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3.1　二倍角公式
1.函数f（x）＝sin xcos x的最小值是（　　）
A.－1　　　　　　　　　B.－
C. D.1
2.已知x∈，cos x＝，则tan 2x＝（　　）
A. B.－
C. D.－
3.已知sin 2α＝，则cos2＝（　　）
A. B.
C. D.
4.函数f（x）＝2sin x－sin 2x在[0，2π]内的零点个数为（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
5.（多选）下列各式中，值为的是（　　）
A.sin 30°cos 30° B.cos230°－sin230°
C. D.
6.（多选）函数f（x）＝sin 2x＋sin2x，x∈R，下列说法正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.f（0）＝0
C.f（x）的值域为
D.f（x）的值域为
7.2sin222.5°－1＝　　　　.
8.已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α＝　　　　.
9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝　　　　.
10.求下列各式的值：
（1）2tan 15°＋tan215°；
（2）sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
11.已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈（0，π），则2α－β＝（　　）
A. B.或
C.－ D.或或－
12.（多选）已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
B.函数f（x）的图象关于点对称
C.函数f（x）是奇函数
D.函数f（x）的最小正周期为π
13.已知α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan＝，则tan α＝　　　；β＝　　　.
14.已知sin α＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈.
（1）求sin 2α和tan 2α的值；
（2）求cos（α＋2β）的值.
15.（多选）已知ω＞0，函数f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　）
A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
B.函数f（x）在区间上单调递增
C.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得函数g（x）＝cos 2x的图象
D.当x∈时，函数f（x）的最大值为1，最小值为－
16.某市为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角∠AOB＝.
（1）如图①，将扇形的内切圆E区域作为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草改造为景观绿地，求内切圆的半径r；
（2）如图②，扇形内有一矩形MNOP（边OP在半径OA上，点M在上）区域为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草改造为景观绿地，设∠MOA＝θ.求市民健身活动场所矩形MNOP面积的最大值.
3.1　二倍角公式
1.B　f（x）＝sin 2x∈.
2.D　由cos x＝，x∈，得sin x＝－，所以tan x＝－，所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
3.A　cos2＝＝＝＝＝，故选A.
4.B　f（x）＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·（1－cos x），令f（x）＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
5.CD　因为sin 30°cos 30°＝sin 60°＝×＝，所以A不正确；因为cos230°－sin230°＝cos 60°＝，所以B不正确；因为＝×＝tan 60°＝，所以C正确；因为＝＝，所以D正确.故选C、D.
6.BC　f（x）＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin（ 2x－）＋，所以T＝＝π，所以A不正确；f（0）＝×＋＝0，所以B正确；因为－1≤sin≤1，所以f（x）＝sin 2x＋sin2x的值域为，所以C正确，D不正确.
7.－　解析：原式＝－cos 45°＝－.
8.－　解析：由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－.
9.　解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
10.解：（1）原式＝tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝×（1－tan215°）＋tan215°＝1.
（2）法一　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝＝
＝·＝.
法二　令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，
y＝cos 10°cos 50°cos 70°.
则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°·cos 70°
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°sin 80°sin 40°
＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.
因为y≠0，所以x＝.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.
11.C　∵tan α＝＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，），2α∈（0，π），∴tan 2α＝＝＝＞0，∴2α∈（0，）.∵tan β＝－＜0，且β∈（0，π），∴β∈（，π），∴2α－β∈（－π，0），又tan（2α－β）＝
＝＝1，∴2α－β＝－.
12.BCD　因为f（x）＝＝＝－tan x，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选B、C、D.
13.　　解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－（1－2sin2α）＝sin αcos α，即2sin2α＝sin α·cos α.因为α为锐角，所以sin α≠0，所以2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.因为β为锐角，所以β＝.
法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.因为β为锐角，所以β＝.
14.解：（1）由题意得（sin α＋cos α）2＝，即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，又易知2α∈，
所以cos 2α＝＝，
所以tan 2α＝＝.
（2）因为β∈，β－∈，sin＝，
所以cos＝，
所以sin
＝2sincos＝.
又sin＝－cos 2β，
所以cos 2β＝－.
又易知2β∈，所以sin 2β＝.
又cos2α＝＝，所以cos α＝，所以sin α＝，所以cos（α＋2β）＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－.
15.AD　因为f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，所以T＝＝π，所以ω＝1，所以f（x）＝sin.由2x＋＝，得x＝，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称，所以A正确；当x∈［，］时，2x＋∈，所以函数f（x）在区间上单调递减，故B不正确；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为y＝f＝sin＝sin 2x，所以C不正确；当x∈时，2x＋∈，所以f（x）∈，故D正确.
16.解：（1）连接OE并延长交于点C，设圆E与OA相切于点D，连接ED，如图.
由题意设EC＝ED＝r，则OE＝200－r，∠EOD＝，
所以在Rt△EOD中，ED＝OEsin ，即r＝（200－r），
解得r＝400－600（m）.
（2）在Rt△OPM中，OP＝OMcos θ＝200cos θ，MP＝OMsin θ＝200sin θ，
所以矩形MNOP的面积为OP·MP＝40 000sin θ·cos θ＝20 000sin 2θ，
所以当2θ＝，即θ＝时，矩形MNOP的面积有最大值为20 000 m2.
2 / 2§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
新课程标准解读 核心素养
1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式，了解它们的内在联系 逻辑推理、数学运算
2.能够运用二倍角公式解决化简、求值问题 数学运算
　　世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多.在三角恒等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？
【问题】　在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若β＝α，公式还成立吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝　　　 Sα＋β S2α
余弦 cos 2α＝　　　 ＝　　　　 ＝　　　　 Cα＋β C2α
正切 tan 2α＝　　　　 Tα＋β T2α
提醒　二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍等，“倍”描述的是两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对任意α∈R，总有sin 2α＝2sin α.（　　）
（2）对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.（　　）
（3）对任意α∈R，总有tan 2α＝.（　　）
（4）sin 22°30'cos 22°30'＝.（　　）
2.已知cos x＝，则cos 2x＝（　　）
A.－　　　　　　　　B.
C.－ D.
3.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝　　　　.
题型一 二倍角公式的正用、逆用
【例1】　求下列各式的值：
（1）sin2π－cos2π；
（2）；
（3）cos 20°·cos 40°·cos 80°.
尝试解答
通性通法
对于给角求值问题，一般有两类
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1）sin cos ；
（2）；
（3）cos4－sin4.
题型二 利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】　已知sin（x＋）＝，x∈（0，）.
（1）求tan 2x的值；
（2）求2cos2（x＋π）＋cos（－2x）的值.
尝试解答
通性通法
解决条件求值问题的方法
　　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
【跟踪训练】
已知sin α＝，α∈（0，），则cos（2α＋）的值为（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
题型三 利用二倍角公式解决化简与证明问题
【例3】　（1）化简：－；
（2）求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos 2Acos 2B.
尝试解答
通性通法
利用二倍角公式化简与证明的方法
（1）化简的方法：①尽可能地利用二倍角公式及其变形降低三角函数的次数，将函数名称尽可能地统一，将复角化单角，尽量统一角度；②要求化简后的结果能求值的求值，不能求值的要保证三角函数名种类最少、项数最少、次数最低，分式分母中尽量不含根号；
（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
【跟踪训练】
　（1）求证：·＝tan 2α；
（2）化简：.
题型四 二倍角公式在实际问题中的应用
【例4】　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
（1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
（2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
尝试解答
通性通法
1.解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.
2.在三角形中讨论三角函数问题时，要注意三角形内角和定理A＋B＋C＝π，以及各角的范围是（0，π）.
【跟踪训练】
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
1.若sin＝，则cos α＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.已知sin α＝－，π＜α＜，则sin 2α＝（　　）
A. B.－
C.－ D.
3.若sin 2α＝－，则cos2（α－）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
4.求值：＝　　　　.
3.1　二倍角公式
【基础知识·重落实】
知识点
2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.D　cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.
3.－　解析：∵sin α－cos α＝，两边平方得sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝－（ cos2π－sin2π）＝－cos π＝－cos＝cos ＝.
（2）原式＝
＝2×＝2×＝2.
（3）原式＝
＝
＝
＝＝＝.
跟踪训练
　解：（1）原式＝×2sin cos ＝×sin ＝.
（2）原式＝·
＝×tan 45°＝.
（3）原式＝（ cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos2－sin2＝cos ＝.
【例2】　解：（1）sin（x＋）＝cos x＝，
由于x∈（0，），所以sin x＝，
故tan x＝＝2，
故tan 2x＝－.
（2）由2cos2（x＋π）＋cos（－2x）
＝
＝＝.
跟踪训练
　A　因为sin α＝，α∈（0，），所以cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×（）2＝.所以cos（2α＋）＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.故选A.
【例3】　解：（1）原式＝＝＝tan 2θ.
（2）证明：左边＝－
＝
＝（cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B）
＝cos 2Acos 2B＝右边，∴原等式成立.
跟踪训练
　解：（1）证明：左边＝·＝tan 2α＝右边，∴原等式成立.
（2）原式
＝
＝
＝
＝＝＝1.
【例4】　解：（1）连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40 cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以2θ∈（0，π），所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400（m2）.
此时AO＝DO＝10（m）.
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
（2）由（1）知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin （θ＋），
又θ∈，所以θ＋∈，
当θ＋＝，即θ＝时，（AB＋BC＋CD）max＝40，
此时AO＝DO＝10，即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
跟踪训练
　解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝（cos α－sin α）sin α
＝cos αsin α－sin2α
＝sin 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜.
∴当2α＋＝，即α＝时，S最大＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
随堂检测
1.C　因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.
2.D　因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
3.C　cos2（α－）＝＝＝＝.
4.　解析：∵sin 50°（1＋tan 10°）
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.
3 / 4(共72张PPT)
3.1　二倍角公式
新课程标准解读 核心素养
1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角
公式，了解它们的内在联系 逻辑推理、
数学运算
2.能够运用二倍角公式解决化简、求值问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般
性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多.在三角恒
等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？
【问题】　在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若β＝α，公式还
成立吗？




知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
函数 公式 β＝α 简记符
号
正弦 sin 2α＝ Sα＋β S2α
余弦 cos 2α＝ ＝
＝ Cα＋β C2α
正切 tan 2α＝ Tα＋β T2α
2 sin α cos α　
cos 2α－ sin 2α　
2
cos 2α－1　
1－2 sin 2α　
　
提醒　二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二
倍，α是 的二倍等，“倍”描述的是两个数量之间的关系，这里蕴
含着换元思想.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对任意α∈R，总有 sin 2α＝2 sin α. （　×　）
（2）对任意α∈R，总有 cos 2α＝1－2 cos 2α. （　×　）
（3）对任意α∈R，总有tan 2α＝ . （　×　）
（4） sin 22°30' cos 22°30'＝ . （　√　）
×
×
×
√
2. 已知 cos x＝ ，则 cos 2x＝（　　）
A. － B. C. － D.
解析：　 cos 2x＝2 cos 2x－1＝2× －1＝ .
3. 已知 sin α－ cos α＝ ，则 sin 2α＝ 　－ 　.
解析：∵ sin α－ cos α＝ ，两边平方得 sin 2α＋ cos 2α－2 sin
α cos α＝ ，∴2 sin α cos α＝－ ，即 sin 2α＝－ .
－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二倍角公式的正用、逆用
【例1】　求下列各式的值：
（1） sin 2 π－ cos 2 π；
解：原式＝－ ＝－ cos π
＝－ cos ＝ cos ＝ .
（2） ；
解：原式＝ ＝2× ＝2× ＝2.
（3） cos 20°· cos 40°· cos 80°.
解：原式＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
对于给角求值问题，一般有两类
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的
基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍
角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用
二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公
式的形式.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1） sin cos ；
解：原式＝ ×2 sin cos ＝ × sin ＝ .
（2） ；
解：原式＝ ·
＝ ×tan 45°＝ .
（3） cos 4 － sin 4 .
解：原式＝
＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ .
题型二 利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】　已知 sin （x＋ ）＝ ，x∈（0， ）.
（1）求tan 2x的值；
解： sin （x＋ ）＝ cos x＝ ，
由于x∈（0， ），所以 sin x＝ ，
故tan x＝ ＝2 ，
故tan 2x＝－ .
（2）求2 cos 2（x＋π）＋ cos （ －2x）的值.
解：由2 cos 2（x＋π）＋ cos （ －2x）＝
＝ ＝ .
通性通法
解决条件求值问题的方法
　　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观
察方向：
（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角
的变换和角之间的二倍关系.
【跟踪训练】
已知 sin α＝ ，α∈（0， ），则 cos （2α＋ ）的值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　因为 sin α＝ ，α∈（0， ），所以 cos α＝
＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝
， cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×（ ）2＝ .所以 cos （2α＋ ）
＝ cos 2α－ sin 2α＝ × － × ＝ .故选A.
题型三 利用二倍角公式解决化简与证明问题
【例3】　（1）化简： － ；
解：原式＝ ＝ ＝tan 2θ.
（2）求证： cos 2（A＋B）－ sin 2（A－B）＝ cos 2A cos 2B.
解：证明：左边＝ －
＝
＝ （ cos 2A cos 2B－ sin 2A sin 2B＋ cos 2A cos 2B＋ sin 2A
sin 2B）＝ cos 2A cos 2B＝右边，∴原等式成立.
通性通法
利用二倍角公式化简与证明的方法
（1）化简的方法：①尽可能地利用二倍角公式及其变形降低三角函
数的次数，将函数名称尽可能地统一，将复角化单角，尽量统
一角度；②要求化简后的结果能求值的求值，不能求值的要保
证三角函数名种类最少、项数最少、次数最低，分式分母中尽
量不含根号；
（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于
另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析
法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
【跟踪训练】
　（1）求证： · ＝tan 2α；
解：证明：左边＝ · ＝tan 2α＝右边，∴原等式成立.
（2）化简： .
解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ＝1.
题型四 二倍角公式在实际问题中的应用
【例4】　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地
上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直
径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
（1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的
面积最大，最大值是多少？
解：连接OB，如图所示，
设∠AOB＝θ，则AB＝OB sin θ＝20 sin θ，
OA＝OB cos θ＝20 cos θ，且θ∈ .
因为A，D关于点O对称，
所以AD＝2OA＝40 cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40 cos θ·20 sin θ＝400 sin 2θ.
因为θ∈ ，
所以2θ∈（0，π），
所以当 sin 2θ＝1，
即θ＝ 时，Smax＝400（m2）.
此时AO＝DO＝10 （m）.
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
（2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D
位置，使步行小路的距离最远？
解：由（1）知AB＝20 sin θ，AD＝40 cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40 sin θ＋40 cos θ＝
40 sin （θ＋ ），
又θ∈ ，所以θ＋ ∈ ，
当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，（AB＋BC＋CD）max＝40 ，
此时AO＝DO＝10 ，即当A，D距离圆心O为10 m时，
步行小路的距离最远.
通性通法
1. 解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的
常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的
变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角
函数的有界性来解决.
2. 在三角形中讨论三角函数问题时，要注意三角形内角和定理A＋B
＋C＝π，以及各角的范围是（0，π）.
【跟踪训练】
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动
点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值
时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：在Rt△OBC中，OB＝ cos α，BC＝ sin α.
在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝ sin α，
∴AB＝OB－OA＝ cos α－ sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝（ cos α－ sin α） sin α
＝ cos α sin α－ sin 2α＝ sin 2α－
＝ －
＝ sin － .
由0＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ .
∴当2α＋ ＝ ，即α＝ 时，S最大＝ .
因此，当α＝ 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 .
1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ .
2. 已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，则 sin 2α＝（　　）
A. B. －
C. － D.
解析：　因为 sin α＝－ ，π＜α＜ ，所以 cos α＝－ .所以
sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ .
3. 若 sin 2α＝－ ，则 cos 2（α－ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：　 cos 2（α－ ）＝ ＝ ＝ ＝ .
4. 求值： ＝ 　 　.
解析：∵ sin 50°（1＋ tan 10°）
＝ sin 50°·
＝ sin 50°· ＝1，
　
cos 80°
＝ sin 10°
＝ sin 210°，
∴
＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数f（x）＝ sin x cos x的最小值是（　　）
A. －1 B. －
C. D. 1
解析：　f（x）＝ sin 2x∈ .
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2. 已知x∈ ， cos x＝ ，则tan 2x＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析：　由 cos x＝ ，x∈ ，得 sin x＝－ ，所以tan x
＝－ ，所以tan 2x＝ ＝ ＝－ ，故选D.
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3. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2 ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 cos 2 ＝ ＝ ＝ ＝
＝ ，故选A.
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4. 函数f（x）＝2 sin x－ sin 2x在[0，2π]内的零点个数为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：　f（x）＝2 sin x－2 sin x cos x＝2 sin x·（1－ cos x），令
f（x）＝0，则 sin x＝0或 cos x＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又
x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
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5. （多选）下列各式中，值为 的是（　　）
A. sin 30° cos 30° B. cos 230°－ sin 230°
C. D.
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解析：　因为 sin 30° cos 30°＝ sin 60°＝ × ＝ ，所以
A不正确；因为 cos 230°－ sin 230°＝ cos 60°＝ ，所以B不正
确；因为 ＝ × ＝ tan 60°＝ ，所以C正
确；因为 ＝ ＝ ，所以D正确.故选C、D.
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6. （多选）函数f（x）＝ sin 2x＋ sin 2x，x∈R，下列说法正确的
是（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π
B. f（0）＝0
C. f（x）的值域为
D. f（x）的值域为
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解析：　f（x）＝ sin 2x＋ sin 2x＝ sin 2x－ cos 2x＋ ＝
sin ＋ ，所以T＝ ＝π，所以A不正确；f（0）＝
× ＋ ＝0，所以B正确；因为－1≤ sin ≤1，所以f
（x）＝ sin 2x＋ sin 2x的值域为 ，所以C正确，D
不正确.
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7. 2 sin 222.5°－1＝ .
解析：原式＝－ cos 45°＝－ .
－ 　
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8. 已知α为第三象限角，且 cos α＝－ ，则tan 2α＝ 　－ 　.
解析：由题意可得， sin α＝－ ＝－ ，
∴tan α＝2，
∴tan 2α＝ ＝－ .
－ 　
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9. sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°＝ .
解析：原式＝ sin 6° cos 48° cos 24° cos 12°
＝
＝ ＝ ＝ .
　
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10. 求下列各式的值：
（1）2 tan 15°＋tan215°；
解：原式＝ tan 30°（1－tan215°）＋tan215°
＝ × （1－tan215°）＋tan215°＝1.
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（2） sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°.
解：法一　 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
＝ cos 20° cos 40° cos 80°
＝
＝ ＝
＝ · ＝ .
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法二　令x＝ sin 10° sin 50° sin 70°，
y＝ cos 10° cos 50° cos 70°.
则xy＝ sin 10° cos 10° sin 50° cos 50° sin 70° cos 70°
＝ sin 20°· sin 100°· sin 140°
＝ sin 20° sin 80° sin 40°
＝ cos 10° cos 50° cos 70°＝ y.
因为y≠0，所以x＝ .
从而有 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°＝ .
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11. 已知tan α＝ ，tan β＝－ ，且α，β∈（0，π），则2α－β
＝（　　）
A. B. 或
C. － D. 或 或－
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解析：　∵tan α＝ ＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，
），2α∈（0，π），∴tan 2α＝ ＝ ＝ ＞0，
∴2α∈（0， ）.∵tan β＝－ ＜0，且β∈（0，π），∴β∈
（ ，π），∴2α－β∈（－π，0），又tan（2α－β）＝
＝ ＝1，∴2α－β＝－ .
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12. （多选）已知函数f（x）＝ ，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称
B. 函数f（x）的图象关于点 对称
C. 函数f（x）是奇函数
D. 函数f（x）的最小正周期为π
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解析：因为f（x）＝ ＝ ＝－tan x ，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点 对称，故选B、C、D.
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13. 已知α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α cos α，tan ＝
，则tan α＝ 　 　；β＝ 　 　.
解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得1－（1－2 sin 2α）＝ sin
α cos α，即2 sin 2α＝ sin α· cos α.因为α为锐角，所以 sin
α≠0，所以2 sin α＝ cos α，即tan α＝ .
　
　
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法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝1.因
为β为锐角，所以β＝ .
法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.因为
β为锐角，所以β＝ .
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解：由题意得（ sin α＋ cos α）2＝ ，即1＋ sin 2α
＝ ，所以 sin 2α＝ ，又易知2α∈ ，
所以 cos 2α＝ ＝ ，
所以tan 2α＝ ＝ .
14. 已知 sin α＋ cos α＝ ，α∈ ， sin ＝ ，
β∈ .
（1）求 sin 2α和tan 2α的值；
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（2）求 cos （α＋2β）的值.
解：因为β∈ ，β－ ∈ ， sin
＝ ，所以 cos ＝ ，
所以 sin ＝2 sin cos ＝ .
又 sin ＝－ cos 2β，所以 cos 2β＝－ .
又易知2β∈ ，所以 sin 2β＝ .
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又 cos 2α＝ ＝ ，所以 cos α＝ ，所以 sin α＝ ，所以
cos （α＋2β）＝ cos α cos 2β－ sin α sin 2β＝ × －
× ＝－ .
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15. （多选）已知ω＞0，函数f（x）＝ sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－
的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称
B. 函数f（x）在区间 上单调递增
C. 将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度可得函数g（x）＝
cos 2x的图象
D. 当x∈ 时，函数f（x）的最大值为1，最小值为－
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解析：　因为f（x）＝ sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－ ＝ sin
2ωx＋ cos 2ωx＝ sin ，所以T＝ ＝π，所以ω＝1，
所以f（x）＝ sin .由2x＋ ＝ ，得x＝ ，所以函数f
（x）的图象关于直线x＝ 对称，所以A正确；当x∈［ ，
］时，2x＋ ∈ ，所以函数f（x）在区间 上
单调递减，故B不正确；
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将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度所得图象对应的函数为y＝f ＝ sin ＝ sin 2x，所以C不正确；当
x∈ 时，2x＋ ∈ ，所以f（x）∈ ，故D正确.
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16. 某市为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展
“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形荒地
改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角
∠AOB＝ .
（1）如图①，将扇形的内切圆E区域作为市民健身活动场所，其
余区域种植各种花草改造为景观绿地，求内切圆的半径r；
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解：连接OE并延长交 于点C，设圆E与OA相切于点D，连接ED，如图.
由题意设EC＝ED＝r，则OE＝200－r，
∠EOD＝ ，
所以在Rt△EOD中，ED＝OE sin ，即r＝ （200－r），
解得r＝400 －600（m）.
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（2）如图②，扇形内有一矩形MNOP（边OP在半径OA上，点
M在 上）区域为市民健身活动场所，其余区域种植各种
花草改造为景观绿地，设∠MOA＝θ.求市民健身活动场所
矩形MNOP面积的最大值.
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解：在Rt△OPM中，OP＝OM cos θ＝200 cos θ，MP＝OM sin θ＝200 sin θ，
所以矩形MNOP的面积为OP·MP＝40 000 sin θ· cos θ＝
20 000 sin 2θ，
所以当2θ＝ ，即θ＝ 时，矩形MNOP的面积有最大值
为20 000 m2.
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谢 谢 观 看！

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