β＜π.由题意可知，2 sin · cos
＝ （－2 sin · sin ），∴tan ＝ ，∴ ＝ ，
∴α－β＝ .
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13. 设直角三角形中两锐角为A和B，则 cos A cos B的取值范围
是 .
解析：由已知可得A＋B＝C＝ ，则 cos A cos B＝ [ cos （A－
B）＋ cos （A＋B）]＝ cos （A－B）.又因为A－B∈（－
， ），所以 cos （A－B）∈（0， ］.
（0， ］　
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14. 求证： ·tan 25°＝ .
证明：左边＝
＝
＝
＝ ＝
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＝
＝ ＝ ＝ ＝右边.
所以原等式成立.
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15. 已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B， ＋ ＝
－ ，则 cos ＝ 　 　.
　
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解析：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，所以 ＋
＝ ＝－2 ，即 cos A＋ cos C＝－2 cos A cos C，则2
cos cos ＝－ [ cos （A＋C）＋ cos （A－C）]，将
cos ＝ cos 60°＝ ， cos （A＋C）＝ cos 120°＝－ 代入
上式，得 cos ＝ － cos （A－C），
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因为 cos （A－C）＝ cos （ ＋ ）＝ cos cos － sin
sin ＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos 2 －（1－ cos 2 ）＝2 cos
2 －1，代入上式并整理得4 · cos 2 ＋2 cos －3 ＝0，即
（2 cos － ）（2 cos ＋3）＝0.因为2 cos ＋3≠0，
所以2 cos － ＝0.所以 cos ＝ .
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16. 已知向量a＝（ sin B，1－ cos B）与向量b＝（2，0）的夹角为
，其中A，B，C是△ABC的内角.
（1）求B的大小；
解：由题意，得｜a｜＝ ＝
，｜b｜＝2，a·b＝2 sin B.
由夹角公式，得 cos ＝ ，
整理得2 sin 2B＋ cos B－1＝0，
即2 cos 2B－ cos B－1＝0.
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所以 cos B＝1（舍去）或 cos B＝－ .
又因为0＜B＜π，
所以B＝ .
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（2）求 sin A＋ sin C的取值范围.
解：因为A＋B＋C＝π，B＝ ，
所以A＋C＝ .
所以－ ＜A－C＜ .
所以－ ＜ ＜ .
所以 sin A＋ sin C＝2 sin cos
＝2 sin cos ＝ cos .
所以 sin A＋ sin C的取值范围是 .
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