资源简介

1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
1.下列说法正确的是（　　）
A.在空间中，一个点运动成直线
B.在空间中，直线平行移动形成平面
C.在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面
D.在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
2.下列特征不是棱台必须具有的是（　　 ）
A.两底面平行 B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后相交于一点
3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　　）
A.棱柱　　　　　　　　 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
4.如图是一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点的个数为（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
5.（多选）关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是（　　 ）
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
6.（多选）下列说法不正确的有（　　）
A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B.对角面为全等矩形的六面体一定是长方体
C.棱台的各个侧面都是梯形
D.长方体一定是正四棱柱
7.一个棱台至少有　　　　个面，面数最少的棱台有　　　　个顶点，有　　　　条棱.
8.若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为　　　　　cm.
9.在下面四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是　　　　　（填序号）.
10.根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.
11.正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA'于点D，若AD的长是2 cm，则△BCD的面积为（　　）
A.6 cm2 B.2 cm2
C.8 cm2 D.2 cm2
12.（多选）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上（　　）
A.乐、新、快 B.快、新、乐
C.新、快、乐 D.乐、快、新
13.用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A'B'C'分为三个三棱锥.则这三个棱锥可分别记作　　　，　　　　，　　　　.
14.已知正三棱锥V-ABC，底面边长为8，侧棱长为2，计算它的高和斜高.
15.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　　　　个面，其棱长为　　　　.
16.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，求其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值.
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
1.C　一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿垂直于矩形的方向向上（或向下）移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错.
2.C　根据棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台，可得棱台的两底面一定平行，侧面都是梯形，且侧棱延长后必相交于一点，所以A、B、D都正确，只有当棱台为正棱台时，棱台的侧棱长才相等，所以C不正确.故选C.
3.A　如图，∵平面AA1B1B∥平面DD1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都是平行四边形（水面与两平行平面的交线平行且相等），因此呈棱柱形状.
4.B　还原几何体，如图，由图观察可知，该多面体有7个顶点.故选B.
5.ACD　根据棱柱的几何性质可得，棱柱的侧棱长都相等，故选项A正确；根据棱锥的定义可知，只有正棱锥的侧棱长都相等，故选项B错误；根据棱台的定义可知，棱台的上下底面是相似多边形，有的棱台的侧棱长都相等，故选项C、D正确.故选A、C、D.
6.ABD　底面是菱形的直平行六面体满足选项A的条件，但它不是正棱柱，A不正确；底面是等腰梯形的直棱柱满足选项B的条件，但它不是长方体，B不正确；由棱台的定义，知棱台的各个侧面都是梯形，C正确；D显然不正确.故选A、B、D.
7.5　6　9
8.12　解析：依题意知该棱柱是五棱柱，所以每条侧棱的长为60÷5＝12（cm）.
9.①②　解析：图③④中的四个面都共点，故组不成四面体，只有①②可以.
10.解：（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱.
（2）这是一个六棱锥.
（3）这是一个三棱台.
11.C　如图，易知BD＝CD，取BC的中点E，连接DE，则DE⊥BC.易知BD＝CD＝＝2，BE＝EC＝2，所以DE＝＝4，所以S△BCD＝BC·ED＝×4×4＝8（cm2）.所以△BCD的面积为8 cm2.
12.BC　题图中四个三角形为四棱锥的侧面，由四棱锥的结构特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③或②年①③，故①②③处可依次写上：新、快、乐，或快、新、乐，故选B、C.
13.C'-ABC　C'-A'B'B　C'-ABA'
解析：三棱柱ABC-A'B'C'，可分为三棱锥C'-ABC、三棱锥C'-A'B'B和三棱锥C'-ABA'.
14.解：如图所示，设O是底面△ABC的中心，连接AO并延长，交BC于点D，
则点D为BC的中点，∴△VAO和△VCD都是直角三角形.
∵底面边长为8，侧棱长为2，
∴AO＝××8＝，CD＝4，
∴VO＝
＝＝，
VD＝＝＝2，
即正三棱锥的高是，斜高是2.
15.26　－1　解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
16.解：由题意知，可将金字塔看成如图所示的正四棱锥S-ABCD，其中M为AD的中点，O为底面正方形ABCD的中心，连接SM，SO，OM，则SO⊥底面ABCD，SM⊥AD，OM⊥AD，即正四棱锥S-ABCD的高为SO，侧面三角形SAD的高为SM.设底面正方形ABCD的边长为a，SM＝h，则OM＝，正四棱锥S-ABCD的一个侧面三角形的面积为ah，在Rt△SOM中，SO2＝SM2－OM2＝h2－＝h2－，以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积为SO2＝h2－，故ah＝h2－，化简、整理得4h2－2ah－a2＝0，得4－2－1＝0，令＝t，则4t2－2t－1＝0，因为t＞0，所以t＝，即＝，所以其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
2 / 31.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
新课程标准解读 核心素养
1.利用实物模型、观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征 直观想象
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构及有关量的计算 数学抽象、数学运算
　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　构成空间几何体的基本元素
1.空间几何体的基本几何元素是　　　　　、　　　　　、　　　　　等.
2.平面
（1）平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是　　　　　　的；
（2）平面的画法
画 法 一般地，用平行四边形表示平面
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画
图 示
（3）平面的表示法：图①的平面可表示为　　　、平面ABCD、　　　或平面BD.
【想一想】
几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
知识点二　多面体
由　　　　　　围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的　　　，两个相邻的面的公共边称为多面体的　　　，棱与棱的公共点称为多面体的　　　　.
知识点三　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 柱 有两个面互相　　，其余各面都是　　　　，由这些面围成的几何体称为棱柱 记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个互相　　的面； 侧面：除底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的　　； 顶点：侧面与底面的　　　 直棱柱：侧面平行四边形都是矩形的棱柱； 斜棱柱：除直棱柱外，其他的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
棱 锥 有一个面是　　　，其余各面都是有一个公共顶点的　　　　，由这些面所围成的几何体称为棱锥 记作：棱锥 S-ABCD 底面（底）：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻两个侧面的　　　； 顶点：各个侧面的　　　　 正棱锥：棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上
棱 台 用一个　　　　的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台 记作：棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的　　　　　； 下底面：原棱锥的　　　　　； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 正棱台：由正棱锥截得的棱台
提醒　（1）棱柱、棱锥、棱台的关系：在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.
（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系
　　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）棱柱的底面互相平行.（　　）
（2）棱柱的各个侧面都是平行四边形.（　　）
（3）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.（　　）
（4）棱台的侧棱延长后必交于一点.（　　）
2.下列棱锥有6个面的是（　　）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3.下列几何体中，　　　　　是棱柱，　　　　是棱锥，　　　　　　　是棱台（仅填相应序号）.
题型一 对于平面的理解
【例1】　判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）平面的形状是平行四边形；
（2）圆和平面多边形都可以表示平面；
（3）若S ABCD＞S A'B'C'D'，则平面ABCD大于平面A'B'C'D'.
尝试解答
通性通法
1.在空间几何体中，平面是无限延展的，是理想的、绝对平直的.
2.平面是抽象出来的，没有厚度、没有大小，因此无法度量.平面几何中的平面图形，如三角形、四边形等都是有大小的，可以度量的，它们本身不是平面.
3.任何一个平面都可以将空间分为两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，那么必须穿过这个平面.
【跟踪训练】
下列说法正确的是（　　）
A.生活中的几何体都是由平面组成的
B.曲面都是有一定大小的
C.直线是由无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的
D.平面图形是空间图形的重要组成部分
题型二 简单多面体的识别
【例2】　（1）（多选）一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（　　）
A.三棱锥　　　　　　B.四棱台
C.六棱锥 D.六面体
（2）对如图所示的几何体描述正确的是　　　　（填序号）.
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.
尝试解答
通性通法
1.棱柱结构特征辨析
（1）有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.
（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
2.判断棱锥、棱台形状的两个方法
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；
（2）直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于同一点 延长后相交于一点
【跟踪训练】
1.下列说法中，正确的是（　　）
①棱锥的各个侧面都是三角形；②三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等.
A.①②　　B.①③　　C.②③　　D.②④
2.（多选）下列关于棱柱的说法正确的是（　　）
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
题型三 棱柱、棱锥、棱台的有关计算
【例3】　若正四棱锥的底面边长为a，侧棱与高的夹角为30°，求正四棱锥的侧棱长和斜高.
尝试解答
通性通法
与棱柱、棱锥、棱台有关计算的求解思路
　　把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：
①正棱锥（台）的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；
②正棱锥（台）的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形.
【跟踪训练】
一个三棱台的上、下底面面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，则截得这个棱台的棱锥的高为　　　 cm.
1.下列几何体中，面的个数最少的是（　　 ）
A.四面体 B.四棱锥
C.四棱柱 D.四棱台
2.侧面都是矩形的棱柱一定是（　　 ）
A.长方体 B.三棱柱
C.直平行六面体 D.直棱柱
3.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（　　）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.四棱台
4.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.四棱柱的所有面均为平行四边形
B.长方体不一定是正四棱柱
C.底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D.正四面体一定是正三棱锥
5.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是　　　　（填序号）.
①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形.
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
【基础知识·重落实】
知识点一
1.点　线（直线和曲线）　面（平面和曲面）　2.（1）无限延展　（3）平面α　平面AC
想一想
　提示：没有边界，常用平行四边形表示平面.
知识点二
平面多边形　面　棱　顶点
知识点三
平行　平行四边形　平行　公共边　公共顶点　多边形　三角形　公共边　公共点　平行于底面　截面　底面
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√
2.C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面.故选C.
3.①③④　⑥　⑤
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）不正确.我们常用平行四边形表示平面，但不能说平面的形状是平行四边形，平面是无形状可言的.
（2）正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面，但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面.
（3）不正确.因为平面无大小可言.
跟踪训练
　D　组成几何体的面既可以是平面，也可以是曲面；曲面也可以是无限延展的；直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可以排除A、B、C.
【例2】　（1）BC　（2）①③④⑤
解析：（1）当三棱锥是正四面体时，其所有棱长都相等，满足题意，所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等，不满足题意，所以B不可能.正六棱锥的底面边长与侧棱长不可能相等，不满足题意，所以C不可能.六面体是正方体时，满足题意，所以D可能.（2）①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，如图（ⅰ）（ⅱ）所示.
跟踪训练
1.B　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；三条侧棱都相等的三棱锥的底面不一定是正三角形，棱锥的顶点与底面中心的连线也不一定垂直于底面，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.故选B.
2.ABD　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.故选A、B、D.
【例3】　解：如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥底面ABCD于点O，则O是底面的中心，∠BSO为侧棱SB与高SO的夹角，故∠BSO＝30°.
由题意知OB＝a，所以SB＝2OB＝a，SO＝＝a.
过点O作OM⊥BC于点M，易知M为BC的中点，连接SM，则SM⊥BC，即SM为正四棱锥的斜高.
在Rt△SOM中，可求得SM＝＝a，
故正四棱锥的侧棱长为a，斜高为a.
跟踪训练
　12　解析：如图所示，将棱台还原为棱锥.设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高.因为棱台的上、下底面面积之比为4∶9，所以它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，所以PA1∶PA＝2∶3.由题意得A1O1∥AO，故＝，即＝＝，所以PO＝12 cm.
随堂检测
1.A　四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面.故选A.
2.D　侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱.故选D.
3.B　余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.
4.BD　四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形，故A不正确；长方体不一定是正四棱柱，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；正四面体一定是正三棱锥，故D正确.故选B、D.
5.①②　解析：如图（ⅰ）所示，用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；如图（ⅱ）所示，用一个平面去截三棱锥，截面是四边形.
5 / 5(共64张PPT)
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
新课程标准解读 核心素养
1.利用实物模型、观察空间图形，认识棱柱、棱锥、
棱台的结构特征 直观想象
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构及
有关量的计算 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装
饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、
埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的
建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数
学知识？




知识点一　构成空间几何体的基本元素
1. 空间几何体的基本几何元素是 、
、 等.
2. 平面
（1）平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平
面的印象，平面是 的；
点　
线（直线和曲
线）　
面（平面和曲面）　
无限延展　
（2）平面的画法
画 法 一般地，用平行四边形表示平面
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画
图 示
（3）平面的表示法：图①的平面可表示为 、平面
ABCD、 或平面BD.
平面α　
平面AC　
【想一想】
几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示：没有边界，常用平行四边形表示平面.
知识点二　多面体
由 围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体
的 ，两个相邻的面的公共边称为多面体的 ，棱与棱的公
共点称为多面体的 .
平面多边形　
面　
棱　
顶点　
知识点三　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 柱 有两个面
互相
，其
余各面都
是
，由这些面围成的几何体称为棱柱 记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个
互相 的
面； 侧面：除底面外，
其余各面； 侧棱：相邻侧面
的 ； 顶点：侧面与底面
的 直棱柱：侧
面平行四边
形都是矩形
的棱柱；
斜棱柱：除
直棱柱外，
其他的棱
柱；
正棱柱：底
面是正多边
形的直棱柱
平
行　
平行
四边形
平行　
公共边　
公共顶点　
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 锥 有一个面
是
，其余
各面都是有
一个公共顶
点的
，由这
些面所围成
的几何体称
为棱锥 记作：棱锥 S-ABCD 底面（底）：多边
形面； 侧面：有公共顶点
的各个三角形面； 侧棱：相邻两个侧
面的 ； 顶点：各个侧面
的 正棱锥：棱
锥的底面是
正多边形，
且它的顶点
在过底面中
心且与底面
垂直的直线
上
多边
形　
三角
形　
公共边　
公共点　
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 台 用一个

的平面去截棱锥，截面与底面之间
的部分称为棱台 记作：棱台 ABCD-
A'B'C'D' 上底面：原棱锥的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的
公共边； 顶点：侧面与上（下）
底面的公共顶点 正棱
台：由
正棱锥
截得的
棱台
平
行于底面　
截面
底面
提醒　（1）棱柱、棱锥、棱台的关系：在运动变化的观点下，棱
柱、棱锥、棱台之间的关系可以用如图表示出来（以三棱柱、三棱
锥、三棱台为例）.
（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）棱柱的底面互相平行. （　√　）
（2）棱柱的各个侧面都是平行四边形. （　√　）
（3）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
（　×　）
（4）棱台的侧棱延长后必交于一点. （　√　）
√
√
×
√
2. 下列棱锥有6个面的是（　　）
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 五棱锥 D. 六棱锥
解析：　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面.故选C.
3. 下列几何体中， 是棱柱， 是棱锥， 　⑤ 　是棱台
（仅填相应序号）.
①③④　
⑥　
⑤
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对于平面的理解
【例1】　判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）平面的形状是平行四边形；
解：不正确.我们常用平行四边形表示平面，但不能说平
面的形状是平行四边形，平面是无形状可言的.
（2）圆和平面多边形都可以表示平面；
解：正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面，
但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面.
（3）若S ABCD＞S A'B'C'D'，则平面ABCD大于平面A'B'C'D'.
解：不正确.因为平面无大小可言.
通性通法
1. 在空间几何体中，平面是无限延展的，是理想的、绝对平直的.
2. 平面是抽象出来的，没有厚度、没有大小，因此无法度量.平面几
何中的平面图形，如三角形、四边形等都是有大小的，可以度量
的，它们本身不是平面.
3. 任何一个平面都可以将空间分为两部分，如果想从平面的一侧到另
一侧，那么必须穿过这个平面.
【跟踪训练】
下列说法正确的是（　　）
A. 生活中的几何体都是由平面组成的
B. 曲面都是有一定大小的
C. 直线是由无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的
D. 平面图形是空间图形的重要组成部分
解析：　组成几何体的面既可以是平面，也可以是曲面；曲面也可
以是无限延展的；直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点
可以排除A、B、C.
题型二 简单多面体的识别
【例2】　（1）（多选）一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多
面体一定不可能是（　BC　）
A. 三棱锥 B. 四棱台
C. 六棱锥 D. 六面体
BC
解析：当三棱锥是正四面体时，其所有棱长都相等，满足题意，所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等，不满足题意，所以B不可能.正六棱锥的底面边长与侧棱长不可能相等，不满足题意，所以C不可能.六面体是正方体时，满足题意，所以D可能.
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.
（2）对如图所示的几何体描述正确的是 （填序号）.
①③④⑤　
解析：①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体.②错误，因
为侧棱的延长线不能交于一点.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，如图（ⅰ）（ⅱ）所示.
通性通法
1. 棱柱结构特征辨析
（1）有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有
两个面平行，再看是否满足其他特征.
（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
2. 判断棱锥、棱台形状的两个方法
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱
锥、棱台结构特征的某些说法不正确；
（2）直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此
面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于同一点 延长后相交于一点
【跟踪训练】
1. 下列说法中，正确的是（　　）
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ②④
解析：　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正
确；三条侧棱都相等的三棱锥的底面不一定是正三角形，棱锥的顶
点与底面中心的连线也不一定垂直于底面，故②错；四面体就是由
四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几
何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相
等，故④错.故选B.
2. （多选）下列关于棱柱的说法正确的是（　　）
A. 所有的棱柱两个底面都平行
B. 所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相
邻两个四边形的公共边互相平行
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D. 棱柱至少有五个面
解析：　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.故选A、B、D.
题型三 棱柱、棱锥、棱台的有关计算
【例3】　若正四棱锥的底面边长为a，侧棱与高的夹角为30°，求正
四棱锥的侧棱长和斜高.
解：如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥底面
ABCD于点O，则O是底面的中心，∠BSO为侧棱
SB与高SO的夹角，故∠BSO＝30°.
由题意知OB＝ a，
所以SB＝2OB＝ a，SO＝ ＝ a.
过点O作OM⊥BC于点M，易知M为BC的中点，
连接SM，则SM⊥BC，即SM为正四棱锥的斜高.
在Rt△SOM中，可求得SM＝ ＝ a，
故正四棱锥的侧棱长为 a，斜高为 a.
通性通法
与棱柱、棱锥、棱台有关计算的求解思路
　　把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：
①正棱锥（台）的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；
②正棱锥（台）的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形.
【跟踪训练】
一个三棱台的上、下底面面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，则截
得这个棱台的棱锥的高为 cm.
解析：如图所示，将棱台还原为棱锥.设PO是原棱锥的
高，O1O是棱台的高.因为棱台的上、下底面面积之比为
4∶9，所以它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，所
以PA1∶PA＝2∶3.由题意得A1O1∥AO，故 ＝ ，
即 ＝ ＝ ，所以PO＝12 cm.
12　
1. 下列几何体中，面的个数最少的是（　　 ）
A. 四面体 B. 四棱锥
C. 四棱柱 D. 四棱台
解析：　四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6
个面.故选A.
2. 侧面都是矩形的棱柱一定是（　　 ）
A. 长方体 B. 三棱柱
C. 直平行六面体 D. 直棱柱
解析：　侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都
是矩形的棱柱一定是直棱柱.故选D.
3. 如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余
部分是（　　）
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 四棱台
解析：　余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.
4. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 四棱柱的所有面均为平行四边形
B. 长方体不一定是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D. 正四面体一定是正三棱锥
解析：　四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形，故A不正确；长方体不一定是正四棱柱，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；正四面体一定是正三棱锥，故D正确.故选B、D.
5. 用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 （填序
号）.
①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形.
解析：如图（ⅰ）所示，用一个平面去截
三棱锥，截面是三角形；如图（ⅱ）所
示，用一个平面去截三棱锥，截面是四
边形.
①②　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 在空间中，一个点运动成直线
B. 在空间中，直线平行移动形成平面
C. 在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面
D. 在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
解析：　一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平
行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿垂
直于矩形的方向向上（或向下）移动相同距离所形成的几何体是长
方体，故D错.
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2. 下列特征不是棱台必须具有的是（　　 ）
A. 两底面平行
B. 侧面都是梯形
C. 侧棱长都相等
D. 侧棱延长后相交于一点
解析：　根据棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台，可得棱台的两底面一定平行，侧面都是梯形，且侧棱延长后必相交于一点，所以A、B、D都正确，只有当棱台为正棱台时，棱台的侧棱长才相等，所以C不正确.故选C.
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3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则
倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　　）
A. 棱柱 B. 棱台
C. 棱柱与棱锥的组合体 D. 不能确定
解析：　如图，∵平面AA1B1B∥平面DD1C1C，
∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都
是平行四边形（水面与两平行平面的交线平行且相
等），因此呈棱柱形状.
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√
4. 如图是一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点的个数为（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析：　还原几何体，如图，由图观察可知，该多
面体有7个顶点.故选B.
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5. （多选）关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是（　　 ）
A. 棱柱的侧棱长都相等
B. 棱锥的侧棱长都相等
C. 三棱台的上、下底面是相似三角形
D. 有的棱台的侧棱长都相等
解析：　根据棱柱的几何性质可得，棱柱的侧棱长都相等，故选项A正确；根据棱锥的定义可知，只有正棱锥的侧棱长都相等，故选项B错误；根据棱台的定义可知，棱台的上下底面是相似多边形，有的棱台的侧棱长都相等，故选项C、D正确.故选A、C、D.
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6. （多选）下列说法不正确的有（　　）
A. 各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B. 对角面为全等矩形的六面体一定是长方体
C. 棱台的各个侧面都是梯形
D. 长方体一定是正四棱柱
解析：　底面是菱形的直平行六面体满足选项A的条件，但它不是正棱柱，A不正确；底面是等腰梯形的直棱柱满足选项B的条件，但它不是长方体，B不正确；由棱台的定义，知棱台的各个侧面都是梯形，C正确；D显然不正确.故选A、B、D.
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7. 一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，
有 条棱.
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8. 若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的
长为 cm.
解析：依题意知该棱柱是五棱柱，所以每条侧棱的长为60÷5＝12
（cm）.
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9. 在下面四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的
是 （填序号）.
解析：图③④中的四个面都共点，故组不成四面体，只有①②
可以.
①②　
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10. 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
解：这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是
平行四边形的四棱柱.
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都
是有一个公共顶点的三角形；
解：这是一个六棱锥.
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（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角
形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相
交于一点.
解：这是一个三棱台.
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11. 正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱
AA'于点D，若AD的长是2 cm，则△BCD的面积为（　　）
A. 6 cm2 B. 2 cm2
解析：　如图，易知BD＝CD，取BC的中点
E，连接DE，则DE⊥BC. 易知BD＝CD＝
＝2 ，BE＝EC＝2，所以DE＝
＝4，所以S△BCD＝ BC·ED＝
×4×4＝8（cm2）.所以△BCD的面积为8 cm2.
C. 8 cm2 D. 2 cm2
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12. （多选）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的
“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”
字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，
③处应依次写上（　　）
A. 乐、新、快 B. 快、新、乐
C. 新、快、乐 D. 乐、快、新
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解析：　题图中四个三角形为四棱锥的侧面，由四棱锥的结构
特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③或②
年①③，故①②③处可依次写上：新、快、乐，或快、新、乐，
故选B、C.
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13. 用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A'B'C'分为三个三棱锥.则这
三个棱锥可分别记作 ， ， .
解析：三棱柱ABC-A'B'C'，可分为三棱锥C'-ABC、三棱锥C'-
A'B'B和三棱锥C'-ABA'.
C'-ABC　
C'-A'B'B　
C'-ABA'　
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14. 已知正三棱锥V-ABC，底面边长为8，侧棱长为2 ，计算它的
高和斜高.
解：如图所示，设O是底面△ABC的中心，连接AO并延长，交
BC于点D，
则点D为BC的中点，∴△VAO和△VCD都是直角三角形.
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∵底面边长为8，侧棱长为2 ，
∴AO＝ × ×8＝ ，CD＝4，
∴VO＝ ＝ ＝ ，
VD＝ ＝ ＝2 ，
即正三棱锥的高是 ，斜高是2 .
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15. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状
多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印
信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以
上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图
②是一个棱数为48的半正多面体，
它的所有顶点都在同一个正方体的
表面上，且此正方体的棱长为1.则
该半正多面体共有 个面，其
棱长为 .
26　
－1　
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解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6
个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方
形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面.注意
到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正
多面体的棱长为x，则 x＋x＋ x＝1，解得x＝ －1，故题
中的半正多面体的棱长为 －1.
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16. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个
正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个
侧面三角形的面积，求其侧面三角形底边上的高与底面正方形的
边长的比值.
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解：由题意知，可将金字塔看成如图所示的
正四棱锥S-ABCD，其中M为AD的中点，
O为底面正方形ABCD的中心，连接SM，
SO，OM，则SO⊥底面ABCD，SM⊥AD，OM⊥AD，即正四棱锥S-ABCD的高为SO，侧面三角形SAD的高为SM.
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设底面正方形ABCD的边长为a，SM＝h，则OM＝ ，正四棱锥S-
ABCD的一个侧面三角形的面积为 ah，在Rt△SOM中，SO2＝SM2－
OM2＝h2－ ＝h2－ ，以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积
为SO2＝h2－ ，故 ah＝h2－ ，化简、整理得4h2－2ah－a2＝0，
得4 －2 －1＝0，令 ＝t，则4t2－2t－1＝0，因为t＞0，所
以t＝ ，即 ＝ ，所以其侧面三角形底边上的高与底面正方
形的边长的比值为 .
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谢 谢 观 看！

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