资源简介

拓 视 野　截面（交线）问题
1.平行于底面的截面
（1）用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱得到的截面与底面全等；
（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的截面与底面相似；
（3）用一个平行于棱台底面的平面去截棱台得到的截面与两个底面都相似.
2.经过不相邻的两条侧棱的截面
（1）在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面（也称为棱柱的对角面）是平行四边形；
（2）在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形.正棱锥（正三棱锥除外）的截面是等腰三角形；
（3）在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形.
3.正方体的截面
通过尝试、归纳，有如下结论：
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形；
（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
（3）截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形；
（4）截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示.
【问题探究】
【例】　如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且AB∩l＝G，EF∩l＝H.试作出平面ABD与平面CEF的交线.
尝试解答
【迁移应用】
1.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过点C1，E，F的截面的周长为　　　　.
2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，Q分别是AA1，BB1，B1C1的中点.在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状.
拓视野　截面（交线）问题
【例】　解：如图，连接DG，DG∩EF＝M，连接HC并延长交AB于点N，HN∩AB＝N，故M∈平面ABD且M∈平面CEF.
同理，N∈平面ABD且N∈平面CEF.
故直线MN即为平面ABD与平面CEF的交线.
迁移应用
1.6＋4　解析：如图，延长EF，交DA的延长线于点G，交DD1的延长线于点H，可得HD1＝AG＝2，连接HC1并延长，交DC的延长线于点K，可得CK＝8.因为＝，故G，B，K三点共线，则过C1，E，F三点的截面为EFBC1，周长为2＋2×2＋4＝6＋4.
2.解：连接并延长NQ交CC1的延长线于点G.因为G∈CC1，所以G∈平面AA1C1C，故连接GM交A1C1于点H，四边形QNMH即为所求截面，截面形状为梯形.
1 / 2(共37张PPT)
拓 视 野　截面（交线）问题
1. 平行于底面的截面
（1）用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱得到的截面与底面
全等；
（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的截面与底面
相似；
（3）用一个平行于棱台底面的平面去截棱台得到的截面与两个底
面都相似.
2. 经过不相邻的两条侧棱的截面
（1）在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面
（也称为棱柱的对角面）是平行四边形；
（2）在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是
三角形.正棱锥（正三棱锥除外）的截面是等腰三角形；
（3）在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是
梯形.
3. 正方体的截面
通过尝试、归纳，有如下结论：
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.
截面不可能是直角三角形、钝角三角形；
（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯
形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对
边平行；
（3）截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，
同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形；
（4）截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截
面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图
形所示.
【问题探究】
【例】　如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面
相交于直线l，且AB∩l＝G，EF∩l＝H. 试作出平面ABD与平面
CEF的交线.
解：如图，连接DG，DG∩EF＝M，连
接HC并延长交AB于点N，HN∩AB＝
N，故M∈平面ABD且M∈平面CEF.
同理，N∈平面ABD且N∈平面CEF.
故直线MN即为平面ABD与平面CEF的交线.
1. 如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，
则过点C1，E，F的截面的周长为 .
6 ＋4 　
【迁移应用】
解析：如图，延长EF，交DA的延
长线于点G，交DD1的延长线于点
H，可得HD1＝AG＝2，连接HC1并
延长，交DC的延长线于点K，可得
CK＝8.因为 ＝ ，故G，B，K
三点共线，则过C1，E，F三点的截
面为EFBC1，周长为2 ＋2×2
＋4 ＝6 ＋4 .
2. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，Q分别是AA1，
BB1，B1C1的中点.在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出
截面的形状.
解：连接并延长NQ交CC1的延长线于点G. 因为G∈CC1，所以
G∈平面AA1C1C，故连接GM交A1C1于点H，四边形QNMH即为
所求截面，截面形状为梯形.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的
位置关系是（　　 ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 不确定
解析：　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下
列结论正确的有（　　 ）
A. OB∥O1B1且方向相同
B. OB∥O1B1，方向可能不同
C. OB与O1B1不平行
D. OB与O1B1不一定平行
解析：　当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的
方向相同时，OB与O1B1不一定平行.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，
SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面
解析：　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN. 同理可
证HG∥PN，∴EF∥HG. 故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（　　）
A. 2对 B. 3对
C. 6对 D. 12对
解析：　如图所示，在长方体中没有与体对角
线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的
棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，
其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有
BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）在空间四面体ABCD中，如图E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为（　　）
A. EG＝FH
B. EF＝GH
C. EH与FG相交
D. EG＝HG
解析：　由题意知，EG BD，FH BD，∴EG FH，∴四边形EGHF为平行四边形.∴EG＝FH，EF＝GH. ∴EH与FG共面且相交，故A、B、C正确，但EG不一定与HG相等.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别
是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是（　　）
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME＝∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为矩形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　由条件易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据空间等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由空间等角定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确.没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR＝
.
解析：由等角定理，可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR
＝30°或150°.
30°
或150°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的
中点，则直线PQ与RS是异面直线的是 .（填序号）
解析：根据异面直线的定义可知③正确.
③　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝
1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E
与GF的夹角是 .
90°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：连接GB1，B1F（图略），则GB1∥A1E，故∠B1GF或其补
角即为A1E与GF的夹角，B1G＝ ＝ ＝
，B1F＝ ＝ ＝ ，GF＝
＝ ，所以B1G2＋FG2＝B1F2，所以∠B1GF
＝90°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，
F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形
EFGH是平行四边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
证明：在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以
EF∥AB，EF＝ AB，
同理GH∥DC，GH＝ DC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
所以EF∥GH，EF＝GH.
所以四边形EFGH是平行四边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如图所示的是所有棱长都相等的正三棱锥的平面展开图（D，E
分别为PB，PA的中点），则在正三棱锥中，下列说法正确的是
（　　）
A. 直线DE与直线AF相交成60°角
B. 直线DE与直线AC相交
C. 直线DE与直线AB异面
D. 直线AF与直线BC平行
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　将题中的平面展开图还原成正三棱
锥，如图所示，点F与点P重合，易知在△PDE
中，PD＝PE＝DE，△PDE是等边三角形，故
∠PED＝60°，即直线DE与AF相交成60°角.
由图易知其余选项均错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面
α与平面β的交线，则下列结论正确的是（　　）
A. l与l1，l2都不相交
B. l与l1，l2都相交
C. l至多与l1，l2中的一条相交
D. l至少与l1，l2中的一条相交
解析：　反证法：假设l与l1，l2均不相交，因为l与l1都在平面
α内，于是l∥l1.同理可得l∥l2，所以l1∥l2.这与已知矛盾.故l
至少与l1，l2中的一条相交.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△A1B1C1是正三角
形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　）
A. 直线CC1与直线B1E相交
B. CC1与AE共面
C. AE与B1C1是异面直线
D. AE与B1C1垂直
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　因为CE∥B1C1且CE＝ B1C1，所以四边形CEB1C1
为梯形，CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C
正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的
中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的
角为90°，选项D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，
AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置
（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形
EFGH为平行四边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，
E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB. ∵G，H分别为AD'，BC'的
中点，
∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且
AC＝4，BD＝6，则（　　）
A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析：　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则
MH∥BD，且MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，
N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜
MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD
是菱形，且AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，若异面直线A1B
和AD1的夹角为90°，试求AA1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：如图，连接CD1，AC，由题意得四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C（或其补角）为A1B和AD1的夹角，
因为异面直线A1B和AD1的夹角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2 ，所以△ACD1是等腰直角三角形，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以AD1＝ AC，
因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2 ，
∠ABC＝120°，
所以AC＝2 × sin 60°×2＝6，故AD1＝
AC＝3 ，
所以AA1＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑