资源简介 第二课时 平面与平面垂直的判定1.已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为（ ）A.4 B.4C.2 D.23.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC5.（多选）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ）A.PB⊥ACB.PC⊥BCC.AC⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面PBC6.（多选）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，与CD垂直的平面有 ，与平面DCC1D1垂直的平面有 .8.已知平面α，β，γ.给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只填写一个你认为正确的条件即可）10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点.求证：（1）EO∥平面PDC；（2）平面PAC⊥平面PBD.11.（多选）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，在翻折过程中，下列四个结论正确的有（ ）A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面DBF⊥平面BFCD.平面DCF⊥平面BFC12.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点.以下四个结论：①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD.其中正确的是 .13.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.则M点的轨迹的长度为 .14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上.（1）求证：平面DBC'⊥平面ADC'；（2）求二面角C'-AD-B的余弦值.15.（多选）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则（ ）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为D.PC与平面PED夹角的正切值为16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）.（1）平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；（2）若＝λ，λ为何值时？二面角B-AF-E为60°.第二课时 平面与平面垂直的判定1.A ①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.∴l∥β是α⊥β的充分不必要条件.故选A.2.A 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以∠AOC＝90°.又AO＝CO＝BD＝×4＝2，所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，所以AC＝4.3.C ∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC 平面BCD，BD 平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.故选C.4.D 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.5.BD 因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC 平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D.6.ABC 因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF 平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE 平面ABC，AE⊥DF，DF 平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确.7.平面ADD1A1 ，平面BCC1B1 平面ADD1A1，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD解析：因为长方体的每一表面均为矩形，所以四边形ABCD，CDD1C1均为矩形，所以有CD⊥BC，CD⊥CC1且CC1∩BC＝C，所以CD⊥平面BCC1B1，同理CD⊥平面ADD1A1，同理可得长方体中每条棱与和它相交的平面垂直，所以与平面DCC1D1垂直的平面有：平面ADD1A1，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD.8.①③ ②（或②③ ①） 解析：由α⊥β，β∥γ，可得α⊥γ，故①③ ②，由α⊥γ，β∥γ，可得α⊥β，故②③ ①，由α⊥β，α⊥γ，则平面β与平面γ可以平行也可以相交，故①② /③.9. DM⊥PC（答案不唯一） 解析：连接AC（图略），∵四边形ABCD四边相等，∴AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.10.证明：（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，∴O为BD中点.又E为PB的中点，∴EO∥PD.∵EO 平面PDC，PD 平面PDC，∴EO∥平面PDC.（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC 平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.11.BC 因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则A不成立；如图，设点D在平面BCF上的投影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使BP⊥CF满足，所以B正确；当点P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D错误.12.②④ 解析：如图，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF∥BD，在△PBD中，PB＝PD＝BD＝AB，所以△PBD为正三角形，则PB与BD的夹角为，即PB与EF的夹角为，所以PB不可能与平面AEF垂直，所以①不正确.由题意可知PA⊥BD，AC⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又EF∥BD，所以EF⊥平面PAC，所以②正确.设AC∩BD＝O，连接PO，交EF于M，连接AM，则AM⊥EF，MO⊥EF，所以∠AMO为平面AEF与平面PBD的夹角，不妨令PB＝PD＝BD＝AB＝2，则AE＝EF＝AF＝1，AO＝1，所以AM＝，MO＝PO＝×＝，在△AMO中，由余弦定理的推论得cos∠AMO＝＝＝，即平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为，所以③不正确.由题意知PD⊥AF，CD⊥平面PAD，因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF，又CD∩PD＝D，所以AF⊥平面PCD，又AF 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PCD，所以④正确.13.π 解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π.14.解：（1）证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上，即BO为BC'在平面ABD上的射影，∴C'O⊥AD，∵AB⊥AD，C'O∩AB＝O，∴AD⊥平面ABC'，∴BC'⊥AD，∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D，∴BC'⊥平面ADC'，又BC' 平面DBC'，∴平面DBC'⊥平面ADC'.（2）由（1）知AD⊥平面C'AB，∴AD⊥AC'，AD⊥AB，∴二面角C'-AD-B的平面角是∠C'AB，又在Rt△ABC'中，AB＝3，AC'＝3，∴cos∠C'AB＝＝，∴二面角C'-AD-B的余弦值是.15.AC PD＝AD＝＝＝2，在△PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD.易知CD⊥DE.又PD∩DE＝D，所以CD⊥平面PED.又CD 平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，故A选项正确；若PC⊥ED，由ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝，显然矛盾，故B选项错误；二面角P-DC-B的平面角为∠PDE，易知∠PDE＝∠ADE＝，故选项C正确；由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED的夹角.在Rt△PCD中，tan∠CPD＝＝，故D选项错误.16.解：（1）因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE，因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.（2）如图，取AB的中点M，作MN⊥AF交AF于点N，连接EM，EN，因为EM为△BPA的中位线，所以EM∥PA，又PA⊥平面ABCD，F∈线段BC，故EM⊥平面ABF，EM⊥AF，MN⊥AF，EM∩MN＝M，故AF⊥平面EMN，所以∠MNE即为二面角B-AF-E的平面角，即∠MNE＝60°.设BC＝2，则BF＝2λ，因为＝，即＝，所以MN＝，又tan∠MNE＝，即＝，得λ＝.2 / 3第二课时 平面与平面垂直的判定新课程标准解读 核心素养1.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学抽象2.会应用面面垂直的判定定理证明与计算 数学运算建筑工人在砌墙时，为了保证所砌的墙面与地面垂直，经常用一端系有铅锤的线进行测量检测.【问题】 这种检测方式的理论依据是什么？ 知识点 平面与平面垂直的判定定理文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直符号语言 l α，l⊥β α⊥β图形语言【想一想】 “过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.（ ）（2）已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ.（ ）（3）已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ.（ ）2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（ ）A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n βC.m∥n，n⊥β，m αD.m∥n，m⊥α，n⊥β3.已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是（ ）A.若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB.若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥βC.若α⊥β，l α，则l⊥βD.若l⊥β，l α，则α⊥β题型一 面面垂直的判定定理的应用角度1 基于鳖臑模型【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC.尝试解答通性通法 四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.此类问题考查的是线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化.角度2 基于平行推论模型【例2】 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证： （1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.尝试解答通性通法证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.【跟踪训练】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA.题型二 空间垂直关系的综合应用【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.（1）求证：AD⊥PB；（2）若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.尝试解答通性通法1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.2.空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.【跟踪训练】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ（0＜λ＜1）.（1）求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？1.下列命题中正确的是（ ）A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β2.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（ ）A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b βC.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β3.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是 .（填序号）①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.4.如图，在圆锥PO中，AB是☉O的直径，C是上的点，D为AC的中点.证明：平面POD⊥平面PAC.第二课时 平面与平面垂直的判定【基础知识·重落实】知识点垂线想一想 提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.自我诊断1.（1）√ （2）× （3）√2.C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.3.D A项中缺少了条件l α，故A错误.B项中缺少了条件α⊥β，故B错误.C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误.D项具备了面面垂直的判定定理中的全部条件，故D正确.【典型例题·精研析】【例1】 证明：（1）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.【例2】 证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又因为PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又因为DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.跟踪训练证明：（1）设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，过点D作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CE，DF⊥CE.因为EF＝a，BC＝2a，所以DE＝＝a.又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.（2）如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB，所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，所以EC⊥MD.由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以MD⊥AE.因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.（3）由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.【例3】 解：（1）证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由（1），得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.跟踪训练 解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵＝＝λ（0＜λ＜1），∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF 平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.（2）由（1）知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC 平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，∴AC＝＝.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝，∴λ＝＝.故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.随堂检测1.C 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.2.D 选项A、B、C中α，β的位置关系均不固定，D中，∵a∥α，∴存在直线b∥a，b α.又a⊥β，∴b⊥β，∴α⊥β.3.③ 解析：由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，DE，BE 平面BDE，从而AC⊥平面BDE，又AC 平面ABC，AC 平面ACD，所以平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正确.4.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC 底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.4 / 4(共71张PPT)新课程标准解读 核心素养1.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学抽象2.会应用面面垂直的判定定理证明与计算 数学运算第二课时 平面与平面垂直的判定目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 建筑工人在砌墙时，为了保证所砌的墙面与地面垂直，经常用一端系有铅锤的线进行测量检测.【问题】 这种检测方式的理论依据是什么？ 知识点 平面与平面垂直的判定定理文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直符号语言 l α，l⊥β α⊥β图形语言垂线 【想一想】“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化. （ √ ）（2）已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ.（ × ）（3）已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ.（ √ ）√×√2. 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（ ）A. m⊥n，m∥α，n∥βB. m⊥n，α∩β＝m，n βC. m∥n，n⊥β，m αD. m∥n，m⊥α，n⊥β解析： A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.3. 已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是（ ）A. 若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB. 若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥βC. 若α⊥β，l α，则l⊥βD. 若l⊥β，l α，则α⊥β解析： A项中缺少了条件l α，故A错误.B项中缺少了条件α⊥β，故B错误.C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误.D项具备了面面垂直的判定定理中的全部条件，故D正确.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 面面垂直的判定定理的应用角度1 基于鳖臑模型【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（1）求证：DC⊥平面PAC；证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.（2）求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.通性通法 四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.此类问题考查的是线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化.角度2 基于平行推论模型【例2】 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证： （1）直线PA∥平面DEF；证明：因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.（2）平面BDE⊥平面ABC.证明：因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE＝PA＝3，EF＝ BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又因为PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又因为DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.通性通法证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.【跟踪训练】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：（1）DE＝DA；证明：设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，过点D作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CE，DF⊥CE.因为EF＝a，BC＝2a，所以DE＝ ＝ a.又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝ ＝ a，所以DE＝DA.（2）平面BDM⊥平面ECA；证明：如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝ CE＝DB，所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，所以EC⊥MD.由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以MD⊥AE.因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.（3）平面DEA⊥平面ECA.证明：由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.题型二 空间垂直关系的综合应用【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.（1）求证：AD⊥PB；解：证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.（2）若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由（1），得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.通性通法1. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.2. 空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.【跟踪训练】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 ＝＝λ（0＜λ＜1）.（1）求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；解：证明：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵ ＝ ＝λ（0＜λ＜1），∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF 平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？解：由（1）知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC 平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝ ，∴AB＝ tan60°＝ ，∴AC＝ ＝ .由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝ ，∴λ＝ ＝ .故当λ＝ 时，平面BEF⊥平面ACD.1. 下列命题中正确的是（ ）A. 平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD. 若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β解析： 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.2. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（ ）A. α⊥γ，β⊥γ B. α∩β＝a，b⊥a，b βC. a∥β，a∥α D. a∥α，a⊥β解析： 选项A、B、C中α，β的位置关系均不固定，D中，∵a∥α，∴存在直线b∥a，b α.又a⊥β，∴b⊥β，∴α⊥β.3. 如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是 .（填序号）③ ①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.解析：由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE. 又DE∩BE＝E，DE，BE 平面BDE，从而AC⊥平面BDE，又AC 平面ABC，AC 平面ACD，所以平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正确.4. 如图，在圆锥PO中，AB是☉O的直径，C是 上的点，D为AC的中点.证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC 底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD. 又AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： ①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.∴l∥β是α⊥β的充分不必要条件.故选A.123456789101112131415162. 把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为（ ）A. 4C. 212345678910111213141516解析： 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以∠AOC＝90°.又AO＝CO＝ BD＝×4 ＝2 ，所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，所以AC＝4.123456789101112131415163. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）A. 平面ABD⊥平面ADCB. 平面ABD⊥平面ABCC. 平面ADC⊥平面BCDD. 平面ABC⊥平面BCD解析： ∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC 平面BCD，BD 平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD. 故选C.123456789101112131415164. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（ ）A. 平面ABD⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ADC⊥平面ABC12345678910111213141516解析： 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC. 又AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.123456789101112131415165. （多选）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ）A. PB⊥ACB. PC⊥BCC. AC⊥平面PBCD. 平面PAC⊥平面PBC12345678910111213141516解析： 因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC 平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D.123456789101112131415166. （多选）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）A. BC∥平面PDFB. DF⊥平面PAEC. 平面PDF⊥平面PAED. 平面PDF⊥平面ABC12345678910111213141516解析： 因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF 平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE 平面ABC，AE⊥DF，DF 平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确.123456789101112131415167. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，与CD垂直的平面有 ，与平面DCC1D1垂直的平面有 .平面ADD1A1 ，平面BCC1B1 平面ADD1A1，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD 12345678910111213141516解析：因为长方体的每一表面均为矩形，所以四边形ABCD，CDD1C1均为矩形，所以有CD⊥BC，CD⊥CC1且CC1∩BC＝C，所以CD⊥平面BCC1B1，同理CD⊥平面ADD1A1，同理可得长方体中每条棱与和它相交的平面垂直，所以与平面DCC1D1垂直的平面有：平面ADD1A1，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD.123456789101112131415168. 已知平面α，β，γ.给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .解析：由α⊥β，β∥γ，可得α⊥γ，故①③ ②，由α⊥γ，β∥γ，可得α⊥β，故②③ ①，由α⊥β，α⊥γ，则平面β与平面γ可以平行也可以相交，故①② / ③.①③ ②（或②③ ①） 123456789101112131415169. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD. （只填写一个你认为正确的条件即可）DM⊥PC（答案不唯一） 解析：连接AC（图略），∵四边形ABCD四边相等，∴AC⊥BD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.1234567891011121314151610. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点.求证：（1）EO∥平面PDC；证明：∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，∴O为BD中点.又E为PB的中点，∴EO∥PD.∵EO 平面PDC，PD 平面PDC，∴EO∥平面PDC.12345678910111213141516（2）平面PAC⊥平面PBD.证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC 平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.1234567891011121314151611. （多选）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，在翻折过程中，下列四个结论正确的有（ ）A. DF⊥BCB. BD⊥FCC. 平面DBF⊥平面BFCD. 平面DCF⊥平面BFC12345678910111213141516解析： 因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则A不成立；如图，设点D在平面BCF上的投影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使BP⊥CF满足，所以B正确；当点P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D错误.1234567891011121314151612. 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点.以下四个结论：①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD.其中正确的是 .②④ 12345678910111213141516解析：如图，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF∥BD，在△PBD中，PB＝PD＝BD＝ AB，所以△PBD为正三角形，则PB与BD的夹角为 ，即PB与EF的夹角为 ，所以PB不可能与平面AEF垂直，所以①不正确.由题意可知PA⊥BD，AC⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又EF∥BD，所以EF⊥平面PAC，所以②正确.设AC∩BD＝O，连接PO，交EF于M，连接AM，则AM⊥EF，MO⊥EF，所以∠AMO为平面AEF与平面PBD的夹角，12345678910111213141516不妨令PB＝PD＝BD＝ AB＝2，则AE＝EF＝AF＝1，AO＝1，所以AM＝ ，MO＝ PO＝ × ＝ ，在△AMO中，由余弦定理的推论得 cos ∠AMO＝ ＝ ＝ ，即平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为 ，所以③不正确.由题意知PD⊥AF，CD⊥平面PAD，因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF，又CD∩PD＝D，所以AF⊥平面PCD，又AF 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PCD，所以④正确.1234567891011121314151613. 如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC. 则M点的轨迹的长度为 .π 12345678910111213141516解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为 ＝π.1234567891011121314151614. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上.（1）求证：平面DBC'⊥平面ADC'；12345678910111213141516解：证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上，即BO为BC'在平面ABD上的射影，∴C'O⊥AD，∵AB⊥AD，C'O∩AB＝O，∴AD⊥平面ABC'，∴BC'⊥AD，∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D，∴BC'⊥平面ADC'，又BC' 平面DBC'，∴平面DBC'⊥平面ADC'.12345678910111213141516（2）求二面角C'-AD-B的余弦值.解：由（1）知AD⊥平面C'AB，∴AD⊥AC'，AD⊥AB，∴二面角C'-AD-B的平面角是∠C'AB，又在Rt△ABC'中，AB＝3 ，AC'＝3 ，∴ cos ∠C'AB＝ ＝ ，∴二面角C'-AD-B的余弦值是 .1234567891011121314151615. （多选）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝ AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2 ，则（ ）A. 平面PED⊥平面EBCDB. PC⊥ED12345678910111213141516解析： PD＝AD＝ ＝ ＝2 ，在△PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD. 易知CD⊥DE. 又PD∩DE＝D，所以CD⊥平面PED. 又CD 平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，故A选项正确；若PC⊥ED，由ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝ ，显然矛盾，故B选项错误；二面角P-DC-B的平面角为∠PDE，易知∠PDE＝∠ADE＝ ，故选项C正确；由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED的夹角.在Rt△PCD中，tan∠CPD＝ ＝ ，故D选项错误.1234567891011121314151616. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）.（1）平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；12345678910111213141516解：因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE，因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.12345678910111213141516（2）若 ＝λ，λ为何值时？二面角B-AF-E为60°.解：如图，取AB的中点M，作MN⊥AF交AF于点N，连接EM，EN，因为EM为△BPA的中位线，所以EM∥PA，又PA⊥平面ABCD，F∈线段BC，12345678910111213141516故EM⊥平面ABF，EM⊥AF，MN⊥AF，EM∩MN＝M，故AF⊥平面EMN，所以∠MNE即为二面角B-AF-E的平面角，即∠MNE＝60°.设BC＝2，则BF＝2λ，因为 ＝ ，即 ＝ ，所以MN＝ ，又tan∠MNE＝ ，即 ＝ ，得λ＝ .12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 5.2 第二课时 平面与平面垂直的判定.docx 5.2 第二课时 平面与平面垂直的判定.pptx 5.2 第二课时 平面与平面垂直的判定（练习，含解析）.docx
资源列表
