资源简介

5.1　直线与平面垂直
第一课时　直线与平面垂直的性质
1.若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（　　）
A.直线l和平面α相互平行
B.直线l和平面α相互垂直
C.直线l和平面α内
D.不能确定
2.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥m，m⊥n，则l∥n；
②若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；
③若m∥α，n∥β，α⊥β，则m∥n；
④若l与α，β的夹角相等，且m⊥α，n⊥β，则l与m，n的夹角相等.
其中为真命题的是（　　）
A.①和②　　　　　 　 B.①和③
C.②和④ D.①和④
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3，则点B到上底面A1B1C1D1的距离为（　　）
A.4　　　 B.2　　　 C.2　　　 D.3
4.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α的夹角分别为30°和45°，则FG到平面α的距离是（　　）
A. cm B. cm
C.2 cm D.2 cm
6.（多选）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作，其下阕为“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄.多情却被无情恼.”假如将墙面看作一个平面，墙外的道路、墙里秋千绳和秋千板简单看作直线，道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么佳人在荡秋千的过程中（　　）
A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直
C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直
7.如果两直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b的位置关系为　　　　.
8.已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，则直线AB与平面α的位置关系是　　　　.
9.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α夹角的大小是　　　　.
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3 cm，AB＝4 cm，AD＝5 cm.
（1）求点A1到点C的距离；
（2）求点A1到棱BC的距离；
（3）求棱A1B1到平面ABCD的距离.
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D⊥平面ACD1，M为棱BB1的中点，则直线MC与平面ACD1夹角的正弦值为（　　）
A. B.
C. D.
12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biē nào），如图所示的三棱锥P-ABC为一鳖臑，且PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB，若∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝γ，则下列关系正确的是（　　）
A.cos γ＝cos α·cos β
B.cos α＝cos β·cos γ
C.sin γ＝sin α－sin β
D.sin α＝sin β－sin γ
13.如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是　　　　.
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离.
15.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的　　　　心；
（2）若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的　　　　点；
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的　　　　心.
16.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）求D1A与底面ABCD夹角的大小；
（2）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的余弦值.
第一课时　直线与平面垂直的性质
1.D　如图，由图可知，直线l和平面α互相平行、垂直、相交（不垂直）以及直线l在平面α内都有可能.故选D.
2.C　若l⊥m，m⊥n，则l，n可能平行、相交或异面，①错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，所以m∥n，②正确；若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可能平行、相交或异面，③错误；由线面角的定义可知④正确.所以真命题的序号是②和④，故选C.
3.D　∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长即为点B到平面A1B1C1D1的距离，又∵BB1＝3，∴选D.
4.B　设正四棱锥P-ABCD的侧棱长为1，连接底面对角线AC，则AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC的中点为O ，由P-ABCD为正四棱锥知，PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B.
5.B　如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
6.ACD　由“秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行”可大致想象秋千的放置位置，显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路的夹角在不断变化.秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直.故选A、C、D.
7.相交、平行、异面均有可能
解析：构造几何模型正方体ABCD-A1B1C1D1，其中a，b，a'，b'与平面α夹角都为45°，a∩b＝B，a'∥b，a'与b'异面.
8.AB∥α　解析：如图，作AA'⊥α，BB'⊥α，垂足分别为A'，B'，则AA'∥BB'.又AA'＝BB'，∴四边形ABB'A'为平行四边形.∴AB∥A'B'.又AB 平面α，A'B' 平面α，∴AB∥α.
9.30°　解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
10.解：（1）如图，连接A1C，AC，
∵AA1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AA1⊥AC，由勾股定理，得A1C＝
＝＝5（cm）.
∴点A1到点C的距离是5 cm.
（2）如图，连接A1B，∵BC⊥平面ABB1A1，A1B 平面ABB1A1，
∴A1B⊥BC.∴A1B就是点A1到棱BC的距离，A1B＝＝＝5（cm）.
∴点A1到棱BC的距离是5 cm.
（3）显然棱A1B1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，
∴A1A就是棱A1B1到平面ABCD的距离，
∵A1A＝3 cm，∴棱A1B1到平面ABCD的距离是3 cm.
11.C　如图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OM，因为B1D⊥平面ACD1，且OM∥B1D，所以OM⊥平面ACD1，所以CO即为CM在平面ACD1上的射影，所以∠MCO为MC与平面ACD1的夹角.设正方体棱长为1，则MC＝＝，OM＝B1D＝，所以sin∠MCO＝＝.
12.A　因为PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，故PA⊥AC，而BC⊥平面PAB，PB，AB 平面PAB，故BC⊥PB，BC⊥AB，因为∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝γ，所以cos γ＝，cos α＝，cos β＝，所以cos γ＝cos α·cos β，故选A.
13.　解析：如图，PC⊥平面ABCD，则PA是最长的棱，连接AC，因为PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PC⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，且边长为1，所以AC＝，所以PA＝＝＝.
14.解：由题意知A1B1∥EF，且A1B1 平面D1EF，EF 平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则A1B1到平面D1EF的距离为A1到平面D1EF的距离.
设A1到平面D1EF的距离为h.
易知EF⊥平面D1A1E，
所以EF⊥D1E.
连接A1F（图略），
对于三棱锥A1-D1EF，有＝，所以·EF＝·h.
由题意，得A1E＝，EF＝1，D1A1＝1，
在Rt△D1A1E中，可得D1E＝，
所以＝×1×＝，
＝×1×＝，
所以××1＝×h，
可得h＝.
15.（1）外　（2）中　（3）垂　解析：（1）易证△POA≌△POB≌△POC，故OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心.
（2）由∠C＝90°，得△ABC是直角三角形，因而O是AB边的中点.
（3）易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC.而PO⊥平面ABC，
所以PO⊥BC.从而BC⊥平面PAO，
所以BC⊥AO.
同理AC⊥BO.
所以O为△ABC的垂心.
16.解：（1）因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角.
因为侧面A1ADD1是正方形，所以∠D1AD＝45°.
即D1A与底面ABCD的夹角为45°.
（2）如图，连接BD，则BD＝a.因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1BD是D1B与底面ABCD的夹角，同时DD1⊥DB.
在Rt△D1BD中，DD1＝a，BD＝a，D1B＝a，
所以cos∠D1BD＝＝＝.
即D1B与底面ABCD夹角的余弦值为.
2 / 35.1　直线与平面垂直
第一课时　直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成的角，点（线）面间的距离 直观想象
【问题】　（1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
（2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的　　　　直线都垂直，称直线l与平面α垂直
记法 　　　
有关概念 直线l称为平面α的　　　　，平面α称为直线l的　　　　，它们唯一的公共点P称为　　　　
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边　　　
提醒　过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段称为这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度称为这个点到该平面的距离.
【想一想】
空间两条直线垂直一定相交吗？
知识点二　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　　
符号语言 a∥b
图形语言
【想一想】
垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？
知识点三　直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.
知识点四　直线与平面的夹角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面α　　　　，但不与这个平面　　　　，这条直线称为这个平面的斜线
斜足 斜线与平面的　　　　A称为斜足
投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面　　　　，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影
直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的　　　　所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是　　　；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是　　　
提醒　（1）直线与平面的夹角是通过线线角来刻画的；（2）直线（斜线）与平面内的直线的夹角是不唯一的，而斜线与它在平面上的投影的夹角是唯一的，也是斜线与平面内的直线的夹角中最小的一个.
【想一想】
直线与平面的夹角θ的范围是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（　　）
（2）直线与平面的夹角为α，则0°＜α≤90°.（　　）
（3）如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（　　）
2.直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（　　）
A.平行　　B.相交　　C.异面　　D.垂直
3.线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为　　　　.
题型一 直线与平面垂直的概念辨析
【例1】　下列命题中，正确的序号是　　　　.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
尝试解答
通性通法
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
【跟踪训练】
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）
A.若l⊥m，m α，则l⊥α
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m
题型二 直线与平面垂直的性质定理的理解及应用
角度1　线面垂直性质定理的理解
【例2】　已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
① n∥α；② m∥n；
③ α∥β；④ m∥n，
其中正确命题的序号是（　　）
A.②③　　　　　　　　B.③④
C.①② D.①②③④
尝试解答
通性通法
1.直线与平面垂直的性质定理的实质：给出了一种证明两直线平行的方法，揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
2.直线与平面垂直的其他性质和结论：（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（2）如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直；（3）如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面.
角度2　线面垂直性质定理的应用
【例3】　如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F是EB的中点，求证：DF∥平面ABC.
尝试解答
通性通法
判定两条直线平行的常用方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：证两直线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
1.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是（　　）
A.①② B.③④
C.①④ D.②③
2.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，求CE的长度.
题型三 直线与平面的夹角
【例4】　三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC夹角的余弦值.
尝试解答
通性通法
求斜线与平面夹角的步骤
（1）作角：作（或找）出斜线在平面上的投影，将空间角（斜线与平面的夹角）转化为平面角（两条相交直线的夹角），作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面的夹角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
如图所示，若斜线段AB的长度是它在平面α上的投影BO的2倍，则AB与平面α的夹角是（　　）
A.60°　　B.45°　　C.30°　　D.120°
题型四 空间点（线）面间的距离
【例5】　如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD的夹角为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）
A. B.1
C. D.
尝试解答
通性通法
求点到平面的距离的两种方法
（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；
（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体的高，利用体积相等建立方程求解.
无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离：
（1）点A到平面BB1D1D的距离；
（2）点C到平面BDC1的距离.
　　
1.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（　　）
A.b⊥α B.b α
C.b∥α D.b∥α或b α
2.在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（　　）
A.一个点 B.一条直线
C.一个平面 D.一个球面
3.已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（　　）
A.2 B.1
C. D.
4.（多选）在空间中，下列说法正确的有（　　）
A.平行于同一直线的两直线平行
B.垂直于同一直线的两直线平行
C.平行于同一平面的两直线平行
D.垂直于同一平面的两直线平行
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1夹角的大小为　　　　.
第一课时　直线与平面垂直的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
任何一条　l⊥α　垂线　垂面　垂足　垂直
想一想
　提示：不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.
知识点二
平行
想一想
　提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
知识点四
相交　垂直　交点　作垂线　投影　直角　0°
想一想
提示：0°≤θ≤90°.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.A　假设l∥m，由l α，m α，得l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行.易得l与m可能相交，也可能异面，且l一定垂直于m.
3.4　解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　③④　解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
跟踪训练
　B　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，若l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线夹角的定义知，m与平面α内任意一条直线的夹角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.
【例2】　A　①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.
【例3】　证明：如图，取AB的中点G，连接CG，FG.
∵F是EB的中点，
∴FG AE.
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EA∥DC.
∵EA＝2DC，∴DC EA，
∴DC FG，
∴四边形CDFG是平行四边形，
∴DF∥CG.
∵CG 平面ABC，DF 平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
跟踪训练
1.D　①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.
2.解：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.
因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.
因为AF＝2，所以DE＝2.
又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.
【例4】　解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心.
∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心.
∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC的夹角.
在Rt△SAO中，SA＝a，
AO＝×a＝a，
∴cos∠SAO＝＝，
∴SA与底面ABC夹角的余弦值为.
跟踪训练
　A　∠ABO即是斜线AB与平面α的夹角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.
【例5】　D　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∥平面ABCD，则A1C1到平面ABCD的距离即为正四棱柱的侧棱长.由∠B1AB＝60°及AB＝1，知侧棱长为，故选D.
跟踪训练
　解：（1）连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，
所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的，即a.
（2）设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝a，则△BDC1的面积为×（a）2＝a2，
由等体积法可得V＝××a×a×a＝×a2×h，解得h＝a.所以点C到平面BDC1的距离为a.
随堂检测
1.D　当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直.因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b α，故选D.
2.B　过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选B.
3.A　如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以＝.因为OA＝AB，所以＝.因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.
4.AD　A是基本事实4，正确；垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交、异面，B错误；平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，C错误；D是线面垂直的性质定理，正确.
5.30°　解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的投影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，则∠BD1B1＝30°.
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第一课时　直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直
观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成的角，点（线）面间的距离 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】　（1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平
行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
（2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样
的位置关系？猜测结果并说明理由.




知识点一　直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，称直线l与平面α垂直
记法
有关 概念 直线l称为平面α的 ，平面α称为直线l的 ，它们唯一的公共点P称为
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边
任何一条　
l⊥α
垂线　
垂面　
垂足　
垂直　
提醒　过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的
线段称为这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度称为这个点到该平
面的距离.
【想一想】
空间两条直线垂直一定相交吗？
提示：不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂
直，一种是异面垂直.
知识点二　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言
图形语言
平行　
【想一想】
垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？
提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能
确定一个平面.
知识点三　直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就
是这条直线到这个平面的距离.
知识点四　直线与平面的夹角
有关概念 对应图形
斜
线 一条直线与一个平面α ，但不与
这个平面 ，这条直线称为这个平
面的斜线
斜足 斜线与平面的 A称为斜足 投
影 过斜线上斜足以外的一点P向平面
，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜
线在这个平面上的投影 相交　
垂直　
交点　
作垂
线　
直线
与平
面所
成的
角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的 所成的锐
角，叫作这条直线与这个平面的夹角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是
；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角
是
投影　
直
角　
0°　
提醒　（1）直线与平面的夹角是通过线线角来刻画的；（2）直
线（斜线）与平面内的直线的夹角是不唯一的，而斜线与它在平
面上的投影的夹角是唯一的，也是斜线与平面内的直线的夹角中
最小的一个.
【想一想】
直线与平面的夹角θ的范围是什么？
提示：0°≤θ≤90°.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.
（　×　）
（2）直线与平面的夹角为α，则0°＜α≤90°. （　×　）
（3）如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面
内的所有直线. （　√　）
×
×
√
2. 直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（　　）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直
解析：　假设l∥m，由l α，m α，得l∥α，这与已知
l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行.易得l与m可能相交，也可
能异面，且l一定垂直于m.
3. 线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB
的中点到α的距离为 .
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，
M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则
由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四
边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1为其中位线，∴MM1＝4.
4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面垂直的概念辨析
【例1】　下列命题中，正确的序号是 .
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
③④　
解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以
①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，
所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，
所以④正确.
通性通法
1. 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理
解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平
面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如
果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定
不与这个平面垂直.
2. 由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
【跟踪训练】
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
（　　）
A. 若l⊥m，m α，则l⊥α
B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C. 若l∥α，m α，则l∥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，
所以不能判定线面垂直；对于B，若l⊥α，则l垂直α内任意一条直
线，又l∥m，由异面直线夹角的定义知，m与平面α内任意一条直
线的夹角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m
异面；对于D，l，m还可能相交或异面.
题型二 直线与平面垂直的性质定理的理解及应用
角度1　线面垂直性质定理的理解
【例2】　已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出
下列命题：
① n∥α；② m∥n；
③ α∥β；④ m∥n，
其中正确命题的序号是（　　）
A. ②③ B. ③④
C. ①② D. ①②③④
解析：　①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直
线m，n平行或异面，故选A.
通性通法
1. 直线与平面垂直的性质定理的实质：给出了一种证明两直线平行的
方法，揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了
“垂直”与“平行”关系转化的依据.
2. 直线与平面垂直的其他性质和结论：（1）垂直于同一条直线的两
个平面互相平行；（2）如果一条直线和一个平面垂直，那么它与
这个平面的平行线垂直；（3）如果平面外一条直线垂直于该平面
的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面.
角度2　线面垂直性质定理的应用
【例3】　如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F是
EB的中点，求证：DF∥平面ABC.
证明：如图，取AB的中点G，连接CG，FG.
∵F是EB的中点，∴FG AE.
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC.
∵EA＝2DC，∴DC EA，∴DC FG，
∴四边形CDFG是平行四边形，∴DF∥CG.
∵CG 平面ABC，DF 平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
通性通法
判定两条直线平行的常用方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：证两直线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
1. 关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，
n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，
则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是（　　）
A. ①② B. ③④
C. ①④ D. ②③
解析：　①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、
异面或相交，所以①④错误.
2. 如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，求CE
的长度.
解：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.
因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD. 所以DE⊥DC.
因为AF＝2，所以DE＝2.
又CD＝3，所以CE＝ ＝ ＝ .
题型三 直线与平面的夹角
【例4】　三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC
夹角的余弦值.
解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接
AO，BO，CO. 则SO⊥AO，SO⊥BO，
SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，
∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，
∴O为△ABC的外心.
∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心.
∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC的夹角.
在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝ × a＝ a，
∴ cos ∠SAO＝ ＝ ，∴SA与底面ABC夹角的余弦值为 .
通性通法
求斜线与平面夹角的步骤
（1）作角：作（或找）出斜线在平面上的投影，将空间角（斜线与
平面的夹角）转化为平面角（两条相交直线的夹角），作投影
要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是
两垂足）作直线；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面的夹角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
如图所示，若斜线段AB的长度是它在平面α上的投影BO的2倍，则
AB与平面α的夹角是（　　）
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 120°
解析：　∠ABO即是斜线AB与平面α的夹角，在Rt△AOB中，AB
＝2BO，所以 cos ∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°.
题型四 空间点（线）面间的距离
【例5】　如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底
面ABCD的夹角为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）
B. 1
解析：　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∥平面ABCD，则
A1C1到平面ABCD的距离即为正四棱柱的侧棱长.由∠B1AB＝60°及
AB＝1，知侧棱长为 ，故选D.
通性通法
求点到平面的距离的两种方法
（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将
所求线段化归到三角形中求解；
（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体的高，利用体积相等
建立方程求解.
无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都
转化为点到平面的距离.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离：
（1）点A到平面BB1D1D的距离；
解：连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，
所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线
AC的 ，即 a.
（2）点C到平面BDC1的距离.
解：设点C到平面BDC1的距离为h，三
棱锥C-BDC1的体积为V，在△BDC1中，BD
＝DC1＝BC1＝ a，则△BDC1的面积为
×（ a）2＝ a2，由等体积法可得V＝
× ×a×a×a＝ × a2×h，
解得h＝ a.所以点C到平面BDC1的距离为 a.
1. 若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（　　）
A. b⊥α B. b α
C. b∥α D. b∥α或b α
解析：　当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，
则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直.因为直线
a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b α，故选D.
2. 在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是
（　　）
A. 一个点 B. 一条直线
C. 一个平面 D. 一个球面
解析：　过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆
周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一
条直线.故选B.
3. 已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA
＝AB. 若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC
＝1，则BD＝（　　）
A. 2 B. 1
解析：　如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面
α，所以AC∥BD. 连接OD，所以 ＝ .因
为OA＝AB，所以 ＝ .因为AC＝1，所以BD
＝2.故选A.
4. （多选）在空间中，下列说法正确的有（　　）
A. 平行于同一直线的两直线平行
B. 垂直于同一直线的两直线平行
C. 平行于同一平面的两直线平行
D. 垂直于同一平面的两直线平行
解析：　A是基本事实4，正确；垂直于同一条直线的两条直线
可以平行、相交、异面，B错误；平行于同一个平面的两条直线可
以平行、相交、异面，C错误；D是线面垂直的性质定理，正确.
5. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝ ，BC＝AA1＝1，则BD1与
平面A1B1C1D1夹角的大小为 .
解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平
面A1B1C1D1上的投影，则∠BD1B1是BD1与平面
A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中，
tan∠BD1B1＝ ＝ ＝ ，则∠BD1B1＝30°.
30°　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α的位
置关系是（　　）
A. 直线l和平面α相互平行
B. 直线l和平面α相互垂直
C. 直线l和平面α内
D. 不能确定
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解析：　如图，由图可知，直线l和平面α互相平行、垂直、相交（不垂直）以及直线l在平面α内都有可能.故选D.
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2. 已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，
给出下列四个命题：
①若l⊥m，m⊥n，则l∥n；
②若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；
③若m∥α，n∥β，α⊥β，则m∥n；
④若l与α，β的夹角相等，且m⊥α，n⊥β，则l与m，n的夹
角相等.
其中为真命题的是（　　）
A. ①和② B. ①和③
C. ②和④ D. ①和④
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解析：　若l⊥m，m⊥n，则l，n可能平行、相交或异面，①
错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，所以m∥n，②
正确；若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可能平行、相交或异
面，③错误；由线面角的定义可知④正确.所以真命题的序号是②
和④，故选C.
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3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1
＝3，则点B到上底面A1B1C1D1的距离为（　　）
A. 4 B. 2
D. 3
解析：　∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长即为点B到平面
A1B1C1D1的距离，又∵BB1＝3，∴选D.
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4. 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底
面所成的角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　设正四棱锥P-ABCD的侧棱长为1，连接底面对角线
AC，则AC＝ ，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC的中点为
O ，由P-ABCD为正四棱锥知，PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所
求角，为45°.故选B.
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5. 已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6
cm，EF，EG与平面α的夹角分别为30°和45°，则FG到平面α
的距离是（　　）
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解析：　如图所示，过F，G分别作
FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接
AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在
Rt△GBE中，EG＝ BG. 设FG到平面α的
距离为d，则d＝FA＝GB. 在Rt△FEG中，
EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所
以d＝ cm.
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6. （多选）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作，其
下阕为“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐
悄.多情却被无情恼.”假如将墙面看作一个平面，墙外的道路、墙
里秋千绳和秋千板简单看作直线，道路和墙面线面平行，秋千静止
时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么佳人在
荡秋千的过程中（　　）
A. 秋千绳与墙面始终平行 B. 秋千绳与道路始终垂直
C. 秋千板与墙面始终垂直 D. 秋千板与道路始终垂直
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解析：　由“秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行”可大致想象秋千的放置位置，显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路的夹角在不断变化.秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直.故选A、C、D.
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7. 如果两直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b的位置关系
为 .
解析：构造几何模型正方体ABCD-A1B1C1D1，其中a，b，a'，b'
与平面α夹角都为45°，a∩b＝B，a'∥b，a'与b'异面.
相交、平行、异面均有可能　
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8. 已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，则直线
AB与平面α的位置关系是 .
解析：如图，作AA'⊥α，BB'⊥α，垂足分别为
A'，B'，则AA'∥BB'.又AA'＝BB'，∴四边形
ABB'A'为平行四边形.∴AB∥A'B'.又AB 平面
α，A'B' 平面α，∴AB∥α.
AB∥α　
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9. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离
分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α夹角的大小是 .
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则
AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于
CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，
BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD
＝30°.
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10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3 cm，AB＝4 cm，
AD＝5 cm.
（1）求点A1到点C的距离；
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解：如图，连接A1C，AC，
∵AA1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AA1⊥AC，
由勾股定理，得A1C＝
＝ ＝5 （cm）.
∴点A1到点C的距离是5 cm.
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（2）求点A1到棱BC的距离；
解：如图，连接A1B，∵BC⊥平
面ABB1A1，A1B 平面ABB1A1，
∴A1B⊥BC. ∴A1B就是点A1到棱BC
的距离，
A1B＝ ＝ ＝5
（cm）.
∴点A1到棱BC的距离是5 cm.
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（3）求棱A1B1到平面ABCD的距离.
解：显然棱A1B1∥平面ABCD，
A1A⊥平面ABCD，
∴A1A就是棱A1B1到平面ABCD的距离，
∵A1A＝3 cm，∴棱A1B1到平面ABCD
的距离是3 cm.
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11. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D⊥平面ACD1，M为棱
BB1的中点，则直线MC与平面ACD1夹角的正弦值为（　　）
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解析：　如图，连接BD，设AC∩BD＝O，连
接OM，因为B1D⊥平面ACD1，且OM∥B1D，所
以OM⊥平面ACD1，所以CO即为CM在平面ACD1
上的射影，所以∠MCO为MC与平面ACD1的夹角.
设正方体棱长为1，则MC＝ ＝ ，
OM＝ B1D＝ ，所以 sin ∠MCO＝ ＝ .
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12. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑
（biē nào），如图所示的三棱锥P-ABC为一鳖臑，且PA⊥平面
ABC，BC⊥平面PAB，若∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝
γ，则下列关系正确的是（　　）
A. cos γ＝ cos α· cos β
B. cos α＝ cos β· cos γ
C. sin γ＝ sin α－ sin β
D. sin α＝ sin β－ sin γ
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解析：　因为PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，故PA⊥AC，
而BC⊥平面PAB，PB，AB 平面PAB，故BC⊥PB，
BC⊥AB，因为∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝γ，所以
cos γ＝ ， cos α＝ ， cos β＝ ，所以 cos γ＝ cos α· cos
β，故选A.
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13. 如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长
是 .
　
解析：如图，PC⊥平面ABCD，则PA是最长的
棱，连接AC，因为PC⊥平面ABCD，AC 平
面ABCD，所以PC⊥AC，因为四边形ABCD
为正方形，且边长为1，所以AC＝ ，所以
PA＝ ＝ ＝ .
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14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱
AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离.
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解：由题意知A1B1∥EF，且A1B1 平面D1EF，EF 平面
D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则A1B1到平面D1EF的距离为A1
到平面D1EF的距离.
设A1到平面D1EF的距离为h.
易知EF⊥平面D1A1E，
所以EF⊥D1E.
连接A1F（图略），
对于三棱锥A1-D1EF，有 ＝ ，所以
·EF＝ ·h.
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由题意，得A1E＝ ，EF＝1，D1A1＝1，在Rt△D1A1E中，可得D1E
＝ ，所以 ＝ ×1× ＝ ， ＝ ×1× ＝ ，所
以 × ×1＝ × h，可得h＝ .
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15. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接
PA，PB，PC.
（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心；
解析：易证△POA≌△POB≌△POC，故OA＝OB＝
OC，O是△ABC的外心.
（2）若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的 点；
解析：由∠C＝90°，得△ABC是直角三角形，因而O是AB边的中点.
外　
中　
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（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是
△ABC的 心.
解析：易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC. 而PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC. 从而BC⊥平面PAO，所以BC⊥AO. 同理AC⊥BO. 所以O为△ABC的垂心.
垂　
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16. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）求D1A与底面ABCD夹角的大小；
解：因为DD1⊥底面ABCD，
所以∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角.
因为侧面A1ADD1是正方形，
所以∠D1AD＝45°.
即D1A与底面ABCD的夹角为45°.
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（2）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1B与底面
ABCD夹角的余弦值.
解：如图，连接BD，则BD＝ a.
因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1BD是
D1B与底面ABCD的夹角，同时DD1⊥DB.
在Rt△D1BD中，DD1＝a，BD＝ a，D1B＝ a，
所以 cos ∠D1BD＝ ＝ ＝ .
即D1B与底面ABCD夹角的余弦值为 .
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