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第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理
1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（　　 ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
2.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的有（　　 ）
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1，方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
3.如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（　　）
A.2对 B.3对
C.6对 D.12对
5.（多选）在空间四面体ABCD中，如图E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为（　　）
A.EG＝FH B.EF＝GH
C.EH与FG相交 D.EG＝HG
6.（多选）如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是（　　）
A.M，N，P，Q四点共面 B.∠QME＝∠CBD
C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形
7.已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR＝　　　　.
8.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是　　　　.（填序号）
9.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF的夹角是　　　　.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.
11.如图所示的是所有棱长都相等的正三棱锥的平面展开图（D，E分别为PB，PA的中点），则在正三棱锥中，下列说法正确的是（　　）
A.直线DE与直线AF相交成60°角
B.直线DE与直线AC相交
C.直线DE与直线AB异面
D.直线AF与直线BC平行
12.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是（　　）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
13.（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　）
A.直线CC1与直线B1E相交
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1垂直
14.如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
15.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（　　）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
16.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1的夹角为90°，试求AA1.
第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理
1.A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
2.D　当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行.故选D.
3.A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
4.C　如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
5.ABC　由题意知，EG BD，FH BD，∴EG FH，∴四边形EGHF为平行四边形.∴EG＝FH，EF＝GH.∴EH与FG共面且相交，故A、B、C正确，但EG不一定与HG相等.故选A、B、C.
6.ABC　由条件易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据空间等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由空间等角定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确.没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故选A、B、C.
7.30°或150°　解析：由等角定理，可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.
8.③　解析：根据异面直线的定义可知③正确.
9.90°　解析：连接GB1，B1F（图略），则GB1∥A1E，故∠B1GF或其补角即为A1E与GF的夹角，B1G＝＝＝，B1F＝＝＝，GF＝＝，所以B1G2＋FG2＝B1F2，所以∠B1GF＝90°.
10.证明：在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，EF＝AB，
同理GH∥DC，GH＝DC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
所以EF∥GH，EF＝GH.
所以四边形EFGH是平行四边形.
11.A　将题中的平面展开图还原成正三棱锥，如图所示，点F与点P重合，易知在△PDE中，PD＝PE＝DE，△PDE是等边三角形，故∠PED＝60°，即直线DE与AF相交成60°角.由图易知其余选项均错误.
12.D　反证法：假设l与l1，l2均不相交，因为l与l1都在平面α内，于是l∥l1.同理可得l∥l2，所以l1∥l2.这与已知矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.故选D.
13.ACD　因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形，CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确.故选A、C、D.
14.证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，
E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
15.A　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
16.解：如图，连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C（或其补角）为A1B和AD1的夹角，
因为异面直线A1B和AD1的夹角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2 ，
所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC，
因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，
所以AC＝2 ×sin 60°×2＝6，
故AD1＝AC＝3 ，
所以AA1＝ ＝ ＝.
3 / 3第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理 逻辑推理
2.理解异面直线的概念、画法，会求异面直线所成的角 数学抽象
3.了解空间四边形的概念 逻辑推理
　　观察如图长方体，回答下面的问题：
【问题】　（1）图中直线AB与CD，直线AB与A1B是什么关系？
（2）图中直线A1B与CC1平行吗？相交吗？它们是什么关系？
（3）图中AA1∥DD1，AA1∥BB1，那么BB1与DD1平行吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　基本事实4
1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线　　　　.这一性质通常称为　　　　　　　.
2.符号表达： 　　　　.
提醒　基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线.
知识点二　空间两直线的位置关系
1.异面直线的概念
（1）定义：不同在　　　　　　平面内（不共面）的两条直线；
（2）异面直线的画法（衬托平面法）
如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托.
（3）判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的位置关系
【想一想】
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
知识点三　等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应　　　，那么这两个角　　　　　　　.
提醒　等角定理的符号语言与图形语言及作用：
①图形语言：如图（ⅰ）（ⅱ）所示.
②符号语言：已知OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝180°；③作用：判断或证明两个角相等或互补.
知识点四　异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b
结论 我们把a'与b'所成的　　　　　的角称为异面直线a，b的夹角
范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则　　　
特殊情况 当θ＝　　　　时，a与b互相垂直，记作：　　　　
提醒　对异面直线夹角的认识：①研究异面直线的夹角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题；②异面直线夹角的大小不能是0°，若两条直线的夹角是0°，则这两条直线平行，不可能异面；③两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）没有公共点的两条直线是异面直线.（　　）
（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　　）
（3）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.（　　）
（4）如果两个角的对应边互相平行，且方向都相反，则两个角互补.（　　）
2.已知直线a∥平面α，直线b 平面α，则（　　）
A.a∥b　　　　　　　 B.a与b异面
C.a与b相交 D.a与b无公共点
3.如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为平面A'B'C'D'与AA'D'D的中心，则EF与CD夹角的大小是　　　　　.
题型一 基本事实4的应用
【例1】　如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB和△PBC的重心.求证：DE∥AC，DE＝AC.
尝试解答
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质、成比例的线段平行；
（2）利用基本事实4，即证明两条直线都与第三条直线平行.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形.
题型二 异面直线的判定
【例2】　如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明.
尝试解答
通性通法
判定两条直线是异面直线的方法
（1）证明两条直线既不平行又不相交；
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线（如图）.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系；
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　　　.
题型三 等角定理的应用
【例3】　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
尝试解答
通性通法
　　有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径
（1）利用等角定理；（2）利用三角形相似；（3）利用三角形全等.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.求证：∠BGC＝∠FD1E.
题型四 异面直线的夹角
【例4】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝.
（1）在长方体的棱所在直线中找出与直线AB是异面直线的所有直线；
（2）求异面直线AD1与DB1夹角的余弦值.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC夹角的大小.
通性通法
求异面直线夹角的步骤
（1）作：根据夹角的定义，用平移法作出异面直线的夹角；
（2）证：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线的夹角θ的取值范围是0°＜θ≤90°.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG夹角的大小；
（2）FO与BD夹角的大小.
1.不平行的两条直线的位置关系是（　　）
A.相交　　　　　B.异面
C.平行 D.相交或异面
2.“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（　　 ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（多选）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1不是异面直线的有（　　）
A.AB　B.BB1　C.DD1　D.B1C1
4.已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG的夹角是　　　　.
第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.互相平行　空间平行线的传递性　2.a∥c
知识点二
1.（1）任何一个　2.有且只有一个　没有
想一想
提示：不一定，它们可能相交，可能平行，也可能异面.
知识点三
平行　相等或互补
知识点四
不大于90°　0°＜θ≤90°　90°　a⊥b
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）×
2.D　因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，而直线b 平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点.故选D.
3.45°　解析：如图，连接B'D'，则E为B'D'的中点，连接AB'，则EF∥AB'.又CD∥AB，所以∠B'AB或其补角为异面直线EF与CD的夹角，易知∠B'AB＝45°，故EF与CD夹角的大小是45°.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：如图所示，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于点M，N.
因为点D，E分别是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分别是AB，BC的中点.
连接MN，则MN∥AC，且MN＝AC. ①
在△PMN中，因为＝＝，
所以DE∥MN，且DE＝MN. ②
由①②，根据基本事实4，得DE∥AC，且DE＝MN＝×AC＝AC.
跟踪训练
证明：如图，取B1B的中点P，连接C1P，MP.
因为N为C1C的中点，
由正方体的性质知C1N PB，
所以四边形C1PBN为平行四边形，
所以C1P BN.
又M，P分别为A1A，B1B的中点，
所以MP A1B1.
又由正方体的性质知A1B1 C1D1，所以MP C1D1，
所以四边形D1MPC1为平行四边形，
所以C1P MD1.所以MD1 BN，
所以四边形MBND1为平行四边形.
【例2】　解：将展开图还原为正方体（如图）.
直线NC与直线DE，直线NC与直线AF，
直线NC与直线BM，直线DE与直线AF，直线DE与直线BM，直线AF与直线BM，都是异面直线，共有6对.
以直线NC与直线AF是异面直线为例证明如下：
法一　连接BE，若NC∥AF，
则由NC∥BE，可知AF∥BE，
这与直线AF与直线BE相交矛盾.
故直线NC与直线AF不平行.
若直线NC与直线AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有公共点，这与正方体的性质矛盾.故直线NC与
直线AF不相交.
所以直线NC与直线AF异面.
法二　连接BE，如图，因为直线NC 平面BCNE，直线AF∩平面BCNE＝O，O 直线NC，
所以直线NC与直线AF异面.
跟踪训练
　（1）平行　（2）异面　（3）相交　（4）异面
解析：
序号 结论 理由
（1） 平行 因为A1D1 BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C
（2） 异面 A1B与B1C不同在任何一个平面内
（3） 相交 D1D∩D1C＝D1
（4） 异面 AB与B1C不同在任何一个平面内
【例3】　证明：（1）如图 ，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
（2）由（1）可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
跟踪训练
证明：因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
【例4】　解：（1）与直线AB是异面直线的直线有：DD1，CC1，A1D1，B1C1.
（2）连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.
易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1的夹角.
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝
＝＝2，
DM＝
＝＝，
DB1＝
＝＝，
所以OM＝AD1＝1，
OD＝DB1＝.
于是在△DMO中，由余弦定理，得
cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1夹角的余弦值为.
母题探究
解：如图，设G是AC的中点，
连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC，且EG＝BC＝1，FG∥AD，且FG＝AD＝1.所以∠EGF即为所求，
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
所以异面直线AD与BC的夹角为90°.
跟踪训练
　解：（1）∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG的夹角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG的夹角为45°.
（2）如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，
AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD的夹角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，
∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD的夹角为30°.
随堂检测
1.D　若两直线不平行，则可能相交，也可能异面.
2.C　若直线l与平面α没有公共点，则直线l与平面α只能平行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C.
3.ABC　由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1，其他选项与AA1均为平行或相交的位置关系.
4.45°　解析：连接BG（图略），则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG的夹角.因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
4 / 5(共49张PPT)
第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理 逻辑推理
2.理解异面直线的概念、画法，会求异面直线所成的角 数学抽象
3.了解空间四边形的概念 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察如图长方体，回答下面的问题：
【问题】　（1）图中直线AB与CD，直线AB与A1B是什么关系？
（2）图中直线A1B与CC1平行吗？相交吗？它们是什么关系？
（3）图中AA1∥DD1，AA1∥BB1，那么BB1与DD1平行吗？


知识点一　基本事实4
1. 文字表述：平行于同一条直线的两条直线 .这一性质
通常称为 .
2. 符号表达：
提醒　基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这
个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找
联系所证两条平行直线的第三条直线.
互相平行　
空间平行线的传递性　
.
a∥c
知识点二　空间两直线的位置关系
1. 异面直线的概念
（1）定义：不同在 平面内（不共面）的两条直线；
（2）异面直线的画法（衬托平面法）
如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托.
任何一个　
（3）判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2. 空间两条直线的位置关系
【想一想】
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定，它们可能相交，可能平行，也可能异面.
知识点三　等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应 ，那么这两个角
.
提醒　等角定理的符号语言与图形语言及作用：
①图形语言：如图（ⅰ）（ⅱ）所示.
平行　
相等
或互补　
②符号语言：已知OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝180°；③作用：判断或证明两个角相等或互补.
知识点四　异面直线所成的角
定
义 前提 两条异面直线a，b
作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b
结论 我们把a'与b'所成的 的角称为异面
直线a，b的夹角
范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则 特殊 情况 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作： 不大于90°　
0°＜θ≤90°　
90°　
a⊥b　
提醒　对异面直线夹角的认识：①研究异面直线的夹角，就是通过平
移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，
即把空间图形问题转化为平面图形问题；②异面直线夹角的大小不能
是0°，若两条直线的夹角是0°，则这两条直线平行，不可能异面；
③两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）没有公共点的两条直线是异面直线. （　×　）
（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行. （　√　）
（3）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.
（　×　）
（4）如果两个角的对应边互相平行，且方向都相反，则两个角互补. （　×　）
×
√
×
×
2. 已知直线a∥平面α，直线b 平面α，则（　　 ）
A. a∥b B. a与b异面
C. a与b相交 D. a与b无公共点
解析：　因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，
而直线b 平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点.故
选D.
3. 如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为平面A'B'C'D'与
AA'D'D的中心，则EF与CD夹角的大小是 .
解析：如图，连接B'D'，则E为B'D'的中点，连接
AB'，则EF∥AB'.又CD∥AB，所以∠B'AB或其补
角为异面直线EF与CD的夹角，易知∠B'AB＝
45°，故EF与CD夹角的大小是45°.
45°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 基本事实4的应用
【例1】　如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是
△PAB和△PBC的重心.求证：DE∥AC，DE＝ AC.
证明：如图所示，连接PD，PE，并延长分别交AB，
BC于点M，N.
因为点D，E分别是△PAB，△PBC的重心，
所以M，N分别是AB，BC的中点.
连接MN，则MN∥AC，
且MN＝ AC. ①
在△PMN中，因为 ＝ ＝ ，
所以DE∥MN，且DE＝ MN. ②
由①②，根据基本事实4，得DE∥AC，且DE＝ MN＝ × AC＝
AC.
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性
质、成比例的线段平行；
（2）利用基本事实4，即证明两条直线都与第三条直线平行.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，
C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形.
证明：如图，取B1B的中点P，连接C1P，MP.
因为N为C1C的中点，
由正方体的性质知C1N PB，
所以四边形C1PBN为平行四边形，
所以C1P BN.
又M，P分别为A1A，B1B的中点，
所以MP A1B1.
又由正方体的性质知A1B1 C1D1，
所以MP C1D1，
所以四边形D1MPC1为平行四边形，
所以C1P MD1.
所以MD1 BN，
所以四边形MBND1为平行四边形.
题型二 异面直线的判定
【例2】　如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明.
解：将展开图还原为正方体（如图）.
直线NC与直线DE，直线NC与直线AF，
直线NC与直线BM，直线DE与直线AF，直线DE与直
线BM，直线AF与直线BM，都是异面直线，共有6对.
法一　连接BE，若NC∥AF，
则由NC∥BE，可知AF∥BE，
这与直线AF与直线BE相交矛盾.
故直线NC与直线AF不平行.
若直线NC与直线AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有公共点，这
与正方体的性质矛盾.故直线NC与
直线AF不相交.
所以直线NC与直线AF异面.
以直线NC与直线AF是异面直线为例证明如下：
法二　连接BE，如图，
因为直线NC 平面BCNE，直线AF∩平面BCNE＝O，O 直线
NC，
所以直线NC与直线AF异面.
通性通法
判定两条直线是异面直线的方法
（1）证明两条直线既不平行又不相交；
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面
内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，
B∈α，l α，B l AB与l是异面直线（如图）.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关
系；
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
平行　
异面　
相交　
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 .
解析：
序号 结论 理由
（1） 平行 因为A1D1 BC，所以四边形A1BCD1为平行四
边形，所以A1B∥D1C
（2） 异面 A1B与B1C不同在任何一个平面内
（3） 相交 D1D∩D1C＝D1
（4） 异面 AB与B1C不同在任何一个平面内
异面　
题型三 等角定理的应用
【例3】　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，
N分别是棱CD，AD的中点.求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
证明：如图 ，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝ AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝ A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：由（1）可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边
的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
通性通法
　　有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径
（1）利用等角定理；（2）利用三角形相似；（3）利用三角形全等.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，
BB1，DD1的中点.求证：∠BGC＝∠FD1E.
证明：因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所
以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
题型四 异面直线的夹角
【例4】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ .
（1）在长方体的棱所在直线中找出与直线AB是异面直线的所有直
线；
解：与直线AB是异面直线的直线有：DD1，CC1，A1D1，B1C1.
（2）求异面直线AD1与DB1夹角的余弦值.
解：连接BD1交DB1于O，取AB的中点
M，连接DM，OM.
易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则
∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1的夹角.
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB＝BC＝1，AA1＝ ，
AD1＝ ＝ ＝2，
DM＝ ＝ ＝ ，
DB1＝ ＝ ＝ ，
所以OM＝ AD1＝1，OD＝ DB1＝ .
于是在△DMO中，由余弦定理，得
cos ∠MOD＝ ＝ ，
即异面直线AD1与DB1夹角的余弦值为 .
【母题探究】
（变条件）将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝
BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝ ，求异面直线AD
和BC夹角的大小.
解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC，
且EG＝ BC＝1，FG∥AD，且FG＝ AD＝1.
所以∠EGF即为所求，
又EF＝ ，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
所以异面直线AD与BC的夹角为90°.
通性通法
求异面直线夹角的步骤
（1）作：根据夹角的定义，用平移法作出异面直线的夹角；
（2）证：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线的夹角θ的
取值范围是0°＜θ≤90°.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG夹角的大小；
解：∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE
与CG的夹角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG的夹角为45°.
（2）FO与BD夹角的大小.
解：如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，
AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD的夹角，连接
HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，
∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD的夹角为30°.
1. 不平行的两条直线的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 相交或异面
解析：　若两直线不平行，则可能相交，也可能异面.
2. “直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（　 ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若直线l与平面α没有公共点，则直线l与平面α只能平
行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没
有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”
是“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C.
3. （多选）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1不是异
面直线的有（　　）
A. AB B. BB1
C. DD1 D. B1C1
解析：　由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1，
其他选项与AA1均为平行或相交的位置关系.
4. 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG的夹角是 .
解析：连接BG（图略），则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线
AH与FG的夹角.因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
45°　
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