资源简介

一、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数的性质及三角函数式的化简与证明中.
培优一 三角函数的性质
【例1】　（1）函数f（x）＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是（　　）
A.3π和　　　　　B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
（2）函数f（x）＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值（　　）
A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2
C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为
尝试解答
培优二 三角函数式的化简与证明
【例2】　化简：＋
（π＜α＜π）.
尝试解答
【例3】　证明：（1＋tan xtan）＝tan x.
尝试解答
二、数学运算
数学运算在本章中通过三角恒等变换与求值进一步培养学生的数学运算核心素养.
培优三 三角恒等变换与求值
【例4】　（1）（2024·全国甲卷8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　　）
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　）
A.－3m　　B.－　 C.　　D.3m
尝试解答
三、数学建模
数学建模在本章中主要体现在三角函数模型在物理及现实生活中的应用中.
培优四 三角函数模型在现实生活中的应用
【例5】　某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.用θ分别表示出矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　（1）C　（2）D　解析：（1）因为函数f（x）＝sin＋cos＝（sin＋cos）＝（sincos＋cos
sin）＝sin，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C.
（2）由题意，f（－x）＝cos（－x）－cos（－2x）＝cos x－cos 2x＝f（x），所以该函数为偶函数，又f（x）＝cos x－cos 2x＝－2 cos2x＋cos x＋1＝－2＋，所以当cos x＝时，f（x）取最大值.故选D.
【例2】　解：因为π＜α＜π，所以＜＜π，所以＝｜cos｜＝－cos，＝｜sin｜＝sin，所以＋
＝＋
＝＋
＝－cos.
【例3】　证明：因为左边＝
（1＋tan xtan）
＝（1＋·tan）
＝sin x（1＋）
＝·
＝·＝＝tan x＝右边，所以原式成立.
【例4】　（1）B　（2）A　解析：（1）根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B.
（2）因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos α·cos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A.
【例5】　解：如图所示，设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝10.
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，
所以∠COE＝θ，
故OE＝40cos θ，EC＝40sin θ，
则矩形ABCD的面积为
2×40cos θ（40sin θ＋10）＝
800（4sin θcos θ＋cos θ），
△CDP的面积为×2×40cos θ（40－40sin θ）＝1 600（cos θ－sin θcos θ）.
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝10.
连接OG，令∠GOK＝θ0，则sin θ0＝＜，可知θ0∈.
当θ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sin θ的取值范围是.
故矩形ABCD的面积为800（4sin θcos θ＋cos θ）平方米，△CDP的面积为1 600（cos θ－sin θcos θ）平方米，sin θ的取值范围是.
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章末复习与总结
一、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命
题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数的性质及三角
函数式的化简与证明中.
培优一 三角函数的性质
【例1】　（1）函数f（x）＝ sin ＋ cos 的最小正周期和最大值分
别是（　　）
B. 3π和2
D. 6π和2
解析：因为函数f（x）＝ sin ＋ cos ＝ （ sin ＋
cos ）＝ （ sin cos ＋ cos sin ）＝ sin ，所以
函数f（x）的最小正周期T＝ ＝6π，最大值为 .故选C.
（2）函数f（x）＝ cos x－ cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值
（　　）
A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2
解析：由题意，f（－x）＝ cos （－x）－ cos （－2x）＝ cos x
－ cos 2x＝f（x），所以该函数为偶函数，又f（x）＝ cos x－
cos 2x＝－2 cos 2x＋ cos x＋1＝－2 ＋ ，所以当
cos x＝ 时，f（x）取最大值 .故选D.
培优二 三角函数式的化简与证明
【例2】　化简： ＋ （π＜α＜ π）.
解：因为π＜α＜ π，所以 ＜ ＜ π，
所以 ＝ ｜ cos ｜＝－ cos ，
＝ ｜ sin ｜＝ sin ，
所以 ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝－ cos .
【例3】　证明： （1＋tan xtan ）＝tan x.
证明：因为左边＝ （1＋tan xtan ）
＝ （1＋ ·tan ）
＝ sin x（1＋ ）＝ ·
＝ · ＝ ＝tan x＝右边，所以原式成立.
二、数学运算
　　数学运算在本章中通过三角恒等变换与求值进一步培养学生的数
学运算核心素养.
培优三 三角恒等变换与求值
【例4】　（1）（2024·全国甲卷8题）已知 ＝ ，则tan
（α＋ ）＝（　　）
解析：根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以
tan α＝1－ ，所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，
故选B.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，
tan αtan β＝2，则 cos （α－β）＝（　　）
A. －3m
解析：因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin
β＝m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β
＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m，即 cos
α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α
sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A.
D. 3m
三、数学建模
　　数学建模在本章中主要体现在三角函数模型在物理及现实生活中
的应用中.
培优四 三角函数模型在现实生活中的应用
【例5】　某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆
弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40
米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，
大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要
求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.
设OC与MN所成的角为θ.用θ分别表示出矩
形ABCD和△CDP的面积，并确定 sin θ的取
值范围.
解：如图所示，设PO的延长线交MN于H，
则PH⊥MN，所以OH＝10.
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，
所以∠COE＝θ，
故OE＝40 cos θ，EC＝40 sin θ，
则矩形ABCD的面积为2×40 cos θ（40 sin θ
＋10）＝800（4 sin θ cos θ＋ cos θ），
△CDP的面积为 ×2×40 cos θ（40－40 sin θ）
＝1 600（ cos θ－ sin θ cos θ）.
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN
＝10.
连接OG，令∠GOK＝θ0，则 sin θ0＝ ＜ ，可知θ0∈ .
当θ∈ 时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以 sin θ的取值范围是 .
故矩形ABCD的面积为800（4 sin θ cos θ＋ cos θ）平方米，△CDP
的面积为1 600（ cos θ－ sin θ cos θ）平方米， sin θ的取值范围
是 .
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