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拓 视 野　三角恒等变换中的“四变”策略
类型一 变角——角的变换
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果.
【例1】　已知tan（α＋β）＝4，tan（α－β）＝2，则sin 4α＝　　　　.
尝试解答
类型二 变名——函数名称变换
对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率.
【例2】　当0＜x＜时，函数f（x）＝的最小值是　　　　.
尝试解答
类型三 变幂——升幂与降幂变换
分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简解题的目的.
【例3】　已知α为第二象限角，且sin α＝，则＝　　　　.
尝试解答
类型四 变数——常数变换
【例4】　已知tan（＋α）＝2，则＝　　　　.
尝试解答
拓视野　三角恒等变换中的“四变”策略
【例1】　－　解析：因为tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝＝－，所以sin 4α＝＝－.
【例2】　4　解析：因为0＜x＜，所以0＜tan x＜1，所以f（x）＝＝≥4，当且仅当tan x＝时取“＝”.
【例3】　－　解析：
＝
＝＝.
又α为第二象限角，且sin α＝，
所以cos α＝－，
所以＝＝－.
【例4】　　解析：由tan（＋α）＝＝2，得tan α＝，于是＝＝＝.
1 / 1(共32张PPT)
拓 视 野　三角恒等变换中的“四变”策略
类型一 变角——角的变换
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实
现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变
换得出所要求的结果.
【例1】　已知tan（α＋β）＝4，tan（α－β）＝2，则 sin 4α
＝ .
－ 　
解析：因为tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝
＝－ ，
所以 sin 4α＝ ＝－ .
类型二 变名——函数名称变换
对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入
手，寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式，通过变
换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率.
【例2】　当0＜x＜ 时，函数f（x）＝ 的最小值
是 .
解析：因为0＜x＜ ，
所以0＜tan x＜1，所以f（x）＝ ＝ ≥4，
当且仅当tan x＝ 时取“＝”.
4　
类型三 变幂——升幂与降幂变换
分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分
结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而
达到化简解题的目的.
【例3】　已知α为第二象限角，且 sin α＝ ，则
＝ .
－ 　
解析： ＝ ＝ ＝
.又α为第二象限角，且 sin α＝ ，所以 cos α＝－ ，所以
＝ ＝－ .
类型四 变数——常数变换
【例4】　已知tan（ ＋α）＝2，则 ＝ 　 　.
解析：由tan（ ＋α）＝ ＝2，得tan α＝ ，于是
＝ ＝ ＝ .
　
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. tan 15°＝（　　）
解析：　由tan ＝ ，得tan 15°＝ ＝2－ .
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2. 已知180°＜α＜360°，则 cos ＝（　　）
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3. 使函数f（x）＝ sin （2x＋θ）＋ cos （2x＋θ）为奇函数的
θ的一个值是（　　）
解析：　f（x）＝ sin （2x＋θ）＋ cos （2x＋θ）＝2 sin
.当θ＝ π时，f（x）＝2 sin （2x＋π）＝－2 sin 2x
是奇函数.
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4. 化简 ＝（　　）
A. － cos 1 B. cos 1
解析：　原式＝ ＝ ＝
cos 1，故选C.
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5. （多选）下列命题是真命题的有（　　）
B. x，y∈R， sin （x－y）＝ sin x－ sin y
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解析：　因为 sin 2 ＋ cos 2 ＝1≠ ，所以A为假命题；当x＝
y＝0时， sin （x－y）＝ sin x－ sin y，所以B为真命题；因为
＝ ＝｜ sin x｜＝ sin x，x∈[0，π]，所以C
为真命题；当x＝ ，y＝2π时， sin x＝ cos y，但x＋y≠ ，所以
D为假命题.故选B、C.
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6. （多选）函数f（x）＝ （1＋ cos 2x）· sin 2x（x∈R），则下列
说法正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
C. f（x）是奇函数
D. f（x）是偶函数
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解析：　因为f（x）＝ （1＋ cos 2x）（1－ cos 2x）＝ （1
－ cos 22x）＝ sin 22x＝ （1－ cos 4x）.又f（－x）＝f
（x），所以函数f（x）是最小正周期为 的偶函数，选B、D.
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7. 某同学在一次研究性学习中发现以下规律：
① sin 60°＝ ；
② sin 120°＝ ，请根据以上规律写出符合题意的一个等
式 .（答案不唯一）
解析： sin 30°＝ （只要符合公式 sin α＝ 且有
意义即可）.
sin 30°＝ 　
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8. 函数f（x）＝ sin －2 sin 2x的最小正周期是 .
解析：∵f（x）＝ sin 2x－ cos 2x－ （1－ cos 2x）＝
sin 2x＋ cos 2x－ ＝ sin － ，∴T＝ ＝π.
π　
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9. 在△ABC中，若 cos A＝ ，则 sin 2 ＋ cos 2A＝ 　－ 　.
解析： sin 2 ＋ cos 2A＝ ＋2 cos 2A－1＝
＋2 cos 2A－1＝－ .
－ 　
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10. 已知函数f（x）＝4 cos x sin －1.
（1）求f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝4 cos x sin －1
＝4 cos x －1
＝ sin 2x＋2 cos 2x－1
＝ sin 2x＋ cos 2x＝2 sin ，
所以f（x）的最小正周期为π.
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（2）求f（x）在区间 上的最大值与最小值.
解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ ，
所以当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）有最大值2，
当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）有最小值－1.
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11. 设函数f（x）＝2 cos 2x＋ sin 2x＋a（a为实常数）在区间
［0， ］上的最小值为－4，那么a＝（　　）
A. 4 B. －6 C. －4 D. －3
解析：　f（x）＝2 cos 2x＋ sin 2x＋a＝1＋ cos 2x＋ sin
2x＋a＝2 sin （2x＋ ）＋a＋1.当x∈［0， ］时，2x＋ ∈
［ ， ］，∴f（x）min＝2×（－ ）＋a＋1＝－4.∴a＝－4.
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12. （多选）已知函数f（x）＝ cos 2x－2 sin x cos x，则下列结论
中正确的是（　　）
A. 存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立
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解析：　易知f（x）＝2 sin ＝2 sin （2x＋ ），
∴f（x）的最小正周期T＝π，A正确；令－ ＋2kπ≤2x＋
≤ ＋2kπ（k∈Z），得－ ＋kπ≤x≤－ ＋kπ（k∈Z），∴f
（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ，－ ＋kπ］（k∈Z），B
错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋ ＝kπ（k∈Z），∴x＝
－ （k∈Z），当k＝1时，x＝ ，C正确；f ＝2 sin
＝－ ≠±2，D错误.故选A、C.
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13. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定
理，成为了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如
图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH
拼成的一个大正方形ABCD，设Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较
小的锐角∠FAB＝α.若（a＋b）2＝196，正方形ABCD的面积
为100，则 cos 2α＝ 　 　，
sin － cos ＝ 　－ 　.
　
－ 　
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解析：由已知得a2＋b2＝100，（a＋b）2＝196，且a＞b，解得
a＝8，b＝6，所以 cos α＝ ＝ ，所以 cos 2α＝2 cos 2α－1＝
2×（ ）2－1＝ ，因为0＜α＜ ，所以0＜ ＜ ，所以 sin
＝ ＝ ， cos ＝ ＝ ，所以 sin － cos ＝
－ ＝－ .
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14. 已知f（x）＝ ，若α∈（ ，π），化简：f（ cos α）＋f
（－ cos α）.
解：f（ cos α）＋f（－ cos α）＝ ＋ ＝｜tan
｜＋｜ ｜.
∵ ＜α＜π，∴ ＜ ＜ ，∴tan ＞0，故f（ cos α）＋f（－
cos α）＝tan ＋ ＝ ＝ · ＝ ＝ .
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15. 已知函数f（x）＝ ，则f（ － ）＝ .
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解析：f（x）＝
＝
＝ ＝2 cos 2x.
f（ － ）＝2 cos ＝2 cos ＝－ .
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16. 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，四边形
ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的
平分线，E在 上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值
时，矩形ABCD的面积最大？并求最大面积.
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解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点
N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别
为AD，BC的中点，
在Rt△ONC中，CN＝ sin α，ON＝ cos α，
OM＝ ＝ DM＝ CN＝ sin α，
所以MN＝ON－OM＝ cos α－ sin α，
即AB＝ cos α－ sin α，
而BC＝2CN＝2 sin α，
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故S矩形ABCD＝AB·BC＝（ cos α－ sin α）·2 sin α＝2 sin α
cos α－2 sin 2α＝ sin 2α－ （1－ cos 2α）
＝ sin 2α＋ cos 2α－
＝2 － ＝2 sin － .
因为0＜α＜ ，
所以0＜2α＜ ， ＜2α＋ ＜ .
故当2α＋ ＝ ，即α＝ 时，S矩形ABCD取得最大值，
此时S矩形ABCD＝2－ .
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