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章末检测（四）　三角恒等变换
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知sin α＝，则cos（π－2α）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.若α为第三象限角，则＋＝（　　）
A.3　　　B.－3　　　C.1　　　D.－1
3.函数f（x）＝3cos x－sin x的图象的一条对称轴方程是（　　）
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝－
4.在△ABC中，已知tan ＝sin C，则△ABC的形状为（　　）
A.正三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知sin 2α＝，tan（α－β）＝，则tan（α＋β）＝（　　）
A.－2 B.－1 C.－ D.
6.已知f（x）＝x2＋（sin θ－cos θ）x＋sin θ（θ∈R）的图象关于y轴对称，则sin 2θ＋cos 2θ＝（　　）
A. B.2 C. D.1
7.已知函数f（x）＝cos sin x，则函数f（x）满足（　　）
A.最小正周期为T＝2π
B.图象关于点对称
C.在区间上单调递减
D.图象关于直线x＝对称
8.已知α，β∈（0，），sin（2α＋β）＝2sin β，则tan β的最大值为（　　）
A. B.
C.1 D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列化简正确的是（　　）
A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B.sin 15°sin 30°sin 75°＝
C.＝1
D.cos215°－sin215°＝
10.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与f（x）＝cos x“互为生成函数”的有（　　）
A.f1（x）＝sin x B.f2（x）＝sin x＋cos x
C.f3（x）＝2sin2 D.f4（x）＝sincos
11.已知函数f（x）＝sin＋2cos2，则下列函数判断正确的是（　　）
A.f（x）为奇函数
B.f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x）在上单调递减
D.f（x）的图象关于点对称
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知sin（θ＋π）＝，且θ为第四象限角，则tan（θ－π）＝　　　　.
13.已知2sin α＋cos β＝，2cos α＋sin β＝－，则sin（α＋β）＝　　　　.
14.已知函数f（x）＝cos4x＋sin2x，给出下列结论：①f（x）是偶函数；②函数f（x）的最小值为；③是函数f（x）的一个周期；④函数f（x）在内单调递减，其中正确结论的序号是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知角θ满足tan＝－，求下列各式的值：
（1）；
（2）cos 2θ＋sin 2θ.
16.（本小题满分15分）已知＜α＜π，＜β＜π，cos α＝－，tan β＝－.
（1）求sin的值；
（2）求α＋β的值.
17.（本小题满分15分）在①x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴；②是函数f（x）的一个零点；③函数f（x）在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知函数f（x）＝2sin ωxcos－（0＜ω＜2），　　　　　，求f（x）在上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝4cos xsin （ x＋）＋1在区间上的值域为[－2，1].
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x0）＝－，x0∈，求cos 2x0的值.
19.（本小题满分17分）已知斜三角形ABC.
（1）证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C；
（2）利用（1）中结论，求值：
①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°，
②；
（3）若C＝135°，求tan A＋tan B的最小值.
章末检测（四）　三角恒等变换
1.B　2.B　3.A　4.C　5.A
6.D　∵f（x）＝x2＋（sin θ－cos θ）x＋sin θ（θ∈R）的图象关于y轴对称，∴y＝f（x）为偶函数，即f（－x）＝f（x），∴（－x）2＋（sin θ－cos θ）（－x）＋sin θ＝x2＋（sin θ－cos θ）x＋sin θ，∴sin θ－cos θ＝0，即sin θ＝cos θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋2cos2θ－1＝2sin2θ＋2cos2θ－1＝2－1＝1.故选D.
7.D　因为f（x）＝cossin x＝（sin x·cos x－sin2x）＝（sin 2x－1＋cos 2x）＝sin－，所以最小正周期为π，在上单调递增，当x＝时取最大值f（x）max＝－，故直线x＝是对称轴，故选D.
8.A　∵α，β∈（0，），sin（2α＋β）＝2sin β，∴sin[（α＋β）＋α]＝2sin[（α＋β）－α]，∴sin（α＋β）·cos α＋cos（α＋β）sin α＝2[sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α]，即3cos（α＋β）sin α＝sin（α＋β）cos α，∴tan（α＋β）＝3tan α，即tan（α＋β）＝＝3tan α，又α，β∈（0，），∴tan α＞0，tan β＞0，化简整理，可得tan β＝＝≤＝，当且仅当＝3tan α，即tan α＝时等号成立，此时tan β取得最大值.
9.CD　A中，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin（52°－82°）＝sin（－30°）＝－sin 30°＝－，故A错误；B中，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；C中，＝tan（21°＋24°）＝tan 45°＝1，故C正确；D中，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故D正确.
10.AC　f（x）＝cos x＝sin（x＋），由f1（x）＝sin x，则将f1（x）的图象向左平移个单位长度后，即可与f（x）的图象重合；由f2（x）＝sin x＋cos x＝sin（x＋），则f2（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合；由f3（x）＝2sin2＝1－cos x＝1＋sin（x－），则将f3（x）的图象向左平移π个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，即可与f（x）的图象重合；由f4（x）＝sincos＝sin x，则f4（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合.故A、C中的函数与f（x）“互为生成函数”.故选A、C.
11.BC　f（x）＝sin＋2cos2＝sin＋cos＋1＝2sin（2x＋）＋1＝2cos 2x＋1.f（x）为偶函数，故A错误；2x＝kπ，k∈Z，x＝，当k＝1时，x＝，故B正确；x∈，2x∈[0，π]，f（x）单调递减，故C正确； 2x＝kπ＋，k∈Z，x＝＋，关于点对称，故D错误.故选B、C.
12.－　解析：由sin（θ＋π）＝可知－sin θ＝，所以sin θ＝－，而θ为第四象限角，所以cos θ＝，于是tan（θ－π）＝tan θ＝＝－.
13.－　解析：由2sin α＋cos β＝两边平方可得4sin2α＋4sin αcos β＋cos2β＝①，由2cos α＋sin β＝－两边平方可得4cos2α＋4cos αsin β＋sin2β＝②，①＋②，可得5＋4sin αcos β＋4cos αsin β＝3，即4sin（α＋β）＝－2，即sin（α＋β）＝－.
14.①②③　解析：易知f（x）的定义域为R，其定义域关于原点对称，又f（－x）＝cos4（－x）＋sin2（－x）＝cos4x＋sin2x＝f（x），故函数f（x）是偶函数，故①正确；由于f（x）＝＋sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝＋，且sin2x∈[0，1]，所以当sin2x＝时，f（x）min＝，所以②正确；f＝sin4－sin2（ x＋）＋1＝cos4x＋1－cos2x＝cos4x＋sin2x，则f（x）＝f，故③正确；因为f＝，f＝1，所以f＜f，所以④错误.
15.解：由题意知tan＝＝－，得tan θ＝－3.
（1）＝＝＝tan θ＝－3.
（2）易知cos θ≠0，则cos 2θ＋sin 2θ＝＋＝＋＝＋＝－.
16.解：（1）因为＜α＜π，cos α＝－，所以sin α＝＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
（2）因为＜α＜π，＜β＜π，所以π＜α＋β＜2π.
由（1）可得tan α＝＝－.又因为tan β＝－，
所以tan（α＋β）＝＝＝－1，
故α＋β＝.
17.解：f（x）＝2sin ωxcos－＝2sin ωx（cos ωxcos ＋sin ωxsin ）－＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.
选择①x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴，
则－－＝kπ＋，k∈Z，即－＝kπ＋，k∈Z，
得ω＝－3k－2，k∈Z，
又0＜ω＜2，所以当k＝－1时，ω＝1，f（x）＝sin.
选择②是函数f（x）的一个零点，
则×2ω－＝kπ，k∈Z，即ω＝kπ＋，k∈Z，
得ω＝6k＋1，k∈Z.
又0＜ω＜2，所以当k＝0时，ω＝1，所以f（x）＝sin.
选择③f（x）在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为.
则T＝π＝，故ω＝1，所以f（x）＝sin.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤，令k＝－1，得－≤x≤－，
又－≤x≤，所以f（x）在上的单调递减区间为，.
18.解：（1）f（x）＝4cos xsin＋1＝－4cos xsin＋1
＝－4cos x＋1＝－2sin xcos x－2cos2x＋1
＝－sin 2x－cos 2x＝－2sin.
由题意得，当x∈时，－≤sin（ 2x＋）≤1，
令u＝2x＋，则u∈，
所以≤2a＋≤，所以≤a≤.
（2）由题意得0＜sin＝＜，x0∈，
则＜2x0＋＜π，所以cos＝－.
所以cos 2x0＝cos＝cos（ 2x0＋）cos＋sinsin＝.
19.解：（1）证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B），
∴tan C＝－，
∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B），
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
（2）①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋tan 20°tan 40°＋
＝tan 20°tan 40°tan 120°＋tan 20°tan 40°＋
＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＋＝.
②＝＝tan 120°＝－.
（3）∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜45°，且A＋B＝45°，
∴tan A＞0，tan B＞0，
∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°＝1－tan Atan B≥1－，
∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0，
解得tan A＋tan B≥2－2或tan A＋tan B≤－2－2（舍去），
∴tan A＋tan B≥2－2，当且仅当tan A＝tan B＝－1时取等号
∴tan A＋tan B的最小值为2－2.
3 / 3(共40张PPT)
章末检测（四）三角恒等变换
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知 sin α＝ ，则 cos （π－2α）＝（　　）
解析：　 cos （π－2α）＝－ cos 2α＝－（1－2 sin 2α）＝2×
（ ）2－1＝－ .故选B.
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2. 若α为第三象限角，则 ＋ ＝（　　）
A. 3 B. －3 C. 1 D. －1
解析：　∵α为第三象限角，∴ sin α＜0， cos α＜0，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝－ － ＝－
3.故选B.
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3. 函数f（x）＝3 cos x－ sin x的图象的一条对称轴方程是（　　）
解析：　∵f（x）＝3 cos x－ sin x＝2 （ cos x－ sin x）
＝2 cos ，∴函数的对称轴方程为x＋ ＝kπ，k∈Z，即
x＝kπ－ ，k∈Z，∴当k＝1时，x＝ 是其中的一条对称轴方
程.故选A.
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4. 在△ABC中，已知tan ＝ sin C，则△ABC的形状为（　　）
A. 正三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　在△ABC中，tan ＝ sin C＝ sin （A＋B）＝2 sin
cos ，所以2 cos 2 ＝1，所以 cos （A＋B）＝0.从而
A＋B＝ ，△ABC为直角三角形.
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5. 已知 sin 2α＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（α＋
β）＝（　　）
A. －2 B. －1
解析：　∵ ＜2α＜π，∴ cos 2α＝－ .∴tan 2α＝ ＝－
，tan（α＋β）＝tan [2α－（α－β）]＝ ＝
＝－2.
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6. 已知f（x）＝x2＋（ sin θ－ cos θ）x＋ sin θ（θ∈R）的图象
关于y轴对称，则 sin 2θ＋ cos 2θ＝（　　）
B. 2
D. 1
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解析：　∵f（x）＝x2＋（ sin θ－ cos θ）x＋ sin θ
（θ∈R）的图象关于y轴对称，∴y＝f（x）为偶函数，即f（－
x）＝f（x），∴（－x）2＋（ sin θ－ cos θ）·（－x）＋ sin θ
＝x2＋（ sin θ－ cos θ）x＋ sin θ，∴ sin θ－ cos θ＝0，即
sin θ＝ cos θ，∴ sin 2θ＋ cos 2θ＝2 sin θ cos θ＋2 cos 2θ－1
＝2 sin 2θ＋2 cos 2θ－1＝2－1＝1.故选D.
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7. 已知函数f（x）＝ cos sin x，则函数f（x）满足（　　）
A. 最小正周期为T＝2π
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解析：　因为f（x）＝ cos sin x＝ （ sin x· cos x－ sin
2x）＝ （ sin 2x－1＋ cos 2x）＝ sin － ，所以最小
正周期为π，在 上单调递增，当x＝ 时取最大值f（x）max
＝ － ，故直线x＝ 是对称轴，故选D.
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8. 已知α，β∈（0， ）， sin （2α＋β）＝2 sin β，则tan β的最
大值为（　　）
C. 1
解析：　∵α，β∈（0， ）， sin （2α＋β）＝2 sin β，
∴ sin [（α＋β）＋α]＝2 sin [（α＋β）－α]，∴ sin （α＋
β）· cos α＋ cos （α＋β） sin α＝2[ sin （α＋β） cos α－
cos （α＋β） sin α]，
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即3 cos （α＋β） sin α＝ sin （α＋β） cos α，∴tan（α＋β）＝3tan α，即tan（α＋β）＝ ＝3tan α，又α，β∈（0， ），∴tan α＞0，tan β＞0，化简整理，可得tan β＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当 ＝3tan α，即tan α＝ 时等号成立，此时tan β取得最大值 .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列化简正确的是（　　）
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解析：　A中， cos 82° sin 52°－ sin 82° cos 52°＝ sin
（52°－82°）＝ sin （－30°）＝－ sin 30°＝－ ，故A错误；
B中， sin 15° sin 30° sin 75°＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝
，故B错误；C中， ＝tan（21°＋24°）＝tan
45°＝1，故C正确；D中， cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，
故D正确.
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10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互
为生成函数”.下列函数中，与f（x）＝ cos x“互为生成函数”
的有（　　）
A. f1（x）＝ sin x
B. f2（x）＝ sin x＋ cos x
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解析：　f（x）＝ cos x＝ sin （x＋ ），由f1（x）＝ sin x，
则将f1（x）的图象向左平移 个单位长度后，即可与f（x）的图
象重合；由f2（x）＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），则f2
（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合；由f3（x）＝2
sin 2 ＝1－ cos x＝1＋ sin （x－ ），则将f3（x）的图象向左平
移π个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，即可与f（x）的
图象重合；由f4（x）＝ sin cos ＝ sin x，则f4（x）的图象无
法经过平移与f（x）的图象重合.故A、C中的函数与f（x）“互为生成函数”.故选A、C.
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11. 已知函数f（x）＝ sin ＋2 cos 2 ，则下列函数
判断正确的是（　　）
A. f（x）为奇函数
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解析：　f（x）＝ sin ＋2 cos 2（x＋ ）＝ sin
＋ cos ＋1＝2 sin （2x＋ ）＋1＝2 cos 2x＋
1.f（x）为偶函数，故A错误；2x＝kπ，k∈Z，x＝ ，当k＝
1时，x＝ ，故B正确；x∈ ，2x∈[0，π]，f（x）单调
递减，故C正确； 2x＝kπ＋ ，k∈Z，x＝ ＋ ，关于点
对称，故D错误.故选B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知 sin （θ＋π）＝ ，且θ为第四象限角，则tan（θ－π）
＝ .
解析：由 sin （θ＋π）＝ 可知－ sin θ＝ ，所以 sin θ＝－ ，
而θ为第四象限角，所以 cos θ＝ ，于是tan（θ－π）＝tan θ
＝ ＝－ .
－ 　
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13. 已知2 sin α＋ cos β＝ ，2 cos α＋ sin β＝－ ，则 sin （α＋
β）＝ .
－ 　
解析：由2 sin α＋ cos β＝ 两边平方可得4 sin 2α＋4 sin α cos
β＋ cos 2β＝ ①，由2 cos α＋ sin β＝－ 两边平方可得4 cos
2α＋4 cos α sin β＋ sin 2β＝ ②，①＋②，可得5＋4 sin α cos
β＋4 cos α sin β＝3，即4 sin （α＋β）＝－2，即 sin （α＋
β）＝－ .
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14. 已知函数f（x）＝ cos 4x＋ sin 2x，给出下列结论：①f（x）是
偶函数；②函数f（x）的最小值为 ；③ 是函数f（x）的一个
周期；④函数f（x）在 内单调递减，其中正确结论的序
号是 .
①②③　
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解析：易知f（x）的定义域为R，其定义域关于原点对称，又f
（－x）＝ cos 4（－x）＋ sin 2（－x）＝ cos 4x＋ sin 2x＝f
（x），故函数f（x）是偶函数，故①正确；由于f（x）＝
＋ sin 2x＝ sin 4x－ sin 2x＋1＝ ＋ ，
且 sin 2x∈[0，1]，所以当 sin 2x＝ 时，f（x）min＝ ，所以②
正确；f ＝ sin 4 － sin 2（ x＋ ）＋1＝ cos 4x＋1－
cos 2x＝ cos 4x＋ sin 2x，则f（x）＝f ，故③正确；
因为f ＝ ，f ＝1，所以f ＜f ，所以④错误.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知角θ满足tan ＝－ ，求下列各式
的值：
（1） ；
解：由题意知tan ＝ ＝－ ，得tan θ＝－3.
（1） ＝ ＝ ＝tan
θ＝－3.
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（2） cos 2θ＋ sin 2θ.
解：易知 cos θ≠0，则 cos 2θ＋ sin 2θ＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ .
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16. （本小题满分15分）已知 ＜α＜π， ＜β＜π， cos α＝－
，tan β＝－ .
（1）求 sin 的值；
解：因为 ＜α＜π， cos α＝－ ，所以 sin α＝
＝ ，所以 sin ＝ sin α cos － cos
α sin ＝ × － × ＝ .
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（2）求α＋β的值.
解：因为 ＜α＜π， ＜β＜π，所以π＜α＋β＜2π.
由（1）可得tan α＝ ＝－ .
又因为tan β＝－ ，所以tan（α＋β）＝ ＝
＝－1，故α＋β＝ .
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17. （本小题满分15分）在①x＝－ 是函数f（x）图象的一条对称
轴；② 是函数f（x）的一个零点；③函数f（x）在[a，b]上
单调递增，且b－a的最大值为 ，这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并解答.
已知函数f（x）＝2 sin ωx cos － （0＜ω＜
2）， 　　，求f（x）在 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：f（x）＝2 sin ωx cos －
＝2 sin ωx －
＝ sin ωx cos ωx＋ sin 2ωx－
＝ sin 2ωx－ cos 2ωx
＝ sin .
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选择①x＝－ 是函数f（x）图象的一条对称轴，
则－ － ＝kπ＋ ，k∈Z，即－ ＝kπ＋ ，k∈Z，
得ω＝－3k－2，k∈Z，
又0＜ω＜2，所以当k＝－1时，ω＝1，f（x）＝ sin .
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选择② 是函数f（x）的一个零点，
则 ×2ω－ ＝kπ，k∈Z，即 ω＝kπ＋ ，k∈Z，
得ω＝6k＋1，k∈Z.
又0＜ω＜2，所以当k＝0时，ω＝1，
所以f（x）＝ sin .
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选择③f（x）在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为 .
则T＝π＝ ，故ω＝1，
所以f（x）＝ sin .
由 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
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令k＝0，得 ≤x≤ ，
令k＝－1，得－ ≤x≤－ ，
又－ ≤x≤ ，
所以f（x）在 上的单调递减区间为 ， .
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18. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝4 cos x sin （ x＋ ）＋1
在区间 上的值域为[－2，1].
（1）求实数a的取值范围；
解：f（x）＝4 cos x sin ＋1
＝－4 cos x sin ＋1
＝－4 cos x ＋1
＝－2 sin x cos x－2 cos 2x＋1
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＝－ sin 2x－ cos 2x
＝－2 sin .
由题意得，当x∈ 时，－ ≤ sin （ 2x＋ ）≤1，
令u＝2x＋ ，则u∈ ，
所以 ≤2a＋ ≤ ，所以 ≤a≤ .
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（2）若f（x0）＝－ ，x0∈ ，求 cos 2x0的值.
解：由题意得0＜ sin ＝ ＜ ，x0∈ ，则 ＜2x0＋ ＜π，
所以 cos ＝－ .
所以 cos 2x0＝ cos ＝ cos （ 2x0＋ ） cos
＋ sin sin ＝ .
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19. （本小题满分17分）已知斜三角形ABC.
（1）证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C；
解：证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－
（A＋B）]＝－tan（A＋B），
∴tan C＝－ ，
∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B），
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
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② ；
解：①tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°
＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋ tan 20°tan 40°＋
＝tan 20°tan 40°tan 120°＋ tan 20°tan 40°＋
＝－ tan 20°tan 40°＋ tan 20°tan 40°＋ ＝ .
② ＝ ＝tan
120°＝－ .
（2）利用（1）中结论，求值：
①tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°，
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（3）若C＝135°，求tan A＋tan B的最小值.
解：∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜
45°，且A＋B＝45°，
∴tan A＞0，tan B＞0，
∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°＝1－tan
Atan B≥1－ ，
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∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0，
解得tan A＋tan B≥2 －2或tan A＋tan B≤－2 －2（舍去），
∴tan A＋tan B≥2 －2，当且仅当tan A＝tan B＝ －1时取等号
∴tan A＋tan B的最小值为2 －2.
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