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一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中.
培优一 复数的概念
【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（　　）
A.4　　　　　　　　　B.3
C.2 D.1
（2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝（　　）
A.或 B.2或5
C. D.5
（3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　　）
A.0 B.－1
C.1 D.－2
尝试解答
二、数学运算
数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范围内解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步培养学生的数学运算核心素养.
培优二 复数的四则运算
【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
（2）（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　）
A.10i B.2i
C.10 D.2
（3）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（　　）
A.－i B.i
C.0 D.1
尝试解答
培优三 复数范围内解方程
【例3】　已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
（2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根.
尝试解答
培优四 复数三角形式的乘、除运算
【例4】　计算：（1）2×3（ cos ＋isin ）；
（2）8（cos 85°＋isin 85°）÷[（cos 25°＋isin 25°）].
尝试解答
三、直观想象
在本章中直观想象主要体现在复数的几何意义与复数乘、除法的几何意义等问题中.
培优五 复数的几何意义
【例5】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（　　）
A.0 B.1
C. D.2
（2）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
尝试解答
【例6】　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
尝试解答
培优六 复数中的证明问题
【例7】　设z∈C，且｜z｜＝1，但z≠±1，求证：是纯虚数.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　（1）C　（2）C　（3）A
解析：（1）∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C.
（2）∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1－3i，∴解得a＝－2.∴z＝－2＋i，故｜z｜＝＝.故选C.
（3）∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.故选A.
【例2】　（1）C　（2）A　（3）A
解析：（1）法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
（2）因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A.
（3）由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
【例3】　解：（1）原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，设方程的实数根为x0，
则即
又θ是锐角，故θ＝.
（2）证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，
则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，
即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，
可得－b2＋b－2＝0，解得b＝，
与假设矛盾，所以方程无纯虚数根.
【例4】　解：（1）原式
＝6
＝6
＝6
＝＋i.
（2）原式＝4[cos（85°－25°）＋isin（85°－25°）]＝4（cos 60°＋isin 60°）＝4＝2＋2i.
【例5】　（1）C　（2）A　解析：（1）若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.故选C.
（2）∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
【例6】　解：由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）.
设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）.
由题意知，＝，所以则故点D对应的复数为－3－2i.
【例7】　证明：法一　设z＝a＋bi（a，b∈R），
由｜z｜＝1得a2＋b2＝1，∴＝＝＝＝i.
由｜z｜＝1且z≠±1，得b≠0，a≠±1，
∴为纯虚数.
法二　∵｜z｜＝1，∴z·＝1.
∴＝＝＝－＝－.
∵z≠±1，∴≠0.∴是纯虚数.
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章末复习与总结
一、数学抽象
　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映
了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本
章中，主要体现在复数的基本概念中.
培优一 复数的概念
【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋ （a∈R）是纯虚
数，则a＝（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析：∵a＋ ＝a＋ ＝a＋ ＝a－2
－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C.
（2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜
z｜＝（　　）
B. 2或5 D. 5
解析： ∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1
－3i，∴解得a＝－2.∴z＝－2＋i，故｜z｜
＝ ＝ .故选C.
（3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，则z2＋
的虚部为（　　）
A. 0 B. －1 C. 1 D. －2
解析： ∵z＝1＋i，∴ ＝1－i，∴z2＋ ＝（1＋i）2＋（1－i）2
＝2i＋（－2i）＝0.故选A.
二、数学运算
　　数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范
围内解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步
培养学生的数学运算核心素养.
培优二 复数的四则运算
【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　）
A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i
解析：法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1
＋ ＝1－i.故选C.
法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1－i.
（2）（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（ ＋z）＝（　　）
A. 10i B. 2i C. 10 D. 2
解析：因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i（ ＋z）＝10i，故选A.
（3）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝ ，则z－ ＝（　　）
A. －i B. i C. 0 D. 1
解析： 由题意，得z＝ ＝ ＝－ i，所以 ＝ i，所以z－ ＝－ i－ i＝－i.故选A.
培优三 复数范围内解方程
【例3】　已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
解：原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，
设方程的实数根为x0，
则即
又θ是锐角，故θ＝ .
（2）证明：对任意θ≠kπ＋ （k∈Z），方程无纯虚数根.
解：证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，
b∈R，则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，
即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，
可得－b2＋b－2＝0，解得b＝ ，
与假设矛盾，所以方程无纯虚数根.
培优四 复数三角形式的乘、除运算
【例4】　计算：（1）2 ×3（ cos ＋i sin ）；
解：原式＝6
＝6 ＝6
＝ ＋ i.
（2）8（ cos 85°＋i sin 85°）÷[（ cos 25°＋i sin 25°）].
解：原式＝4 [ cos （85°－25°）＋i sin （85°－25°）]
＝4 （ cos 60°＋i sin 60°）＝4 ＝2 ＋2 i.
三、直观想象
　　在本章中直观想象主要体现在复数的几何意义与复数乘、除法的
几何意义等问题中.
培优五 复数的几何意义
【例5】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝
（　　）
A. 0 B. 1 D. 2
解析：若z＝－1－i，则｜z｜＝ ＝ .故选C.
（2）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应
的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
【例6】　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解：由题意得 ＝（2，3）， ＝（3，2）， ＝（－2，－3）.
设 ＝（x，y），则 ＝（x－2，y－3）， ＝（－5，－5）.
由题意知， ＝ ，所以则故点D
对应的复数为－3－2i.
培优六 复数中的证明问题
【例7】　设z∈C，且｜z｜＝1，但z≠±1，求证： 是纯虚数.
证明：法一　设z＝a＋bi（a，b∈R），
由｜z｜＝1得a2＋b2＝1，∴ ＝ ＝
＝ ＝ i.
由｜z｜＝1且z≠±1，得b≠0，a≠±1，
∴ 为纯虚数.
法二　∵｜z｜＝1，∴z· ＝1.
∴ ＝ ＝ ＝－ ＝－ .
∵z≠±1，∴ ≠0.∴ 是纯虚数.
谢 谢 观 看！

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