资源简介

3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义
1.如果非零复数有一个辐角为－，那么该复数的（　　）
A.辐角唯一 B.辐角主值唯一
C.辐角主值为－ D.辐角主值为
2.将复数4［cos（－）＋isin（－）］化成代数形式，正确的是（　　）
A.4 B.－4
C.4i D.－4i
3.复数（sin 10°＋icos 10°）3的三角形式为（　　）
A.sin 30°＋icos 30°
B.cos 240°＋isin 240°
C.cos 30°＋isin 30°
D.sin 240°＋icos 240°
4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　）
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
5.＝（　　）
A.＋i B.－i
C.＋i D.－i
6.（多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则（　　）
A.p q B.p /q
C.q p D.q /p
7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　.
8.在复平面内，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为　　　　.
9.计算＝　　　　.
10.计算：
（1）2×；
（2）.
11.如果θ∈，那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角的主值是（　　）
A.θ＋ B.θ＋
C.θ－ D.θ＋
12.（cos ＋isin ）n＝cos －isin ，则n＝（　　）
A.3 B.12
C.6k－1（k∈Z） D.6k＋1（k∈Z）
13.复数z＝（a＋i）2的辐角主值为，则实数a＝　　　　.
14.若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.
15.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为　　　　.
16.已知非零复数z满足｜z－i｜＝1，且arg z＝θ，求：
（1）θ的取值范围；
（2）复数z的模（用θ表示）；
（3）复数z2－zi的辐角.
3.1　复数的三角表示式
3.2　复数乘除运算的几何意义
1.B　一个复数有无数个辐角，它们之间相差2kπ，k∈Z，A错，D错；∵辐角主值的范围是[0，2π），∴任何一个复数都有唯一的辐角主值，B对，C错，故选B.
2.D　4［cos（－）＋isin（－）］＝4[0＋i·（－1）]＝－4i，故选D.
3.B　（sin 10°＋icos 10°）3＝（cos 80°＋isin 80°）3＝cos 240°＋isin 240°.
4.A　i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i.
5.B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B.
6.AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p q，q /p.故选A、D.
7.1＋i　解析：由题意知，z＝2＝1＋i.
8.－1＋i　解析：由题意知，（＋i）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 30°＋isin 30°）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 120°＋isin 120°）＝－1＋i.即所得向量对应的复数为－1＋i.
9.＋i　解析：＝cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
10.解：（1）原式＝2×［cos（＋π）＋isin（＋π）］
＝＝－＋i.
（2）原式＝
＝2
＝2＝－2i.
11.B　（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝·（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.
12.C　由题意，得（cos ＋isin ）n＝cos ＋isin ＝cos －isin ，由复数相等的定义，得解得＝2kπ－（k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）.
13.－1　解析：由于复数z的辐角主值为，
故z＝r（cos＋isin）＝－ir，
又z＝（a＋i）2＝a2－1＋2ai，
所以a2－1＋2ai＝－ir，
所以a2－1＝0，2a＝－r，故a＝－1.
14.解：设z1＝cos α＋isin α，
z2＝cos β＋isin β，
z3＝cos γ＋isin γ，
则由z2＋iz3－i＝0，
可得
利用cos2β＋sin2β＝1，
解得所以z3＝.
当z3＝时，
z2＝－i（z3－1）＝，z1＝＝1；
当z3＝时，
z2＝－i（z3－1）＝，z1＝＝1.
15.2＋i　解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，∴所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为（－i）（cos 60°＋isin 60°）＝＋i，又＝＋，＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.
16.解：（1）因为｜z－i｜＝1，所以如图①所示，z的对应点P在以（0，1）为圆心，半径为1的圆上.
又z为非零复数，因此可知，θ∈（0，π）.
（2）如图②，在Rt△AOP中，∠OAP＝∠POx＝θ.
又｜OA｜＝2，
易知｜z｜＝｜OP｜＝2sin θ，
当θ为直角或钝角时，仍有｜z｜＝2sin θ，
故｜z｜＝2sin θ.
（3）因为｜z－i｜＝1，
所以结合同角三角函数关系，
可设z－i＝cos φ＋isin φ（φ∈R）.
于是z2－zi＝z（z－i），
注意到z＝2sin θ（cos θ＋isin θ），
z－i＝cos φ＋isin φ，
则知z2－zi＝2sin θ（cos θ＋isin θ）·（cos φ＋isin φ）＝2sin θ[cos（θ＋φ）＋isin（θ＋φ）].
又cos φ＋isin φ＝z－i
＝2sin θ（cos θ＋isin θ）－i
＝2sin θcos θ＋i（2sin2θ－1）
＝sin 2θ－icos 2θ
＝cos（2θ－）＋isin（2θ－），
所以φ＝2kπ＋2θ－（k∈Z）.
从而可得θ＋φ＝2kπ＋3θ－（k∈Z）.
故z2－zi的辐角为2kπ＋3θ－（k∈Z）.
2 / 2*§3　复数的三角表示
3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象、数学运算
　　
设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z.
【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；
（2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的三角形式
1.辐角
以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角.
2.复数的三角形式
复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式为z＝　　　　　　，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.
3.辐角的主值：将满足条件　　　　　的辐角值，称为辐角的主值，记作　　　　.当a＞0时，arg a＝0，arg（－a）＝π，arg（ai）＝，arg（－ai）＝π.
【想一想】
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角唯一吗？
2.复数0的辐角是多少，辐角主值是多少？
知识点二　复数三角形式乘除运算及几何意义
1.复数三角形式的乘法法则及几何意义
（1）乘法法则：r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝　　　　　　　　.这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和.
（2）几何意义：如图，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2（若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1·z2的乘积.
2.复数三角形式的除法法则
＝　　　　　　　　　，这就是说，两个复数相除，商的模等于　　　的模除以　　　　的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
【想一想】
在进行复数三角形式乘除运算时，其辐角一定是辐角主值吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任意一个复数都有三角形式.（　　）
（2）复数的三角形式也可以进行四则运算.（　　）
（3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍.（　　）
（4）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）.（　　）
2.×＝（　　）
A.1 B.－1
C.i D.－i
3.当a＜0时，arg（ai）＝　　　　　　，arg a＝　　　　.
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】　将下列复数代数形式化成三角形式：
（1）－i；
（2）－1－i.
尝试解答
通性通法
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
【跟踪训练】
1.下列复数是复数三角形式表示的是（　　）
A.
B.－
C.
D.cosπ＋isinπ
2.将复数的三角形式转化为代数形式.
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】　复数z＝化为代数形式为（　　）
A.＋ i B.－＋ i
C.－－ i D.－ i
尝试解答
通性通法
　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式z＝r（cos A＋isin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A.
【跟踪训练】
复数的代数形式为　　　　.
题型三 复数三角形式的乘、除运算
【例3】　计算：
（1）2×；
（2）.
尝试解答
通性通法
　　在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.
【跟踪训练】
1.计算：.
2.已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值.
题型四 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数.
尝试解答
通性通法
利用复数三角形式的几何意义求积、商的步骤
（1）先画出两个复数z1，z2对应的向量，；
（2）求积（商）的幅角：把向量，绕点O按逆时针方向旋转θ2（θ2＜0时，则按顺时针方向旋转｜θ2｜）；
（3）求积（商）的模：积的模为r1r2，商的模为；
（4）z1·z2＝r1·r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]；＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）].
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.
1.复数1－i的辐角的主值是（　　）
A.π　　B.π　　C.π　　D.
2.复数（cos 10°＋isin 10°）（cos 20°＋isin 20°）的三角形式是（　　）
A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160°
3.设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为　　　　.
4.＝　　　　.
3.1　复数的三角表示式
3.2　复数乘除运算的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点一
2.r（cos θ＋isin θ）　3.0≤θ＜2π　arg z
想一想
1.提示：z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍.
2.提示：0的辐角是任意角，辐角主值是[0，2π）内任一角.
知识点二
1.（1）r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]
2.[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　被除数　除数
想一想
　提示：不一定.辐角θ可以是辐角主值也可以是其他辐角.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.C　×＝cos＋isin ＝cos ＋isin ＝i.故选C.
3.　π
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）r＝＝2，所以cos θ＝，
对应的点在第四象限，所以arg（－i）＝，
故－i＝2.
（2）r＝＝，
所以cos θ＝－，
对应的点在第三象限，所以arg（－1－i）＝，
故－1－i＝.
跟踪训练
1.D　选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，是isinπ与cosπ用“＋”连接而不是icos＋sinπ的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D.
2.解：
＝［cos＋isin（π＋π）］
＝
＝＝1－i.
【例2】　D　z＝
＝sin＋i
＝×＋×i＝－i.
跟踪训练
　1－i　解析：
＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］
＝
＝＝1－i.
【例3】　解：（1）2×
＝2＝－2i.
（2）原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）]＝3（cos 135°＋isin 135°）＝3
＝－3＋3i.
跟踪训练
1.解：
＝
＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i.
2.解：∵z1＝4＋4i＝4，
z2＝－1－i＝，
∴z1z2＝4（cos＋isin）×
［（cos＋isin）］
＝8
＝8，
∴θ1＋θ2＝.
【例4】　解：因为3－i＝2
＝2.
所以2×
＝2
＝2
＝2＝3＋i，
2（cosπ＋isin π）×
［cos（－）＋isin（－）］
＝2
＝2＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
跟踪训练
　解：＋i＝，
由题意得（cos ＋isin ）×
［2（cos ＋isin ）］
＝×2
＝3＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
随堂检测
1.A　因为1－i＝2＝2（cos π＋isin π），所以1－i辐角的主值为π.
2.C　（cos 10°＋isin 10°）（cos 20°＋isin 20°）
＝cos 30°＋isin 30°.故选C.
3.2　解析：根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：（－i）（cos 30°＋isin 30°）＝（－i）（＋i）＝2.
4.＋i　解析：＝cos（75°－15°）＋isin（75°－15°）＝cos 60°＋isin 60°＝＋i.
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3.1　复数的三角表示式
3.2　复数乘除运算的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解
复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设复数z＝1＋ i在复平面内对应的点为Z.
【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量 ；
（2）记r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终
边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与
z＝1＋ i的实部、虚部之间的关系.



知识点一　复数的三角形式
1. 辐角
以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线为
终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角.
2. 复数的三角形式
复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式为z＝
，其中r＝ ， cos θ＝ ， sin θ＝ .
3. 辐角的主值：将满足条件 的辐角值，称为辐角的主
值，记作 .当a＞0时，arg a＝0，arg（－a）＝π，arg
（ai）＝ ，arg（－ai）＝ π.
r（ cos θ＋i sin
θ）　
0≤θ＜2π　
arg z　
【想一想】
1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角唯一吗？
提示：z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍.
2. 复数0的辐角是多少，辐角主值是多少？
提示：0的辐角是任意角，辐角主值是[0，2π）内任一角.
知识点二　复数三角形式乘除运算及几何意义
1. 复数三角形式的乘法法则及几何意义
（1）乘法法则：r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2）
＝ .这就是
说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等
于它们的辐角的和.
r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　
（2）几何意义：
如图，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量 ， ，然后把向量 绕原点O按逆时针方向旋转角θ2（若θ2＜0，就要把 绕原点O按顺时针方向旋转
角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，所得向量 就表示复数z1·z2的乘积.
2. 复数三角形式的除法法则
＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－ ，这就是说，两个复数相除，商的模等于 的模
除以 的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所
得的差.
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　
被除数　
除数　
【想一想】
在进行复数三角形式乘除运算时，其辐角一定是辐角主值吗？
提示：不一定.辐角θ可以是辐角主值也可以是其他辐角.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任意一个复数都有三角形式. （　√　）
（2）复数的三角形式也可以进行四则运算. （　×　）
（3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π
的整数倍. （　√　）
（4）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）. （　×　）
√
×
√
×
2. × ＝（　　）
A. 1 B. －1
C. i D. －i
解析：　 × ＝ cos ＋i sin
＝ cos ＋i sin ＝i.故选C.
3. 当a＜0时，arg（ai）＝ ，arg a＝ .
　
π　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】　将下列复数代数形式化成三角形式：
（1） －i；
解：r＝ ＝2，
所以 cos θ＝ ，
对应的点在第四象限，
所以arg（ －i）＝ ，
故 －i＝2 .
（2）－1－i.
解：r＝ ＝ ，
所以 cos θ＝－ ，
对应的点在第三象限，
所以arg（－1－i）＝ ，
故－1－i＝ .
通性通法
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
【跟踪训练】
1. 下列复数是复数三角形式表示的是（　　）
解析：　选项A， cos 与i sin 之间用“－”连接，不是用
“＋”连接；选项B，－ ＜0不符合r≥0的要求；选项C，是i sin
π与 cos π用“＋”连接而不是i cos ＋ sin π的形式.故A、B、C
均不是复数的三角形式.故选D.
2. 将复数的三角形式 转化为代数形式.
解： ＝ ［ cos ＋i sin （π＋
π）］＝
＝ ＝1－i.
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】　复数z＝ 化为代数形式为（　　）
解析：　z＝ ＝ sin ＋ i＝
× ＋ × i＝ － i.
通性通法
　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式z＝r
（ cos A＋i sin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚
部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A.
【跟踪训练】
复数 的代数形式为 .
解析：
＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋ π）］
＝
＝ ＝1－i.
1－i　
题型三 复数三角形式的乘、除运算
【例3】　计算：
（1）2 × ；
解：2 ×
＝2
＝－2 i.
（2） .
解：原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－25°）]
＝3 （ cos 135°＋i sin 135°）
＝3
＝－3＋3i.
通性通法
　　在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三
角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，
也可以用三角形式表示.
【跟踪训练】
1. 计算： .
解：
＝
＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i.
2. 已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求
θ1＋θ2的值.
解：∵z1＝4＋4i＝4 ，
z2＝－1－i＝ ，
∴z1z2＝4 （ cos ＋i sin ）×［ （ cos ＋i sin ）］
＝8
＝8 ，
∴θ1＋θ2＝ .
题型四 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－ i对应的向量分别按逆时针和顺
时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数.
解：因为3－ i＝2
＝2 .
所以2 ×
＝2
＝2
＝2
＝3＋ i，
2 （ cos π＋i sin π）×［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］
＝2
＝2 ＝－2 i.
故把复数3－ i对应的向量按逆时针旋转 得到的复数为3＋ i，按顺时针旋转 得到的复数为－2 i.
通性通法
利用复数三角形式的几何意义求积、商的步骤
（1）先画出两个复数z1，z2对应的向量 ， ；
（2）求积（商）的幅角：把向量 ，绕点O按逆时针方向旋转θ2
（θ2＜0时，则按顺时针方向旋转｜θ2｜）；
（3）求积（商）的模：积的模为r1r2，商的模为 ；
（4）z1·z2＝r1·r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]； ＝
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）].
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋
转 ，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.
解： ＋ i＝ ，
由题意得 （ cos ＋i sin ）×［2（ cos ＋i sin ）］＝ ×2
＝3 ＝3i，即与所得向量对应的复数为3i.
1. 复数1－ i的辐角的主值是（　　）
解析：　因为1－ i＝2 ＝2（ cos π＋i sin π），所以
1－ i辐角的主值为 π.
2. 复数（ cos 10°＋i sin 10°）（ cos 20°＋i sin 20°）的三角形式
是（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160°
解析：　（ cos 10°＋i sin 10°）（ cos 20°＋i sin 20°）
＝ cos 30°＋i sin 30°.故选C.
3. 设z＝ －i，对应的向量为 ，将 绕点O按逆时针方向旋转
30°，则所得向量对应的复数为 .
解析：根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：（
－i）（ cos 30°＋i sin 30°）＝（ －i）（ ＋ i）＝2.
2　
4. ＝ 　 i　.
解析： ＝ cos （75°－15°）＋i sin （75°－
15°）＝ cos 60°＋i sin 60°＝ ＋ i.
＋ i　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果非零复数有一个辐角为－ ，那么该复数的（　　）
A. 辐角唯一 B. 辐角主值唯一
解析：　一个复数有无数个辐角，它们之间相差2kπ，k∈Z，A
错，D错；∵辐角主值的范围是[0，2π），∴任何一个复数都有唯
一的辐角主值，B对，C错，故选B.
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2. 将复数4［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］化成代数形式，正确的是
（　　）
A. 4 B. －4
C. 4i D. －4i
解析：　4［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］＝4[0＋i·（－1）]＝
－4i，故选D.
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3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）3的三角形式为（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 240°＋i sin 240°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 240°＋i cos 240°
解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）3＝（ cos 80°＋i sin 80°）3＝
cos 240°＋i sin 240°.
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4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量
，则 对应的复数是（　　）
解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得
到 ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i.
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5. ＝（　　）
解析：　 ＝ ＝ cos （0°－
60°）＋i sin （0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）
＝ － i.故选B.
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6. （多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，
则（　　）
A. p q B. p / q
C. q p D. q / p
解析：　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成
立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故
p q，q / p.故选A、D.
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7. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1 　.
解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i.
1＋ i　
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8. 在复平面内，将复数 ＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转
90°，则所得向量对应的复数为 .
解析：由题意知，（ ＋i）×（ cos 90°＋i sin 90°）＝2（ cos
30°＋i sin 30°）×（ cos 90°＋i sin 90°）＝2（ cos 120°＋i
sin 120°）＝－1＋ i.即所得向量对应的复数为－1＋ i.
－1＋ i　
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9. 计算 ＝ 　 　.
解析： ＝ cos （40°－10°）＋i sin （40°－
10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝ ＋ i.
＋ i　
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10. 计算：
（1）2 × ；
解：原式＝2× ［ cos （ ＋ π）＋i sin （ ＋ π）］＝ ＝－ ＋ i.
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（2） .
解：原式＝
＝2
＝2
＝－2i.
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11. 如果θ∈ ，那么复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角
的主值是（　　）
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解析：　（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ ·
（ cos θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）］，
∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是
θ＋ .故选B.
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12. （ cos ＋i sin ）n＝ cos －i sin ，则n＝（　　）
A. 3 B. 12
C. 6k－1（k∈Z） D. 6k＋1（k∈Z）
解析：　由题意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝ cos
－i sin ，由复数相等的定义，得解
得 ＝2kπ－ （k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）.
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13. 复数z＝（a＋i）2的辐角主值为 ，则实数a＝ .
解析：由于复数z的辐角主值为 ，
故z＝r（ cos ＋i sin ）＝－ir，
又z＝（a＋i）2＝a2－1＋2ai，
所以a2－1＋2ai＝－ir，
所以a2－1＝0，2a＝－r，故a＝－1.
－1　
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14. 若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足 ＝z1z3
且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.
解：设z1＝ cos α＋i sin α，
z2＝ cos β＋i sin β，
z3＝ cos γ＋i sin γ，
则由z2＋iz3－i＝0，
可得
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利用 cos 2β＋ sin 2β＝1，解得
所以z3＝ .
当z3＝ 时，
z2＝－i（z3－1）＝ ，z1＝ ＝1；
当z3＝ 时，
z2＝－i（z3－1）＝ ，z1＝ ＝1.
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15. 如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别
是 ＋ i和2，则点C所表示的复数为 　2＋ i　.
2＋ i　
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解析：∵A，B所表示的复数分别是 ＋ i和2，
∴ 所表示的复数为 － i，把 逆时针旋转60°得到
， 对应的复数为（ － i）·（ cos 60°＋i sin 60°）
＝ ＋ i，
又 ＝ ＋ ， ＋ i＋ ＋ i＝2＋ i，
即点C对应的复数是2＋ i.
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16. 已知非零复数z满足｜z－i｜＝1，且arg z＝θ，求：
（1）θ的取值范围；
解：因为｜z－i｜＝1，所以如图①所示，z的对应点
P在以（0，1）为圆心，半径为1的圆上.
又z为非零复数，因此可知，θ∈（0，π）.
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（2）复数z的模（用θ表示）；
解：如图②，在Rt△AOP中，
∠OAP＝∠POx＝θ.
又｜OA｜＝2，易知｜z｜＝｜OP｜＝2 sin θ，
当θ为直角或钝角时，仍有｜z｜＝2 sin θ，
故｜z｜＝2 sin θ.
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解：因为｜z－i｜＝1，
所以结合同角三角函数关系，
可设z－i＝ cos φ＋i sin φ（φ∈R）.
于是z2－zi＝z（z－i），
注意到z＝2 sin θ（ cos θ＋i sin θ），
z－i＝ cos φ＋i sin φ，
则知z2－zi＝2 sin θ（ cos θ＋i sin θ）·（ cos φ＋i sin φ）
＝2 sin θ[ cos （θ＋φ）＋i sin （θ＋φ）].
又 cos φ＋i sin φ＝z－i
（3）复数z2－zi的辐角.
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＝2 sin θ（ cos θ＋i sin θ）－i
＝2 sin θ cos θ＋i（2 sin 2θ－1）
＝ sin 2θ－i cos 2θ
＝ cos （2θ－ ）＋i sin （2θ－ ），
所以φ＝2kπ＋2θ－ （k∈Z）.
从而可得θ＋φ＝2kπ＋3θ－ （k∈Z）.
故z2－zi的辐角为2kπ＋3θ－ （k∈Z）.
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