资源简介

3.2　半角公式
1.tan 15°＝（　　）
A.2＋　　　　　　　　 B.2－
C.＋1 D.－1
2.已知180°＜α＜360°，则cos ＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.使函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为奇函数的θ的一个值是（　　）
A.　　　　B.　　　 C.　　　D.
4.化简＝（　　）
A.－cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.－cos 1
5.（多选）下列命题是真命题的有（　　）
A. x∈R，sin2＋cos2＝
B. x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y
C. x∈[0，π]，＝sin x
D.sin x＝cos y x＋y＝
6.（多选）函数f（x）＝（1＋cos 2x）·sin2x（x∈R），则下列说法正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的最小正周期为
C.f（x）是奇函数
D.f（x）是偶函数
7.某同学在一次研究性学习中发现以下规律：
①sin 60°＝；
②sin 120°＝，请根据以上规律写出符合题意的一个等式　　　　.（答案不唯一）
8.函数f（x）＝sin－2sin2x的最小正周期是　　　　.
9.在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝　　　　.
10.已知函数f（x）＝4cos xsin－1.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值与最小值.
11.设函数f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a＝（　　）
A.4 B.－6
C.－4 D.－3
12.（多选）已知函数f（x）＝cos 2x－2sin xcos x，则下列结论中正确的是（　　）
A.存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立
B.f（x）在区间上单调递增
C.函数f（x）的图象关于点对称
D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
13.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成为了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，设Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若（a＋b）2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝　　　　，sin －cos ＝　　　　.
14.已知f（x）＝，若α∈（，π），化简：f（cos α）＋f（－cos α）.
15.已知函数f（x）＝，则f（ －）＝　　　　.
16.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求最大面积.
3.2　半角公式
1.B　由tan ＝，得tan 15°＝＝2－.
2.C
3.D　f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin.当θ＝π时，f（x）＝2sin（2x＋π）＝－2sin 2x是奇函数.
4.C　原式＝＝＝cos 1，故选C.
5.BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C.
6.BD　因为f（x）＝（1＋cos 2x）（1－cos 2x）＝（1－cos22x）＝sin22x＝（1－cos 4x）.又f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是最小正周期为的偶函数，选B、D.
7.sin 30°＝　解析：sin 30°＝（只要符合公式sin α＝且有意义即可）.
8.π　解析：∵f（x）＝sin 2x－cos 2x－（1－cos 2x）＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，∴T＝＝π.
9.－　解析：sin2＋cos 2A
＝＋2cos2A－1
＝＋2cos2A－1＝－.
10.解：（1）f（x）＝4cos xsin－1
＝4cos x－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
所以f（x）的最小正周期为π.
（2）因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值2，
当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）有最小值－1.
11.C　f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin（2x＋）＋a＋1.当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，∴f（x）min＝2×（－）＋a＋1＝－4.∴a＝－4.
12.AC　易知f（x）＝2sin＝2sin（2x＋），∴f（x）的最小正周期T＝π，A正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤－＋kπ（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，－＋kπ］（k∈Z），B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ（k∈Z），∴x＝－（k∈Z），当k＝1时，x＝，C正确；f＝2sin＝－≠±2，D错误.故选A、C.
13.　－　解析：由已知得a2＋b2＝100，（a＋b）2＝196，且a＞b，解得a＝8，b＝6，所以cos α＝＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×（）2－1＝，因为0＜α＜，所以0＜＜，所以sin ＝＝，cos ＝＝，所以sin －cos ＝－＝－.
14.解：f（cos α）＋f（－cos α）＝＋＝｜tan ｜＋｜｜.
∵＜α＜π，∴＜＜，∴tan ＞0，故f（cos α）＋f（－cos α）＝tan ＋＝＝·＝＝.
15.－
解析：f（x）＝
＝
＝＝2cos 2x.
f（ －）＝2cos＝2cos＝－.
16.解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，
在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，
OM＝＝DM＝CN＝sin α，
所以MN＝ON－OM＝cos α－sin α，
即AB＝cos α－sin α，
而BC＝2CN＝2sin α，
故S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos α－sin α）·2sin α＝2sin αcos α－2sin2α＝sin2α－（1－cos 2α）
＝sin 2α＋cos 2α－
＝2－
＝2sin－.
因为0＜α＜，所以0＜2α＜，＜2α＋＜.
故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－.
2 / 23.2　半角公式
新课程标准解读 核心素养
1.能从倍角公式推导出半角公式，并了解它们的内在联系 逻辑推理、数学运算
2.能够运用半角公式，解决化简、求值问题 数学运算
　　类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也有倍角公式与半角公式，由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？
【问题】　由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　半角公式
提醒　（1）半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，sin，cos，tan 的值便可求出；（2）由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）半角公式对任意角都适用.（　　）
（2）cos＝.（　　）
（3）tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）.（　　）
2.若cos α＝，且α∈（0，π），则sin ＝（　　）
A.－　　　　　　　　 B.
C. D.－
3.已知α∈（0，），cos α＝，tan ＝　　　　　　　.
题型一 应用半角公式求值
【例1】　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值.
尝试解答
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
【跟踪训练】
1.求值cos ＝　　　　.
2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值.
题型二 三角函数式的化简
【例2】　化简：.
尝试解答
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择适当的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
　化简sin2（ α－）＋sin2（ α＋）－sin2α的结果是　　　　.
题型三 三角恒等变换的综合应用
【例3】　已知函数f（x）＝sin＋2cos2x－1.
（1）化简f（x）；
（2）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，若＜α＜且f（α）＝，求cos 2α的值.
2.（变条件）若本例中的“函数f（x）＝sin＋2cos2x－1”换为“f（x）＝sin2x＋asin xcos x－cos2x且f＝1”.
（1）化简f（x）；
（2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合.
通性通法
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈时，求函数f（x）的最大值及相应的x值.
1.sin ＝（　　）
A.　　 　　　 B.
C. D.
2.下列各式与tan α相等的是（　　）
A. B.
C. D.
3.已知cos θ＝－，π＜θ＜，则tan ＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
4.已知tan ＝，则cos α＝　　　　.
5.化简：＝　　　　.
3.2　半角公式
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.B
3.　解析：因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝.所以tan ＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：∵π＜α＜，sin α＝－，
∴cos α＝－，且＜＜，
∴sin ＝ ＝，
cos ＝ －＝－，
tan＝＝－2.
跟踪训练
1.　解析：cos＝＝＝.
2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，由半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
【例2】　解：∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴原式＝
＝
＝cos2－sin2＝cos α.
跟踪训练
　　解析：原式＝
＋－sin2α＝1－［cos（ 2α－）＋cos（ 2α＋）］－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝＋－＝.
【例3】　解：（1）f（x）＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝·sin 2x＋cos 2x＝sin，故f（x）＝sin.
（2）当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即 x＝kπ＋，k∈Z时，f（x）max＝1.故f（x）取最大值时x的取值集合为{xx＝kπ＋，k∈Z}.
母题探究
1.解：由题意f（α）＝sin＝.
由＜α＜，得＜2α＋＜，
所以cos＝－.
因此cos 2α＝cos＝coscos＋sinsin＝.
2.解：（1）∵f＝1，
∴sin2＋asincos－cos2＝1，
解得a＝2.
∴f（x）＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.
（2）当2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，f（x）有最大值，此时x的取值集合为{x｜x＝kπ＋，k∈Z}.
跟踪训练
　解：f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
（1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
（2）由x∈，
可得≤2x＋≤.
∴当2x＋＝，即x＝时，f（x）取最大值，最大值为2.
随堂检测
1.B　sin ＝＝＝＝＝.故选B.
2.D　＝＝＝tan α.
3.C　由已知得sin θ＝－＝－，则tan ＝＝＝－.
4.　解析：因为tan ＝±，
所以tan2＝.
所以＝，
解得cos α＝.
5.1　解析：原式＝＝＝1.
2 / 3(共33张PPT)
3.2　半角公式
新课程标准解读 核心素养
1.能从倍角公式推导出半角公式，并了解它们的内在
联系 逻辑推理、
数学运算
2.能够运用半角公式，解决化简、求值问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也
有倍角公式与半角公式，由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以
推导出哪些三角恒等式？
【问题】　由 cos 30°的值能否求出 sin 15°和 cos 15°的值？




知识点　半角公式
提醒　（1）半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式，
即只需知道 cos α的值及相应α的条件， sin ， cos ，tan 的值便
可求出；（2）由于tan ＝ 及tan ＝ 不含被开方数，且不
涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式
成立的条件.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）半角公式对任意角都适用. （　×　）
（2） cos ＝ . （　×　）
（3）tan ＝ ，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）. （　√　）
×
×
√
2. 若 cos α＝ ，且α∈（0，π），则 sin ＝（　　）
3. 已知α∈（0， ）， cos α＝ ，tan ＝ 　 　.
解析：因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α＝ .所以tan
＝ ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 应用半角公式求值
【例1】　已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解：∵π＜α＜ ， sin α＝－ ，
∴ cos α＝－ ，且 ＜ ＜ ，
∴ sin ＝ ＝ ，
cos ＝ － ＝－ ，
tan ＝ ＝－2.
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两
倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围.
【跟踪训练】
1. 求值 cos ＝ 　 　.
解析： cos ＝ ＝
＝ .
　
2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值.
解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，
由半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝ ，
cos θ＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan ＝ ＝ ＝ .
题型二 三角函数式的化简
【例2】　化简： .
解：∵ ＜α＜2π，
∴ ＜ ＜π，
∴原式＝
＝
＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos α.
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过
拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择适当的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统
一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升
幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
　化简 sin 2（ α－ ）＋ sin 2（ α＋ ）－ sin 2α的结果是 .
解析：原式＝ ＋ － sin 2α＝1－ ［ cos
（ 2α－ ）＋ cos （ 2α＋ ）］－ sin 2α＝1－ cos 2α· cos － sin
2α＝ ＋ － ＝ .
　
题型三 三角恒等变换的综合应用
【例3】　已知函数f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1.
（1）化简f（x）；
解：f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1＝ sin 2x· cos －
cos 2x· sin ＋ cos 2x＝ · sin 2x＋ cos 2x＝ sin ，故
f（x）＝ sin .
（2）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合.
解：当2x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，即 x＝kπ＋ ，k∈Z时，f（x）max＝1.故f（x）取最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ＋ ，k∈Z}.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，若 ＜α＜ 且f（α）＝ ，求 cos 2α
的值.
解：由题意f（α）＝ sin ＝ .
由 ＜α＜ ，
得 ＜2α＋ ＜ ，
所以 cos ＝－ .
因此 cos 2α＝ cos
＝ cos cos ＋ sin sin
＝ .
2. （变条件）若本例中的“函数f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－
1”换为“f（x）＝ sin 2x＋a sin x cos x－ cos 2x且f ＝1”.
（1）化简f（x）；
解：∵f ＝1，∴ sin 2 ＋a sin cos － cos 2 ＝1，
解得a＝2.
∴f（x）＝ sin 2x＋2 sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x＝
sin .
（2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合.
解：当2x－ ＝2kπ＋ （k∈Z），即x＝kπ＋ （k∈Z）时，f（x）有最大值 ，此时x的取值集合为{x｜x＝kπ＋ ，k∈Z}.
通性通法
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝2 sin x cos x＋2 cos 2x－1.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
解：f（x）＝2 sin x cos x＋2 cos 2x－1
＝ sin 2x＋ cos 2x＝2 sin .
（1）令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），
得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为 （k∈Z）.
（2）当x∈ 时，求函数f（x）的最大值及相应的x值.
解：由x∈ ，可得 ≤2x＋ ≤ .
∴当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取最大值，最大值为2.
1. sin ＝（　　）
解析： sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选B.
2. 下列各式与tan α相等的是（　　）
解析：　 ＝ ＝ ＝tan α.
3. 已知 cos θ＝－ ，π＜θ＜ ，则tan ＝（　　）
解析：　由已知得 sin θ＝－ ＝－ ，则tan ＝
＝ ＝－ .
4. 已知tan ＝ ，则 cos α＝ .
解析：因为tan ＝± ，所以tan2 ＝ .所以 ＝
，解得 cos α＝ .
　
5. 化简： ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝1.
1　
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