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6.2　柱、锥、台的体积
1.若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为（　　）
A.3π　　　B.π　　　C.π　　　D.π
2.将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为（　　）
A.8 cm B.80 cm
C.40 cm D. cm
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）
A.π B.π
C.π D.2π
5.（多选）如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D.下列说法正确的是（　　）
A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
6.（多选）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝m，A1E＝n，DQ＝s，DP＝t（m，n，s，t大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）
A.与m有关 B.与n有关
C.与s有关 D.与t有关
7.已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝　 　.
8.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为　　　　.
9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　　　　寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
10.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积.
11.斗拱是中国古典建筑中具有装饰性的构件之一，并为中国所特有，图（1）（2）是北京故宫太和殿斗拱实物图，图（3）是斗拱构件之一的“斗”的几何体，是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的高为12 cm，“斗”的密度是0.50 g/cm3.那么这个“斗”的质量是（　　）
A.3 990 g　B.3 010 g　C.6 900 g　D.6 300 g
12.（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（　　 ）
A.该圆台轴截面ABCD面积为6 cm2
B.该圆台的体积为 cm3
C.该圆台的高为3 cm
D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　.
14.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和体积.
15.（多选）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的.假设该沙漏每秒漏下0.02 cm3的细沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（　　）
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128π cm3
C.细沙全部漏入下部后此圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的细沙从上部完全漏入下部所需时间大约是1 565秒（π≈3.14）
16.如图，甲、乙是边长为4a的正方形铁皮，现将甲裁剪焊接成一个底面为正方形、侧面为矩形的四棱柱，将乙裁剪焊接成一个底面为正方形的四棱锥，使它们的表面积都等于原正方形的面积（不计焊接缝的面积）.
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中，并作简要说明；
（2）试比较你制作的两个几何体体积的大小，并说明你的理由.
6.2　柱、锥、台的体积
1.B　设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝·2R＝R，所以·2R·R＝，解得R＝1.所以V＝×π×12×＝π.
2.B　设正四棱柱的高为h cm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80（cm）.
3.C　设长方体过同一顶点的棱长分别为a，b，c，则长方体的体积为V1＝abc，四棱锥A1-ABCD的体积为V2＝abc，所以棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为.
4.C　由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥，该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.
5.AD　以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，∴A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，∴C错误，D正确.故选A、D.
6.AD　连接A1D，B1C，由题图易知，△EFQ的面积为，显然与m有关.当点P变化时，其到平面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体PEFQ的体积变化.故四面体PEFQ的体积与m，t有关，与n，s无关，故选A、D.
7.　解析：由πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
8.　解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
9.3　解析：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为×（14＋6）＝10（寸），则盆中水的体积为π×9×（62＋102＋6×10）＝588π（立方寸），所以平地降雨量等于＝3（寸）.
10.解：如图所示，圆柱的高O1O＝PO＝×＝×＝1，圆柱的底面半径r＝AO＝.所以圆柱的体积V＝πr2·O1O＝π××1＝.
11.C　易知棱台的体积V1＝×9×（400＋900＋）＝5 700（cm3）.已知长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体，所以长方体的凹槽的体积是原长方体体积的倍，所以长方体形凹槽的体积V2＝×900×12＝8 100（cm3）.故这个“斗”的质量m＝ρ×（V1＋V2）＝0.50×（5 700＋8 100）＝6 900（g）.
12.BD　由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，可得CD＝4 cm，高O1O2＝＝ cm，故C错误；圆台轴截面ABCD面积为×（2＋4）×＝3 cm2，故A错误；圆台的体积为V＝π（1＋4＋2）×＝π cm3，故B正确；将圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3 cm，则CP＝＝5 cm，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.故选B、D.
13.　解析：依题意知，四棱锥M-EFGH为正四棱锥，正方形EFGH的边长为＝，四棱锥M-EFGH的高为，所以四棱锥M-EFGH的体积为××＝.
14.解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.
易知△AEB∽△AOC，
∴＝，
即＝，∴r＝1，
∴圆柱的上下底面积S底＝2πr2＝2π，圆柱的侧面积S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝（2＋2）π.
V＝πr2h＝π.
15.AC　对于A，设细沙全部在上部时，细沙的底面半径为r，则r＝×4＝（cm），所以细沙的体积V1＝π×（ ）2×＝（cm3），故A正确；对于B，沙漏的体积V2＝2×π×42×8＝（cm3），故B错误；对于C，设细沙全部漏入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知π×42×h1＝，解得h1＝≈2.4（cm），故C正确；对于D，该沙漏的细沙从上部完全漏入下部所需的时间为÷0.02≈×50≈1 985（秒），故D错误.故选A、C.
16.解：（1）裁剪方法如图所示.将正方形甲按图甲中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个小长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的四棱柱.
将正方形乙按图乙中虚线剪开，以两个长方形焊接成的边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，侧面三角形高为3a的四棱锥.
（2）由正方形甲裁剪焊接的四棱柱的体积V1＝（2a）2·a＝4a3.
由正方形乙裁剪焊接的四棱锥的高h＝＝2a，
体积V2＝·（2a）2·2a＝a3.
因为42－＝16－＝＞0，即4＞，
所以4a3＞a3，即V1＞V2.
故制作的四棱柱的体积比四棱锥的体积大.
2 / 36.2　柱、锥、台的体积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系 直观想象、逻辑推理、数学运算
2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积，并掌握求几何体体积的基本技巧 直观想象、逻辑推理、数学运算
　　有一次，爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普顿，让他计算一下这只灯泡的容积是多少.阿普顿是普林斯顿大学数学系高才生，又在德国深造了一年，数学素养相当不错.他拿着这只梨形的灯泡，打量了好半天，又特地找来皮尺， 上下量了尺寸，画出了各种示意图，还列出了一道又一道的算式.一个钟头过去了，爱迪生着急了，跑来问他算出来了没有.“正算到一半.”阿普顿慌忙回答，豆大的汗珠从他的额角上滚了下来.爱迪生十分诧异，走近一看，在阿普顿的面前，好几张白纸上写满了密密麻麻的算式.爱迪生微笑着说：“何必这么复杂呢？”阿普顿又重新调整思路，一会儿他飞快地跑进实验室，不到1分钟，没有经过任何运算，就把灯泡的容积准确地求出来了.
【问题】　你知道阿普顿是用什么方法快速准确地求得灯泡的容积的吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　柱、锥、台体的体积
几何体 体积 说明
柱体 V柱体＝Sh S为柱体的　　　，h为柱体的　　　
锥体 V锥体＝Sh S为锥体的　　　，h为锥体的　　　
台体 V台体＝（S上＋＋S下）h S上，S下分别为台体的　　　　　　，h为台体的　　　
提醒　在台体的体积公式中，如果设S上＝S下＝S，就得到柱体的体积公式V柱体＝Sh；如果设S上＝0，S下＝S，就得到锥体的体积公式V锥体＝Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示为：
　　由此可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）棱锥的体积等于底面面积与高之积.（　　）
（2）棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.（　　）
（3）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等.（　　）
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（　　）
A.π　　　B.2π　　　C.4π　　　D.8π
3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为　　　　.
题型一 柱体的体积
【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.
尝试解答
通性通法
　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素.
【跟踪训练】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为　　　　.
题型二 锥体的体积
【例2】　（1）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷（qūn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V＝L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式V＝L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）
A.　　 B.　　 C.　　 D.
（2）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比为（　　）
A.1∶1 B.1∶2
C.2∶1 D.3∶2
尝试解答
通性通法
常见的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
（4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
题型三 台体的体积
【例3】　中国南北朝时期数学家、天文学家祖暅沿用了魏晋时期著名数学家刘徽的思想，得出“幂势既同，则积不容异”的结论.“幂”是水平截面的面积，“势”是几何体的高，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，求该不规则几何体的体积.
尝试解答
通性通法
　　计算台体体积的关键是求出上、下底面面积及高.在求解相关量时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算.
【跟踪训练】
设圆台的高为3，其轴截面（过圆台轴的截面）如图所示，母线A1A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中，A1B⊥A1A，求圆台的体积V.
1.交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积约为（　　）
A.25π B.75π
C.100π D.300π
2.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（　　）
A.2π B.π
C.π D.3π
3.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（　　）
A.6 B.
C.2 D.2
4.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为　　　　 cm3.
5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，则该多面体的体积为　　　　.
6.2　柱、锥、台的体积
【基础知识·重落实】
知识点
底面积　高　底面积　高　上、下底面积　高
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.B　设圆柱底面半径为r，则母线长为2r，于是得2πr·2r＝4π，∴r＝1，∴圆柱的体积V＝πr2·2r＝2π.
3.6＋2　解析：V棱台＝×（2＋4＋）×3＝×3×（6＋2）＝6＋2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：V六棱柱＝×42×6×2＝48（cm3），
V圆柱＝π·32×3＝27π（cm3），
V挖去圆柱＝π·12×（3＋2）＝5π（cm3），
∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48＋22π）（cm3）.
跟踪训练
　8　解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角形，则＝×a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为a2×b＝×8×＝8.
【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴πr2h＝（2πr）2h，∴π＝.
（2）如图所示，设正六棱锥的高为h，VD-GAC＝VG-DAC＝S△ADC·，VP-GAC＝VG-APC＝VB-APC＝VP-ABC＝VG-ABC＝S△ABC·.
又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，∴VD-GAC∶VP-GAC＝2∶1.
跟踪训练
　解：在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，
∵＝，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.
【例3】　解：由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，
因为正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，
则上底面面积S1＝6××1×1×＝，
下底面面积S2＝6××2×2×＝6，
由侧棱长为易得高为2，
所以所求体积V＝×（ ＋3＋6）×2＝21.
跟踪训练
　解：如图，设AB的中点为O，连接A1O，
作A1D⊥AB于点D，易知A1D＝3，因为A1B⊥A1A，
则在Rt△A1AB中，A1O＝AB＝AO.
又因为∠A1AB＝60°，所以△A1AO为等边三角形.
所以在△A1AO中，A1D＝AO＝3，得AO＝2.
设圆台的上、下底面半径分别为r，R.
所以R＝AO＝2，r＝A1B1＝OB＝AO＝DO＝.
由V＝π×3×（12＋2×＋3）＝π×（12＋6＋3）＝21π.
故圆台体积为21π.
随堂检测
1.C　设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则πr·＝65π，解得r＝5，所以该圆锥体交通锥的体积为＝100π.故选C.
2.B　由题意，r＝1，R＝2，h＝1，则该圆台的体积V＝πh（R2＋r2＋Rr）＝π×1×（1＋4＋2）＝π.故选B.
3.B　由底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2.又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
4.36　解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，所以该正六棱柱的体积V＝×22×6×6＝36（cm3）.
5.20　解析：如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E-ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，
EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB＝V三棱锥C-ABE＝V三棱锥E-ABC＝×V四棱锥E-ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20.
4 / 4(共62张PPT)
6.2　柱、锥、台的体积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其
三种几何体体积计算公式的内在联系 直观想象、逻辑推
理、数学运算
2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求
有关几何体的体积，并掌握求几何体体积的基
本技巧 直观想象、逻辑推
理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　有一次，爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普顿，让他计算一下
这只灯泡的容积是多少.阿普顿是普林斯顿大学数学系高才生，又在
德国深造了一年，数学素养相当不错.他拿着这只梨形的灯泡，打量
了好半天，又特地找来皮尺， 上下量了尺寸，画出了各种示意图，还
列出了一道又一道的算式.一个钟头过去了，爱迪生着急了，跑来问
他算出来了没有.“正算到一半.”阿普顿慌忙回答，豆大的汗珠从他
的额角上滚了下来.爱迪生十分诧异，走近一看，在阿普顿的面前，
好几张白纸上写满了密密麻麻的算式.爱迪生微笑着说：“何必这么
复杂呢？”阿普顿又重新调整思路，一会儿他飞快地跑进实验室，不
到1分钟，没有经过任何运算，就把灯泡的容积准确地求出来了.
【问题】　你知道阿普顿是用什么方法快速准确地求得灯泡的容
积的吗？




知识点　柱、锥、台体的体积
几何体 体积 说明
柱体 V柱体＝Sh S为柱体的 ，h为柱体
的
锥体 S为锥体的 ，h为锥体
的
台体 S上，S下分别为台体的
，h为台体的
底面积　
高　
底面积　
高　
上、下底面
积　
高　
提醒　在台体的体积公式中，如果设S上＝S下＝S，就得到柱体的
体积公式V柱体＝Sh；如果设S上＝0，S下＝S，就得到锥体的体积公
式V锥体＝ Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，
可表示为：
　　由此可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）棱锥的体积等于底面面积与高之积. （　×　）
（2）棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差. （　√　）
（3）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等. （　×　）
×
√
×
2. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于
（　　）
A. π B. 2π
C. 4π D. 8π
解析：　设圆柱底面半径为r，则母线长为2r，于是得2πr·2r＝
4π，∴r＝1，∴圆柱的体积V＝πr2·2r＝2π.
3. 棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为
.
解析：V棱台＝ ×（2＋4＋ ）×3＝ ×3×（6＋2 ）＝6
＋2 .
6＋
2 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 柱体的体积
【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高
为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间
挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.
解：V六棱柱＝ ×42×6×2＝48 （cm3），
V圆柱＝π·32×3＝27π（cm3），
V挖去圆柱＝π·12×（3＋2）＝5π（cm3），
∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48 ＋22π）（cm3）.
通性通法
　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面
和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点
到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问
题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素.
【跟踪训练】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面
△BC1D是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为 .
8 　
解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则 ×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角形，则 ＝ × a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为 a2×b＝ ×8× ＝8 .
题型二 锥体的体积
【例2】　（1）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张
家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求
“囷（qūn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六
成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的
近似公式V＝ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取
为3，那么近似公式V＝ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为
（　　）
解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，
∴ πr2h＝ （2πr）2h，∴π＝ .
（2）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与
三棱锥P-GAC的体积之比为（　　）
A. 1∶1 B. 1∶2
C. 2∶1 D. 3∶2
解析： 如图所示，设正六棱锥的高为h，VD-GAC＝VG-DAC＝ S△ADC· ，VP-GAC＝VG-APC＝ VB-APC＝ VP-ABC＝VG-ABC＝
S△ABC· .
又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，∴VD-GAC∶VP-GAC＝2∶1.
通性通法
常见的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底
面积和高都易求的形式即可；
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
（4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三
棱柱补成四棱柱等.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的
距离d.
解：在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝ a，
∵ ＝ ，
∴ × a2·a＝ × × a× · a·d.
∴d＝ a.∴A到平面A1BD的距离为 a.
题型三 台体的体积
【例3】　中国南北朝时期数学家、天文学家祖暅沿用了魏晋时期著
名数学家刘徽的思想，得出“幂势既同，则积不容异”的结
论.“幂”是水平截面的面积，“势”是几何体的高，即两个等高的
几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体
积相等，上述原理称为“祖暅原理”.
如图，一个上底面边长为1，下底面边
长为2，侧棱长为 的正六棱台与一
个不规则几何体满足“幂势既同”，求
该不规则几何体的体积.
解：由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体
积相等，
因为正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，
则上底面面积S1＝6× ×1×1× ＝ ，下底面面积S2＝6×
×2×2× ＝6 ，
由侧棱长为 易得高为2 ，
所以所求体积V＝ ×（ ＋3 ＋6 ）×2 ＝21.
通性通法
　　计算台体体积的关键是求出上、下底面面积及高.在求解相关量
时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形.另外，台体的
体积还可以通过两个锥体的体积差来计算.
【跟踪训练】
设圆台的高为3，其轴截面（过圆台轴的截面）如图所示，母线A1A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中，A1B⊥A1A，求圆台的体积V.
解：如图，设AB的中点为O，连接A1O，作
A1D⊥AB于点D，易知A1D＝3，因为A1B⊥A1A，
则在Rt△A1AB中，A1O＝ AB＝AO.
又因为∠A1AB＝60°，所以△A1AO为等边三角形.
所以在△A1AO中，A1D＝ AO＝3，得AO＝2 .
设圆台的上、下底面半径分别为r，R. 所以R＝AO＝2 ，r＝ A1B1＝ OB＝ AO＝DO＝ .
由V＝ π×3×（12＋2 × ＋3）＝π×（12＋6＋3）＝21π.故圆台体积为21π.
1. 交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体
交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积约为
（　　）
A. 25π B. 75π C. 100π D. 300π
解析：　设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则πr· ＝65π，解得r＝5，所以该圆锥体交通锥的体积为 ＝100π.故选C.
2. 已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积
为（　　）
A. 2π D. 3π
解析：　由题意，r＝1，R＝2，h＝1，则该圆台的体积V＝
πh（R2＋r2＋Rr）＝ π×1×（1＋4＋2）＝ π.故选B.
3. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为（　　）
D. 2
解析：　由底面边长为1和侧棱长为 ，可知高h＝2.又因为底
面积S＝ ，所以体积V＝ Sh＝ × ×2＝ .
4. 已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积
为 cm3.
解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以
x＝2，所以该正六棱柱的体积V＝ ×22×6×6＝36 （cm3）.
36 　
5. 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方
形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为
3，则该多面体的体积为 .
20　
解析：如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E-ABCD＝ ×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB＝ V三棱锥C-ABE＝ V
三棱锥E-ABC＝ × V四棱锥E-ABCD＝4.∴多面体的
体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是等边三角
形，其面积为 ，则这个圆锥的体积为（　　）
A. 3π
解析：　设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面
的高h＝ ·2R＝ R，所以 ·2R· R＝ ，解得R＝1.所以V
＝ ×π×12× ＝ π.
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2. 将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的正
四棱柱，则该四棱柱的高为（　　）
A. 8 cm B. 80 cm C. 40 cm
解析：　设正四棱柱的高为h cm，依题意得5×5×h＝2×103，
解得h＝80（cm）.
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3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方
体AC1的体积的比值为（　　）
解析：　设长方体过同一顶点的棱长分别为a，b，c，则长方体
的体积为V1＝abc，四棱锥A1-ABCD的体积为V2＝ abc，所以棱
锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为 .
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4. 如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝ ，AD∥BC，BC＝2AD＝
2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所
围成的几何体的体积为（　　）
D. 2π
解析：　由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥，该
几何体的体积为π×12×2－ ×π×12×1＝ π.
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5. （多选）如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB
＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 下列说法正确的是（　　）
A. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转
体的侧面积为15π
B. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转
体的体积为36π
C. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
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解析：　以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为
3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为
×π×32×4＝12π，∴A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转
时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面
积为π×4×5＝20π，体积为 ×π×42×3＝16π，∴C错误，D正确.
故选A、D.
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6. （多选）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中动点E，F在
棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝m，A1E＝
n，DQ＝s，DP＝t（m，n，s，t大于零），则四面体PEFQ的
体积（　　）
A. 与m有关 B. 与n有关
C. 与s有关 D. 与t有关
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解析：　连接A1D，B1C，由题图易知，△EFQ的面积为 ，显然与m有关.当点P变化时，其到平面A1B1CD
的距离是变化的，因此会导致四面体PEFQ的体积变化.故四面体
PEFQ的体积与m，t有关，与n，s无关，故选A、D.
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7. 已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝ .
解析：由 πr2×4＝4π，解得r＝ ，即底面半径为 .
　
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8. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高
为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但
底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .
解析：设新的底面半径为r，则有 ×πr2×4＋πr2×8＝
×π×52×4＋π×22×8，解得r＝ .
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9. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨
时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，
盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地
降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口
面积；②一尺等于十寸）
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解析：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，
所以水面半径为 ×（14＋6）＝10（寸），
则盆中水的体积为 π×9×（62＋102＋6×10）＝588π（立方寸），
所以平地降雨量等于 ＝3（寸）.
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10. 已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱
的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆
心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积.
解：如图所示，圆柱的高O1O＝ PO＝
× ＝ × ＝1，圆柱的底面半
径r＝ AO＝ .所以圆柱的体积V＝πr2·O1O＝
π× ×1＝ .
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11. 斗拱是中国古典建筑中具有装饰性的构件之一，并为中国所特
有，图（1）（2）是北京故宫太和殿斗拱实物图，图（3）是斗拱
构件之一的“斗”的几何体，是由棱台与长方体形凹槽（长方体
去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.
若棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体
形凹槽的高为12 cm，“斗”的密度是0.50 g/cm3.那么这个
“斗”的质量是（　　）
A. 3 990 g B. 3 010 g
C. 6 900 g D. 6 300 g
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解析：易知棱台的体积V1＝ ×9×（400＋900＋ ）＝5 700（cm3）.已知长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体，所以长方体的凹槽的体积是原长方体体积的 倍，所以长方体形凹槽的体积V2＝ ×900×12＝8 100（cm3）.故这个“斗”的质量m＝ρ×（V1＋V2）＝0.50×（5 700＋8 100）＝6 900（g）.
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12. （多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的
圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝
2AB，下列说法正确的有（　　 ）
C. 该圆台的高为3 cm
D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm
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解析：　由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，可得CD＝4 cm，高O1O2＝ ＝ cm，故C错误；圆台轴截面ABCD面积为 ×（2＋4）× ＝3 cm2，故A错误；圆台
的体积为V＝ π（1＋4＋2）× ＝ π cm3，故B正确；
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将圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝ ＝π，如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3 cm，则CP＝ ＝5 cm，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.故选B、D.
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解析：依题意知，四棱锥M-EFGH为正四棱锥，正方形EFGH的
边长为 ＝ ，四棱锥M-EFGH的高为 ，所以四棱
锥M-EFGH的体积为 × × ＝ .
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14. 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面积和体积.
解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为
r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ ＝2 .
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易知△AEB∽△AOC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，∴r＝1，
∴圆柱的上下底面积S底＝2πr2＝2π，圆柱的侧面积S侧＝2πr·h＝2 π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2 π＝（2＋2 ）π.
V＝πr2h＝ π.
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15. （多选）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径
和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 .假设
该沙漏每秒漏下0.02 cm3的细沙，且细
沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住
沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确
的是（　　）
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B. 沙漏的体积是128π cm3
C. 细沙全部漏入下部后此圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D. 该沙漏的细沙从上部完全漏入下部所需时间大约是1 565秒
（π≈3.14）
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解析：　对于A，设细沙全部在上部时，细沙的底面半径为
r，则r＝ ×4＝ （cm），所以细沙的体积V1＝ π×（ ）2×
＝ （cm3），故A正确；对于B，沙漏的体积V2＝2×
π×42×8＝ （cm3），故B错误；对于C，设细沙全部漏入下
部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知 π×42×h1＝ ，
解得h1＝ ≈2.4（cm），故C正确；对于D，该沙漏的细沙从上部完全漏入下部所需的时间为 ÷0.02≈ ×50≈1 985（秒），故D错误.故选A、C.
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16. 如图，甲、乙是边长为4a的正方形铁皮，现将甲裁剪焊接成一个
底面为正方形、侧面为矩形的四棱柱，将乙裁剪焊接成一个底面
为正方形的四棱锥，使它们的表面积都等于原正方形的面积（不
计焊接缝的面积）.
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中，并作简
要说明；
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解：裁剪方法如图所示.将正方形甲按图甲中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个小长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的四棱柱.
将正方形乙按图乙中虚线剪开，以两个长方形焊接成的边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，侧面三角形高为3a的四棱锥.
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（2）试比较你制作的两个几何体体积的大小，并说明你的理由.
解：由正方形甲裁剪焊接的四棱
柱的体积V1＝（2a）2·a＝4a3.
由正方形乙裁剪焊接的四棱锥的高h
＝ ＝2 a，
体积V2＝ ·（2a）2·2 a＝ a3.
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因为42－ ＝16－ ＝ ＞0，即4＞ ，
所以4a3＞ a3，
即V1＞V2.
故制作的四棱柱的体积比四棱锥的体积大.
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谢 谢 观 看！

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