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6.3　球的表面积和体积
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（　　）
A.2倍 B.倍
C.2倍 D.3倍
2.用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（　　）
A.π B.2π
C.4π D.π
3.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是（　　）
A. cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
4.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A.　　　 B.　　　C.1　　　D.
5.（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　）
A.圆柱的表面积为6πR2
B.圆锥的表面积为3πR2
C.圆锥的表面积与球面面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
6.（多选）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是（　　）
A. B.π C.9π D.13π
7.已知A，B，C为球O球面上的三个点，且△ABC是面积为3的等腰直角三角形，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的体积为　　　 　.
8.设A是半径为2的球O表面上一点，过点A作球O的截面，若OA与该截面的夹角为60°，则该截面的面积是　　　　.
9.已知三个球的半径分别为R1，R2，R3，且满足R1＋2R2＝3R3，则它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是　　　　　　　　，它们相应的体积V1，V2，V3满足的等量关系是　　　　.
10.在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
11.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（　　）
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
12.“外圆内方”图案是我国古代建筑和其他用品中常采用的设计，例如古代铜钱的造型便是其中之一，它体现了数学图形的对称美.如图，若铜钱内孔正方形边长与外圆的半径之比为∶3，且铜钱面积为25（π的值取3），现在以铜钱内孔正方形对角线所在直线为轴，将铜钱旋转一周形成一几何体，则该几何体的体积为（　　）
A.102 B.104
C.106 D.108
13.过球外一点P作球的三条切线，切点分别为A，B，C，若P，A，B，C是棱长为2的正四面体的顶点，则该球的半径为　　　　.
14.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
（1）求球冠所在球的半径R（结果用h，r表示）；
（2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积.
15.（多选）已知三棱锥S-ABC的顶点均在表面积为8π的球O的球面上，SA，SB，SC两两垂直，SA＝2，SB＝，则下列结论中正确的是（　　）
A.球O的半径为
B.SC＝
C.点S到平面ABC的距离为
D.点O到平面ABC的距离为
16.某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图①的多面体石凳是由图②的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是 cm3.
（1）求正方体石块的棱长；
（2）为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳（图①）打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷1.5 m2左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？（精确到1，π取3.14）
6.3　球的表面积和体积
1.C　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知＝2，所以R＝r.所以＝＝＝2.即球的体积扩大到原来的2倍.故选C.
2.C　如图OO'＝1，设截面圆半径为r＝AO'，球的半径为R.由题意得截面圆的面积πr2＝2π，解得r＝.在Rt△AO'O中，
OO'2＋AO'2＝AO2，即R＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.故选C.
3.D　设球的半径为r，则一个球的体积为πr3，原来水的体积为πr2×8＝8πr2，淹没后球与水的体积为πr2×6r＝6πr3，所以8πr2＋3×πr3＝6πr3，解得r＝4（0舍去），故选D.
4.C　如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心.设△ABC的边长为a，则a2＝，解得a＝3，∴O1A＝××3＝.设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝＝1，即O到平面ABC的距离为1.
5.AD　 由题意圆柱的底面直径与高均为2R，所以圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，故选项A正确.由题意圆锥的底面直径和高均为2R.所以圆锥的表面积为πR2＋πR×R＝（1＋）πR2，故选项B不正确.球的表面积为4πR2，所以圆锥的表面积与球面面积不相等，故选项C不正确.圆柱的体积为V1＝πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为V2＝πR2×2R＝πR3，球的体积为V3＝πR3，所以V1∶V2∶V3＝3∶1∶2 ，故选项D正确.故选A、D.
6.BCD　三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴2R＝＝2，∴R＝，取BC的中点O1，则O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图，当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵OD＝＝＝2，此时截面圆的半径为r＝＝1，∴截面面积为πr2＝π；当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].
7.　解析：设等腰直角三角形ABC斜边长为2r，
则斜边上的高为r，则·2r·r＝r2＝3，
所以球的半径R＝＝2，
所以球的体积为×R3＝×8＝.
8.π　解析：设AB是截面圆的直径，则∠OAB为直线OA与该截面的夹角，即∠OAB＝60°，从而△OAB为正三角形，故截面圆的面积为π·12＝π.
9.＋2＝3　＋2＝3
解析：因为S1＝4π，所以R1＝＝，同理可得R2＝，R3＝.由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3.由V1＝π，得R1＝＝.同理可得R2＝＝，R3＝＝.由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3.
10.解：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝.
在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，
即a2＋＝R2，∴R＝a.
从而V半球＝πR3＝π
＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
11.A　作出该球轴截面的图形如图所示，依题意知，BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm，设DE＝x cm，故AD＝（2＋x）cm，由AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5 cm，所以V＝πR3＝（cm3）.
12.C　铜钱旋转形成的几何体相当于一个球体内部挖去了两个共底的形状相同的圆锥.设外圆的半径和正方形边长分别为3a和a（a＞0），则π·（3a）2－（a）2＝25，解得a＝1.所以外圆的半径为3，正方形边长为，则两个共底的圆锥底面半径和高均为1，所以形成的几何体的体积为π×33－2××π×12×1＝106.
13.　解析：如图所示，设△ABC的中心为H，连接AH，PH，则球心在PH的延长线上，记球心为O.连接OA，OB，OC.依题意知，PA＝2，AH＝，根据勾股定理得PH＝.在Rt△OPA中，由射影定理得PA2＝PH·OP，解得OP＝.又PA是球的切线，所以在Rt△AOP中，AO＝＝，所以该球的半径为.
14.解：（1）如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，
依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝，所以球冠所在球的半径R＝.
（2）因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，
又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝，由（1）知R＝，
即65 000＝＋2502，
解得R＝650，
于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，
所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π.
15.ABD　设球O的半径为R，由4πR2＝8π，得R＝，故A正确.将三棱锥S-ABC放置在长方体中，如图所示，由2R＝2＝，得2＝，解得SC＝，故B正确.∵SA＝2，SB＝SC＝，∴AB＝AC＝，BC＝2，则△ABC的面积为×2×＝，设S到平面ABC的距离为d1，由等体积法可得××××2＝××d1，从而可得点S到平面ABC的距离d1＝，故C错误.在△ABC中，cos ∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设△ABC外接圆的半径为r，则r＝＝，又外接球的半径R＝，∴球心O到平面ABC的距离为＝，故D正确.故选A、B、D.
16.解：（1）设正方体石块的棱长为a，
则每个截去的四面体的体积为××××＝.
由题意可得8×＋＝a3，
解得a＝40.
故正方体石块的棱长为40 cm.
（2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大.
此时正方体的棱长正好是球的直径，
所以球形石凳的表面积S＝4π×＝1 600π cm2＝0.16 πm2.
又一瓶环保底漆可粉刷1.5 m2左右，
故一瓶环保底漆大约可粉刷≈3个石凳.
3 / 36.3　球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
掌握球的体积公式与表面积公式 直观想象、逻辑推理、数学运算
　　
　　如图，若将球面分割成n个“小球面片”，以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥.
【问题】　这些小棱锥的底面积之和与高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　球的基本性质
1.球的截面形状
（1）球面　　　　　　的平面截得的圆称为球的大圆；
（2）被　　　　　　的平面截得的圆称为球的小圆.
2.球的切线
（1）当直线与球有　　　　交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的　　　　；
（2）过球外一点的所有切线的切线长都　　　　，这些切点的集合是以点O'为圆心、O'A为半径的圆，圆面O'及所有切线围成了　　　　　　.
提醒　（1）球的任意一个截面都是圆；（2）球的直径等于球的内接长方体的对角线长，即2R＝（其中R为球的半径，a，b，c分别为长方体的长、宽、高）.
知识点二　球的表面积与体积
1.球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S球面＝　　　　.
2.球的体积：设球的半径为R，则球的体积V球＝　　　　.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）过球外一点有且只有一条切线与球相切.（　　）
（2）球面上的任意三点确定一个平面.（　　）
（3）两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.（　　）
2.直径为6的球的表面积和体积分别是（　　）
A.36π，144π　　　　　　B.36π，36π
C.144π，36π D.144π，144π
3.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6，4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为　　　　.
题型一 球的表面积与体积
【例1】　（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；
（2）已知球的体积为π，求它的表面积.
尝试解答
通性通法
1.球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题.
2.球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方.
【跟踪训练】
1.若过球的球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是（　　）
A. 　　B. 　　C.　　 D.2πC2
2.若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为　　　　.
题型二 球的截面性质的应用
【例2】　已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积.
尝试解答
通性通法
球的截面的性质
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：d＝；
（3）大圆半径等于球的半径R，大圆面积S＝πR2，是球的表面积的.
【跟踪训练】
已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，则这两个截面间的距离为　　　　.
题型三 与球的切线有关的应用问题
【例3】　北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cos α）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（　　）
A.26% B.34%
C.42% D.50%
尝试解答
通性通法
　　求解实际生活中与球的切线有关问题时，应将实际情境问题抽象出对应的空间几何图形，借助截面将球与切线的位置关系转化为圆的问题.即将球的切线转化为截面圆的切线，再应用平面几何中的切线性质求解.
【跟踪训练】
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成的角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角的大小为　　　　.
1.直径为1的球的体积是（　　）
A.1　　　B.　　　C.　　　D.π
2.半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　　 ）
A.100 B.400
C.100π D.400π
3.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心O到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（　　）
A. B.
C. D.
4.某公园预备在国庆节前夕，用鲜花做成一个花柱摆放在公园正门口，它的下面是一个直径为2 m，高为4 m的圆柱形物体，上面是一个直径为2 m的半球形物体，如果1 m2大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要　　　　朵鲜花.（π取3.1）
6.3　球的表面积和体积
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）被经过球心　（2）不经过球心　
2.（1）唯一　切点　（2）相等　一个圆锥
知识点二
1.4πR2　2.πR3
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.B
3.88　解析：球的体积为πR3＝π×＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×（6×4＋4×2＋6×2）＝88.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
（2）设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
跟踪训练
1.C　设过球心的圆面的半径为R，则球的半径为R.由2πR＝C，得R＝，所以球的表面积S ＝4πR2＝.故选C.
2.π　解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得
即整理，得
解得故两球的体积之差的绝对值为＝＝.
【例2】　解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
因为球心O在截面△ABC的投影O'为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O'的直径（如图所示）.
设O'C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，
在Rt△O'CO中，由题设知sin∠O'CO＝＝，
所以∠O'CO＝30°，所以＝cos 30°＝，即R＝r，①
又2r＝AC＝30，所以r＝15，代入①得R＝10.所以球的表面积为S＝4πR2＝4π（10）2＝1 200π.球的体积为V＝πR3＝π（10）3＝4 000π.
跟踪训练
　2或14　解析：设圆O为球的大圆，点C，D分别为两截面的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，如图①，CD＝OC－OD＝－＝2；当两截面在球心两侧时，如图②，CD＝OC＋OD＝＋＝14.综上可知，两截面间的距离为2或14.
【例3】　C　如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36 000＋6 400＝42 400，cos α＝＝，S占地球表面积的百分比为＝≈42%，故选C.
跟踪训练
　40°　解析：画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l；AB是晷针所在直线，m是晷面的截线.依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m.由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE＝40°.
随堂检测
1.B　R＝，故V＝πR3＝×π×＝.
2.D　设大金属球的半径为r，则×23×125＝×r3 r＝10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D.
3.C　如图，设截面圆的圆心为O'，由题意可知，圆面的直径为6，则O'A＝3，又OO'＝4，所以球的半径R＝OA＝5，所以球的体积V＝πR3＝，故选C.
4.6 200　解析：由题意知，圆柱形物体的侧面积S1＝π×2×4＝3.1×2×4＝24.8（m2），半球形物体的表面积S2＝×4π×（ ）2＝×4×3.1×1＝6.2（m2），所以花柱的表面积S＝S1＋S2＝24.8＋6.2＝31（m2）.又31×200＝6 200（朵），所以装饰这个花柱大约需要6 200朵鲜花.
2 / 3(共63张PPT)
6.3　球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
掌握球的体积公式与表面积公式 直观想象、逻辑推
理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，若将球面分割成n个“小球面片”，以这些“小球面片”
为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥.
【问题】　这些小棱锥的底面积之和与高近似地等于什么？它们的体
积之和近似地等于多少？




知识点一　球的基本性质
1. 球的截面形状
（1）球面 的平面截得的圆称为球的大圆；
（2）被 的平面截得的圆称为球的小圆.
2. 球的切线
（1）当直线与球有 交点时，称直线与球相切，这一交点
称为直线与球的 ；
被经过球心　
不经过球心　
唯一　
切点　
（2）过球外一点的所有切线的切线长都 ，这些切点的集
合是以点O'为圆心、O'A为半径的圆，圆面O'及所有切线围成
了 .
相等　
一个圆锥　
提醒　（1）球的任意一个截面都是圆；（2）球的直径等于
球的内接长方体的对角线长，即2R＝ （其中R
为球的半径，a，b，c分别为长方体的长、宽、高）.
知识点二　球的表面积与体积
1. 球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S球面＝ .
2. 球的体积：设球的半径为R，则球的体积V球＝ .
4πR2　
πR3　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）过球外一点有且只有一条切线与球相切. （　×　）
（2）球面上的任意三点确定一个平面. （　√　）
（3）两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.
（　×　）
×
√
×
2. 直径为6的球的表面积和体积分别是（　　）
A. 36π，144π B. 36π，36π
C. 144π，36π D. 144π，144π
3. 半径为 的球的体积与一个长、宽分别为6，4的长方体的体积相
等，则长方体的表面积为 .
解析：球的体积为 πR3＝ π× ＝48，则长方体的高为48÷6÷4
＝2，故长方体的表面积为2×（6×4＋4×2＋6×2）＝88.
88　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 球的表面积与体积
【例1】　（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；
解：设球的半径为R，
则4πR2＝64π，
解得R＝4，
所以球的体积V＝ πR3＝ π·43＝ π.
（2）已知球的体积为 π，求它的表面积.
解：设球的半径为R，
则 πR3＝ π，
解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
通性通法
1. 球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过
来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题.
2. 球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方.
【跟踪训练】
1. 若过球的球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是（　　）
A. B.
C. D. 2πC2
解析：　设过球心的圆面的半径为R，则球的半径为R. 由2πR
＝C，得R＝ ，所以球的表面积S ＝4πR2＝ .故选C.
2. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之
差的绝对值为 .
解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），
则由题意得
即
π　
整理，得
解得
故两球的体积之差的绝对值为
＝ ＝ .
题型二 球的截面性质的应用
【例2】　已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半
径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积.
解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所
以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
因为球心O在截面△ABC的投影O'为截面圆的圆心，
也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截
面圆O'的直径（如图所示）.
设O'C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，
在Rt△O'CO中，由题设知 sin ∠O'CO＝ ＝ ，
所以∠O'CO＝30°，所以 ＝ cos 30°＝ ，
即R＝ r，①
又2r＝AC＝30，所以r＝15，代入①得R＝10 .
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π（10 ）2＝1 200π.
球的体积为V＝ πR3＝ π（10 ）3＝4 000 π.
通性通法
球的截面的性质
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系
式：d＝ ；
（3）大圆半径等于球的半径R，大圆面积S＝πR2，是球的表面积的
.
【跟踪训练】
已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，则这两个
截面间的距离为 .
解析：设圆O为球的大圆，点C，D分别
为两截面的圆心，AB为经过点C，O，D
的直径，由题中条件可得两截面的半径分
别为6和8.当两截面在球心同侧时，如图
①，CD＝OC－OD＝ －
＝2；当两截面在球心两侧时，如图②，CD＝OC＋OD＝ ＋ ＝14.综上可知，两截面间的距离为2或14.
2或14　
题型三 与球的切线有关的应用问题
【例3】　北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在
卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，
轨道高度为36 000 km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地
球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是
指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静
止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表
面积为S＝2πr2（1－ cos α）（单位：km2），则S占地球表面积的百
分比约为（　　）
A. 26% B. 34%
C. 42% D. 50%
解析：　如图，作出过地球静止同步轨道卫
星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36 000
＋6 400＝42 400， cos α＝ ＝ ，S占地
球表面积的百分比为 ＝
≈42%，故选C.
通性通法
　　求解实际生活中与球的切线有关问题时，应将实际情境问题抽象
出对应的空间几何图形，借助截面将球与切线的位置关系转化为圆的
问题.即将球的切线转化为截面圆的切线，再应用平面几何中的切线
性质求解.
【跟踪训练】
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到
晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上
一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成的角，点A处的水平
面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与
赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，
则晷针与点A处的水平面所成角的大小
为 .
40°　
解析：画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平
面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知
OA⊥l；AB是晷针所在直线，m是晷面的截线.依
题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根
据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直
的定义可得AB⊥m.由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE＝40°.
1. 直径为1的球的体积是（　　）
A. 1 B.
C. D. π
解析：　R＝ ，故V＝ πR3＝ ×π× ＝ .
2. 半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不
计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　　 ）
A. 100 B. 400
C. 100π D. 400π
解析：　设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3 r＝
10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D.
3. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心O到这个圆面的距离为
4，则这个球的体积为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　如图，设截面圆的圆心为O'，由题意可
知，圆面的直径为6，则O'A＝3，又OO'＝4，所以
球的半径R＝OA＝5，所以球的体积V＝ πR3＝
，故选C.
4. 某公园预备在国庆节前夕，用鲜花做成一个花柱摆放在公园正门
口，它的下面是一个直径为2 m，高为4 m的圆柱形物体，上面是
一个直径为2 m的半球形物体，如果1 m2大约需要鲜花200朵，那么
装饰这个花柱大约需要 朵鲜花.（π取3.1）
解析：由题意知，圆柱形物体的侧面积S1＝π×2×4＝3.1×2×4＝
24.8（m2），半球形物体的表面积S2＝ ×4π×（ ）2＝
×4×3.1×1＝6.2（m2），所以花柱的表面积S＝S1＋S2＝24.8＋
6.2＝31（m2）.又31×200＝6 200（朵），所以装饰这个花柱大约
需要6 200朵鲜花.
6 200 　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（　）
A. 2倍 B. 倍
C. 2 倍 D. 3 倍
解析：　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可
知 ＝2，所以R＝ r.所以 ＝ ＝ ＝2 .即球
的体积扩大到原来的2 倍.故选C.
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2. 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为
1，则该球的体积是（　　）
A. π B. 2 π
解析：　如图OO'＝1，设截面圆半径为r＝
AO'，球的半径为R. 由题意得截面圆的面积πr2
＝2π，解得r＝ .在Rt△AO'O中，OO'2＋AO'2
＝AO2，即R＝ ，所以球的体积V＝ πR3＝
4 π.故选C.
C. 4 π D. π
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3. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半
径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半
径是（　　）
A. cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
解析：　设球的半径为r，则一个球的体积为 πr3，原来水的体
积为πr2×8＝8πr2，淹没后球与水的体积为πr2×6r＝6πr3，所以
8πr2＋3× πr3＝6πr3，解得r＝4（0舍去），故选D.
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4. 已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面
上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A. B.
C. 1 D.
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解析：　如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，
则O1为等边三角形ABC的中心.设△ABC的边长为
a，则 a2＝ ，解得a＝3，∴O1A＝ × ×3＝
.设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即
OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝ ＝1，
即O到平面ABC的距离为1.
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5. （多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的
直径2R相等，下列结论正确的是（　　）
A. 圆柱的表面积为6πR2
B. 圆锥的表面积为3πR2
C. 圆锥的表面积与球面面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
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解析：　 由题意圆柱的底面直径与高均为2R，所以圆柱的表面
积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，故选项A正确.由题意圆锥的底面直
径和高均为2R. 所以圆锥的表面积为πR2＋πR× R＝（1＋
）πR2，故选项B不正确.球的表面积为4πR2，所以圆锥的表面
积与球面面积不相等，故选项C不正确.圆柱的体积为V1＝
πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为V2＝ πR2×2R＝ πR3，球的体积
为V3＝ πR3，所以V1∶V2∶V3＝3∶1∶2 ，故选项D正确.故选
A、D.
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6. （多选）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥
平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2 ，点D为AB的
中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是（　　）
A. B. π
C. 9π D. 13π
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解析：　三棱锥P-ABC的外接球即为以
AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴2R
＝ ＝2 ，∴R＝ ，
取BC的中点O1，则O1为△ABC的外接圆圆心，
∴OO1⊥平面ABC，如图，
当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵OD＝ ＝ ＝2 ，此时截面圆的半径为r＝ ＝1，∴截面面积为πr2＝π；当截面过球心时，截面圆的面积最大
为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].
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7. 已知A，B，C为球O球面上的三个点，且△ABC是面积为3的等
腰直角三角形，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的体积
为 .
解析：设等腰直角三角形ABC斜边长为2r，则斜边上的高为r，则
·2r·r＝r2＝3，所以球的半径R＝ ＝2，所以球的体积为
×R3＝ ×8＝ .
　
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8. 设A是半径为2的球O表面上一点，过点A作球O的截面，若OA与
该截面的夹角为60°，则该截面的面积是 .
解析：设AB是截面圆的直径，则∠OAB为直线OA与该截面的夹
角，即∠OAB＝60°，从而△OAB为正三角形，故截面圆的面积
为π·12＝π.
π　
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9. 已知三个球的半径分别为R1，R2，R3，且满足R1＋2R2＝3R3，则
它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是
3 　，它们相应的体积V1，V2，V3满足的等量关系是 　 ＋
.
＋2 ＝
3 　
＋
2 ＝3 　
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解析：因为S1＝4π ，所以R1＝ ＝ ，同理可得R2＝ ，
R3＝ .由R1＋2R2＝3R3，得 ＋2 ＝3 .由V1＝
π ，得R1＝ ＝ .同理可得R2＝ ＝ ，R3＝
＝ .由R1＋2R2＝3R3，得 ＋2 ＝3 .
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10. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体
积之比.
解：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正
方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝ .
在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，
即a2＋ ＝R2，∴R＝ a.
从而V半球＝ πR3＝ π ＝ πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝ πa3∶a3＝ π∶2.
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11. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时
测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（　　）
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
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解析：　作出该球轴截面的图形如图所示，依题意知，BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm，设DE＝x cm，故AD＝（2＋x）cm，由AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5 cm，所
以V＝ πR3＝ （cm3）.
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12. “外圆内方”图案是我国古代建筑和其他用品中常采用的设计，
例如古代铜钱的造型便是其中之一，它体现了数学图形的对称美.
如图，若铜钱内孔正方形边长与外圆的半径之比为 ∶3，且铜
钱面积为25（π的值取3），现在以铜钱内孔正方形对角线所在直
线为轴，将铜钱旋转一周形成一几何体，则该几何体的体积为
（　　）
A. 102 B. 104
C. 106 D. 108
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解析：　铜钱旋转形成的几何体相当于一个球体内部挖去了两
个共底的形状相同的圆锥.设外圆的半径和正方形边长分别为3a
和 a（a＞0），则π·（3a）2－（ a）2＝25，解得a＝1.所
以外圆的半径为3，正方形边长为 ，则两个共底的圆锥底面半
径和高均为1，所以形成的几何体的体积为 π×33－2×
×π×12×1＝106.
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13. 过球外一点P作球的三条切线，切点分别为A，B，C，若P，
A，B，C是棱长为2的正四面体的顶点，则该球的半径为 .
　
解析：如图所示，设△ABC的中心为H，连接
AH，PH，则球心在PH的延长线上，记球心为
O. 连接OA，OB，OC. 依题意知，PA＝2，
AH＝ ，根据勾股定理得PH＝ .在
Rt△OPA中，由射影定理得PA2＝PH·OP，解得OP＝ .又PA是球的切线，所以在Rt△AOP中，AO＝ ＝ ，所以该球的半径为 .
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14. 如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口
径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是
球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂
直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，
球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
（1）求球冠所在球的半径R（结果用h，r表示）；
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解：如图，点O是球冠所在球的球心，
点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆
周上一点，线段O1B是球冠的高，
依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝
h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝O ＋O1A2，即R2
＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝
，所以球冠所在球的半径R＝ .
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（2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π
时，求 的值及球冠所在球的表面积.
解：因球冠底面圆周长C＝500π，
则r＝ ＝250，
又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝ ＝ ，由（1）知R＝ ，
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即65 000＝ ＋2502，解得R＝650，
于是得 ＝ ＝ ，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，
所以 的值是 ，球冠所在球的表面积是1 690 000π.
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15. （多选）已知三棱锥S-ABC的顶点均在表面积为8π的球O的球面
上，SA，SB，SC两两垂直，SA＝2，SB＝ ，则下列结论中
正确的是（　　）
A. 球O的半径为
B. SC＝
C. 点S到平面ABC的距离为
D. 点O到平面ABC的距离为
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解析：　设球O的半径为R，由4πR2＝8π，得R＝ ，故A正确.将三棱锥S-ABC放置在长方体中，如图所示，由2R＝2 ＝ ，得2 ＝ ，解得SC＝ ，故B正确.
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∵SA＝2，SB＝SC＝ ，∴AB＝AC＝ ，BC＝2，则△ABC
的面积为 ×2× ＝ ，设S到平面ABC的距离为d1，由等体积法可得 × × × ×2＝ × ×d1，从而可得点S到平面
ABC的距离d1＝ ，故C错误.在△ABC中， cos ∠BAC＝ ＝ ，则 sin ∠BAC＝ ，设△ABC外接圆的半径为r，则r＝ ＝
，又外接球的半径R＝ ，∴球心O到平面ABC的距离为 ＝ ，故D正确.故选A、B、D.
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16. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图①的多
面体石凳是由图②的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且
该石凳的体积是 cm3.
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（1）求正方体石块的棱长；
解：设正方体石块的棱长为a，
则每个截去的四面体的体积为
× × × × ＝ .
由题意可得8× ＋ ＝a3，解得a＝40.
故正方体石块的棱长为40 cm.
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（2）为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面
形石凳（图①）打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆
全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷1.5
m2左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉
刷几个球形石凳？（精确到1，π取3.14）
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解：当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形
石凳的表面积最大.
此时正方体的棱长正好是球的直径，
所以球形石凳的表面积S＝4π× ＝1 600π cm2＝0.16 πm2.
又一瓶环保底漆可粉刷1.5 m2左右，
故一瓶环保底漆大约可粉刷 ≈3个石凳.
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谢 谢 观 看！

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