资源简介

拓 视 野　探究空间两点间的最短路径
爸爸出差前，留给小华一道题：
如图为某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的a1表示该段道路的长度（单位：千米），请你选择一条从A到B的最短路线.
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”.
小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫
撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一张真正的“交通网”，要求A，B两地的最短路线.只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫作模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”
【问题探究】
【例1】　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从点A到点C的最短距离为（　　）
A.10 cm　　　　　　　 B. cm
C.5 cm D.5 cm
尝试解答
【例2】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，求蚂蚁爬行的最短路程.
尝试解答
【迁移应用】
1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，则PC的长为　　　　.
2.圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
拓视野　探究空间两点间的最短路径
【例1】　B　如图①所示，正方形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面半径为r，则r＝ cm，底面周长为2πr＝5π cm.将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图②所示，则从A到C的最短距离即AC的长.∵AB＝＝ cm，BC＝AD＝5 cm，∴AC＝＝＝ cm.
【例2】　解：正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1'的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为.
迁移应用
1.2　解析：将侧面B1BCC1展到平面A1ACC1内，如图所示，
设PC＝x，由题意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝，在Rt△MAP1中，AM2＋A＝M，即22＋（3＋x）2＝（）2，解得x＝2，即PC＝2.
2.解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，∠AOA'＝θ，
则解得所以OA＝40 cm，OM＝30 cm.
所以AM＝＝50 cm.
即绳子最短长度为50 cm.
（2）作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ为所求的最短距离.
因为OA·OM＝AM·OQ，
所以OQ＝＝＝24 cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4 cm，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
2 / 2(共33张PPT)
拓 视 野
探究空间两点间的最短路径
爸爸出差前，留给小华一道题：
如图为某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道
路，连线旁的a1表示该段道路的长度（单位：千米），请你选择一条
从A到B的最短路线.
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.
小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”.
小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树
林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫撞到
网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根
丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里
直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交
通网形状和各条道路的长短比例编织一张真正的“交通网”，要求
A，B两地的最短路线.只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外
拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.
小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸
的解法后面还有几行字：“这种解法叫作模拟法，它是科学研究的一
种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的
眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”
【问题探究】
【例1】　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面
上从点A到点C的最短距离为（　　）
A. 10 cm B. cm
C. 5 cm D. 5 cm
解析：　如图①所示，
正方形ABCD是圆柱的轴
截面，且其边长为5
cm，设圆柱的底面半径
为r，则r＝ cm，底面周长为2πr＝5π cm.将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图②所示，则从A到C的最短距离即AC的长.∵AB＝ ＝ cm，BC＝AD＝5 cm，∴AC＝ ＝ ＝ cm.
【例2】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，求蚂蚁爬行的最短路程.
解：正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的
长为3b，宽为a，则其对角线AA1'的长为最短路程.因此
蚂蚁爬行的最短路程为 .
【迁移应用】
1. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，
P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长
为 ，则PC的长为 .
解析：将侧面B1BCC1展到平面A1ACC1
内，如图所示，设PC＝x，由题意得AM
＝2，AP1＝3＋x，MP1＝ ，在
Rt△MAP1中，AM2＋A ＝M ，即22＋
（3＋x）2＝（ ）2，解得x＝2，即PC
＝2.
2　
2. 圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，
从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
（1）绳子的最短长度；
解：如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展
开图中AM的长度，设OB＝l，∠AOA'＝θ，
则
解得所以OA＝40 cm，OM＝30 cm.
所以AM＝ ＝50 cm.
即绳子最短长度为50 cm.
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
解：作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ为所
求的最短距离.
因为OA·OM＝AM·OQ，
所以OQ＝ ＝ ＝24 cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4 cm，
即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 一个多面体可以有三个面
B. 一个旋转体的轴一定在旋转体内
C. 多面体与旋转体都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点
D. 旋转体的表面可以含有平面多边形
解析：C　 一个多面体至少有四个面，故A不正确；救生圈可看成
是圆沿圆外一条直线旋转形成的旋转体，此时该直线在旋转体外，
故B不正确；C显然正确；旋转体的表面是曲面，也可含有平面图
形（如圆面），但不能是平面多边形，故D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（　　）
解析：　图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组
合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角
梯形构成.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高
为（　　）
A. 10 cm B. 20 cm
C. 20 cm D. 10 cm
解析：　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设
为h cm.这个等腰三角形的腰长为20 cm，顶角的一半为30°.故h
＝20 cos 30°＝10 （cm）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 一平面α截球O得到半径为 cm的圆面，球心到这个平面的距离
是2 cm，则球的半径是（　　 ）
A. 9 cm B. 3 cm
C. 1 cm D. 2 cm
解析：　作出对应的截面图，∵截面圆的半径为 ，即BC＝ ，∵球心O到平面α的距离为2，∴OC＝2，设球的半径为R，在Rt△OCB中，OB2＝OC2＋BC2＝4＋（ ）2＝9.即R2＝9，解得R＝3.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（　　 ）
A. 矩形 B. 圆形
C. 梯形 D. 三角形
解析：　根据圆台的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台
可得圆形，当平面与圆台轴所在直线平行或经过轴所在直线时，可
得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角
形，故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）下列关于圆柱的说法中正确的是（　　 ）
A. 圆柱的所有母线长都相等
B. 用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C. 用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D. 一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何
体是圆柱
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，都相等，所以A正确.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分或矩形，所以C错误.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能
是下面哪几种： （填序号）.
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球.
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.
①②③⑤　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下
底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体.现用一个竖直的平面去截
这个几何体，则所截得的图形可能是 .（填序号）
解析：由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.
①⑤　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转
所成的圆柱中轴截面的面积为 cm2.
解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底
面半径为4 cm，其轴截面的面积为3×8＝24 cm2；当以4 cm长的一
边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm，其轴截
面的面积为4×6＝24 cm2.
24　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的
圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长.
解：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A'O'
＝1 cm，SA＝12 cm.
由 ＝ ，得SA'＝ ·SA＝ ×12＝6（cm）.
所以AA'＝SA－SA'＝12－6＝6（cm）.
所以圆台的母线长为6 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末
的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直
于圆盘的木桩上，当推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若推动木柄
绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆
的半径与其高之比约为（木桩的直径忽略不计）（　　）
A. 1∶2 B. 1∶3
C. 1∶4 D. 2∶3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆
盘的半径为h，则3×2πr＝2πh，∴h＝3r，∴碌碡的底面圆的半
径与其高之比为1∶3，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）下列说法正确的有（　　）
A. 以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面
围成的几何体是圆锥
B. 以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的
曲面围成的几何体是圆锥
C. 经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D. 圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 如图，一个圆柱的底面半径为 ，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的半径为 .
2　
解析：根据题意，画出图形，则OA＝R，O'A＝r＝ ，OO'＝ ＝1，故在Rt△OO'A中，OA＝ ＝ ＝2，∴R＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12 cm，高为8 cm.该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的半径.
解：根据题意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC，
所以CE＝ BC＝6 cm，所以AB＝AC＝ ＝
＝10 cm.
设内切球的半径为R，根据等面积法得 ×12×8＝ ×（10＋10
＋12）×R，解得R＝3，故此球的半径为3 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为
底面，下底面圆心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用
一个平行于底面且与圆柱下底面距离等于l的平面去截此几何体，
则所得截面的面积S＝ （用已知量R，l表示）.
π（R2－l2）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：该几何体的轴截面如图所示，被平行于
下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径
O1C＝R，圆锥的截面圆的半径为O1D. ∵OA
＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形.又
CD∥OA，∴CD＝BC＝R－l.∴O1D＝R－
CD＝l.故所求截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2
－l2）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥
的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥SO底面圆的半
径是2 ，轴截面SAB的面积是4 .
（1）求圆锥SO的母线长；
解：因为轴截面SAB的面积为
×4 ×SO＝4 ，所以SO＝2，
所以圆锥SO的母线长l＝
＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）过圆锥SO的两条母线SB，SC作一个截面，求截面SBC面
积的最大值.
解：在轴截面SAB中，SO＝2，
SA＝4，SO⊥OA，
所以∠SAB＝ ，所以∠ASB＝ .
故0＜∠BSC≤ .
由三角形的面积公式，得S△SBC＝ ×SC×SB sin ∠BSC＝
l2 sin ∠BSC＝8 sin ∠BSC，
所以当∠BSC＝ 时，截面SBC的面积取得最大值，最大值为8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑