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6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
1.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，侧面矩形的对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（　　）
A.8 B.16
C.8＋12 D.8＋16
2.已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（　　）
A.6π　　B.12π　　　C.2π　　　D.2π
3.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（　　）
A.12 B.48 C.64 D.72
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（　　）
A.1∶1 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
5.（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的（　　）
A.母线长是20 B.表面积是1 100π
C.高是10 D.轴截面为等腰梯形
6.（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则（　　）
A.正四棱锥的底面边长为6米
B.正四棱锥的底面边长为3米
C.正四棱锥的侧面积为24米2
D.正四棱锥的侧面积为12米2
7.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为　　　　.
8.若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为　　　　.
9.正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为　　　　.
10.如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求：
（1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
（2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
　　
11.圆锥的中截面（过高的中点且平行于底面）把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为（　　）
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
12.（多选）已知圆锥的顶点为S，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　）
A.圆锥的侧面积是2π
B.SA与底面的夹角是
C.△SAB面积的最大值是
D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为
13.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，棱AB，AD，AA'的中点分别为E，F，G，首先截去三棱锥A-EFG，类似地，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为　　　　.
14.正六棱柱的一条最长的体对角线长是13，侧面积为180，求此正六棱柱的表面积.
15.《九章算术·商功》有这样一道题目：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺.”所谓堑堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱.如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（　　）
A.40　　　　　　　 B.25＋15＋3
C.50 D.30＋20＋3
16.一个圆锥的底面半径为R，高为R，
（1）求圆锥的表面积；
（2）求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值.
6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
1.D
2.B　如图所示，设圆台上底面的半径为r1，下底面的半径为r2，圆台的高为AE＝h，所以AB＝2h，由题意得（2r1＋2r2）×h＝6，所以（r1＋r2）×h＝6，所以这个圆台的侧面积是π（r1＋r1）×2h＝2π（r1＋r2）h＝12π.故选B.
3.D　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长c＝6×3＝18，又∵侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高h＝4，∴棱柱的侧面积S＝ch＝72，故选D.
4.C　如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，所以S三棱锥＝4××（a）2＝2a2，S正方体＝6a2，故S三棱锥∶S正方体＝1∶.
5.ABD　圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是180°，即π，所以l＝＝20，A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π（10＋20）×20＝1 100π，B正确；高h＝＝10，C错误.故选A、B、D.
6.AC　如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，连接SH，则SH⊥AB，设底面边长为2a，连接OH，则OH＝a，由题意知，∠SHO＝30°，∴OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋（ a）2＝21，解得a＝3米，∴底面边长为6米，SH＝2米，故S侧面积＝×6×2×4＝24（米2）.故选A、C.
7.6π　解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2π×12＝2π，S侧＝2π·2＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
8.3π　解析：设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到S＝a2sin 60°＝，解得a＝2（负值舍去），所以底面半径r＝1，底面积S底＝πr2＝π，所以侧面积S侧＝πra＝2π，所以圆锥的表面积为3π.
9.　解析：方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为h，则由题意得×（3＋6）×h×4＝32＋62，解得h＝.
10.解：（1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，母线DC＝＝13（cm）.
∴该几何体的表面积为π×（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）.
（2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示.其中圆锥的高为16－4＝12（cm），由（1）可知圆锥的母线DC长为13 cm，又圆柱的母线AD长为4 cm，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π（cm2）.
11.C　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心.因为O1为PO2的中点，所以＝＝＝，所以PA＝AB，O2B＝2O1A.又因为S小圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·（O1A＋O2B）·AB，则＝＝.
12.ABD　设圆锥的底面圆心为O，则SO＝1，底面半径r＝，所以母线长l＝＝2，故圆锥的侧面积是πrl＝2π，故选项A正确；因为A，B是底面圆周上两个动点，则SA为圆锥的一条母线，又SO与底面圆垂直，则∠SAO即为SA与底面的夹角，在Rt△SAO中，tan∠SAO＝＝，所以SA与底面的夹角是，故选项B正确；设∠ASB＝α，则0≤α≤，且SA＝SB＝2，所以S△ABC＝×22×sin α，所以当α＝时，△SAB的面积最大，最大为2，故选项C错误；设该圆锥内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜），高为h，则有＝，可得h＝1－，则圆柱的侧面积为S侧＝2πx（ 1－）＝2π（ －＋x），由二次函数的性质可知，当x＝时，S侧取最大值，最大值为2π［－＋］＝，故选项D正确.故选A、B、D.
13.12＋4　解析：如图，S正方形GEMH＝×＝2，S△EFG＝×××sin 60°＝，而余下的几何体的表面积等于6个正方形GEMH的面积加上8个△EFG的面积，故所求几何体的表面积为2×6＋×8＝12＋4.
14.解：如图，设正六棱柱的底面边长为a，
侧棱长（即正六棱柱的高）为h，易知CF'是正六棱柱的一条最长的体对角线，即CF'＝13，所以CF'＝＝＝13. ①
因为正六棱柱的侧面积为180，
所以S侧＝6a·h＝180. ②
联立①②，解得或负值舍去.
当a＝6，h＝5时，正六棱柱的底面积S底＝6×a2＝54.
所以S表＝180＋2×54＝180＋108.
当a＝，h＝12时，正六棱柱的底面积S底＝6×a2＝，
所以S表＝180＋2×＝180＋.
综上，该正六棱柱的表面积为180＋108或180＋.
15.B　如图所示，取A1B1的中点N，连接BN，MN，易知平面BCMN为过B，C，M的平面，则所得的三棱台为A1NM-ABC，其中上、下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为梯形.则S△ABC＝×4×4＝8，＝×2×2＝2，＝×（2＋4）×5＝15，＝×（2＋4）×5＝15，S梯形BNMC＝×（2＋4）×＝3，据此可知三棱台的表面积为25＋15＋3.故选B.
16.解：（1）由题意可知，圆锥的母线长l为＝2R，
所以该圆锥的表面积为πR（R＋l）＝3πR2.
（2）如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，
易知△PBC∽△PAO，所以＝，
即＝，解得OC＝（R－x），
正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为x，底面积为2x2，
所以正四棱柱的表面积为S＝2×2x2＋4×x×（R－x）＝（4－4）x2＋4Rx，
由二次函数的基本性质可知，当x＝＝时，正四棱柱的表面积S有最大值，且Smax＝.
1 / 26.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积 直观想象、逻辑推理、数学运算
2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 直观想象、逻辑推理、数学运算
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.
【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　柱、锥、台的侧面积
侧面展开图 面积公式
多面体 （三种特 例） 直棱 柱 S侧＝　　（c为底面周长，h为棱柱的高）； S表＝S侧＋2S底
正棱 锥 S侧＝　　　（c为底面周长，h'为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高）； S表＝S侧＋S底
正棱 台 S侧＝　　　（c1，c2分别为上、下底面周长，h'为斜高，即侧面等腰梯形的高）； S表＝S侧＋S上底＋S下底
侧面展开图 面积公式
旋转体 圆 柱 S底＝πr2；S侧＝　　　；S表＝2πr（r＋l）（r为底面半径，l为母线长）
圆 锥 S底＝πr2；S侧＝　　　；S表＝πr（r＋l）（r为底面半径，l为母线长）
圆 台 S上底＝π，S下底＝π；S侧＝　　　；S表＝π（＋＋r1l＋r2l）（r1，r2分别为上、下底面半径，l为母线长）
【想一想】
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
2.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有什么关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.（　　）
（2）圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.（　　）
（3）三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.（　　）
（4）几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.（　　）
2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（　　）
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
3.已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面积是　　　　cm2.
题型一 简单旋转体的侧面积与表面积
【例1】　如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为D.以AB所在直线为轴.将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.
尝试解答
通性通法
简单旋转体侧面积和表面积的求解策略
（1）简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式，灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长（弧长）与原几何体有关量的关系；
（2）求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积，关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长，其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
【跟踪训练】
　圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积为（　　）
A.72　　　　　　　 B.42π
C.67π D.72π
题型二 简单多面体的侧面积与表面积
【例2】　正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线的夹角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
尝试解答
通性通法
求多面体的侧面积或表面积的技巧
（1）对于直棱柱、正棱锥、正棱台，求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量，如底面边长、高、斜高等，然后套用公式计算；
（2）对于一般的棱柱、棱锥、棱台，求其侧面积时，一般是将其每一个侧面的面积分别求出来，然后相加；
（3）注意合理运用多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁，也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.
【跟踪训练】
已知棱长均为5，四边形ABCD为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
题型三 简单组合体的表面积
【例3】　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积.
尝试解答
通性通法
1.求组合体的表面积的基本步骤
（1）弄清楚它是由哪些简单几何体构成的，组成形式是什么；
（2）根据组合体的组成形式设计计算思路；
（3）根据公式计算求值.
2.求组合体的表面积的注意点
（1）对于由简单几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响；
（2）对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
【跟踪训练】
1.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为　　　　.
2.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为　　　　.
1.若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形，则该圆锥的表面积是（　　）
A.π　　B.π　　C.9π　　D.π
2.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为（　　）
A.16 B.48
C.64 D.
3.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是　　　　.
4.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥S-ABCD为阳马，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA＝BC＝AB＝2，则该阳马的表面积为　　　　.
5.如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.
6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
【基础知识·重落实】
知识点
ch　ch'　（c1＋c2）h'　2πrl　πrl　πl（r1＋r2）
想一想
1.提示：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面缩为一个点时，得到圆锥.
由此可得：S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl.
2.提示：当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥.
由此可得：S正棱柱侧＝chS正棱台侧＝（c＋c'）h'S正棱锥侧＝ch'.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××＝a2.
3.2π　解析：根据圆锥的侧面积公式可得S侧＝π×2×＝2π（cm2）.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.所以CD＝，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，
母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表＝πr·（AC＋BC）＝π××（3＋4）＝π.
所以旋转体的表面积是π.
跟踪训练
　C　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π（3＋4）·6＋π·32＋π·42＝67π.
【例2】　解：（1）如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝（b－a）.
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝（b－a），
又EF＝CE·sin 45°＝（b－a），
∴C1F＝
＝
＝（b－a）.
∴S侧＝（4a＋4b）×（b－a）＝（b2－a2）.
（2）∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2，
∴4·（a＋b）·h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝.
又EF＝，∴h＝＝.
跟踪训练
　解：∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE（图略），
则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，
S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25（＋1）.
【例3】　解：如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的.在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝（2a－a）tan 60°＝a，
DC＝＝2a，
又DD'＝DC＝2a，
则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底
＝2π·2a·a＋2π·（2a）2＋π·a·2a－π·a2
＝（9＋4）πa2.
跟踪训练
1.24＋1.5π　解析：由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，故其表面积S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
2.36　解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，所以S表＝2×22＋4×[22＋（）2＋12]＝36.所以该几何体的表面积为36.
随堂检测
1.D　由已知得该圆锥的底面半径是，母线长为3，因此其底面面积S1＝π·＝π，侧面积S2＝π××3＝π，故其表面积为S＝S1＋S2＝π，故选D.
2.A　如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE为等边三角形PBC边BC上的高，所以PE＝2，则S侧＝4××4×2＝16.
3.8　解析：易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积是4×2＝8.
4.8＋4　解析：由题意知几何体的表面积为：S四棱锥＝2S△SAB＋2S△SBC＋S正方形ABCD＝2×·SA·AB＋2×·BC·SB＋AB·BC＝2××2×2＋2××2×2＋2×2＝8＋4.
5.解：∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4，16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为＝，∴一个侧面等腰梯形的面积为×（2＋4）×＝3，∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12.
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6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，会求
圆柱、圆锥、圆台的侧面积 直观想象、逻辑推
理、数学运算
2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公
式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 直观想象、逻辑推
理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状
除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的
晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目
的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.
【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？




知识点　柱、锥、台的侧面积
侧面展开图 面积公式
多面体 （三 种特例） 直 棱 柱 S侧＝ （c为底面周
长，h为棱柱的高）；
S表＝S侧＋2S底
ch　
侧面展开图 面积公式
多面 体（三 种特 例） 正 棱 锥 S侧＝ （c为底面周长，h'为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高）；
S表＝S侧＋S底
正 棱 台 S侧＝ （c1，c2分别为上、下底面周长，h'为斜高，即侧面等腰梯形的高）；
S表＝S侧＋S上底＋S下底
ch'　
（c1＋c2）h'　
侧面展开图 面积公式
旋转体 圆 柱 S底＝πr2；S侧
＝ ；S表＝2πr（r
＋l）（r为底面半径，l
为母线长）
圆 锥 S底＝πr2；S侧＝ ；
S表＝πr（r＋l）（r为底
面半径，l为母线长）
2πrl　
πrl　
侧面展开图 面积公式
旋转体 圆 台
πl（r1＋r2）　
【想一想】
1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
提示：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆
台的上底面缩为一个点时，得到圆锥.
由此可得：S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l S圆锥侧＝πrl.
2. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有什么关系？
提示：当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台
的上底面缩为一个点时，得到正棱锥.
由此可得：S正棱柱侧＝ch S正棱台侧＝ （c＋c'）h' S正棱锥侧＝
ch'.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.
（　×　）
（2）圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长
有关. （　√　）
（3）三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底
面周长. （　×　）
（4）几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.
（　√　）
×
√
×
√
2. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥
的表面积是（　　）
解析：　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于 a，∴S表
＝ a2＋3× × ＝ a2.
3. 已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面积是
cm2.
解析：根据圆锥的侧面积公式可得S侧＝π×2× ＝2 π
（cm2）.
2 π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 简单旋转体的侧面积与表面积
【例1】　如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝
5，作CD⊥AB，垂足为D. 以AB所在直线为轴.将此三角形旋转一
周，求所得旋转体的表面积.
解：在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
所以CD＝ ，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆
锥，且底面半径r＝ ，
母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表＝πr·（AC＋BC）＝π× ×（3＋4）＝ π.
所以旋转体的表面积是 π.
通性通法
简单旋转体侧面积和表面积的求解策略
（1）简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式，灵活套
用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中
各线段长（弧长）与原几何体有关量的关系；
（2）求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积，关键是求出它们的底
面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线
长，其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角
形、等腰梯形.
【跟踪训练】
圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积为（　　）
A. 72 B. 42π
C. 67π D. 72π
解析：S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π（3＋4）·6＋π·32＋π·42＝67π.
题型二 简单多面体的侧面积与表面积
【例2】　正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线的夹角为
45°，求棱台的侧面积；
解：如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作
EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝ （b－a）.
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝ （b－a），
又EF＝CE· sin 45°＝ （b－a），
∴C1F＝
＝
＝ （b－a）.
∴S侧＝ （4a＋4b）× （b－a）＝ （b2－a2）.
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
解：∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2，
∴4· （a＋b）·h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝ .
又EF＝ ，∴h＝ ＝ .
通性通法
求多面体的侧面积或表面积的技巧
（1）对于直棱柱、正棱锥、正棱台，求其侧面积与表面积的关键是
求出它们的基本量，如底面边长、高、斜高等，然后套用公式
计算；
（2）对于一般的棱柱、棱锥、棱台，求其侧面积时，一般是将其每
一个侧面的面积分别求出来，然后相加；
（3）注意合理运用多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台
中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、
侧棱、底面边长的桥梁，也是侧面积公式中未知量与条件中已
知几何元素间的桥梁.
【跟踪训练】
已知棱长均为5，四边形ABCD为正方形的四棱锥S-ABCD如图所
示，求它的侧面积、表面积.
解：∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE（图略），则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4× AB×SE＝2×5× ＝25 ，
S表＝S侧＋S底＝25 ＋25＝25（ ＋1）.
题型三 简单组合体的表面积
【例3】　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝
a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l
为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积.
解：如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥
构成的.在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝（2a－a）tan 60°＝ a，
DC＝ ＝2a，
又DD'＝DC＝2a，
则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底
＝2π·2a· a＋2π·（2a）2＋π·a·2a－π·a2
＝（9＋4 ）πa2.
通性通法
1. 求组合体的表面积的基本步骤
（1）弄清楚它是由哪些简单几何体构成的，组成形式是什么；
（2）根据组合体的组成形式设计计算思路；
（3）根据公式计算求值.
2. 求组合体的表面积的注意点
（1）对于由简单几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组
合体表面积的影响；
（2）对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合
体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
【跟踪训练】
1. 如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为
轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为
.
24＋
1.5π　
解析：由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，故其表面积S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
2. 有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方
体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层
正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为 .
36　
解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2， ，1，
所以S表＝2×22＋4×[22＋（ ）2＋12]＝36.
所以该几何体的表面积为36.
1. 若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形，则该圆锥的表
面积是（　　）
解析：　由已知得该圆锥的底面半径是 ，母线长为3，因此其底
面面积S1＝π· ＝ π，侧面积S2＝π× ×3＝ π，故其表面积为
S＝S1＋S2＝ π，故选D.
C. 9π
2. 正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥
的侧面积为（　　）
解析：　如图所示，在正四棱锥P-ABCD
中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，
取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为
正四棱锥P-ABCD的高，PE为等边三角形
PBC边BC上的高，所以PE＝2 ，则S侧＝
4× ×4×2 ＝16 .
3. 底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 ，体对角线长为
，则这个棱柱的侧面积是 .
解析：易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的
侧面积是4×2＝8.
8　
4. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，若四棱锥S-ABCD为阳马，侧棱SA⊥底面
ABCD，且SA＝BC＝AB＝2，则该阳马的表面积为 .
8＋4 　
解析：由题意知几何体的表面积为：S四棱锥＝2S△SAB＋2S△SBC＋S正方形ABCD＝2× ·SA·AB＋2× ·BC·SB＋AB·BC＝2× ×2×2＋2× ×2×2 ＋2×2＝8＋4 .
5. 如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方
形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯
形，求四棱台的表面积.
解：∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的
正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4，16.∵侧棱长为2，侧
面是全等的等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为 ＝ ，
∴一个侧面等腰梯形的面积为 ×（2＋4）× ＝3 ，∴四棱
台的表面积为4＋16＋3 ×4＝20＋12 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，侧面矩形的对角
线长为4，则这个棱柱的表面积是（　　）
A. 8
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2. 已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这
个圆台的侧面积是（　　）
B. 12π
解析：　如图所示，设圆台上底面的半径为r1，下底面的半径为r2，圆台的高为AE＝h，所以AB＝2h，由题意得 （2r1＋2r2）×h＝
6，所以（r1＋r2）×h＝6，所以这个圆台的侧面积是π（r1＋r1）×2h＝2π（r1＋r2）h＝12π.故选B.
D. 2π
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3. 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，
则其侧面积等于（　　）
A. 12 B. 48
C. 64 D. 72
解析：　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长c＝
6×3＝18，又∵侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高h＝4，∴棱
柱的侧面积S＝ch＝72，故选D.
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4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体
的表面积的比为（　　）
A. 1∶1
解析：　如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正
三角形，其边长为正方体面对角线.设正方体的
棱长为a，则面对角线长为 a，所以S三棱锥＝
4× ×（ a）2＝2 a2，S正方体＝6a2，故S三
棱锥∶S正方体＝1∶ .
D. 1∶2
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5. （多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇
环的圆心角为180°，则圆台的（　　）
A. 母线长是20 B. 表面积是1 100π
D. 轴截面为等腰梯形
解析：　圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是180°，即π，所以l＝＝20，A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π（10＋20）×20＝1 100π，B正确；高h＝ ＝10 ，C错误.故选A、B、D.
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6. （多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮
尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒
尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以
四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱
锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，这个角接近
30°，若取θ＝30°，侧棱长为 米，则（　　）
A. 正四棱锥的底面边长为6米
B. 正四棱锥的底面边长为3米
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解析：　如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，连接SH，则SH⊥AB，设底面边长为2a，连接OH，则OH＝a，由题意知，∠SHO＝30°，∴OS＝ a，SH＝ a.在Rt△SAH中，a2＋（ a）2＝21，解得a＝3米，∴底面边长为6米，SH＝2 米，故S侧面积＝ ×6×2 ×4＝24 （米2）.故选A、C.
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7. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为 .
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2π×12＝2π，S侧＝
2π·2＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
6π　
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8. 若一个圆锥的轴截面是面积为 的正三角形，则这个圆锥的表面
积为 .
解析：设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到S＝ a2
sin 60°＝ ，解得a＝2（负值舍去），所以底面半径r＝1，底
面积S底＝πr2＝π，所以侧面积S侧＝πra＝2π，所以圆锥的表面积
为3π.
3π　
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9. 正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，
其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为 .
解析：方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形
的高为h，则由题意得 ×（3＋6）×h×4＝32＋62，解得h＝ .
　
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10. 如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，
AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求：
（1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
解：以AB所在直线为轴旋转一周所得
几何体是圆台，其上底面半径是4 cm，下底
面半径是16 cm，母线DC＝
＝13（cm）.
∴该几何体的表面积为π×（4＋16）×13＋
π×42＋π×162＝532π（cm2）.
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（2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
解：以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示.其中圆锥的高为16－4＝12（cm），由
（1）可知圆锥的母线DC长为13 cm，又圆柱的母线AD长为4 cm，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π（cm2）.
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11. 圆锥的中截面（过高的中点且平行于底面）把圆锥侧面分成两部
分，则这两部分侧面积的比为（　　）
A. 1∶1 B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
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解析：　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分
别为截面与底面的圆心.因为O1为PO2的中点，所以
＝ ＝ ＝ ，所以PA＝AB，O2B＝2O1A.
又因为S小圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·（O1A＋
O2B）·AB，则 ＝ ＝ .
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12. （多选）已知圆锥的顶点为S，底面半径为 ，高为1，A，B是
底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　）
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解析：　设圆锥的底面圆心为O，则SO＝1，底面半径r＝
，所以母线长l＝ ＝2，故圆锥的侧面积是πrl＝2 π，
故选项A正确；因为A，B是底面圆周上两个动点，则SA为圆锥
的一条母线，又SO与底面圆垂直，则∠SAO即为SA与底面的夹
角，在Rt△SAO中，tan∠SAO＝ ＝ ，所以SA与底面的夹角
是 ，故选项B正确；设∠ASB＝α，则0≤α≤ ，且SA＝SB
＝2，所以S△ABC＝ ×22× sin α，所以当α＝ 时，△SAB的面
积最大，最大为2，故选项C错误；
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设该圆锥内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜ ），高为h，则有
＝ ，可得h＝1－ ，则圆柱的侧面积为S侧＝2πx（ 1－ ）＝2π
（ － ＋x），由二次函数的性质可知，当x＝ 时，S侧取最大值，
最大值为2π［－ ＋ ］＝ ，故选项D正确.故选A、B、D.
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解析：如图，S正方形GEMH＝ × ＝2，S△EFG
＝ × × × sin 60°＝ ，而余下的几何
体的表面积等于6个正方形GEMH的面积加上8
个△EFG的面积，故所求几何体的表面积为
2×6＋ ×8＝12＋4 .
12＋4 　
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14. 正六棱柱的一条最长的体对角线长是13，侧面积为180，求此正六
棱柱的表面积.
解：如图，设正六棱柱的底面边长为a，
侧棱长（即正六棱柱的高）为h，易知CF'是正六
棱柱的一条最长的体对角线，即CF'＝13，
所以CF'＝
＝ ＝13.①
因为正六棱柱的侧面积为180，
所以S侧＝6a·h＝180. ②
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联立①②，解得或负值舍去.
当a＝6，h＝5时，正六棱柱的底面积S底＝6× a2＝54 .所以
S表＝180＋2×54 ＝180＋108 .
当a＝ ，h＝12时，正六棱柱的底面积S底＝6× a2＝ ，
所以S表＝180＋2× ＝180＋ .
综上，该正六棱柱的表面积为180＋108 或180＋ .
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15. 《九章算术·商功》有这样一道题目：“今有堑堵，下广二丈，袤
一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百
尺.”所谓堑堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱.如图所示的
几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中
点，过B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一
个为三棱台，则三棱台的表面积为（　　）
A. 40
C. 50
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解析：　如图所示，取A1B1的中点N，连接
BN，MN，易知平面BCMN为过B，C，M的
平面，则所得的三棱台为A1NM-ABC，其中
上、下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均
为梯形.则S△ABC＝ ×4×4＝8， ＝ ×2×2＝2， ＝ ×（2＋4）×5＝15， ＝ ×（2 ＋4 ）×5＝15 ，S梯形BNMC＝ ×（2＋4）× ＝3 ，据此可知三棱台的表面积为25＋15 ＋3 .故选B.
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16. 一个圆锥的底面半径为R，高为 R，
（1）求圆锥的表面积；
解：由题意可知，圆锥的母线长l为 ＝2R，
所以该圆锥的表面积为πR（R＋l）＝3πR2.
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（2）求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值.
解：如图所示，设正四棱柱的底面对
角线的一半为x，
易知△PBC∽△PAO，所以 ＝ ，
即 ＝ ，解得OC＝ （R－x），
正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边
长为 x，底面积为2x2，
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所以正四棱柱的表面积为S＝2×2x2＋
4× x× （R－x）＝（4－4 ）x2＋4 Rx，
由二次函数的基本性质可知，当x＝ ＝ 时，正四棱柱的表
面积S有最大值，且Smax＝ .
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谢 谢 观 看！

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