资源简介

2.1　复数的加法与减法
1.已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝（　　）
A.－4＋20i B.－2＋10i
C.－8＋20i D.－2＋20i
2.设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　）
A.6 B.6
C.5 D.5
3.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai（a∈R），且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为（　　）
A.3 B.2
C.1 D.－1
4.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（　　）
A. B.5
C.2 D.10
5.（多选）对任意复数z＝a＋bi（a，b∈R），i为虚数单位，则下列结论中正确的是（　　）
A.z－＝2a B.｜z｜＝｜｜
C.z＋＝2a D.z＋＝2bi
6.（多选）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（　　）
A.点C位于第二象限
B.z1＋z3＝z2
C.｜z1－z3｜＝｜｜
D.｜z2＋z3｜＝
7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是　　　　.
8.已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i（x，y∈R），z2＝（4y－2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R）.设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝　　　　，z2＝　　　　.
9.如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是　　　　.
10.（1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）；
（2）已知z1＝（3x－4y）＋（y－2x）i，z2＝（－2x＋y）＋（x－3y）i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，求｜z1＋z2｜.
11.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（　　）
A.3－2 B.－1
C.3＋2 D.＋1
12.（多选）已知复数z0＝1＋2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的是（　　）
A.P0点的坐标为（1，2）
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z的轨迹为一条直线
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
13.A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB为　　　　.
14.已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.
（1）求点C，D对应的复数；
（2）求平行四边形ABCD的面积.
15.已知f（z）＝｜2＋z｜－z，且f（－z）＝3＋5i，则复数z＝　　　　.
16.求证：（1）＝＋；（2）＝－.
2.1　复数的加法与减法
1.B　z＝3＋4i－（5－6i）＝（3－5）＋（4＋6）i＝－2＋10i.
2.D　因为z＝－4＋3i，所以｜z｜＝＝5.故选D.
3.D　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝（2＋3）＋（1＋a）i＝5＋（1＋a）i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.
4.B　依题意，对应的复数为（－4－3i）－（－1＋i）＝－3－4i，因此AC的长度为｜－3－4i｜＝5.
5.BC　由已知＝a－bi，因此z－＝2bi，z＋＝2a，｜z｜＝＝｜｜.故选B、C.
6.BC　如图，由题意，O（0，0），A（1，1），B（1，2），＝（0，1），∵OABC为平行四边形，∴＝（0，1），则C（0，1），∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝（1＋i）＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝，故D错误.故选B、C.
7.4－2i　解析：∵＝－，∴表示的复数为（3＋i）－（－1＋3i）＝4－2i.∵＝，∴表示的复数为4－2i.
8.5－9i　－8－7i　解析：z＝z1－z2＝（3x＋y－4y＋2x）＋（y－4x＋5x＋3y）i＝（5x－3y）＋（x＋4y）i＝13－2i.
∴解得∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
9.＋i　解析：设这个复数为z＝x＋yi（x，y∈R），所以x＋yi＋＝5＋i，所以所以所以x＋yi＝＋i.
10.解：（1）（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i.
（2）z1－z2＝[（3x－4y）＋（y－2x）i]－[（－2x＋y）＋（x－3y）i]＝[（3x－4y）－（－2x＋y）]＋[（y－2x）－（x－3y）]i＝（5x－5y）＋（－3x＋4y）i＝5－3i，所以解得x＝1，y＝0，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以｜z1＋z2｜＝.
11.D　｜z1－z2｜＝｜（1－sin θ）＋（cos θ＋1）i｜
＝
＝
＝.
∵cos＝1，∴｜z1－z2｜max＝＝＋1.
12.ACD　复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0（1，2），A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi（x，y∈R），代入｜z－1｜＝｜z－i｜，得｜（x－1）＋yi｜＝｜x＋（y－1）i｜，即＝，整理得，y＝x，即点Z的轨迹为直线y＝x，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z两点之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为＝，故D正确.故选A、C、D.
13.直角三角形　解析：由复数的加、减法的几何意义可知，当｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜时，∠AOB＝90°.
14.解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－，
∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵＝，∴向量对应的复数为3－i，
即＝（3，－1）.
设D（x，y），则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得∴点D对应的复数为5.
（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝.
∴S ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7，
故平行四边形ABCD的面积为7.
15.－10＋5i　解析：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）.∵f（z）＝｜2＋z｜－z，∴f（－z）＝｜2－z｜＋z.又∵f（－z）＝3＋5i，∴｜2－z｜＋z＝3＋5i，∴｜2－（a＋bi）｜＋a＋bi＝3＋5i，即＋a＋bi＝3＋5i.根据复数相等的充分必要条件，得
解得∴复数z＝－10＋5i.
16.证明：（1）设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），
则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，
所以＝（a＋c）－（b＋d）i，
＝a－bi，＝c－di，
所以＋＝（a＋c）－（b＋d）i，
所以＝＋.
（2）设z1＝a＋bi（a，b∈R），
z2＝c＋di（c，d∈R），
则z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i，
所以＝（a－c）－（b－d）i，
＝a－bi，＝c－di，
所以－＝（a－c）－（b－d）i，
所以＝－.
2 / 22.1　复数的加法与减法
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则 数学运算
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题 直观想象
　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.
【问题】　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　复数的加法与减法
1.运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1＋z2＝　　　　　　　　，
z1－z2＝　　　　　　　　.
2.运算律
（1）交换律：z1＋z2＝　　　　；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　.
3.几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则z1＋z2对应的向量是　　　　，z1－z2对应的向量是　　　　.
提醒　（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
【想一想】
1.两个复数的和（差）还是一个复数吗？
2.在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB是什么四边形？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个虚数的和或差可能是实数.（　　）
（2）在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（　　）
（3）复数z与共轭复数的差z－的结果只能是实数.（　　）
（4）关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立.（　　）
2.在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
3.（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝　　　　.
题型一 复数加、减法的运算
【例1】　计算：
（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
（2）＋（2－i）－；
（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
尝试解答
通性通法
复数代数形式的加、减法运算的技巧
（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
（2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减；
（3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
　计算：（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）.
题型二 复数加、减法的几何意义
【例2】　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）所表示的复数，所表示的复数；
（2）对角线所表示的复数；
（3）对角线所表示的复数及的长度.
尝试解答
通性通法
　　复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数.
若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝＝｜z2－z1｜，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.
【跟踪训练】
已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数.
题型三 与复数的和（差）的模有关的计算问题
【例3】　若z∈C且｜z＋3＋4i｜≤2，｜z－1－i｜的最大值和最小值分别为M，m，则M－m＝（　　）
A.3 B.4
C.5 D.9
尝试解答
通性通法
1.将｜z＋z0｜（z，z0∈C）可看作｜z－（－z0）｜，即理解为复数z在复平面上对应的点到复数（－z0）在复平面上对应的点的距离，进而复数的和与差形式可互相转化.
2.｜z－z0｜（z，z0∈C）几何意义的应用
（1）判断点的轨迹；
（2）利用几何知识解决代数中的最值（范围）问题.
【跟踪训练】
　设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝　　　　.
1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝（　　）
A.0　　　B.2i　　C.6　　　D.6－2i
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（　　）
A.2＋8i B.－6－6i
C.4－4i D.－4＋2i
4.若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　　.
5.已知i为虚数单位，复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且｜z1｜＝｜z2｜，求｜z1－z2｜.
2.1　复数的加法与减法
【基础知识·重落实】
知识点
1.（a＋c）＋（b＋d）i　（a－c）＋（b－d）i
2.（1）z2＋z1　（2）z1＋（z2＋z3）　3.
想一想
1.提示：由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个复数.
2.提示：四边形OACB是矩形.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）×
2.C　＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故＋对应的复数为0.
3.1＋9i　解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1＋9i.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i＝－1－i.
（2）＋（2－i）－＝（＋2－）＋i＝1＋i.
（3）z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
跟踪训练
　解：法一　原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 023－2 024）＋（－2＋3－4＋5＋…－2 024＋2 025）i＝－1 012＋1 012i.
法二　（1－2i）－（2－3i）＝－1＋i，（3－4i）－（4－5i）＝－1＋i，…，（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）＝－1＋i.
将上列1 012个式子累加可得，原式＝1 012（－1＋i）＝－1 012＋1 012i.
【例2】　解：（1）因为＝（0，0）－（3，2）＝（－3，－2），
所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
（2）因为＝－，
所以所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.
（3）因为对角线＝＋＝＋，
所以所表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，所以＝＝.
跟踪训练
　解：（1）由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
（2）由于＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以对应的复数是5.
【例3】　B　因为｜z＋3＋4i｜≤2，所以复数z在复平面上对应的点P到z1＝－3－4i对应的点A的距离小于或等于2，所以点P在以A（－3，－4）为圆心，半径为2的圆内或圆上，如图.又｜z－1－i｜表示点P到复数z2＝1＋i对应的点B的距离，所以该距离的最大值为｜AB｜＋2＝＋2＝＋2，最小值为｜AB｜－2＝－2，故M－m＝4.
跟踪训练
　2　解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得＋＝＋＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝＋＋＋＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝
＝
＝＝2.
法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝－a＋（1－b）i，
则
即所以｜z1－z2｜2＝（2a－）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（a＋b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2.
法三　题设可等价转化为向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝2，a＋b＝（，1），求｜a－b｜.因为（a＋b）2＋（a－b）2＝2｜a｜2＋2｜b｜2，所以4＋（a－b）2＝16，所以｜a－b｜＝2，即｜z1－z2｜＝2.
法四　设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P（，1），所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2××2＝2.
随堂检测
1.D　∵z＋i－3＝3－i，∴z＝3－i－i＋3＝6－2i.
2.C　z＝z2－z1＝（1－2i）－（2＋i）＝－1－3i.故z对应的点为（－1，－3），位于第三象限.
3.C　＝－＝－（＋），3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i，所以表示的复数为4－4i.
4.9π　解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
5.解：依题意得 ＝，由此解得a＝±2.
（1）当a＝2时，z1＝2＋i，z1－z2＝（2＋i）－（2－i）＝2i，故｜z1－z2｜＝2.
（2）当a＝－2时，z1＝－2＋i，z1－z2
＝－2＋i－（2－i）＝－4＋2i，
故｜z1－z2｜＝2.
由（1）（2）得，｜z1－z2｜＝2或｜z1－z2｜＝2.
3 / 3(共58张PPT)
2.1　复数的加法与减法
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则 数学运算
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结
合”的思想解题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还
满足交换律与结合律.
【问题】　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？




知识点　复数的加法与减法
1. 运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1＋z2＝ ，
z1－z2＝ .
2. 运算律
（1）交换律：z1＋z2＝ ；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
（a＋c）＋（b＋d）i　
（a－c）＋（b－d）i　
z2＋z1　
z1＋（z2＋z3）　
3. 几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为 ， ，以
OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则z1＋z2对应的向量是 ，
z1－z2对应的向量是 .
　
提醒　（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的
加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；
（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减
法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
【想一想】
1. 两个复数的和（差）还是一个复数吗？
提示：由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个
复数.
2. 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为
C，O为坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB是
什么四边形？
提示：四边形OACB是矩形.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个虚数的和或差可能是实数. （　√　）
（2）在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与
虚部相加得虚部. （　√　）
（3）复数z与共轭复数 的差z－ 的结果只能是实数.
（　×　）
（4）关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能
不成立. （　×　）
√
√
×
×
2. 在复平面内，向量 对应的复数是5－4i，向量 对应的复数
是－5＋4i，则 ＋ 对应的复数是（　　）
A. －10＋8i B. 10－8i
C. 0 D. 10＋8i
解析：　 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故
＋ 对应的复数为0.
3. （2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝ .
解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋
6）i＝1＋9i.
1＋9i　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数加、减法的运算
【例1】　计算：
（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
解：（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）＝（5－9＋3）
＋（－7＋8－2）i＝－1－i.
（2） ＋（2－i）－ ；
解： ＋（2－i）－ ＝（ ＋2－ ）＋ i＝1＋i.
（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解：z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
通性通法
复数代数形式的加、减法运算的技巧
（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，
虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准
确地提取复数的实部与虚部；
（2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实
部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减；
（3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若
无括号，可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
计算：（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2
023－2 024i）－（2 024－2 025i）.
解：法一　原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 023－2 024）＋（－2＋3－4
＋5＋…－2 024＋2 025）i＝－1 012＋1 012i.
法二　（1－2i）－（2－3i）＝－1＋i，（3－4i）－（4－5i）＝－1
＋i，…，（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）＝－1＋i.
将上列1 012个式子累加可得，原式＝1 012（－1＋i）＝－1 012＋1
012i.
题型二 复数加、减法的几何意义
【例2】　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表
示0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1） 所表示的复数， 所表示的复数；
解：因为 ＝（0，0）－（3，2）＝（－3，－2），
所以 所表示的复数为－3－2i.
因为 ＝ ，所以 所表示的复数为－3－2i.
（2）对角线 所表示的复数；
解：因为 ＝ － ，
所以 所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）
＝5－2i.
（3）对角线 所表示的复数及 的长度.
解：因为对角线 ＝ ＋ ＝ ＋ ，
所以 所表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）
＝1＋6i，所以 ＝ ＝ .
通性通法
　　复数z与复平面内的向量 是一一对应的关系，复数的加法可以
按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、
平行四边形法则.
　　类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个
复数等于加上这个复数的相反数.
　　若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝ ＝｜z2－
z1｜，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面
内两点间的距离公式.
【跟踪训练】
已知平行四边形ABCD中， 与 对应的复数分别是3＋2i与1＋
4i，两对角线AC与BD相交于点O.
（1）求 对应的复数；
解：由于四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ＋ ，于是 ＝ － ，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即 对应的复数是－2＋2i.
（2）求 对应的复数.
解：由于 ＝ － ，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝
5，所以 对应的复数是5.
题型三 与复数的和（差）的模有关的计算问题
【例3】　若z∈C且｜z＋3＋4i｜≤2，｜z－1－i｜的最大值和最小
值分别为M，m，则M－m＝（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 9
解析：　因为｜z＋3＋4i｜≤2，所以复数z在复平
面上对应的点P到z1＝－3－4i对应的点A的距离小
于或等于2，所以点P在以A（－3，－4）为圆心，
半径为2的圆内或圆上，如图.
又｜z－1－i｜表示点P到复数z2＝1＋i对应的点B的距离，所以该距离的最大值为｜AB｜＋2＝ ＋2＝ ＋2，最小值为｜AB｜－2＝ －2，故M－m＝4.
通性通法
1. 将｜z＋z0｜（z，z0∈C）可看作｜z－（－z0）｜，即理解为复
数z在复平面上对应的点到复数（－z0）在复平面上对应的点的距
离，进而复数的和与差形式可互相转化.
2. ｜z－z0｜（z，z0∈C）几何意义的应用
（1）判断点的轨迹；
（2）利用几何知识解决代数中的最值（范围）问题.
【跟踪训练】
设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝ ＋i，则｜z1－
z2｜＝ .
2 　
解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，
y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得 ＋ ＝ ＋ ＝4.因为z1
＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝ ＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2
＋（y1＋y2）2＝ ＋ ＋ ＋ ＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2
＝（ ）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1
－x2＋（y1－y2）i｜＝
＝
＝ ＝2 .
法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R），
则z2＝ －a＋（1－b）i，
则
即
所以｜z1－z2｜2＝（2a－ ）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4
（ a＋b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，
所以｜z1－z2｜＝2 .
法三　题设可等价转化为向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝2，a＋b＝
（ ，1），求｜a－b｜.
因为（a＋b）2＋（a－b）2＝2｜a｜2＋2｜b｜2，
所以4＋（a－b）2＝16，所以｜a－b｜＝2 ，
即｜z1－z2｜＝2 .
法四　设z1＋z2＝z＝ ＋i，则z在复平面上对应的点为P（ ，
1），所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长
为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝
2× ×2＝2 .
1. 若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝（　　）
A. 0 B. 2i
C. 6 D. 6－2i
解析：　∵z＋i－3＝3－i，∴z＝3－i－i＋3＝6－2i.
2. 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z＝z2－z1＝（1－2i）－（2＋i）＝－1－3i.故z对应的
点为（－1，－3），位于第三象限.
3. 在复平面内，O是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋
i，3＋2i，1＋5i，则 表示的复数为（　　）
A. 2＋8i B. －6－6i
C. 4－4i D. －4＋2i
解析：　 ＝ － ＝ －（ ＋ ），3＋2i－（1＋5i
－2＋i）＝4－4i，所以 表示的复数为4－4i.
4. 若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图
形的面积为 .
解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为
圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
9π　
5. 已知i为虚数单位，复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且｜z1｜＝｜z2｜，
求｜z1－z2｜.
解：依题意得 ＝ ，由此解得a＝±2.
（1）当a＝2时，z1＝2＋i，z1－z2＝（2＋i）－（2－i）＝2i，
故｜z1－z2｜＝2.
（2）当a＝－2时，z1＝－2＋i，z1－z2＝－2＋i－（2－i）＝－4
＋2i，
故｜z1－z2｜＝2 .
由（1）（2）得，｜z1－z2｜＝2或｜z1－z2｜＝2 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝（　　）
A. －4＋20i B. －2＋10i
C. －8＋20i D. －2＋20i
解析：z＝3＋4i－（5－6i）＝（3－5）＋（4＋6）i＝－2＋10i.
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2. 设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　）
A. 6
D. 5
解析：　因为z＝－4＋3i，所以｜z｜＝ ＝5.故选D.
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3. 若z1＝2＋i，z2＝3＋ai（a∈R），且z1＋z2所对应的点在实轴
上，则a的值为（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. －1
解析：　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝（2＋3）＋（1＋a）i＝5＋（1
＋a）i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.
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4. 在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－
3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（　　）
B. 5
D. 10
解析：　依题意， 对应的复数为（－4－3i）－（－1＋i）＝
－3－4i，因此AC的长度为｜－3－4i｜＝5.
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5. （多选）对任意复数z＝a＋bi（a，b∈R），i为虚数单位，则下
列结论中正确的是（　　）
解析：　由已知 ＝a－bi，因此z－ ＝2bi，z＋ ＝2a，｜
z｜＝ ＝｜ ｜.故选B、C.
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6. （多选）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，
点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对
应的复数为z3，则下列结论正确的是（　　）
A. 点C位于第二象限
B. z1＋z3＝z2
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解析：　如图，由题意，O（0，0），
A（1，1），
B（1，2）， ＝（0，1），∵OABC为
平行四边形，∴ ＝（0，1），则C
（0，1），∴z3＝i，点C位于虚轴上，故
A错误；z1＋z3＝（1＋i）＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜ ｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝ ，故D错误.故选B、C.
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7. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量
， 对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则 对应的复数
是 .
解析：∵ ＝ － ，∴ 表示的复数为（3＋i）－（－1＋
3i）＝4－2i.∵ ＝ ，∴ 表示的复数为4－2i.
4－2i　
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8. 已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i（x，y∈R），z2＝（4y－
2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R）.设z＝z1－z2，且z＝13－2i，
则z1＝ ，z2＝ .
解析：z＝z1－z2＝（3x＋y－4y＋2x）＋（y－4x＋5x＋3y）i
＝（5x－3y）＋（x＋4y）i＝13－2i.
∴解得∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
5－9i　
－8－7i　
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9. 如果一个复数与它的模的和为5＋ i，那么这个复数是 　 ＋ .
解析：设这个复数为z＝x＋yi（x，y∈R），所以x＋yi＋
＝5＋ i，所以所以所以
x＋yi＝ ＋ i.
＋ i
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10. （1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）；
解：（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i.
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（2）已知z1＝（3x－4y）＋（y－2x）i，z2＝（－2x＋y）＋（x－3y）i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，求｜z1＋z2｜.
解：z1－z2＝[（3x－4y）＋（y－2x）i]－[（－2x＋y）＋（x－3y）i]＝[（3x－4y）－（－2x＋y）]＋[（y－2x）－（x－3y）]i＝（5x－5y）＋（－3x＋4y）i＝5－3i，所以解得x＝1，y＝0，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以｜z1＋z2｜＝ .
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11. 复数z1＝1＋i cos θ，z2＝ sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为
（　　）
解析：　｜z1－z2｜＝｜（1－ sin θ）＋（ cos θ＋1）i｜＝
＝ ＝
.∵ cos ＝1，∴｜z1－z2｜max＝
＝ ＋1.
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12. （多选）已知复数z0＝1＋2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点
为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的是（　）
A. P0点的坐标为（1，2）
B. 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C. 复数z对应的点Z的轨迹为一条直线
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解析：　复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0（1，2），
A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错
误；设z＝x＋yi（x，y∈R），代入｜z－1｜＝｜z－i｜，得｜
（x－1）＋yi｜＝｜x＋（y－1）i｜，即 ＝
，整理得，y＝x，即点Z的轨迹为直线y＝x，
C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z两点之
间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为
＝ ，故D正确.故选A、C、D.
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13. A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若｜
z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB为 .
解析：由复数的加、减法的几何意义可知，当｜z1＋z2｜＝｜z1
－z2｜时，∠AOB＝90°.
直角三角形　
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14. 已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量
对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i.
（1）求点C，D对应的复数；
解：∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复
数为3－i， ＝ － ，
∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又 ＝ ＋ ，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
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∵ ＝ ，∴向量 对应的复数为3－i，
即 ＝（3，－1）.
设D（x，y），则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
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（2）求平行四边形ABCD的面积.
解：∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B，
∴ cos B＝ ＝ ＝ ＝ .
∴ sin B＝ .
∴S ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝7，
故平行四边形ABCD的面积为7.
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15. 已知f（z）＝｜2＋z｜－z，且f（－z）＝3＋5i，则复数z
＝ .
解析：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
∵f（z）＝｜2＋z｜－z，∴f（－z）＝｜2－z｜＋z.
－10＋5i　
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又∵f（－z）＝3＋5i，∴｜2－z｜＋z＝3＋5i，
∴｜2－（a＋bi）｜＋a＋bi＝3＋5i，
即 ＋a＋bi＝3＋5i.
根据复数相等的充分必要条件，得
解得
∴复数z＝－10＋5i.
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16. 求证：（1） ＝ ＋ ；
证明：设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，
d∈R），则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，
所以 ＝（a＋c）－（b＋d）i，
＝a－bi， ＝c－di，
所以 ＋ ＝（a＋c）－（b＋d）i，
所以 ＝ ＋ .
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证明：设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），
则z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i，
所以 ＝（a－c）－（b－d）i，
＝a－bi， ＝c－di，
所以 － ＝（a－c）－（b－d）i，
所以 ＝ － .
（2） ＝ － .
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