资源简介

拓 视 野　欧拉公式及其应用
　　欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.
【问题探究】
【例1】　若复数z＝的共轭复数为，则＝　　　　.
尝试解答
【例2】　求复数＋的模.
尝试解答
【迁移应用】
1.复数z＝eiθ（θ∈R），z的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为Z0，A（－1，0）与B（0，1）为定点，则函数f（z）＝｜（z＋1）（－i）｜取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是（　　）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
2.根据欧拉公式：eix＝cos x＋isin x（e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R）.
（1）判断复数e3i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；
（2）若eix＜0，求cos x的值.
拓视野　欧拉公式及其应用
【例1】　－－i　解析：欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R），则z＝＝cos ＋isin ＝－＋i.根据共轭复数定义可知＝－－i.
【例2】　解：复数＋＝cos ＋isin ＋cos ＋isin ＝＋i，
所以复数＋的模为＝.
迁移应用
1.D　∵z＝eiθ＝cos θ＋isin θ，∴（z＋1）（－i）＝（cos θ＋1＋isin θ）（cos θ－isin θ－i）＝cos2θ－isin θcos θ－icos θ＋cos θ－isin θ－i＋isin θcos θ＋sin2θ＋sin θ＝（cos θ＋sin θ＋1）－i（cos θ＋sin θ＋1），
∵f（z）＝｜（z＋1）（－i）｜，
∴f（z）＝
＝
＝ ，
当sin＝1时，f（z）取得最大值，
即当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，f（z）取最大值，
此时z＝＋i，＝－i，
又∵A（－1，0），B（0，1），
∴｜Z0A｜2＝＋＝2＋，
｜Z0B｜2＝＋＝2＋，
又｜AB｜2＝（－1－0）2＋（0－1）2＝2，
∴｜Z0A｜＝｜Z0B｜，且｜Z0A｜2＋｜Z0B｜2≠｜AB｜2，
∴该图形为等腰三角形.故选D.
2.解：（1）复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限.
理由如下：
∵e3i＝cos 3＋isin 3在复平面内对应的点为（cos 3，sin 3），
而＜3＜π，∴cos 3＜0，sin 3＞0，∴点（cos 3，sin 3）在第二象限，故复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限.
（2）∵eix＝cos x＋isin x＜0，∴eix为负实数（虚数无法比较大小），
∴解得cos x＝－1.
1 / 1(共37张PPT)
拓 视 野　欧拉公式及其应用
　　欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著
名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三
角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，
被誉为“数学中的天桥”.
【问题探究】
【例1】　若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 ＝ 　－ i　.
解析：欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R），则z＝ ＝ cos ＋i
sin ＝－ ＋ i.根据共轭复数定义可知 ＝－ － i.
－ － i　
【例2】　求复数 ＋ 的模.
解：复数 ＋ ＝ cos ＋i sin ＋ cos ＋i sin ＝ ＋ i，
所以复数 ＋ 的模为 ＝ .
【迁移应用】
1. 复数z＝eiθ（θ∈R），z的共轭复数是 ，在复平面内，复数 对
应的点为Z0，A（－1，0）与B（0，1）为定点，则函数f（z）
＝｜（z＋1）（ －i）｜取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三
点为顶点的图形是（　　）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
解析：　∵z＝eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴（z＋1）（ －i）＝
（ cos θ＋1＋i sin θ）（ cos θ－i sin θ－i）＝ cos 2θ－i sin θ
cos θ－i cos θ＋ cos θ－i sin θ－i＋i sin θ cos θ＋ sin 2θ＋ sin
θ＝（ cos θ＋ sin θ＋1）－i（ cos θ＋ sin θ＋1），
∵f（z）＝｜（z＋1）（ －i）｜，
∴f（z）＝
＝
＝ ，
当 sin ＝1时，f（z）取得最大值，
即当θ＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，即θ＝ ＋2kπ，k∈Z时，f（z）
取最大值，
此时z＝ ＋ i， ＝ － i，
又∵A（－1，0），B（0，1），
∴｜Z0A｜2＝ ＋ ＝2＋ ，
｜Z0B｜2＝ ＋ ＝2＋ ，
又｜AB｜2＝（－1－0）2＋（0－1）2＝2，
∴｜Z0A｜＝｜Z0B｜，且｜Z0A｜2＋｜Z0B｜2≠｜AB｜2，
∴该图形为等腰三角形.故选D.
2. 根据欧拉公式：eix＝ cos x＋i sin x（e为自然对数的底数，i为虚数
单位，x∈R）.
（1）判断复数e3i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理
由；
解：复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限.
理由如下：
∵e3i＝ cos 3＋i sin 3在复平面内对应的点为（ cos 3， sin 3），
而 ＜3＜π，∴ cos 3＜0， sin 3＞0，∴点（ cos 3， sin 3）
在第二象限，故复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限.
（2）若eix＜0，求 cos x的值.
解：∵eix＝ cos x＋i sin x＜0，∴eix为负实数（虚数无
法比较大小），∴
解得 cos x＝－1.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 计算（1＋i）·（2＋i）＝（　　）
A. 1－i B. 1＋3i
C. 3＋i D. 3＋3i
解析：　（1＋i）（2＋i）＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 复数z＝ （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　∵z＝ ＝ ＝ － i，∴复数z在复平面内
对应的点是 ，位于第四象限.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 设复数z满足（1＋i）z＝i2 024，则复数 的虚部为（　　）
解析：　i2 024＝i506×4＝1，所以z＝ ＝ ＝ － i.所
以 ＝ ＋ i，其虚部为 ，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
解析：　令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4 ＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋ 或｜b｜＝－2－ （舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（ －2）i，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）下面是关于复数z＝ （i为虚数单位）的命题，其中真
命题为（　　）
A. ｜z｜＝2
B. z2＝2i
C. z的共轭复数为1＋i
D. z的虚部为－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　因为z＝ ＝ ＝－1－i，所以｜z｜＝
，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z
的虚部为－1，D正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）设复数z＝－ ＋ i，则以下结论正确的是（　　）
A. z2≥0
C. z3＝1 D. z2 025＝z
解析：　∵z＝－ ＋ i，∴z2＝（－ ＋ i）2＝ － i－
＝－ － i，故A错误；z2＝ ，故B正确；z3＝z2·z＝（－ －
i）（－ ＋ i）＝ ＋ ＝1，故C正确；z2 025＝z3×675＝1，故D
错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 设复数z＝1＋ i，则z2－2z＝ .
解析：z2－2z＝（1＋ i）2－2（1＋ i）＝1＋（ i）2＋2
i－2－2 i＝－3.
－3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 复数 （i为虚数单位）的实部为 .
解析：由题意可得 ＝－3－i，－3－i的实部为－3.
－3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0（a，c∈R）的一个根是2＋3i，
则a－c＝ .
解析：由题意，得a（2＋3i）2＋（2＋3i）＋c＝0，即－5a＋2＋
c＋（12a＋3）i＝0.由复数相等的充要条件，得
解得所以a－c＝3.
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 计算：
（1）（1－i） （1＋i）；
解：原式＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2） ＝2
＝－1＋ i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）（1＋i）2 024；
解：原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝
（2i）1 012＝21 012·i1 012＝21 012·（i2）506＝21 012.
（3） .
解： ＝ ＝
＝－ ＋ i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. （多选）已知复数z满足（1－i）z＝2i，则下列关于复数z的结论
正确的是（　　）
C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　由（1－i）z＝2i，得z＝ ＝ ＝－1＋
i.∴｜z｜＝ ； ＝－1－i；复平面内表示复数z的点的坐标为
（－1，1），位于第二象限.∵（－1＋i）2＋2（－1＋i）＋2＝－
2i－2＋2i＋2＝0，∴复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单
位，则下列元素属于集合M的是（　　）
A. （1－i）（1＋i）
D. （1－i）2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　根据题意，在M＝{m｜m＝in，n∈N}中，当n＝
4k（k∈N）时，in＝1；当n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；当n
＝4k＋2（k∈N）时，in＝－1；当n＝4k＋3（k∈N）时，in＝
－i.所以M＝{－1，1，i，－i}.选项A中，（1－i）（1＋i）＝
2 M；选项B中， ＝ ＝－i∈M；选项C中， ＝
＝i∈M；选项D中，（1－i）2＝－2i M. 故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

解析：Δ＝25－4m，①若Δ≥0，即m≤ ，则｜x1－x2｜＝
＝ ＝3，解得m＝4；②若Δ＜
0，即m＞ ，则x1＝ ，x2＝ ，所以｜x1－
x2｜＝ ＝3，解得m＝ .综上，m＝4或 .
4或 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知复数z满足z＋2i， 均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）
在复平面内对应的点位于第一象限，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），
则z＋2i＝a＋（b＋2）i，
∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴ ＝ ＝ ＝ ＋ i，
∵ 为实数，∴ ＝0，
解得a＝4.∴z＝4－2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求实数x的取值范围.
解：∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x
－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且
复数（z＋xi）2在复平面内对应的点位于第一象限，
∴解得2＜x＜6.
即实数x的取值范围是（2，6）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复
数”.已知z＝ ＋bi（a，b∈R）为“理想复数”，则（　　）
A. a－5b＝0 B. 3a－5b＝0
C. a＋5b＝0 D. 3a＋5b＝0
解析：　因为z＝ ＋bi＝ ＋bi＝ ＋
i.由题意知， ＝－ －b，则3a＋5b＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 从①｜z｜＝ ，且z2的虚部是2；②z＝ ；③
c＝ ，z为c的共轭复数，这三个条件中任选一个，补充在横线
上并作出解答.
已知i为虚数单位，复数z满足 　　，设z，z2，z－z2在复平面内
对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①.设z＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a2－b2＋2abi.
由题意，得a2＋b2＝2且2ab＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
所以S△ABC＝ ×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A（－1，－1），B（0，2），C（－1，－3），
所以S△ABC＝ ×2×1＝1.
因此，选①时△ABC的面积为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选②.z＝ ＝ ＝1＋i，
所以z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
所以S△ABC＝ ×2×1＝1.
因此，选②时△ABC的面积为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选③.c＝ ＝ ＝1－i，其共轭复数z＝1＋i，
所以z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
所以S△ABC＝ ×2×1＝1.
因此，选③时△ABC的面积为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑