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3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3
1.下列空间图形画法错误的是（　　）
2.若平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是（　　）
A.平行　　　　　　B.相交
C.平行或相交 D.AB α
3.已知空间4个点，过其中3个点，可以作平面的个数为（　　）
A.1个 B.4个
C.1个或4个 D.1个或4个或无数个
4.如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝（　　 ）
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上均不正确
5.（多选）下列命题正确的有（　　）
A.空间内不共线的三点确定一个平面
B.棱柱的侧面一定是平行四边形
C.如果分别在两个相交平面内的两条直线相交，那么交点只可能在两个平面的交线上
D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
6.（多选）设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题正确的是（　　）
A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B.α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C.若l不在α内，A∈l，则A α
D.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
7.如图所示的图形可用符号表示为　　　　.
8.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有　　　　个.
9.看图填空：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝　　　　；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝　　　　.
10.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面.
11.已知一直线和直线外不共线的三点，且其中只有两个点所连直线与已知直线在同一平面内，那么这条直线和直线外三点可确定平面的个数为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.7
12.（多选）如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1四点共面
C.A，O，C，M四点共面
D.B，B1，O，M四点共面
13.一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成　　　　部分.
14.如图，已知在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，GH BD，且EF∥GH.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点.
15.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别是线段BB1，A1C1的中点，若直线B1C1∩平面AMN＝Q，则＝（　　 ）
A. B.2
C. D.3
16.如图所示，今有一正方体木料ABCD-A1B1C1D1，其中M，N分别是AB，CB的中点，要过D1，M，N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3
1.D　遮挡部分应画成虚线.故D错，故选D.
2.C　结合图形可知选项C正确.
3.D　设空间4个点为A，B，C，D.（1）若其中有三点共线，不妨设A，B，C三点共线于l.①若D∈l，则可作无数个平面；②若D l，则只能作1个平面.（2）若其中任意三点不共线，不妨设A，B，C不共线，则A，B，C确定一个平面α.①若D∈α，则可作1个平面；②若D α，则可作4个平面.故选D.
4.C　∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l，∴R∈l，l β，R∈AB，∴R∈β.又∵A，B，C三点确定的平面为γ，∴C∈γ，AB γ，∴R∈γ.又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ＝CR.故选C.
5.ABC　空间内不共线的三点确定一个平面，故A正确；由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；交点分别包含于两条直线，也分别包含于两个平面，必然在交线上，故C正确；该直线要满足不经过给定两边的交点，故D错误.选A、B、C.
6.ABD　α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α，由平面的基本事实2，可得A正确；α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB，由平面的基本事实3，可得B正确；若l不在α内，A∈l，则A∈α或A α，可得C不正确；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合，由平面的基本事实1，可得D正确.
7.α∩β＝AB
8.1或无数　解析：当A，B，C不共线时，有一个平面经过这三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.
9.（1）A1B1　（2）AC
10.证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b，c确定一个平面，设为β.
同理可证l β.
于是b α，l α，b β，l β，即α∩β＝b，α∩β＝l.
又∵b与l不重合，∴α与β重合，
∴a，b，c，l共面.
11.A　设直线为l，空间不共线的三个点为A，B，C，假设直线AB与l共面，故能确定的平面为：直线l与A，直线l与C，平面ABC，共三个平面.故选A.
12.ABC　因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确.
13.21　解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分.
14.证明：因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.
因为GH BD，
则EF＞GH，
又因为EF∥GH，
所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交.
设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点.
15.A　如图，延长AN，CC1交于点P，连接PM交B1C1于点Q，则＝＝＝，故选A.
16.解：（1）连接MN并延长交DC的延长线于F，连接D1F交CC1于Q，连接QN；
（2）延长NM交DA的延长线于E，连接D1E交AA1于P，连接MP；
（3）依次在正方体各个面上画线D1P，PM，MN，NQ，QD1，即为木工师傅所要画的线，如图所示.
3 / 33.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3
新课程标准解读 核心素养
1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系 数学抽象
2.掌握空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 逻辑推理
3.了解基本事实1，2，3及推论1，2，3 数学抽象
　　
【问题】　（1）观察图①，把直尺边缘上的任意两点放在一张白纸上，直尺的边缘上的其余点和白纸有何关系？
（2）观察图②，生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固的支撑照相机或测量用的平板仪等，这是为什么？
（3）观察图③，把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间图形基本的位置关系
1.点与直线、点与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言
点与直线的 位置关系 点A在 直线a外 A a
点B在 直线a上 B∈a
点与平面的 位置关系 点A在 平面α内 A∈α
点B在平 面α外 B α
2.直线与直线的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言
相交 　　　
不相交 　　　
3.空间中直线与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点
直线在 平面内 　　　 有　　 个公共点
直线与平 面相交 　　　 有　　 公共点
直线与平 面平行 　　　 a∩α＝ 没有 公共点
4.空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点
两个平面不相交（平行） 　　　 α∩β＝ 没有公共点
两个平面相交 　　　 有一条公共直线
【想一想】
在空间中不相交的两条不重合直线一定是平行直线吗？
知识点二　三个基本事实及其推论
1.基本事实1，2，3
基本 事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事 实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 给定三点A，B，C，若A 直线BC，则有且只有一个平面α（或平面ABC），使得A∈α，B∈α，C∈α
基本事 实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l α
基本事 实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l，其中l表示一条直线
2.基本事实1，2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 点A a a与A共面于平面α，且平面唯一
推论2 两条相交直线确定一个平面 a∩b＝P a与b共面于平面α，且平面唯一
推论3 两条平行直线确定一个平面 直线a∥b 直线a，b共面于平面α，且平面唯一
【想一想】
1.平面与平面的公共点可以是有限个吗？
2.三条直线两两相交最多可以确定多少个平面？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.（　　）
（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.（　　）
（3）空间不同三点确定一个平面.（　　）
2.能确定一个平面的条件是（　　）
A.空间三个点　　　 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
3.若平面α∥平面β，直线a α，则a与β的位置关系是　　　　.
题型一 立体几何三种语言的相互转化
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
尝试解答
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【跟踪训练】
　画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表示平面）：
（1）P∈l，P α，l∩α＝M；
（2）α∩β＝m，P∈α，P m；
（3）P∈α，P∈β，α∩β＝m.
题型二 证明点、线共面问题
【例2】　证明：两两相交且不过同一点的三条直线共面.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“不过同一点”删掉，这三条直线是否共面？并说明理由.
通性通法
证明点、线共面问题的常用方法
（1）先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
【跟踪训练】
如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
题型三 证明三点共线问题
【例3】　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P，Q，R三点共线.
尝试解答
通性通法
证明三点共线的方法
（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这三点都在两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.
【跟踪训练】
　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交平面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上.
题型四 线共点问题
【例4】　如图所示，在空间四边形ABCD的各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.
尝试解答
通性通法
证明三线共点的方法
　　证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
【跟踪训练】
　三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点.
1.下列关于点、线和面的关系表示错误的是（　　 ）
A.点A 平面α　　B.直线l∩平面α＝A
C.直线l 平面α D.平面α∩平面β＝m
2.下列命题中正确的是（　　）
A.过三点确定一个平面
B.两个相交平面把空间分成四个区域
C.三条直线两两相交，则确定一个平面
D.A∈α，A∈β，则α∩β＝A
3.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在　　　　.
4.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是　　　　.
第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3
【基础知识·重落实】
知识点一
2.a∩l＝B　b∩l＝ 　3.a α　无数　a∩α＝A　一个　a∥α　4.α∥β　α∩β＝l
想一想
提示：不一定，如正方体的棱AB与棱CC1所在直线不相交也不是平行直线.
知识点二
想一想
1.提示：不可以，由基本事实3可知平面与平面要么无公共点，要么有一条公共直线，即有无数个公共点.
2.提示：最多可以确定3个平面.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　 （3）×
2.D
3.a∥β
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
（2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∈/AB，如图.
跟踪训练
解：如图所示.
【例2】　解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：法一（纳入平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又l2 α，所以B∈α.
同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（辅助平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
母题探究
解：不一定共面.若三条直线两两相交，且过同一个点.
这三条直线在同一个平面内相交，如图①.
这三条直线不共面.如图②.
若三条直线两两相交，且不过同一个点，由例题可知，这三条直线共面.
跟踪训练
　证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.
∴直线a β，点P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α与β重合.∴PQ α.
【例3】　证明：法一　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
所以P，Q，R三点共线.
法二　因为AP∩AR＝A，
所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR.
又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线.
跟踪训练
证明：因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C，A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C，
所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1.
又因为A1C∩平面AB1D1＝P，
所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1，
所以P∈平面AA1C1C，
所以P∈直线AO1，
即O1，P，A三点在同一条直线上.
【例4】　证明：若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，
GH 平面CBD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又因为平面ABD∩平面CBD＝BD，
由基本事实3可得P∈BD.
跟踪训练
证明：如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.
∵直线a和b不平行，∴a，b必相交.
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c.
故a，b，c三条直线必相交于同一点.
随堂检测
1.A　根据点、线、面的位置关系的符号表示，可知A错误，应改为点A∈平面α；B、C、D正确.故选A.
2.B　A，过不共线三点确定一个平面，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β），由基本事实3可知α∩β为过点A的一条直线，错误.
3.α与β的交线上　解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.
4.共线　解析：如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.
4 / 5(共63张PPT)
第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系 数学抽象
2.掌握空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、
平面与平面的位置关系 逻辑推理
3.了解基本事实1，2，3及推论1，2，3 数学抽象
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】　（1）观察图①，把直尺边缘上的任意两点放在一张白纸
上，直尺的边缘上的其余点和白纸有何关系？
（2）观察图②，生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固的支撑
照相机或测量用的平板仪等，这是为什么？
（3）观察图③，把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与
桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？




知识点一　空间图形基本的位置关系
1. 点与直线、点与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言
点与直线的 位置关系 点A在直线a外 A a
B∈a
点B在直线a上
位置关系 图形语言 符号语言
点与平面的 位置关系 点A在 平面α内 A∈α
点B在平 面α外 B α
2. 直线与直线的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言
相交
不相交
a∩l＝B
b∩l＝
3. 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点
直线在平面内 有 个公
共点
直线与平面相交 有 公共
点
直线与平面平行
a∩α＝ 没有公共点
a α
无数　
a∩α＝A
一个　
a∥α　
4. 空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点
两个平面不相 交（平行） α∩β＝ 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
α∥β　
α∩β＝l
【想一想】
在空间中不相交的两条不重合直线一定是平行直线吗？
提示：不一定，如正方体的棱AB与棱CC1所在直线不相交也不是平行
直线.
知识点二　三个基本事实及其推论
1. 基本事实1，2，3
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实
1 过不在一条直线上的
三个点，有且只有一
个平面
给定三点A，B，
C，若A 直线
BC，则有且只有一
个平面α（或平面
ABC），使得A∈α，B∈α，
C∈α
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实
2 如果一条直线上的两
个点在一个平面内，
那么这条直线在这个
平面内
若A∈l，B∈l，
且A∈α，
B∈α，则l α
基本事实
3 如果两个不重合的平
面有一个公共点，那
么它们有且只有一条
过该点的公共直线 P∈α，
P∈β α∩β＝
l，且P∈l，其中l
表示一条直线
2. 基本事实1，2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 一条直线和该直线外一
点确定一个平面 点A a a与A
共面于平面α，
且平面唯一
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论2 两条相交直线确定
一个平面 a∩b＝P a与
b共面于平面
α，且平面唯一
推论3 两条平行直线确定
一个平面 直线a∥b 直
线a，b共面于
平面α，且平面
唯一
【想一想】
1. 平面与平面的公共点可以是有限个吗？
提示：不可以，由基本事实3可知平面与平面要么无公共点，要么
有一条公共直线，即有无数个公共点.
2. 三条直线两两相交最多可以确定多少个平面？
提示：最多可以确定3个平面.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. （　×　）
（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，
记作α∩β＝A. （　×　）
（3）空间不同三点确定一个平面. （　×　）
×
×
×
2. 能确定一个平面的条件是（　　）
A. 空间三个点
B. 一个点和一条直线
C. 无数个点
D. 两条相交直线
3. 若平面α∥平面β，直线a α，则a与β的位置关系
是 .
a∥β　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 立体几何三种语言的相互转化
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝
A，a∩β＝B，如图.
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线
AB上.
解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∈/AB，如图.
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有
几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字
语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”
或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线
和虚线的区别.
【跟踪训练】
画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β
表示平面）：
（1）P∈l，P α，l∩α＝M；
（2）α∩β＝m，P∈α，P m；
（3）P∈α，P∈β，α∩β＝m.
解：如图所示.
题型二 证明点、线共面问题
【例2】　证明：两两相交且不过同一点的三条直线共面.
解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，
l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：法一（纳入平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平
面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又l2 α，所以B∈α.
同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（辅助平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，
B，C既在平面α内，又在平面β内.
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“不过同一点”删掉，这三条直线是否共
面？并说明理由.
解：不一定共面.若三条直线两两相交，且过同一个点.
这三条直线在同一个平面内相交，如图①.
这三条直线不共面.如图②.
若三条直线两两相交，且不过同一个点，由例题可知，这三条直线共面.
通性通法
证明点、线共面问题的常用方法
（1）先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平
面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一
个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
【跟踪训练】
　如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求
证：PQ α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.
∴直线a β，点P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α与β重合.∴PQ α.
题型三 证明三点共线问题
【例3】　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图.求证：P，Q，R三点共线.
证明：法一　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证
Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
所以P，Q，R三点共线.
法二　因为AP∩AR＝A，
所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR.
又Q∈α，所以Q∈PR，
所以P，Q，R三点共线.
通性通法
证明三点共线的方法
（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共
点，根据基本事实3可知，这三点都在两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.
【跟踪训练】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体
体对角线A1C交平面AB1D1于点P. 求证：O1，P，A三点在同一条
直线上.
证明：因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C，
A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C，
所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1.
又因为A1C∩平面AB1D1＝P，所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1，
所以P∈平面AA1C1C，所以P∈直线AO1，即O1，P，A三点在同一条直线上.
题型四 线共点问题
【例4】　如图所示，在空间四边形ABCD的各边AD，AB，BC，
CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：
点P在直线BD上.
证明：若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，GH 平面CBD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又因为平面ABD∩平面CBD＝BD，
由基本事实3可得P∈BD.
通性通法
证明三线共点的方法
　　证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交
于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3，证明该点在
不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线（第三条直线）上，
从而证明三线共点.
【跟踪训练】
三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ
＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必
相交于同一点.
证明：如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，
∴a γ，b γ.
∵直线a和b不平行，∴a，b必相交.
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c.
故a，b，c三条直线必相交于同一点.
1. 下列关于点、线和面的关系表示错误的是（　　 ）
A. 点A 平面α B. 直线l∩平面α＝A
C. 直线l 平面α D. 平面α∩平面β＝m
解析：　根据点、线、面的位置关系的符号表示，可知A错误，
应改为点A∈平面α；B、C、D正确.故选A.
2. 下列命题中正确的是（　　）
A. 过三点确定一个平面
B. 两个相交平面把空间分成四个区域
C. 三条直线两两相交，则确定一个平面
D. A∈α，A∈β，则α∩β＝A
解析：　A，过不共线三点确定一个平面，错误；B，两个相交平
面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条
在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平
面，错误；D，∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β），由基本事
实3可知α∩β为过点A的一条直线，错误.
3. 若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则
点A，B必在 .
解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，
B∈l.
4. 若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且
AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是 .
解析：如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个
平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α
＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB β，∴O∈直线
CD，∴O，C，D三点共线.
α与β的交线上　
共线　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列空间图形画法错误的是（　　）
解析：　遮挡部分应画成虚线.故D错，故选D.
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2. 若平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB
和平面α的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. AB α
解析：　结合图形可知选项C正确.
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3. 已知空间4个点，过其中3个点，可以作平面的个数为（　　）
A. 1个 B. 4个
C. 1个或4个 D. 1个或4个或无数个
解析：　设空间4个点为A，B，C，D. （1）若其中有三点共
线，不妨设A，B，C三点共线于l.①若D∈l，则可作无数个平
面；②若D l，则只能作1个平面.（2）若其中任意三点不共线，
不妨设A，B，C不共线，则A，B，C确定一个平面α.①若
D∈α，则可作1个平面；②若D α，则可作4个平面.故选D.
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4. 如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线
AB∩l＝R. 设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝（　　 ）
A. 直线AC
B. 直线BC
C. 直线CR
D. 以上均不正确
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解析：　∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l，∴R∈l，l β，
R∈AB，∴R∈β.又∵A，B，C三点确定的平面为γ，
∴C∈γ，AB γ，∴R∈γ.又∵C∈β，∴C，R是平面β和
γ的公共点，∴β∩γ＝CR. 故选C.
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5. （多选）下列命题正确的有（　　）
A. 空间内不共线的三点确定一个平面
B. 棱柱的侧面一定是平行四边形
C. 如果分别在两个相交平面内的两条直线相交，那么交点只可能在
两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的
平面内
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解析：　空间内不共线的三点确定一个平面，故A正确；由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；交点分别包含于两条直线，也分别包含于两个平面，必然在交线上，故C正确；该直线要满足不经过给定两边的交点，故D错误.选A、B、C.
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6. （多选）设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三
个不同的点，给出下列命题正确的是（　　）
A. 若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B. α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝
AB
C. 若l不在α内，A∈l，则A α
D. 若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α
与β重合
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解析：　α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α，由平面的基本事实2，可得A正确；α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB，由平面的基本事实3，可得B正确；若l不在α内，A∈l，则A∈α或A α，可得C不正确；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合，由平面的基本事实1，可得D正确.
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7. 如图所示的图形可用符号表示为 .
α∩β＝AB　
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8. A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有 个.
解析：当A，B，C不共线时，有一个平面经过这三点；当A，
B，C共线时，有无数个平面经过这三点.
1或无数　
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9. 看图填空：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝ ；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝ .
A1B1　
AC　
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10. 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c，l共面.
证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b，c确定一个平面，设为β.
同理可证l β.
于是b α，l α，b β，l β，即α∩β＝b，α∩β＝l.
又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面.
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11. 已知一直线和直线外不共线的三点，且其中只有两个点所连直线
与已知直线在同一平面内，那么这条直线和直线外三点可确定平
面的个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
解析：　设直线为l，空间不共线的三个点为A，B，C，假设
直线AB与l共面，故能确定的平面为：直线l与A，直线l与C，
平面ABC，共三个平面.故选A.
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12. （多选）如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，
直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）
A. A，M，O三点共线
B. A，M，O，A1四点共面
C. A，O，C，M四点共面
D. B，B1，O，M四点共面
解析：　因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面
AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确.
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13. 一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成 部分.
解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面
又在这个基础上分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分
成3×7＝21部分.
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14. 如图，已知在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
G，H分别是BC，CD上的点，GH BD，且EF∥GH. 求
证：直线EG，FH，AC相交于同一点.
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证明：因为E，F分别是AB，AD的中点，所
以EF∥BD，且EF＝ BD.
因为GH BD，
则EF＞GH，
又因为EF∥GH，
所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必
相交.设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点.
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15. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别是线段BB1，A1C1的
中点，若直线B1C1∩平面AMN＝Q，则 ＝（　　 ）
A. B. 2
C. D. 3
解析：如图，延长AN，CC1交于点P，连接PM交B1C1于点Q，则 ＝ ＝ ＝ ，故选A.
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16. 如图所示，今有一正方体木料ABCD-A1B1C1D1，其中M，N分别
是AB，CB的中点，要过D1，M，N三点将木料锯开，请你帮助
木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
解：（1）连接MN并延长交DC的延长线于F，连接D1F交CC1
于Q，连接QN；
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（2）延长NM交DA的延长线于E，连接D1E交AA1于P，连接
MP；
（3）依次在正方体各个面上画线D1P，
PM，MN，NQ，QD1，即为木工师傅所
要画的线，如图所示.
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谢 谢 观 看！

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