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4.2　平面与平面平行
1.直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（　　）
A.相交　　　　　　　　 B.平行
C.异面 D.不确定
2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是（　　）
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（　　）
A.梯形 B.平行四边形
C.梯形或平行四边形 D.不确定
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则△A'B'C'与△ABC面积的比为（　　）
A.2∶5 B.3∶8
C.4∶9 D.4∶25
5.（多选）已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（　　）
A.若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β
B.若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β
C.若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β
D.若a α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
6.（多选）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有（　　）
A.存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B.平面α内的任意一条直线都平行于β
C.α内有不共线的三点到β的距离相等
D.存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
7.直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.其中一些关系作为条件，另一些关系作为结论，组成一个正确的推理应是　　　　　　.
8.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是　　　　.
9.如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则＝　　　　，若BF＝4，则AE＝　　　　.
10.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面.当截面平行于平面B1D1C且面积为时，线段AP的长为（　　）
A. B.1
C. D.
12.（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中（　　）
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.BC∥平面PAD
C.AB∥平面PCD
D.平面PAD∥平面PAB
13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线EF∥平面ACD1的点F的个数是　　　　.
14.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
15.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　　　时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：请填上你认为正确的一个条件即可）
16.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？证明你的结论.
4.2　平面与平面平行
1.B　因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.
2.B　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
3.B　由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形EFGH为平行四边形.
4.D　∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A'B'，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A'B'∥AB.又∵PA'∶AA'＝2∶3，∴A'B'∶AB＝PA'∶PA＝2∶5.同理，B'C'∶BC＝A'C'∶AC＝2∶5，∴△A'B'C'与△ABC相似，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.
5.BD　A项，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；B项，若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，由面面平行的判定可得α∥β，正确；C项，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；D项，若a α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理得a∥b，正确.故选B、D.
6.ABD　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选A、B、D.
7.①③④ ②　解析：因为α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得：m∥n.
8.平行四边形　解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形.因为A1B1 C1D1，所以AB CD，从而四边形ABCD为平行四边形.
9.　7　解析：因为α∩平面GBD＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，同理可证AE∥BF.因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，所以＝＝＝.同理＝，所以＝，AE＝7.
10.证明：易知BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
11.A　如图，连接A1D，BD，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于Q，R，连接QR.因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1.又B1D1 平面B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C.因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C.又B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C.又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面.易知△PQR是等边三角形，则PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝.故选A.
12.ABC　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确.
13.5　解析：分别取AB，CC1，C1D1，D1A1，
A1A的中点M，N，I，H，G，连接ME，EN，NI，IH，
HG，GM，BC1，则EN∥BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，∴EN∥AD1.又EN 平面ACD1，AD1 平面ACD1，∴EN∥平面ACD1.同理可得，EM∥平面ACD1.又∵EM∩EN＝E，EM 平面ENIHGM，EN 平面ENIHGM，∴平面ACD1∥平面ENIHGM，∴平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面ACD1平行.故满足条件直线EF∥平面ACD1的点F可以是M，N，I，H，G中的任何一个，即点F的个数是5.
14.证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，
又FH 平面PEC，PC 平面PEC，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，
又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
15.点M在线段FH上（答案不唯一）
解析：取B1C1的中点Q，连接QN，QF，连接FH，NH，如图，由已知得QN，FH与CC1，BB1都平行且相等，因此FH与QN平行且相等，从而FQNH是平行四边形，FQ∥HN，
由H，N分别是CD，CB中点，则HN∥BD，又HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，又HN∩NQ＝N，HN，NQ 平面FQNH，所以平面FQNH∥平面BB1D1D，因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1.
16.解：当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC.
因为M是PE的中点，所以FM∥CE.
因为FM 平面AEC，CE 平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，
连接BM，BD，如图所示，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点.
连接OE，则BM∥OE.
因为BM 平面AEC，OE 平面AEC，所以BM∥平面AEC.
因为FM 平面BFM，BM 平面BFM，且FM∩BM＝M，
所以平面BFM∥平面AEC.
3 / 34.2　平面与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理 数学抽象
2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题 逻辑推理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.
【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
（2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面　　　　，那么两条交线　　　　
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b 　　　
图形语言
【想一想】
此性质定理的逆定理是否成立？即若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β成立吗？
知识点二　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的　　　　　与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a α，b α，a∩b＝A，a∥β，b∥β α∥β
图形语言
【想一想】
　平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β一定平行吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.（　　）
（2）两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.（　　）
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等.（　　）
（4）若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.（　　）
2.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　）
A.平行　　　　　　　　B.相交
C.异面 D.不确定
3.如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的点且满足＝＝，则平面DEF与平面ABC的位置关系是　　　　　.
题型一 面面平行的性质定理的理解及应用
角度1　面面平行性质定理的理解
【例1】　（1）若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
（2）设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C（　　）
A.不共面
B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A，B如何移动都共面
尝试解答
通性通法
1.面面平行性质定理的实质是由面面平行得出线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知此定理可用来证明线线平行.
2.面面平行的其他性质：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；（3）两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
角度2　面面平行性质定理的应用
【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8.
（1）证明AB∥CD；
（2）求BD的长.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若本例改为“点P在平面α，β之间（如图）”，其他条件不变，试求BD的长.
通性通法
利用平面与平面平行性质定理解题的基本步骤
【跟踪训练】
如图所示，平面α∥平面β，直线AB，CD夹在α，β间，且两直线相交于点O，求证：＝.
题型二 面面平行的判定定理的理解及应用
角度1　面面平行判定定理的理解
【例3】　下列说法中正确的是（　　）
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.
A.①③　　　　　　B.②④
C.②③④ D.③④
尝试解答
通性通法
1.利用面面平行的判定定理时必须具备的两个条件：（1）这两条相交直线都在其中一个平面内；（2）这两条直线都平行于另一个平面.
2.判定面面平行的其他常用结论：（1）利用面面平行的定义：两个平面没有公共点；（2）利用面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α；（3）平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ α∥β.
角度2　面面平行判定定理的应用
【例4】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
尝试解答
通性通法
运用判定定理证明面面平行时的注意点
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面；
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
【跟踪训练】
1.a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（　　）
A.只能作一个
B.至少可以作一个
C.不存在
D.至多可以作一个
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
题型三 空间平行关系的综合问题
【例5】　已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
尝试解答
通性通法
空间中各种平行关系相互转化的示意图
【跟踪训练】
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.
1.两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是（　　）
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　）
A.AB∥CD
B.AD∥CB
C.AB与CD相交
D.A，B，C，D四点共面
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝　　　　.
4.2　平面与平面平行
【基础知识·重落实】
知识点一
相交　平行　a∥b
想一想
　提示：不一定.α与β有可能平行也有可能相交.
知识点二
两条相交直线
想一想
提示：不一定，当α与β相交时α内也可能存在不共线的三点到β的距离相等，如图，A，B，C到平面β的距离相等，但α与β不平行.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.A　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，且平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，所以由面面平行的性质定理知EF∥E'F'.
3.平行　解析：在△PAB中，因为＝，所以DE∥AB.又DE 平面ABC，AB 平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）D　（2）D　解析：（1）因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条.
（2）根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C均在过点C且与α，β都平行的平面上.
【例2】　解：（1）证明：因为AC∩BD＝P，
所以直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD.
（2）由（1）知AB∥CD，
得＝，即＝，
所以BD＝.
母题探究
解：由题意可得＝，代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得＝，
解得PB＝16，
故BD＝PB＋PD＝16＋8＝24，
所以BD的长为24.
跟踪训练
　证明：因为AB与CD相交于点O，所以A，B，C，D四点共面.
如图所示，连接AC，BD.因为α∥β，且α，β与平面ACBD的交线分别为AD，BC，
所以AD∥BC.
在平面ACBD中，△AOD∽△BOC，
所以＝.
【例3】　D　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的边AB上任取一点E，过E点作EF∥AD交CD于点F.由线面平行的判定定理知，EF，BC都平行于平面ADD1A1.用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都不正确；③正确，事实上，若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确.
【例4】　证明：（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练
1.D　因为a是平面α外的一条直线，所以a∥α或a与α相交，当a∥α时，β只有一个；当a与α相交时，β不存在.故选D.
2.证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
【例5】　证明：法一　
如图，取PD的中点G，连接GA，GN，
因为G是PD中点，N是PC中点，所以GN∥DC，GN＝DC，
因为M是矩形ABCD边AB的中点，所以AM∥DC，AM＝DC，
所以GN∥AM，GN＝AM，所以四边形AMNG是平行四边形，
所以MN∥AG，且MN是平面PAD外的一条直线，又AG是平面PAD内的一条直线，
所以MN∥平面PAD.
法二　如图，取CD中点H，连接HM，HN，因为H是DC的中点，N是PC的中点，所以HN∥DP，
因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM＝AB，DH＝DC，
因为AB＝CD，AB∥CD，所以AM＝DH，AM∥DH，
所以四边形AMHD为平行四边形，所以HM∥DA，
因为HN 平面PAD，DP 平面PAD，HM 平面PAD，DA 平面PAD，
所以HN∥平面PAD，HM∥平面PAD，因为HN∩HM＝H，
所以平面HNM∥平面PAD，
因为MN 平面HNM，所以MN∥平面PAD.
跟踪训练
　解：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.
因为E，F分别为AB，BB1的中点，所以EF∥AB1.
因为AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD＝F，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE 平面EFD，
所以DE∥平面AB1C1.
随堂检测
1.A　根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行.故选A.
2.D　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.故选D.
3.　解析：因为平面MNE∥平面ACB1，由平面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝AC，即＝.
4 / 5(共71张PPT)
4.2　平面与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行
的判定定理、性质定理 数学抽象
2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能
初步利用定理解决问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了
“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与
气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.
【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任
一直线状物体与下层地面有何位置关系？
（2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是
什么位置关系？




知识点一　平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
图形语言
相交　
平行　
a∥b　
【想一想】
此性质定理的逆定理是否成立？即若α∩γ＝a，β∩γ＝b，
a∥b，则α∥β成立吗？
提示：不一定.α与β有可能平行也有可能相交.
知识点二　平面与平面平行的判定定理
文字
语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那
么这两个平面平行
符号
语言 a α，b α，a∩b＝A，a∥β，b∥β α∥β
图形
语言
两条相交直线　
【想一想】
平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β一定
平行吗？
提示：不一定，当α与β相交时α内也可能存在不
共线的三点到β的距离相等，如图，A，B，C到
平面β的距离相等，但α与β不平行.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两
条直线，则这两个平面平行. （　√　）
（2）两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个
平面平行. （　×　）
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等. （　√　）
（4）若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.
（　×　）
√
×
√
×
2. 已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩
平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 不确定
解析：　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，且平面α∩平面ABCD
＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，所以由面面平行的性质定理
知EF∥E'F'.
3. 如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，
PC上的点且满足 ＝ ＝ ，则平面DEF与平面ABC的位置关
系是 .
平行　
解析：在△PAB中，因为 ＝ ，所以DE∥AB. 又DE 平面ABC，AB 平面ABC，因此DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 面面平行的性质定理的理解及应用
角度1　面面平行性质定理的理解
【例1】　（1）若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β
内过点B的所有直线中（　　）
A. 不一定存在与a平行的直线
B. 只有两条与a平行的直线
C. 存在无数条与a平行的直线
D. 存在唯一一条与a平行的直线
解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条.
（2）设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，
B分别在α，β内运动时，所有的动点C（　　）
A. 不共面
B. 当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C. 当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D. 不论A，B如何移动都共面
解析：根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C
均在过点C且与α，β都平行的平面上.
通性通法
1. 面面平行性质定理的实质是由面面平行得出线线平行，其应用过程
是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知此定理可
用来证明线线平行.
2. 面面平行的其他性质：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任
意一条直线都平行于另一个平面；（2）夹在两个平行平面间的平
行线段长度相等；（3）两条直线同时被三个平行平面所截，截得
的线段对应成比例.
角度2　面面平行性质定理的应用
【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直
线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于
B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8.
（1）证明AB∥CD；
解：证明：因为AC∩BD＝P，
所以直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面
PCD＝CD，
所以AB∥CD.
（2）求BD的长.
解：由（1）知AB∥CD，
得 ＝ ，即 ＝ ，所以BD＝ .
【母题探究】
（变条件）若本例改为“点P在平面α，β之间（如图）”，其他条
件不变，试求BD的长.
解：由题意可得 ＝ ，代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得 ＝
，解得PB＝16，
故BD＝PB＋PD＝16＋8＝24，
所以BD的长为24.
通性通法
利用平面与平面平行性质定理解题的基本步骤
【跟踪训练】
如图所示，平面α∥平面β，直线AB，CD夹在α，β间，且两直线
相交于点O，求证： ＝ .
证明：因为AB与CD相交于点O，所以A，B，C，D四点共面.
如图所示，连接AC，BD. 因为α∥β，且α，β与平面ACBD的交
线分别为AD，BC，所以AD∥BC.
在平面ACBD中，△AOD∽△BOC，
所以 ＝ .
题型二 面面平行的判定定理的理解及应用
角度1　面面平行判定定理的理解
【例3】　下列说法中正确的是（　　）
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平
行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平
面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两
个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面，则这两个平面平行.
A. ①③ B. ②④
C. ②③④ D. ③④
解析：　如图，
在长方体ABCD-A1B1C1D1的边AB上任取一点E，过E点作EF∥AD
交CD于点F. 由线面平行的判定定理知，EF，BC都平行于平面
ADD1A1.用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面
ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都不
正确；③正确，事实上，若一个平面内任意一条直线都平行于另一个
平面，则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数
条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确.
通性通法
1. 利用面面平行的判定定理时必须具备的两个条件：（1）这两条
相交直线都在其中一个平面内；（2）这两条直线都平行于另一
个平面.
2. 判定面面平行的其他常用结论：（1）利用面面平行的定义：两个
平面没有公共点；（2）利用面面平行的判定定理：a β，
b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α；（3）平行于同一平
面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ α∥β.
角度2　面面平行判定定理的应用
【例4】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是
AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：（1）B，C，H，G四点共面；
证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中
点，∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
通性通法
运用判定定理证明面面平行时的注意点
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线
平行于另一个平面；
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”
的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交
直线，若找不到再作辅助线.
【跟踪训练】
1. a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β
（　　）
A. 只能作一个 B. 至少可以作一个
C. 不存在 D. 至多可以作一个
解析：因为a是平面α外的一条直线，所以a∥α或a与α相交，当a∥α时，β只有一个；当a与α相交时，β不存在.故选D.
2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的
中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
题型三 空间平行关系的综合问题
【例5】　已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，
PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
证明：法一　如图，取PD的中点G，连接GA，GN，
因为G是PD中点，N是PC中点，所以
GN∥DC，GN＝ DC，
因为M是矩形ABCD边AB的中点，所以
AM∥DC，AM＝ DC，
所以GN∥AM，GN＝AM，所以四边形AMNG是平行四边形，
所以MN∥AG，且MN是平面PAD外的一条直
线，又AG是平面PAD内的一条直线，所以MN∥平面PAD.
法二　如图，取CD中点H，连接HM，HN，因
为H是DC的中点，N是PC的中点，所以
HN∥DP，
因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM＝ AB，DH＝ DC，
因为AB＝CD，AB∥CD，
所以AM＝DH，AM∥DH，
所以四边形AMHD为平行四边形，
所以HM∥DA，
因为HN 平面PAD，DP 平面PAD，HM 平面PAD，DA 平面
PAD，
所以HN∥平面PAD，HM∥平面PAD，
因为HN∩HM＝H，
所以平面HNM∥平面PAD，
因为MN 平面HNM，
所以MN∥平面PAD.
通性通法
空间中各种平行关系相互转化的示意图
【跟踪训练】
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D
是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？
证明你的结论.
解：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.
因为E，F分别为AB，BB1的中点，所以EF∥AB1.
因为AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD＝F，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE 平面EFD，
所以DE∥平面AB1C1.
1. 两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是
（　　）
A. 两两相互平行
B. 两两相交于同一点
C. 两两相交但不一定交于同一点
D. 两两相互平行或交于同一点
解析：　根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相
互平行.故选A.
2. 平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线
BD的充要条件是（　　）
A. AB∥CD
B. AD∥CB
C. AB与CD相交
D. A，B，C，D四点共面
解析：　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行
的性质知AC∥BD. 必要性显然成立.故选D.
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平
面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ 　 　.
　
解析：因为平面MNE∥平面ACB1，由平面平行的性质定理可得
EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别
为BA，BC的中点，所以MN＝ AC，即 ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与
m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
解析：　因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因
l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.
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2. 如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于
直线DE，则DE与AB的位置关系是（　　）
A. 异面
B. 平行
C. 相交
D. 以上均有可能
解析：　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面
A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.
又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
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3. 如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，
长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（　　）
A. 梯形
B. 平行四边形
C. 梯形或平行四边形
D. 不确定
解析：　由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四
边形EFGH为平行四边形.
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4. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则△A'B'C'与△ABC面积的比为（　　）
A. 2∶5 B. 3∶8
C. 4∶9 D. 4∶25
解析：　∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A'B'，平
面PAB∩平面ABC＝AB，∴A'B'∥AB. 又∵PA'∶AA'＝2∶3，
∴A'B'∶AB＝PA'∶PA＝2∶5.同理，B'C'∶BC＝A'C'∶AC＝
2∶5，∴△A'B'C'与△ABC相似，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.
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5. （多选）已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的
平面，给出下列命题，正确的是（　　）
A. 若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β
B. 若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，
b∥β，则α∥β
C. 若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β
D. 若a α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
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解析：　A项，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，
β可能相交、平行，错误；B项，若a，b相交，且都在α，β
外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，由面面平行的判定可得
α∥β，正确；C项，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β可能
相交、平行，错误；D项，若a α，a∥β，α∩β＝b，由线面
平行的性质定理得a∥b，正确.故选B、D.
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6. （多选）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判
定α与β平行的条件有（　　）
A. 存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B. 平面α内的任意一条直线都平行于β
C. α内有不共线的三点到β的距离相等
D. 存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
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解析：　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两
个平面平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行
于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正
确；对于C，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的
同一侧时，α与β相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平
行，可在平面α内作l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，
m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选A、B、D.
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7. 直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②
m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.其中一些关系作为条件，另一些
关系作为结论，组成一个正确的推理应是 .
解析：因为α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性
质定理可得：m∥n.
①③④ ②　
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8. 如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形
ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四
边形ABCD的形状一定是 .
平行四边形　
解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形.因为A1B1 C1D1，所以AB CD，从而四边形ABCD为平行四边形.
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9. 如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，
D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则 ＝ 　 　，若
BF＝4，则AE＝ .
　
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解析：因为α∩平面GBD＝AC，β∩平面GBD＝BD，
且α∥β，
所以AC∥BD，
同理可证AE∥BF.
因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，
所以 ＝ ＝ ＝ .
同理 ＝ ，所以 ＝ ，AE＝7.
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10. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，
AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D.
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证明：易知BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以
BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平
面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面
BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝
A1D，
所以EC∥A1D.
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11. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P
作该正方体的截面.当截面平行于平面B1D1C且面积为 时，线
段AP的长为（　　）
B. 1
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解析：　如图，连接A1D，BD，过点P作
BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于Q，
R，连接QR. 因为BD∥B1D1，所以
PQ∥B1D1.又B1D1 平面B1D1C，PQ 平面
B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因为
A1D∥B1C，所以PR∥B1C. 又B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面.易知△PQR是等边三角形，则 PQ2· ＝ ，解得PQ＝2，所以AP＝ PQ＝ .故选A.
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12. （多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方
形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在
原四棱锥中（　　）
A. 平面EFGH∥平面ABCD
B. BC∥平面PAD
C. AB∥平面PCD
D. 平面PAD∥平面PAB
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解析　把平面展开图还原为四棱锥如图
所示，则EH∥AB，又EH 平面ABCD，
AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD. 同理
可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，
EF，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确.
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13. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线EF∥平面ACD1的点F的个数
是 .
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解析：分别取AB，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点M，N，I，H，G，连接ME，EN，NI，IH，HG，GM，BC1，则EN∥BC1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，∴EN∥AD1.又EN 平面ACD1，AD1 平面ACD1，∴EN∥平面ACD1.同理可得，EM∥平面ACD1.又∵EM∩EN＝E，EM 平面ENIHGM，EN 平面ENIHGM，∴平面ACD1∥平面ENIHGM，∴平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面ACD1平行.故满足条件直线EF∥平面ACD1的点F可以是M，N，I，H，G中的任何一个，即点F的个数是5.
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14. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分
别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
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证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，
又FH 平面PEC，PC 平面PEC，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，
又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
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15. 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别
是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四
边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件
时，就有MN∥平面
B1BDD1.（注：请填上你认为正确的一个
条件即可）
点M在线段FH
上（答案不唯一）　
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解析：取B1C1的中点Q，连接QN，QF，连
接FH，NH，如图，由已知得QN，FH与
CC1，BB1都平行且相等，因此FH与QN平行
且相等，从而FQNH是平行四边形，
FQ∥HN，由H，N分别是CD，CB中点，
则HN∥BD，又HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，又HN∩NQ＝N，HN，NQ 平面FQNH，所以平面FQNH∥平面BB1D1D，因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1.
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16. 在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且
PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，
使平面BFM∥平面AEC？证明你的结论.
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解：当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC.
因为M是PE的中点，所以FM∥CE.
因为FM 平面AEC，CE 平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM＝ PE＝ED，得E为MD的中点，
连接BM，BD，如图所示，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点.
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连接OE，则BM∥OE.
因为BM 平面AEC，OE 平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
因为FM 平面BFM，BM 平面BFM，且
FM∩BM＝M，
所以平面BFM∥平面AEC.
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