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4.1　直线与平面平行
1.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（　　）
A.只有一条，不在平面α内
B.只有一条，在平面α内
C.有两条，不一定都在平面α内
D.有无数条，不一定都在平面α内
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（　　）
A.2个　　B.3个　　C.4个　　　D.5个
3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中不正确的是（　　）
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
5.（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（　　）
6.（多选）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A.AD∥EG
B.AC∥平面EFG
C.BD∥平面EFG
D.AD，FG是一对相交直线
7.梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是　　　　.
8.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是　　　　.
9.如图所示，直线a∥平面α，A α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝　　　　.
10.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点.
（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；
（2）求PQ的长.
　　
11.已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）
A.0条 B.1条
C.0条或1条 D.无数条
12.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
13.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝　　　　.
14.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1？
15.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为　　　　.
16.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
4.1　直线与平面平行
1.B　如图所示，因为直线l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的.
2.B　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D.
3.D　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D.
4.D　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确.故选D.
5.BCD　对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行.
6.BC　A：点G∈平面ADC，点G 直线AD，点E 平面ADC，可知AD，EG是异面直线，A错；B：AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；C：BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C对；D：点G∈平面ADC，点G 直线AD，点F 平面ADC，可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C.
7.CD∥平面α　解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥平面α.
8.l α　解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l α”.
9.　解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a 平面β，所以EF∥a.所以＝.所以EF＝＝＝.
10.解： （1）证明：如图所示，连接AC，CD1，
因为ABCD为正方形，
所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，所以Q为AC的中点，
因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1，
因为CD1 平面DCC1D1，PQ 平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
（2）由（1）得，PQ是△ACD1的中位线，
所以PQ＝D1C＝a.
11.C　过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条.
12.C　由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，平面ACD∩平面PEF＝FG，根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.由于点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，所以G是△PBC的重心，所以＝.故选C.
13.a　解析：∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN 平面PMNQ，∴MN∥PQ，∴DP＝DQ＝a，故PQ＝＝a.
14.解：存在.如图，取AB的中点O，连接OC.
作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，
则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点，
所以OD＝（AA1＋BB1）＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D.
又C1D 平面C1B1A1，且OC 平面C1B1A1，
所以OC∥平面A1B1C1.
即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
15.3　解析：设AO交BE于点G，连接FG.
因为O，E分别是BD，AD的中点，所以＝，则有＝.因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，则＝＝，即λ＝3.
16.解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，
∴＋＝1，
∴y＝6，且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
3 / 34.1　直线与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理 数学抽象
2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题 逻辑推理
情境一：如图①，门扇的两边是平行的.
情境二：如图②，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动.
【问题】　（1）当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
（2）在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面　　　　，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与　　　　平行
符号语言 l∥α，　　　　，　　　　　 l∥a
图形语言
【想一想】
　平行于同一平面的两条直线是否平行？
知识点二　直线与平面平行的判定定理
图形语言 文字语言 符号语言
如果平面外一条直线与　　　　　　，那么该直线与此平面平行 l∥α
【想一想】
　若l与平面α内的一条直线平行，那么直线l与平面α平行吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l∥平面α，则存在直线b α，使得l∥b.（　　）
（2）若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.（　　）
（3）若l与平面α内的无数条直线平行，那么l∥α.（　　）
（4）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（　　）
2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
3.已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；
②m∥α；
③n∥α，
以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个　　　　　.
题型一 线面平行的性质定理的理解及应用
角度1　线面平行性质定理的理解
【例1】　下列说法中正确的是（　　）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A.①②③④　　　　　　 B.①②③
C.②④ D.①②④
尝试解答
通性通法
线面平行的相关结论
（1）一条直线和一个平面平行，则它和平面内无数条直线平行，这无数条直线相互平行；
（2）一条直线和一个平面平行，则它和平面内的直线平行或异面；
（3）过直线外一点有无数个平面与已知直线平行，这些平面的交线与已知直线平行；
（4）过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这些直线共面，且和已知平面平行.
角度2　线面平行性质定理的应用
【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
尝试解答
通性通法
利用线面平行的性质定理解题的步骤
【跟踪训练】
1.若直线a∥平面α，a β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是　　　　.
2.如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.
题型二 线面平行的判定定理的理解及应用
角度1　线面平行判定定理的理解
【例3】　已知直线b，平面α，有以下条件：
①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行.
其中能推出b∥α的条件有　　　　.（把你认为正确的序号都填上）
尝试解答
通性通法
　　解决此类问题要注意：（1）把握住判定定理；（2）借助于常见几何模型（如正方体）进行分析.
角度2　线面平行判定定理的应用
【例4】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
尝试解答
通性通法
利用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
（1）空间直线平行关系的传递性法；
（2）三角形中位线法；
（3）平行四边形法；
（4）线段成比例法.
提醒　线面平行判定定理的应用误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
【跟踪训练】
1.点E，F，G，H分别是四面体A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D.
题型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用
【例5】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.
尝试解答
通性通法
线面平行的判定与性质综合应用的策略
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行线面平行线线平行.
【跟踪训练】
如图，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC.
1.下列说法正确的是（　　）
A.直线l平行于平面α内的一条直线，则l∥α
B.若直线a不在平面α内，则a与α必相交
C.若直线a∩b＝ ，直线b α，则a∥α
D.若直线a∥b，b α，a α，那么a∥α
2.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是（　　）
A.平行　 B.相交　 C.异面　 D.BC α
3.（多选）已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出b∥α的是（　　）
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的所有直线不相交
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC平行的平面是　　　；与BC1平行的平面是　　　；与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是　　　　.
5.如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分別为PC和PB的中点，平面ABC∩平面AEF＝l.证明：直线l∥BC.
4.1　直线与平面平行
【基础知识·重落实】
知识点一
平行　交线　l β　α∩β＝a
想一想
　提示：不一定平行，平行于同一平面的两条直线可能平行也可能相交或异面.
知识点二
此平面内的一条直线平行
想一想
　提示：不一定，直线l有可能在平面α内.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
3.①② ③（或①③ ②）　解析：若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.
【典型例题·精研析】
【例1】　D　由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；经过直线外一点可作一直线与已知直线平行，故可作无数个平面与已知直线平行，故③错误.故选D.
【例2】　证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ是平行四边形.
跟踪训练
1.平行　解析： a∥b， c∥b，∴a∥c.
2.解：如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，
所以PC∥OM，所以＝.
在菱形ABCD中，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，
所以＝.
又AO1＝CO1，所以＝＝，
故PM∶MA＝1∶3.
【例3】　②③④　解析：①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.
【例4】　证明：连接BC1（图略），
在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
∴EF∥平面AD1G.
跟踪训练
1.C　如图所示，四面体的棱中与平面EFGH平行的直线有AC与BD.
2.证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点.
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.
【例5】　证明：连接AC，
A1C1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC 平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
跟踪训练
　证明：（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，故MN∥AE.又AE 平面PAD，MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
（2）因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
随堂检测
1.D　A错误，直线l可以在平面α内；B错误，直线a不在平面α内，包括平行和相交；C错误，a可以与平面α相交，也可以在α内；D正确.
2.A　在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BC α，DE α，所以BC∥α.
3.ABC
4.平面A1B1C1D1与平面ADD1A1　平面ADD1A1　CD
解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1；与BC1平行的平面是平面ADD1A1；与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是CD.
5.证明：∵E，F分别为PC，PB的中点，
∴BC∥EF，
又∵EF 平面AEF，BC 平面AEF，∴BC∥平面AEF，
又∵BC 平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l.
4 / 5(共72张PPT)
4.1　直线与平面平行
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行
的判定定理、性质定理 数学抽象
2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能
初步利用定理解决问题 逻辑推理
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
情境一：如图①，门扇的两边是平行的.
情境二：如图②，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸
板绕边DC转动.
【问题】　（1）当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点
吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
（2）在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共
点吗？边AB与桌面平行吗？




知识点一　直线与平面平行的性质定理
文字
语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行
符号语言 l∥α， ， l∥a
图形语言
平行　
交线　
l β　
α∩β＝a　
【想一想】
平行于同一平面的两条直线是否平行？
提示：不一定平行，平行于同一平面的两条直线可能平行也可能相交
或异面.
知识点二　直线与平面平行的判定定理
图形语言 文字语言 符号语言
如果平面外一条直线与
，那么该直
线与此平面平行
此平面
内的一条直线平行　
【想一想】
若l与平面α内的一条直线平行，那么直线l与平面α平行吗？
提示：不一定，直线l有可能在平面α内.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l∥平面α，则存在直线b α，使得l∥b.
（　√　）
（2）若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任
意一条直线. （　×　）
（3）若l与平面α内的无数条直线平行，那么l∥α. （　×　）
（4）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与
这个平面平行. （　×　）
√
×
×
×
2. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且
EF∥平面ABC，则（　　）
A. EF与BC相交 B. EF∥BC
C. EF与BC异面 D. 以上均有可能
解析：　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故选B.
3. 已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个
为结论，写出你认为正确的一个 .
解析：若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则
m∥α.
①② ③（或①③ ②）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面平行的性质定理的理解及应用
角度1　线面平行性质定理的理解
【例1】　下列说法中正确的是（　　）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直
线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公
共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线
在α内.
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②④ D. ①②④
解析：　由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的
定义知②正确；经过直线外一点可作一直线与已知直线平行，故可作
无数个平面与已知直线平行，故③错误.故选D.
通性通法
线面平行的相关结论
（1）一条直线和一个平面平行，则它和平面内无数条直线平行，这
无数条直线相互平行；
（2）一条直线和一个平面平行，则它和平面内的直线平行或异面；
（3）过直线外一点有无数个平面与已知直线平行，这些平面的交线
与已知直线平行；
（4）过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这些直线共面，
且和已知平面平行.
角度2　线面平行性质定理的应用
【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且
AB 平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ是平行四边形.
通性通法
利用线面平行的性质定理解题的步骤
【跟踪训练】
1. 若直线a∥平面α，a β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝
c，则a与c的位置关系是 .
解析： a∥b， c∥b，∴a∥c.
平行　
2. 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC
交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥
平面MEF，试求PM∶MA的值.
解：如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，
所以PC∥OM，所以 ＝ .
在菱形ABCD中，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，
所以 ＝ .
又AO1＝CO1，所以 ＝ ＝ ，
故PM∶MA＝1∶3.
题型二 线面平行的判定定理的理解及应用
角度1　线面平行判定定理的理解
【例3】　已知直线b，平面α，有以下条件：
①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与
α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行.
其中能推出b∥α的条件有 .（把你认为正确的序号都
填上）
解析：①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定
义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.
②③④　
通性通法
　　解决此类问题要注意：（1）把握住判定定理；（2）借助于常见
几何模型（如正方体）进行分析.
角度2　线面平行判定定理的应用
【例4】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是
BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明：连接BC1（图略），
在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
∴EF∥平面AD1G.
通性通法
利用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
（1）空间直线平行关系的传递性法；
（2）三角形中位线法；
（3）平行四边形法；
（4）线段成比例法.
提醒　线面平行判定定理的应用误区：①条件罗列不全，最易
忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地
找到两平行直线.
【跟踪训练】
1. 点E，F，G，H分别是四面体A-BCD的棱AB，BC，CD，DA
的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是
（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　如图所示，四面体的棱中与平面EFGH平
行的直线有AC与BD.
2. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：
AB1∥平面BC1D.
证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的
中点.
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1.
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，∴AB1∥
平面BC1D.
题型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用
【例5】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与
B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面
ABCD.
证明：连接AC，A1C1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以
AC∥A1C1，因为AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，所以AC∥平
面A1BC1，因为AC 平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以
AC∥MN. 因为MN 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以MN∥平面
ABCD.
通性通法
线面平行的判定与性质综合应用的策略
　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面
平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下
去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行 线面平行 线线平行.
【跟踪训练】
如图，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的
中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
证明：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形
MNEA是平行四边形，故MN∥AE. 又AE 平
面PAD，MN 平面PAD，所以MN∥平面
PAD.
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC.
证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD，
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 直线l平行于平面α内的一条直线，则l∥α
B. 若直线a不在平面α内，则a与α必相交
C. 若直线a∩b＝ ，直线b α，则a∥α
D. 若直线a∥b，b α，a α，那么a∥α
解析：　A错误，直线l可以在平面α内；B错误，直线a不在平
面α内，包括平行和相交；C错误，a可以与平面α相交，也可以
在α内；D正确.
2. 平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD∶DB
＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. BC α
解析：　在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以
BC∥DE. 因为BC α，DE α，所以BC∥α.
3. （多选）已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出
b∥α的是（　　）
A. b与α内的一条直线不相交
B. b与α内的两条直线不相交
C. b与α内的无数条直线不相交
D. b与α内的所有直线不相交
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC平行的平面是
；与BC1平行的平面是
；与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是 .
平面
A1B1C1D1与平面ADD1A1　
平面
ADD1A1　
CD　
解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1；与BC1平行的平面是平面ADD1A1；与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是CD.
5. 如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分別为PC和PB的中点，平面
ABC∩平面AEF＝l.证明：直线l∥BC.
证明：∵E，F分别为PC，PB的中点，∴BC∥EF，
又∵EF 平面AEF，BC 平面AEF，∴BC∥平面AEF，
又∵BC 平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（　　）
A. 只有一条，不在平面α内
B. 只有一条，在平面α内
C. 有两条，不一定都在平面α内
D. 有无数条，不一定都在平面α内
解析：　如图所示，因为直线l∥平面α，
P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β
＝m，所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的.
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2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面所在的平面
中，与棱AA1平行的平面共有（　　）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
解析：　如图所示，结合图形可知AA1∥平面
BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面
BB1D1D.
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3. 如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段
A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有
（　　）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 无数条
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解析：　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D.
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4. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为
O，M为PB的中点，给出以下结论，其中不正确的是（　　）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析：　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A
正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故
B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA
和平面PBC都相交，故D不正确.故选D.
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5. （多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶
点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB
与平面MNQ平行的是（　　）
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解析：　对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行.
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6. （多选）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，
BC，CD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. AD∥EG
B. AC∥平面EFG
C. BD∥平面EFG
D. AD，FG是一对相交直线
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解析：　A：点G∈平面ADC，点G 直线AD，点E 平面ADC，可知AD，EG是异面直线，A错；B：AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；C：BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C对；D：点G∈平面ADC，点G 直线AD，点F 平面ADC，可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C.
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7. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线
CD与平面α的位置关系是 .
解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的
判定定理可得CD∥平面α.
CD∥平面α　
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8. 已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在
条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是 .
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是
“l α”.
l α　
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解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF. 因为a∥平面α，a 平面β，所以EF∥a.所
以 ＝ .所以EF＝ ＝ ＝ .
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10. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是
AD1，BD的中点.
（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；
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解： 证明：如图所示，连接AC，CD1，
因为ABCD为正方形，
所以AC与BD互相平分，又Q为BD的
中点，所以Q为AC的中点，
因为P为AD1的中点，所以
PQ∥CD1，
因为CD1 平面DCC1D1，PQ 平面
DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
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（2）求PQ的长.
解： 由（1）得，PQ是△ACD1的中位线，
所以PQ＝ D1C＝ a.
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11. 已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线
中与直线a平行的直线有（　　）
A. 0条 B. 1条
C. 0条或1条 D. 无数条
解析：　过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交
于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，
则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行
的直线有0条.
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12. 如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，
点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面
PEF，则 ＝（　　）
A. 1 B. 2
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解析：　由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，平面ACD∩平
面PEF＝FG，根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. 由于点
D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，所以
G是△PBC的重心，所以 ＝ .故选C.
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13. 如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是
下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，
AP＝ ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则
PQ＝ .
a　
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解析：∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，
MN 平面PMNQ，∴MN∥PQ，∴DP＝DQ＝ a，故PQ＝
＝ a.
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14. 如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何
体，截面为△ABC. 已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是
否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1？
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解：存在.如图，取AB的中点O，连接OC.
作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，
则OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点，所以OD＝
（AA1＋BB1）＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行
四边形，
所以OC∥C1D.
又C1D 平面C1B1A1，且OC 平面C1B1A1，
所以OC∥平面A1B1C1.
即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
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15. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点
O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，
则λ的值为 .
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解析：设AO交BE于点G，连接FG.
因为O，E分别是BD，AD的中点，所以 ＝
，则有 ＝ .因为PC∥平面BEF，平面
BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，则
＝ ＝ ，即λ＝3.
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16. 如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形
EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
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解：证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥
平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解：同（1）可证EH∥CD，设EF＝
x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝
，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
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∴y＝6 ，且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－ ）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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谢 谢 观 看！

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