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5.2　平面与平面垂直
第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质
1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（　　）
A.ME⊥平面ABCD B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能
2.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角.其中可能为钝角的有（　　）
A.0个　　　B.1个　　C.2个　　　D.3个
3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设α-l-β是直二面角，直线a 平面α，直线b 平面β，a，b与直线l都不垂直，那么（　　）
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
5.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，能推出AP⊥BC的条件是（　　 ）
A.AP⊥PB，BC⊥PB
B.AP⊥PB，AP⊥PC
C.平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
6.（多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（　　）
A.若α∥β，l∥β，则l∥α
B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C.若α⊥β，α∩β＝a，m β且m⊥a，则m⊥α
D.若α⊥β，l∥β，则l⊥α
7.已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是　　　.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的大小是　　　　　.
9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝　　　　.
10.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC.求证：BC⊥平面ACD.
11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'＝（　　）
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
12.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（　　）
A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB的夹角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAC
13.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是　　　　.
14.如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝BE.求证：EA⊥平面ABCD.
15.（多选）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则下列四个结论中正确的是（　　）
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.AB与CD的夹角为60°
D.AB与平面BCD的夹角为60°
16.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质
1.A　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故选A.
2.B　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.
3.C　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
4.C　当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾.所以a与b不可能垂直.
5.BCD　对于A，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，不能推出；对于B，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，能推出；对于D，AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；故选B、C、D.
6.BC　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，由面面垂直的性质定理知，C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确；故选B、C.
7.a α或a∥α　解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
8.　解析：如图所示，由于BC⊥A1B，BC⊥AB，所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角，根据正方体的性质可知∠A1BA＝.
9.1　解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝ ＝1.
10.证明：如题图①，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，过C作CE⊥AB，E为垂足（图略），
∴四边形AECD为正方形，
∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图②，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC 平面ABC且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
11.A　连接AB'，A'B（图略），由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝.设AB＝2a，则BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos ＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2∶1.
12.ABC　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB的夹角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误，故选A、B、C.
13.45°　解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.
14.证明：设AF＝EF＝a，则BE＝2a.
如图，过点A作AM⊥BE于点M，
∵AF∥BE，
∴AM⊥AF.
又∵AF⊥EF，
∴AM∥EF，
又AF＝EF，
∴四边形AMEF是正方形.
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝a，
∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE 平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
15.ABC　如图所示，对于A，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，折叠后△ABD，△BCD是等腰直角三角形，BD⊥AE，BD⊥CE，又AE∩CE＝E，所以BD⊥平面AEC，又AC 平面AEC，所以AC⊥BD，故A项正确；对于B，设折叠前正方形的边长为a，则BD＝a，所以AE＝EC＝a，因为E是BD的中点，△ABD是等腰直角三角形，所以BD⊥AE，又平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，又CE 平面BCD，所以AE⊥CE，所以AC＝＝＝a，所以△ACD是等边三角形，故B项正确；对于C，设折叠前正方形的边长为a，则取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，所以EF CD＝a，FG AB＝a，所以∠GFE是直线AB与CD的夹角（或补角），在Rt△AEC中，EG＝AC＝a，所以△EFG是等边三角形，所以∠GFE＝60°，所以AB与CD的夹角为60°，故C项正确；对于D，由B选项知，AE⊥平面BCD，BE是直线AB在平面BCD内的射影，所以∠ABE是直线AB与平面BCD的夹角，因为E是BD的中点，Rt△ABD是等腰直角三角形，所以AE＝BE＝BD，AE⊥BE，所以△ABE是等腰直角三角形，即∠ABE＝45°，所以AB与平面BCD的夹角为∠ABE＝45°，故D项错误.故选A、B、C.
16.证明：（1）如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
（2）如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
2 / 35.2　平面与平面垂直
第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 数学抽象
3.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
1.在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直.
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　二面角及相关概念
1.一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为　　　　.
2.从一条直线出发的　　　　　　所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的　　　，这两个半平面称为二面角的　　　.如图，以直线AB（l）为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角　　　　　或　　　　.
3.画法：
4.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，如图中的　　　　就是二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角称为直二面角.
提醒　理解二面角及其平面角：①二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小来刻画，体现了由空间图形向平面图形转化的思想；②二面角的平面角的定义是两条射线的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°；③两个平面相交，可以构成四个二面角，其中相对的两个二面角相等，相邻的两个二面角互补.
知识点二　平面与平面垂直的定义
定义 两个平面相交，如果所成的二面角是　　，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：　　　　
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边　　　　
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　　　　，那么这条直线与另一个平面　　　
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，　　　，　　　 a⊥β
图形语言
提醒　对面面垂直的性质定理的再理解：①定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；②已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
　如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.（　　）
（2）设α-l-β为直二面角，直线a α，直线b β，且a，b与l均不垂直，则a与b可能平行.（　　）
（3）已知两个平面垂直，则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.（　　）
（4）已知两个平面垂直，则过一个平面内的任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.（　　）
2.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直
D.以上都有可能
3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是　　　　　　　.
题型一 二面角及其平面角的概念
【例1】　下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是（　　）
A.①③　　B.②④　　C.③④　　D.①②
尝试解答
通性通法
二面角概念的注意点
（1）要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致；
（2）要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的两个半平面内的角的联系与区别；
（3）可利用实物模型，作图帮助判断.
【跟踪训练】
若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（　　）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
题型二 求二面角的大小
【例2】　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，求二面角B-PC-D的平面角的大小.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，求二面角B-PA-D的平面角的大小.
2.（变设问）本例条件不变，求二面角B-PA-C的平面角的大小.
通性通法
求二面角的平面角的三种方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线；
（2）垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线（交线）的夹角，即为二面角的平面角；
（3）垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.
题型三 平面与平面垂直性质定理的应用
【例3】　如图①，矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折.若所成二面角的大小为（如图②），求证：直线CE⊥平面BDF.
尝试解答
通性通法
　　在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
【跟踪训练】
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
　　
1.二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
2.设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（　　）
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
3.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　）
A.平行　 B.共面　 C.垂直　 D.不垂直
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
5.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为　　　　.
第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.半平面　2.两个半平面　棱　面　α-AB-β　α-l-β　4.∠AOB　
知识点二
直二面角　α⊥β　垂直
知识点三
交线　垂直　a α　a⊥l
想一想
　提示：正确.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）×
2.D　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
3.平行　解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B.
跟踪训练
　D　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.
【例2】　解：作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.
由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.
∴∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB.
设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a.
∴sin∠BEO＝＝.∴∠BEO＝60°，
∴∠BED＝120°.∴二面角B-PC-D的平面角的大小为120°.
母题探究
1.解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD.
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.
2.解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD.
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，
∴二面角B-PA-C的平面角的大小为45°.
【例3】　证明：由题设易知BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是正方形BEFC的对角线，所以BF⊥EC，
又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF 平面AEFD，
所以DF⊥平面BEFC，又EC 平面BEFC，则DF⊥EC，
又DF∩BF＝F，则EC⊥平面BDF.
跟踪训练
证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
随堂检测
1.B　因为二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b的夹角为60°，故选B.
2.C　当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
3.C　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.
4.A　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
5.　解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知BB1⊥AB，BB1⊥CB，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，易得∠ABC＝.
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第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直
观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 数学抽象
3.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
1. 在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也
与地面垂直.
2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？




知识点一　二面角及相关概念
1. 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分
都称为 .
2. 从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角，这条
直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 .如
图，以直线AB（l）为棱、半平面α，β为面的
二面角，记作二面角 或 .
半平面　
两个半平面　
棱　
面　
α-AB-β　
α-l-β　
3. 画法：
4. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的
两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，如图中
的 就是二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角
称为直二面角.
∠AOB　
提醒　理解二面角及其平面角：①二面角是一个空间图形，而二面
角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小来刻
画，体现了由空间图形向平面图形转化的思想；②二面角的平面角
的定义是两条射线的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ
的取值范围是0°≤θ≤180°；③两个平面相交，可以构成四个二
面角，其中相对的两个二面角相等，相邻的两个二面角互补.
知识点二　平面与平面垂直的定义
定
义 两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个
平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：
画
法 画两个互相垂直的平面时，通常把直立平面的竖边画成与水平平
面的横边
直二面角　
α⊥β　
垂直　
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字
语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面
符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
图形语言
交线　
垂直　
a α　
a⊥l　
提醒　对面面垂直的性质定理的再理解：①定理的实质是由面面垂直
得线面垂直，故可用来证明线面垂直；②已知面面垂直时，可以利用
此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面的无数条直线. （　√　）
（2）设α-l-β为直二面角，直线a α，直线b β，且a，b与l均不垂直，则a与b可能平行. （　√　）
（3）已知两个平面垂直，则一个平面内已知直线必垂直于另一个
平面内的任意一条直线. （　×　）
（4）已知两个平面垂直，则过一个平面内的任意一点作两平面交
线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. （　×　）
√
√
×
×
2. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析：　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面
都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直
线m与n的位置关系是 .
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又
m⊥α，所以m∥n.
平行　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二面角及其平面角的概念
【例1】　下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一
个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相
等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作
射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的
位置没有关系.其中正确的是（　　）
A. ①③ B. ②④
C. ③④ D. ①②
解析：　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的
图形称为二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b
分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中
所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.
故选B.
通性通法
二面角概念的注意点
（1）要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致；
（2）要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的
两个半平面内的角的联系与区别；
（3）可利用实物模型，作图帮助判断.
【跟踪训练】
若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，
那么这两个二面角（　　）
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 关系无法确定
解析：　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当
平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面
BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所
以两个二面角的大小关系不确定.
题型二 求二面角的大小
【例2】　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，
求二面角B-PC-D的平面角的大小.
解：作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC
交于点O，连接EO，如图.
由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE.
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.
∴∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB.
设AB＝a，则BE＝ ＝ a，BD＝ a.
∴ sin ∠BEO＝ ＝ .
∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°.
∴二面角B-PC-D的平面角的大小为120°.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，求二面角B-PA-D的平面角的大小.
解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD.
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.
2. （变设问）本例条件不变，求二面角B-PA-C的平面角的大小.
解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD.
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，
∴二面角B-PA-C的平面角的大小为45°.
通性通法
求二面角的平面角的三种方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别
作垂直于棱的射线；
（2）垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两
个半平面形成交线，这两条射线（交线）的夹角，即为二面角
的平面角；
（3）垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最
常用也是最有效的一种方法.
题型三 平面与平面垂直性质定理的应用
【例3】　如图①，矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中
点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折.若所成二面角的大小
为 （如图②），求证：直线CE⊥平面BDF.
证明：由题设易知BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是正方形
BEFC的对角线，所以BF⊥EC，
又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，
DF⊥EF，DF 平面AEFD，
所以DF⊥平面BEFC，又EC 平面BEFC，则DF⊥EC，又
DF∩BF＝F，则EC⊥平面BDF.
通性通法
　　在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一
般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这
样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
【跟踪训练】
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB.
证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面
PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
1. 二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与
b的夹角为（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
解析：　因为二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于
α，β，则a与b的夹角为60°，故选B.
2. 设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一
条直线b，则（　　）
A. 直线a必垂直于平面β
B. 直线b必垂直于平面α
C. 直线a不一定垂直于平面β
D. 过a的平面与过b的平面垂直
解析：　当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直
线才垂直于另一个平面.
3. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　）
A. 平行 B. 共面 C. 垂直 D. 不垂直
解析：　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝
BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平
面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD
平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1 平面
AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.
4. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　）
A. 直线AB上
B. 直线BC上
C. 直线AC上
D. △ABC内部
解析：　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平
面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面
ABC的交线AB上，故选A.
5. 正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为 .
解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知BB1⊥AB，
BB1⊥CB，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的
二面角的平面角，易得∠ABC＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，
作ME⊥AB于E，则（　　）
A. ME⊥平面ABCD B. ME 平面ABCD
C. ME∥平面ABCD D. 以上都有可能
解析：　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，
∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面
ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故
选A.
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2. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角
的平面角.其中可能为钝角的有（　　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
解析：　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和
平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范
围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.
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3. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则
BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等
边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
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4. 设α-l-β是直二面角，直线a 平面α，直线b 平面β，a，b与
直线l都不垂直，那么（　　）
A. a与b可能垂直，但不可能平行
B. a与b可能垂直，也可能平行
C. a与b不可能垂直，但可能平行
D. a与b不可能垂直，也不可能平行
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解析：　当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，
可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，
如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所
以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾.所以a与b
不可能垂直.
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5. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，能推出AP⊥BC的条件是
（　　）
A. AP⊥PB，BC⊥PB
B. AP⊥PB，AP⊥PC
C. 平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC
D. AP⊥平面PBC
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解析：　对于A，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，不能推出；对于B，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，能推出；对于D，AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；故选B、C、D.
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6. （多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命
题中正确的是（　　）
A. 若α∥β，l∥β，则l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C. 若α⊥β，α∩β＝a，m β且m⊥a，则m⊥α
D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α
解析：　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不
正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，
由面面垂直的性质定理知，C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则
l与α不一定垂直，故D不正确；故选B、C.
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7. 已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系
是 .
解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又
a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
a α或a∥α　
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8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的大小是 .
解析：如图所示，由于BC⊥A1B，
BC⊥AB，
所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角，根
据正方体的性质可知∠A1BA＝ .
　
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9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则
折叠后BC＝ .
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解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-
AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝
90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝
＝1.
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10. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，
AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面
ABC，得到几何体D-ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
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证明：如题图①，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝
90°，过C作CE⊥AB，E为垂足（图略），
∴四边形AECD为正方形，
∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图②，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC 平面ABC且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
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11. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所
成的角分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为
A'，B'，则AB∶A'B'＝（　　）
A. 2∶1 B. 3∶1
C. 3∶2 D. 4∶3
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解析：　连接AB'，A'B（图略），由已知条件可知∠BAB'＝ ，
∠ABA'＝ .设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos
＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2∶1.
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12. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，
∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面
ABCD，则下列说法正确的是（　　）
A. 在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B. 异面直线AD与PB的夹角为90°
C. 二面角P-BC-A的大小为45°
D. BD⊥平面PAC
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解析：　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM. ∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD. 又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.
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又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB的夹角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，
BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝ ，PM＝ ，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝ ＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-
BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误，故选A、B、C.
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13. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 .
解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面
ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则
∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD
＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°.
45°　
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14. 如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂
直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝ BE. 求证：EA⊥平面
ABCD.
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证明：设AF＝EF＝a，则BE＝2a.
如图，过点A作AM⊥BE于点M，
∵AF∥BE，∴AM⊥AF.
又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，
又AF＝EF，
∴四边形AMEF是正方形.
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝ a，
∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面
ABEF＝AB，AE 平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
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15. （多选）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-
BD-C，则下列四个结论中正确的是（　　）
A. AC⊥BD
B. △ACD是等边三角形
C. AB与CD的夹角为60°
D. AB与平面BCD的夹角为60°
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解析：　如图所示，对于A，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，折叠后△ABD，△BCD是等腰直角三角形，BD⊥AE，
BD⊥CE，又AE∩CE＝E，所以BD⊥平面AEC，又AC 平面AEC，所以AC⊥BD，故A项正确；
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对于B，设折叠前正方形的边长为a，则BD＝ a，所以AE＝EC＝
a，因为E是BD的中点，△ABD是等腰直角三角形，所以BD⊥AE，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，平面ABD⊥平面
BCD，所以AE⊥平面BCD，又CE 平面BCD，所以AE⊥CE，所
以AC＝ ＝ ＝a，所以△ACD是等边
三角形，故B项正确；
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对于C，设折叠前正方形的边长为a，则取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，所以EF CD＝ a，FG AB＝ a，所以∠GFE是直线AB与CD的夹角（或补角），在Rt△AEC中，
EG＝ AC＝ a，所以△EFG是等边三角形，所以∠GFE＝60°，所以AB与CD的夹角为60°，故C项正确；
对于D，由B选项知，AE⊥平面BCD，BE是直线AB在平面BCD内的射影，所以∠ABE是直线AB与平面BCD的夹角，因为E是BD的中点，Rt△ABD是等腰直角三角形，所以AE＝BE＝ BD，
AE⊥BE，所以△ABE是等腰直角三角形，即∠ABE＝45°，所以AB与平面BCD的夹角为∠ABE＝45°，故D项错误.故选A、B、C.
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16. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面
PBC，点E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
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证明：如图，在平面ABC内取一点D，
作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
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（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
证明： 如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
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