资源简介

2　直观图
1.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）
2.把△ABC按斜二测画法得到△A'B'C'（如图所示），其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝，那么△ABC是一个（　　）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
3.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　）
A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D.2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
4.用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是（　　）
A.　　　B.　　　C.　　 D.
5.（多选）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是（　　）
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B.90°的角的直观图会变为45°的角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
6.（多选）在如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D'是△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'∥y'轴，那么在原平面图形△ABC中（　　）
A.AB与AC相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
7.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4，4）在直观图中的对应点是M'，则点M'的坐标为　　　　.
8.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是A'C'的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有　　　　条.
9.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是　　　　.
10.画出水平放置的四边形OBCD（如图所示）的直观图.
　　
11.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　）
A.2 cm B.3 cm
C.2.5 cm D.5 cm
12.如图，等腰Rt△ABC，Rt△A'B'C'分别为两个水平放置的平面图形a，b的直观图，若记平面图形a的周长为l1，面积为S1，平面图形b的周长为l2，面积为S2，则（　　）
A.l1＞l2，S1＞S2 B.l1＞l2，S1＝S2
C.l1＜l2，S1＜S2 D.l1＜l2，S1＝S2
13.已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为　　　　.
14.如图是一个边长为1的正方形A'B'C'D'，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积.
15.（多选）如图所示的正△A'B'C'为△ABC的直观图，且A'B'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A.△ABC为钝角三角形
B.△ABC的周长大于12
C.△ABC的面积为2
D.tan∠ACB＝
16.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高（两底面圆心连线的长度）为4 cm，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的长度）为3 cm，画出此几何体的直观图.
2　直观图
1.C　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
2.A　根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示，由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A.
3.C　由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
4.C　正三角形的边长为2，则按照斜二测画法作出它的直观图，有＝.又正三角形的面积为×sin 60°×22＝，所以直观图的面积为×＝.故选C.
5.ACD　对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C、D显然正确.
6.AC　因为A'D'∥y'轴，由斜二测画法知在原图形中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则在线段AB，AD，AC中，AB，AC相等且最长，AD最短.在直观图中，易知C'D'＜A'D'，B'D'＜A'D'，所以B'C'＜2A'D'，即BC的长度小于AD的长度.
7.（4，2）　解析：在x'轴的正方向上取点M1，使O'M1＝4，在y'轴上取点M2，使O'M2＝2，过M1和M2分别作平行于y'轴和x'轴的直线，则交点就是M'.
8.2　解析：△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条.
9.16　解析：由题图可知O'B'＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB边OB上的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16.
10.解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x'轴，y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图②所示.
（2）如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取一点D'，使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴，使E'C'＝EC.
（3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
11.D　由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.
12.D　将△ABC，△A'B'C'还原成原平面图形，如图，计算得l1＝2＋＋，S1＝，l2＝4＋2，S2＝，比较可得选项D正确.
13.72　解析：如图所示，作出正方形OABC的直观图O'A'B'C'，作C'D'⊥x'轴于点D'.
S直观图＝O'A'×C'D'.又S正方形＝OC×OA.所以＝，又在Rt△O'D'C'中，O'C'＝C'D'，即C'D'＝O'C'，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O'A'，OC＝2O'C'，所以＝＝＝2.又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72.
14.解：四边形ABCD的原图形如图所示，
因为A'C'在水平位置，四边形A'B'C'D'为正方形，
所以∠D'A'C'＝∠A'C'B'＝45°，
所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D'A'＝2，AC＝A'C'＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
15.ABC　如图，
过点C'作∠C'D'B'＝45°，交A'B'的反向延长线于点D'，故△ABC为钝角三角形.因为等边三角形的高为，故△ABC的高CD＝×2＝2，故△ABC的面积为2.若高在AB的中垂线上，△ABE的周长恰好为2＋2＝12，故△ABC的周长大于12，tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，tan∠ACB＝＝.
16.解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，z轴，使∠xOz＝90°.
（2）画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面.
（3）画圆柱的上底面.在Oz上截取OO'＝4 cm，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO'＝3 cm.
（5）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此几何体的直观图，如图②所示.
2 / 32　直观图
新课程标准解读 核心素养
1.能用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 直观想象
2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图 直观想象
　　皮影戏，旧称“影子戏”或“灯影戏”，是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧.表演时，艺人们在白色幕布后面，一边操纵戏曲人物，一边用当地流行的曲调唱述故事，同时配以打击乐器和弦乐，具有浓厚的乡土气息.千百年来，这门古老的艺术，伴随着祖祖辈辈的人们，度过了许多欢乐的时光.
【问题】　皮影戏中的这个“影”是什么投影？画几何体的直观图与皮影戏中形成的“影”原理一样吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　斜二测画法
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2.用斜二测画法画多面体的直观图的步骤
（1）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝　　　　，且∠yOz＝　　　　；
（2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝　　　　（或　　　　），∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示　　　　平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于　　　　轴、　　　轴或　　　轴的线段；
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度　　　　；平行于y轴的线段长度为原来的　　　　；
（5）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线.
【想一想】
1.用斜二测画法画出的互相垂直的两条直线的直观图是否仍然互相垂直？
2.两条相交直线的直观图可能平行吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（　　）
（2）正方体的直观图仍然是正方形.（　　）
（3）在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.（　　）
（4）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（　　）
2.若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成（　　）
A.平行于z'轴且大小为10 cm
B.平行于z'轴且大小为5 cm
C.与z'轴成45°且大小为10 cm
D.与z'轴成45°且大小为5 cm
3.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为　　　　.
题型一 水平放置的平面图形的直观图
【例1】　如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图.
尝试解答
通性通法
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
【跟踪训练】
用斜二测画法画出如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.
题型二 空间几何体的直观图的画法
【例2】　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2 cm的正四棱台.
尝试解答
通性通法
画空间图形的直观图的原则
（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直；
（2）作空间图形的直观图时，平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变；
（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半；
（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.
【跟踪训练】
　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
题型三 直观图的还原与计算
【例3】　（1）如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'＝，则这个平面图形的面积是（　　）
A.1　　　　　　　　 B.
C.2 D.4
（2）如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
尝试解答
【母题探究】
（变条件，变设问）本例（1）若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A'B'C'的面积”，应如何求？
通性通法
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
2.直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
【跟踪训练】
如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是（　　）
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A'＝（　　）
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
2.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是（　　）
3.如果一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）
A.2＋ B.
C. D.1＋
4.（多选）关于斜二测画法所得直观图，以下说法不正确的是（　　）
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB边上的中线的实际长度为　　　　.
2　直观图
【基础知识·重落实】
知识点
1.45°　135°　水平平面　x'轴或y'轴的线段　长度　2.（1）90°　90°　（2）45°　135°　水平　（3）x'　y'　z'　（4）不变　一半
想一想
1.提示：互相垂直的两条直线的直观图不再垂直，其夹角为45°.
2.提示：不可能，相交直线的直观图仍然是相交直线.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A.
3.10　解析：由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.
（2）以点O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD.
（3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
跟踪训练
　解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.
在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝OB＝OC＝2 cm，在y'轴上取O'A'＝OA，连接A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为正△ABC的直观图，如图②所示.
【例2】　解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图ABCD.
（3）画上底面.在Oz上截取OO'＝2 cm，过O'分别作平行于轴Ox，轴Oy的轴O'x'，轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为1 cm的正四棱台的上底面的直观图A'B'C'D'.
（4）依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到正四棱台的直观图，如图②所示.
跟踪训练
　解：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图.
（2）画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.
（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.
【例3】　（1）C　由题图知，△OAB为直角三角形.∵O'B'＝，∴A'B'＝，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C.
（2）解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
∴面积为S＝×2＝5.
母题探究
解：由斜二测画法规则可知，直观图△A'B'C'一底边上的高为a××＝a，
所以S△A'B'C'＝×a×a＝a2.
跟踪训练
　C　如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O'D'＝2×2＝4（cm），CD＝C'D'＝2 cm，
所以OC＝＝＝6（cm），
所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形.
随堂检测
1.D　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x'O'y'＝45°或135°，即∠A'＝45°或135°.
2.A　由直观图为一个边长为1 的正方形，对角线长为，还原到原平面图形为一组对边长为1.在y轴上的对角线长为2的平行四边形.故选A.
3.A　画出其相应平面图易求，故选A.
4.ACD　由斜二测画法规则可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，故A错误；正方形的直观图为平行四边形，故B正确；梯形的直观图依旧是梯形，故C错误；正三角形的直观图不是等腰三角形，故D错误.
5.　解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A'C'＝3，BC＝2B'C'＝4，计算得AB＝5，所求中线长为.
3 / 4(共65张PPT)
§2　直观图
新课程标准解读 核心素养
1.能用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 直观想象
2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆
柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　皮影戏，旧称“影子戏”或“灯影戏”，是一种用灯光照射兽皮
或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧.表演时，艺人们在白
色幕布后面，一边操纵戏曲人物，一边用当地流行的曲调唱述故事，
同时配以打击乐器和弦乐，具有浓厚的乡土气息.千百年来，这门古
老的艺术，伴随着祖祖辈辈的人们，度过了许多欢乐的时光.
【问题】　皮影戏中的这个“影”是什么投影？画几何体的直观图与
皮影戏中形成的“影”原理一样吗？




知识点　斜二测画法
1. 用斜二测画法画水平放置
的平面图形的直观图的步骤
2. 用斜二测画法画多面体的直观图的步骤
（1）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；
再取Oz轴，使∠xOz＝ ，且∠yOz＝ ；
（2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，
使∠x'O'y'＝ （或 ），∠x'O'z'＝
90°.x'O'y'所确定的平面表示 平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别
画成平行于 轴、 轴或 轴的线段；
90°　
90°　
45°　
135°　
水平　
x'　
y'　
z'　
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长
度 ；平行于y轴的线段长度为原来的 ；
（5）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线.
不变　
一半　
【想一想】
1. 用斜二测画法画出的互相垂直的两条直线的直观图是否仍然互
相垂直？
提示：互相垂直的两条直线的直观图不再垂直，其夹角为45°.
2. 两条相交直线的直观图可能平行吗？
提示：不可能，相交直线的直观图仍然是相交直线.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.
（　×　）
（2）正方体的直观图仍然是正方形. （　×　）
（3）在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.
（　√　）
（4）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
（　×　）
×
×
√
×
2. 若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应
画成（　　）
A. 平行于z'轴且大小为10 cm
B. 平行于z'轴且大小为5 cm
C. 与z'轴成45°且大小为10 cm
D. 与z'轴成45°且大小为5 cm
解析：　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和
长度都与原来保持一致.故选A.
3. 如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，
O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为 .
解析：由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.
故原四边形OPQR的周长为10.
10　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 水平放置的平面图形的直观图
【例1】　如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图.
解：（1）如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为
原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，
使∠x'O'y'＝45°.
（2）以点O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝ OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD.
（3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯
形ABCD的直观图.
通性通法
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关
键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便
于画点；
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不
变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它
的两个端点，然后连接成线段.
【跟踪训练】
用斜二测画法画出如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的
直观图.
解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.
在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝OB＝OC＝2 cm，
在y'轴上取O'A'＝ OA，连接A'B'，A'C'，
则△A'B'C'即为正△ABC的直观图，如图②所示.
题型二 空间几何体的直观图的画法
【例2】　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2
cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2 cm的正
四棱台.
解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图ABCD.
（3）画上底面.在Oz上截取OO'＝2 cm，过O'分别作平行于轴Ox，
轴Oy的轴O'x'，轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的
方法画出边长为1 cm的正四棱台的上底面的直观图A'B'C'D'.
（4）依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到正四棱台的直观图，如图②所示.
通性通法
画空间图形的直观图的原则
（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画
成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°
（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面
x'O'y'垂直；
（2）作空间图形的直观图时，平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线
段并且长度不变；
（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来
的一半；
（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.
【跟踪训练】
　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解：（1）画轴.画Ox轴，Oy
轴，Oz轴，∠xOy＝45°，
∠xOz＝90°，如图.
（2）画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图
ABCD.
（3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.
（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住
的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.
题型三 直观图的还原与计算
【例3】　（1）如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'＝
，则这个平面图形的面积是（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 4
解析：　由题图知，△OAB为直角三角形.
∵O'B'＝ ，
∴A'B'＝ ，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝ ，OA＝4，
∴S△OAB＝ × ×4＝2 .故选C.
（2）如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若
A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.
试画出原四边形，并求原图形的面积.
解：如图，建立直角坐标系xOy，在x
轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1
＝2.连接BC，便得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，
上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角
腰长度为AD＝2.
∴面积为S＝ ×2＝5.
【母题探究】
（变条件，变设问）本例（1）若改为“已知△ABC是边长为a的正三
角形，求其直观图△A'B'C'的面积”，应如何求？
解：由斜二测画法规则可知，
直观图△A'B'C'一底边上的高为
a× × ＝ a，
所以S△A'B'C'＝ ×a× a＝ a2.
通性通法
1. 直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线
段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原
时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，
顺次连接即可.
2. 直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝ S
或S＝2 S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直
观图面积求原图形面积.
【跟踪训练】
如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝
6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是（　　）
A. 正方形 B. 矩形
C. 菱形 D. 一般的平行四边形
解析：　如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O'D'＝2×2 ＝4 （cm），CD＝C'D'＝2 cm，所以OC＝ ＝ ＝6（cm），所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形
OABC是菱形.
1. 在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于
x轴、y轴，则在直观图中∠A'＝（　　）
A. 45° B. 135°
C. 90° D. 45°或135°
解析：　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝
90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x'O'y'＝45°或135°，
即∠A'＝45°或135°.
2. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正
方形，则原图的形状是（　　）
解析：　由直观图为一个边长为1 的正方形，对角线长为 ，还
原到原平面图形为一组对边长为1.在y轴上的对角线长为2 的平
行四边形.故选A.
3. 如果一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均
为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）
A. 2＋ B.
C. D. 1＋
解析：　画出其相应平面图易求，故选A.
4. （多选）关于斜二测画法所得直观图，以下说法不正确的是（　　）
A. 等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B. 正方形的直观图为平行四边形
C. 梯形的直观图不是梯形
D. 正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：　由斜二测画法规则可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，故A错误；正方形的直观图为平行四边形，故B正确；梯形的直观图依旧是梯形，故C错误；正三角形的直观图不是等腰三角形，故D错误.
5. 水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则
AB边上的中线的实际长度为 .
解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A'C'＝3，
BC＝2B'C'＝4，计算得AB＝5，所求中线长为 .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）
解析：　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
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2. 把△ABC按斜二测画法得到△A'B'C'（如图所示），其中B'O'＝C'O'
＝1，A'O'＝ ，那么△ABC是一个（　　）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 三边互不相等的三角形
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解析：　根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示，由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A.
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3. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方
体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5
m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观
图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　）
A. 4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B. 4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D. 2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
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解析：　由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为
4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相
应尺寸应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
4. 用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面
积是（　　）
A. B. C. D.
解析：　正三角形的边长为2，则按照斜二测画法作出它的直观
图，有 ＝ .又正三角形的面积为 × sin 60°×22＝
，所以直观图的面积为 × ＝ .故选C.
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5. （多选）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列
描述正确的是（　　）
A. 三角形的直观图仍然是一个三角形
B. 90°的角的直观图会变为45°的角
C. 与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D. 由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
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解析：　对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图
仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；
C、D显然正确.
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6. （多选）在如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D'是
△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'∥y'轴，那么在原平面图形△ABC
中（　　）
A. AB与AC相等
B. AD的长度大于AC的长度
C. AB的长度大于AD的长度
D. BC的长度大于AD的长度
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解析：　因为A'D'∥y'轴，由斜二测画法知在原图形中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则在线段AB，AD，AC中，AB，AC相等且最长，AD最短.在直观图中，易知C'D'＜A'D'，B'D'＜A'D'，所以B'C'＜2A'D'，即BC的长度小于AD的长度.
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7. 斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4，4）在直观图
中的对应点是M'，则点M'的坐标为 .
解析：在x'轴的正方向上取点M1，使O'M1＝4，在y'轴上取点M2，
使O'M2＝2，过M1和M2分别作平行于y'轴和x'轴的直线，则交点就
是M'.
（4，2）　
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8. 水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是A'C'的中点，且
∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有 条.
解析：△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝
CD. 所以与BD的长相等的线段有2条.
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9. 如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积
是 .
解析：由题图可知O'B'＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y'轴平
行的线段的长度为4，则对应△AOB边OB上的高为8.所以△AOB
的面积为 ×4×8＝16.
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10. 画出水平放置的四边形OBCD（如图所示）的直观图.
解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为
点E，如图①所示，画出对应的x'
轴，y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图②所示.
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（2）如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'
＝OE；在y'轴上取一点D'，使得O'D'＝ OD；过点E'作
E'C'∥y'轴，使E'C'＝ EC.
（3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图
③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
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11. 已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距
离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中
这两个顶点之间的距离为（　　）
A. 2 cm B. 3 cm
C. 2.5 cm D. 5 cm
解析：　由题意可知其直观图如图，由图可知两个
顶点之间的距离为5 cm.故选D.
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12. 如图，等腰Rt△ABC，Rt△A'B'C'分别为两个水平放置的平面图形
a，b的直观图，若记平面图形a的周长为l1，面积为S1，平面图
形b的周长为l2，面积为S2，则（　　）
A. l1＞l2，S1＞S2 B. l1＞l2，S1＝S2
C. l1＜l2，S1＜S2 D. l1＜l2，S1＝S2
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解析：　将△ABC，△A'B'C'还原成原平面图形，如图，计算得l1＝2＋ ＋ ，S1＝ ，l2＝4＋2 ，S2＝ ，比较可得选项D正确.
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13. 已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18 ，则原正
方形的面积为 .
解析：如图所示，作出正方形OABC的直观图O'A'B'C'，作C'D'⊥x'轴于点D'.
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S直观图＝O'A'×C'D'.又S正方形＝OC×OA. 所以 ＝ ，又在Rt△O'D'C'中，O'C'＝ C'D'，即C'D'＝ O'C'，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O'A'，OC＝2O'C'，所以 ＝ ＝ ＝2 .又S直观图＝
18 ，所以S正方形＝2 ×18 ＝72.
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14. 如图是一个边长为1的正方形A'B'C'D'，已知该正方形是某个水平
放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原
图形并求出其面积.
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解：四边形ABCD的原图形如图所示，
因为A'C'在水平位置，四边形A'B'C'D'为正方形，
所以∠D'A'C'＝∠A'C'B'＝45°，
所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D'A'＝2，AC＝A'C'＝ ，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 .
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15. （多选）如图所示的正△A'B'C'为△ABC的直观图，且A'B'＝2，则
下列说法正确的是（　　）
A. △ABC为钝角三角形
B. △ABC的周长大于12
C. △ABC的面积为2
D. tan∠ACB＝
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解析：　如图，过点C'作∠C'D'B'＝45°，交A'B'的反向延长线于点D'，故△ABC为钝角三角形.
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因为等边三角形的高为 ，故△ABC的高CD＝ ×2＝2 ，
故△ABC的面积为2 .若高在AB的中垂线上，△ABE的周长恰
好为2 ＋2＝12，故△ABC的周长大于12，tan∠BCD＝ ，tan∠ACD＝ ，tan∠ACB＝ ＝ .
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16. 一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥
的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高（两底
面圆心连线的长度）为4 cm，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的
长度）为3 cm，画出此几何体的直观图.
解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，z轴，
使∠xOz＝90°.
（2）画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面.
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（3）画圆柱的上底面.在Oz上截取OO'＝4 cm，过点O'作平行于
轴Ox的轴O'x'，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO'＝3 cm.
（5）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此几何体的直观图，如图②所示.
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谢 谢 观 看！

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