资源简介 培优课 与球相关的“切”与“接”1.若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（ ）A.8 B.8C.8 D.42.已知底面半径为的圆锥的侧面积为6π，则该圆锥的外接球的体积为（ ）A. B.4πC.12π D.16π3.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.π B.C. D.4.三棱锥B-ACD的顶点都在同一球面上，其中BA，BC，BD两两垂直，且BA＝3，BC＝4，BD＝5，则该球的表面积为（ ）A.100π B.64πC.50π D.36π5.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（ ）A.4π B.C.6π D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A.3π B.4πC.9π D.12π7.底面为矩形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝2，AD＝2，它的最大体积为，则球O的表面积为（ ）A.10π B.15πC.20π D.25π8.如图，有一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放入的小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放入的正方体的最大棱长为a，则＝（ ）A. B.C.2－ D.（－1）9.（多选）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（ ）A.体积之比为 B.体积之比为C.表面积之比为 D.表面积之比为10.（多选）正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（ ）A. B.C.2 D.11.（多选）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M，N，若线段MN的最小值为2，则（ ）A.正四面体的外接球的表面积为96πB.正四面体的内切球的体积为8πC.正四面体的棱长为12D.线段MN的最大值为312.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为 .13.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A-EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为 .14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求此正四棱锥的底面边长与内切球半径比.15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.（1）求AB的长度；（2）求该长方体外接球的表面积.16.一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求：（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥内切球的体积.培优课 与球相关的“切”与“接”1.A ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2，不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝，∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8.2.A 如图所示，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，外接球的半径为R.则πrl＝πl＝6π，解得l＝2，∴h＝＝3，又R2＝（h－R）2＋r2，即R2＝（3－R）2＋3，解得R＝2.∴该圆锥的外接球的体积V＝πR3＝.3.B 绘制圆柱的轴截面，如图，则A为球的球心，AC为半径.由题意可得AC＝1，AB＝，结合勾股定理，可知底面半径r＝＝.由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积V＝πr2h＝π×（）2×1＝π.故选B.4.C 在三棱锥B-ACD中，由BA，BC，BD两两垂直，可将该三棱锥补成长方体BCED-AFGH，如图，则长方体的外接球即为所求三棱锥的外接球.连接BG，则长方体BCED-AFGH的体对角线长为BG＝＝5，所以三棱锥B-ACD的外接球的半径R＝＝，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝50π.故选C.5.B ∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有（6＋8＋10）×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.∴在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝×π×＝.6.B 设球的半径为R，则有πR3＝π，解得R＝2.设两个圆锥的高分别为h，3h，由题意可知h＋3h＝2R＝4，解得h＝1，即两个圆锥的高分别为1，3，则球心到圆锥的底面的距离d＝R－h＝1.设这两个圆锥的底面半径为r，根据球的截面性质得R2＝d2＋r2，即4＝1＋r2，解得r＝，故两个圆锥的体积之和为πr2（h＋3h）＝π×3×4＝4π，故选B.7.D 如图所示，矩形ABCD的对角线的交点为O1，当点P在O1O的延长线上，并在球面上时，四棱锥P-ABCD的体积最大，则有×2×2×PO1＝，所以PO1＝4，连接OA，设球O的半径为R，则PO＝OA＝R，OO1＝4－R，O1A＝＝2，在Rt△AO1O中，O＋O1A2＝OA2，即（4－R）2＋22＝R2，所以R＝.则S球＝4πR2＝4π×＝25π.8.D 根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图①，由可放入的小球的最大半径为r，得（＋1）r＝R，即r＝＝（－1）R.若可放入的正方体的最大棱长为a，如图②，则有（a）2＋（）2＝R2，得a＝R，则＝＝（－1）.故选D.9.AC 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2.10.AB 因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O（图略）.①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝.11.BC 设这个四面体的棱长为a，四面体可看作由棱长为a的正方体截得的，故四面体的外接球即正方体的外接球，外接球直径为正方体体对角线长，设R外，r内分别为正四面体的外接球、内切球半径，2R外＝a×＝a，∴R外＝a.四面体的高h＝a，设正四面体底面面积为S，根据等体积法得S·h＝4×S·r内，解得r内＝a，依题意得R外－r内＝a－a＝2，∴a＝12，故C正确；正四面体的外接球的半径为×12＝3，则正四面体外接球的表面积为4π×54＝216π，故A错误；正四面体的内切球的半径为×12＝，则内切球的体积V＝π×6＝8π，故B正确；线段MN的最大值为R外＋r内＝3＋＝4，故D错误.故选B、C.12.9π 解析：因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a，则·a＝1，a＝2，所以圆锥的底面圆半径为，从而圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝π··2＋π·（）2＝9π.13. 解析：由题意，折叠后的四面体A-EFG如图所示，设正方形边长为a，四面体A-EFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝，易知在折叠后的四面体A-EFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体A-EFG的外接球半径r＝＝a，由4πr2＝，解得r＝，所以a＝r＝×＝.14.解：上层轮廓近似的正四棱锥如图所示，O'为底面中心，O为内切球球心，OF⊥平面PCD且E为CD中点，令内切球半径为r，AB＝BC＝CD＝DA＝2a，∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴4S△PCD＝2SABCD，即4××PE×CD＝2AD×CD，故PE＝2a，则PO'＝a，又∵＝，即＝，∴r＝.∴正四棱锥的底面边长与内切球半径比为2.15.解：（1）设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图①的最短路程为AC1＝.如图②的最短路程为AC1＝＝，∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得＝2，解得x＝2.即AB的长度为2.（2）设长方体外接球的半径为R，则（2R）2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝，∴S＝4πR2＝6π，即该长方体外接球的表面积为6π.16.解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB外接圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，∴R3＝729，R＝9，∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.∵SE是直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，AD2＝SD×DE＝16×2＝32，∴SA＝12，AD＝4，∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π.（2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r.∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32，∴r×32＝×8×16，解得r＝4，∴圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π.2 / 2培优课 与球相关的“切”与“接”题型一 常见几何体的外接球角度1 棱柱的外接球【例1】 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A.12π B.πC.8π D.4π尝试解答通性通法 求长方体（正方体）的外接球的基本思路 如图所示，长方体的体对角线为长方体外接球的直径.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则（2R）2＝x2＋y2＋z2.【例2】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.πa2 B.πa2C.πa2 D.5πa2尝试解答通性通法求直棱柱的外接球的基本思路如图所示，可以将直棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球.设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则（2r）2＋h2＝（2R）2.角度2 棱锥（台）的外接球【例3】 已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S -ABC的体积为9，则球O的表面积为 .尝试解答通性通法1.求棱锥（台）的外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据有两个，一是根据球心到球面上各点的距离都等于半径，二是根据球心与截面圆心的连线垂直于截面.2.补形转化求三类特殊三棱锥外接球（1）两个侧面垂直于底面的三棱锥A1-ABC.一般将其补形为直三棱柱，如图①；（2）一个侧面垂直于底面的三棱锥P-ABC可转化为与其同外接球的三棱锥S-ABC求解，如图②；（3）对棱相等的三棱锥A-BCD，可补形为长方体，再求外接球，如图③.角度3 圆柱、圆锥、圆台的外接球【例4】 如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（ ）A.64π B.48πC.32π D.16π尝试解答通性通法求圆柱、圆锥、圆台的外接球的一般思路（1）确定几何体的顶点、底面与球面公共点及交线，抽象得出该几何体的外接球的位置，找到球心；（2）一般过球心作截面，将球的半径、几何体的高、母线、底面半径转到平面几何中的直角三角形、相似三角形中求解.【跟踪训练】1.已知高为4的圆锥外接球的体积为36π，则圆锥的体积为（ ）A. B.C. D.32π2.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A.100π B.128πC.144π D.192π题型二 几何体的内切球【例5】 若一个圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（ ）A.4π（R＋r）2 B.4πR2r2C.4πRr D.π（R＋r）2尝试解答通性通法 解决几何体的内切球问题，应先画出示意图（一般画出轴截面或对角面），再根据题中的数量关系将其转化为平面问题，如转化成三角形问题、圆的有关问题等.求解时，需注意以下几点：（1）正方体的内切球的直径等于正方体的棱长；（2）①正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；②棱长为a的正四面体的高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a；（3）若球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（4）若球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.【跟踪训练】如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC的内切球的表面积.培优课 与球相关的“切”与“接”【典型例题·精研析】【例1】 A 设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·（）2＝12π，故选A.【例2】 B 如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴A＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2.【例3】 36π 解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【例4】 C 如图，N为圆柱底面圆的圆心，M为球面上一点，设圆柱底面半径为r，球的半径R与圆柱底面夹角为∠OMN＝α，则MN＝r＝R·cos α＝4cos α，ON＝R·sin α＝4sin α，∴圆柱的高h＝8sin α，∴圆柱的侧面积S＝2π·r·h＝32π·sin 2α，结合正弦函数的性质知，当且仅当sin 2α＝1，即α＝时，圆柱的侧面积最大，为32π.此时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为4πR2－2πrh＝64π－32π＝32π.跟踪训练1.A 设圆锥外接球的球心为O，半径为R，圆锥的底面圆的半径为r.由题意得R3＝36π，∴R＝3，∴球心O到圆锥底面的距离d＝4－3＝1，∴r2＝R2－d2＝8，∴该圆锥的体积为πr2h＝π×8×4＝，故选A.2.A 设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令｜OO1｜＝t，则｜OO2｜＝｜t－1｜.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.【例5】 C 法一 作圆台的轴截面，如图所示，设球的半径为r1，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AM＝AF，BN＝BF，又BN＝R，AM＝r，则AB＝R＋r，即CD＝R＋r.过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，CD＝R＋r，由勾股定理得4＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr.法二 如图所示，设球O的半径为r2，连接OA，OB，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AF＝AM＝r，BF＝BN＝R，∠MAO＝∠FAO，∠NBO＝∠FBO，又∠MAO＋∠FAO＋∠NBO＋∠FBO＝180°，所以∠OAF＋∠OBF＝90°，即∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即＝Rr，故r2＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr.跟踪训练 解：由PA⊥平面PBC，且PA＝4，PB＝2，AC＝2， 得AB＝2，PC＝2，所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形.V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝S△PBC×PA＝××（2）2×4＝4.易知三棱锥P-ABC的表面积S＝×2×4×2＋×（2）2＋×2×5＝16.设内切球半径为r，则V三棱锥P-ABC＝×S×r，即4＝×16×r，解得r＝.所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×（ ）2＝.4 / 4(共54张PPT)培优课 与球相关的“切”与“接”目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动 关键能力提升题型一 常见几何体的外接球角度1 棱柱的外接球【例1】 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 12π B. π C. 8π D. 4π解析： 设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2 ，所以正方体外接球的半径为 ，所以球的表面积为4π·（ ）2＝12π，故选A.通性通法 求长方体（正方体）的外接球的基本思路如图所示，长方体的体对角线为长方体外接球的直径.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则（2R）2＝x2＋y2＋z2.【例2】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. πa2 B. πa2 C. πa2 D. 5πa2解析： 如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.∵AD＝ a，AO＝AD＝ a，OO2＝ ，∴A ＝ a2＋ a2＝ a2，故该球的表面积S球＝4π× a2＝ πa2.通性通法求直棱柱的外接球的基本思路如图所示，可以将直棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球.设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则（2r）2＋h2＝（2R）2.角度2 棱锥（台）的外接球【例3】 已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为 .36π 解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO＝ × ×AO，即9＝ ××R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.通性通法1. 求棱锥（台）的外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据有两个，一是根据球心到球面上各点的距离都等于半径，二是根据球心与截面圆心的连线垂直于截面.2. 补形转化求三类特殊三棱锥外接球（1）两个侧面垂直于底面的三棱锥A1-ABC. 一般将其补形为直三棱柱，如图①；（3）对棱相等的三棱锥A-BCD，可补形为长方体，再求外接球，如图③.（2）一个侧面垂直于底面的三棱锥P-ABC可转化为与其同外接球的三棱锥S-ABC求解，如图②；角度3 圆柱、圆锥、圆台的外接球【例4】 如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（ ）A. 64π B. 48πC. 32π D. 16π解析： 如图，N为圆柱底面圆的圆心，M为球面上一点，设圆柱底面半径为r，球的半径R与圆柱底面夹角为∠OMN＝α，则MN＝r＝R· cos α＝4 cosα，ON＝R· sin α＝4 sin α，∴圆柱的高h＝8 sinα，∴圆柱的侧面积S＝2π·r·h＝32π· sin 2α，结合正弦函数的性质知，当且仅当 sin 2α＝1，即α＝时，圆柱的侧面积最大，为32π.此时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为4πR2－2πrh＝64π－32π＝32π.通性通法求圆柱、圆锥、圆台的外接球的一般思路（1）确定几何体的顶点、底面与球面公共点及交线，抽象得出该几何体的外接球的位置，找到球心；（2）一般过球心作截面，将球的半径、几何体的高、母线、底面半径转到平面几何中的直角三角形、相似三角形中求解.【跟踪训练】1. 已知高为4的圆锥外接球的体积为36π，则圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 32π解析： 设圆锥外接球的球心为O，半径为R，圆锥的底面圆的半径为r.由题意得 R3＝36π，∴R＝3，∴球心O到圆锥底面的距离d＝4－3＝1，∴r2＝R2－d2＝8，∴该圆锥的体积为 πr2h＝π×8×4＝ ，故选A.2. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π解析： 设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O. 令｜OO1｜＝t，则｜OO2｜＝｜t－1｜.由题意及正弦定理，得2r1＝ ＝6，2r2＝ ＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝ ＋t2＝ ＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.题型二 几何体的内切球【例5】 若一个圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（ ）A. 4π（R＋r）2 B. 4πR2r2C. 4πRr D. π（R＋r）2解析： 法一 作圆台的轴截面，如图所示，设球的半径为r1，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AM＝AF，BN＝BF，又BN＝R，AM＝r，则AB＝R＋r，即CD＝R＋r.过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，CD＝R＋r，由勾股定理得4＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝ .故球的表面积S球面＝4π ＝4πRr.法二 如图所示，设球O的半径为r2，连接OA，OB，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AF＝AM＝r，BF＝BN＝R，∠MAO＝∠FAO，∠NBO＝∠FBO，又∠MAO＋∠FAO＋∠NBO＋∠FBO＝180°，所以∠OAF＋∠OBF＝90°，即∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即 ＝Rr，故r2＝ .故球的表面积S球面＝4π ＝4πRr.通性通法 解决几何体的内切球问题，应先画出示意图（一般画出轴截面或对角面），再根据题中的数量关系将其转化为平面问题，如转化成三角形问题、圆的有关问题等.求解时，需注意以下几点：（1）正方体的内切球的直径等于正方体的棱长；（2）①正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；②棱长为a的正四面体的高为 a，其外接球的半径为 a，内切球的半径为 a；（3）若球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（4）若球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.【跟踪训练】如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，AC＝2 ，PB＝BC＝2 ，PA⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC的内切球的表面积.解：由PA⊥平面PBC，且PA＝4，PB＝2 ，AC＝2 ， 得AB＝2 ，PC＝2 ，所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形.V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝ S△PBC×PA＝ × ×（2 ）2×4＝4 .易知三棱锥P-ABC的表面积S＝ ×2 ×4×2＋ ×（2 ）2＋ ×2 ×5＝16 .设内切球半径为r，则V三棱锥P-ABC＝×S×r，即4 ＝ ×16 ×r，解得r＝ .所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×（ ）2＝ .知能演练·扣课标02课后巩固 核心素养落地1. 若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（ ）A. 8 B. 8 C. 8 D. 4解析： ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2，不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝ ，∴正方体的表面积为6a2＝6× ＝8.123456789101112131415162. 已知底面半径为 的圆锥的侧面积为6π，则该圆锥的外接球的体积为（ ）A. B. 4 π C. 12π D. 16π解析： 如图所示，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，外接球的半径为R. 则πrl＝πl＝6π，解得l＝2 ，∴h＝ ＝3，又R2＝（h－R）2＋r2，即R2＝（3－R）2＋3，解得R＝2.∴该圆锥的外接球的体积V＝ πR3＝ .123456789101112131415163. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A. π B. C. D.解析： 绘制圆柱的轴截面，如图，则A为球的球心，AC为半径.由题意可得AC＝1，AB＝ ，结合勾股定理，可知底面半径r＝ ＝ .由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积V＝πr2h＝π×（ ）2×1＝ π.故选B.123456789101112131415164. 三棱锥B-ACD的顶点都在同一球面上，其中BA，BC，BD两两垂直，且BA＝3，BC＝4，BD＝5，则该球的表面积为（ ）A. 100π B. 64π C. 50π D. 36π解析： 在三棱锥B-ACD中，由BA，BC，BD两两垂直，可将该三棱锥补成长方体BCED-AFGH，如图，则长方体的外接球即为所求三棱锥的外接球.连接BG，则长方体BCED-AFGH的体对角线长为BG＝ ＝5 ，所以三棱锥B-ACD的外接球的半径R＝ ＝ ，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝50π.故选C.123456789101112131415165. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（ ）A. 4π B. C. 6π D.解析： ∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有 （6＋8＋10）×R＝ ×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝ .∴在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为 ，故最大体积V＝×π× ＝ .123456789101112131415166. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. 3π B. 4π C. 9π D. 12π12345678910111213141516解析： 设球的半径为R，则有 πR3＝ π，解得R＝2.设两个圆锥的高分别为h，3h，由题意可知h＋3h＝2R＝4，解得h＝1，即两个圆锥的高分别为1，3，则球心到圆锥的底面的距离d＝R－h＝1.设这两个圆锥的底面半径为r，根据球的截面性质得R2＝d2＋r2，即4＝1＋r2，解得r＝ ，故两个圆锥的体积之和为πr2（h＋3h）＝ π×3×4＝4π，故选B.123456789101112131415167. 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝2 ，AD＝2，它的最大体积为 ，则球O的表面积为（ ）A. 10π B. 15π C. 20π D. 25π12345678910111213141516解析： 如图所示，矩形ABCD的对角线的交点为O1，当点P在O1O的延长线上，并在球面上时，四棱锥P-ABCD的体积最大，则有 ×2 ×2×PO1＝ ，所以PO1＝4，连接OA，设球O的半径为R，则PO＝OA＝R，OO1＝4－R，O1A＝ ＝2，在Rt△AO1O中，O ＋O1A2＝OA2，即（4－R）2＋22＝R2，所以R＝ .则S球＝4πR2＝4π× ＝25π.123456789101112131415168. 如图，有一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放入的小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放入的正方体的最大棱长为a，则 ＝（ ）A. B.C. 2－ D. （ －1）12345678910111213141516解析： 根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图①，由可放入的小球的最大半径为r，得（ ＋1）r＝R，即r＝ ＝（ －1）R.若可放入的正方体的最大棱长为a，如图②，则有（ a）2＋（ ）2＝R2，得a＝ R，则 ＝ ＝ （ －1）.故选D.123456789101112131415169. （多选）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（ ）A. 体积之比为 B. 体积之比为C. 表面积之比为 D. 表面积之比为12345678910111213141516解析： 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2.1234567891011121314151610. （多选）正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（ ）A. B.C. 2 D.12345678910111213141516解析： 因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为 ，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝ .连接AC，BD交于点O（图略）.①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋ ＝ ＋ ＝ ，所以正四棱锥P-ABCD的体积为 ×3× ＝ ；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－ ＝ － ＝ ，所以正四棱锥P-ABCD的体积为 ×3× ＝ .1234567891011121314151611. （多选）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M，N，若线段MN的最小值为2 ，则（ ）A. 正四面体的外接球的表面积为96πB. 正四面体的内切球的体积为8 πC. 正四面体的棱长为12D. 线段MN的最大值为312345678910111213141516解析： 设这个四面体的棱长为a，四面体可看作由棱长为a的正方体截得的，故四面体的外接球即正方体的外接球，外接球直径为正方体体对角线长，设R外，r内分别为正四面体的外接球、内切球半径，2R外＝ a× ＝ a，∴R外＝ a.四面体的高h＝ a，设正四面体底面面积为S，根据等体积法得 S·h＝4× S·r内，解得r内＝ a，依题意得R外－r内＝ a－ a＝2 ，∴a＝12，故C正确；12345678910111213141516正四面体的外接球的半径为 ×12＝3 ，则正四面体外接球的表面积为4π×54＝216π，故A错误；正四面体的内切球的半径为 ×12＝，则内切球的体积V＝ π×6 ＝8 π，故B正确；线段MN的最大值为R外＋r内＝3 ＋ ＝4 ，故D错误.故选B、C.1234567891011121314151612. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为 .解析：因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a，则 · a＝1，a＝2 ，所以圆锥的底面圆半径为 ，从而圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝π· ·2 ＋π·（ ）2＝9π.9π 1234567891011121314151613. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G. 若四面体A-EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为 . 12345678910111213141516解析：由题意，折叠后的四面体A-EFG如图所示，设正方形边长为a，四面体A-EFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝ ，易知在折叠后的四面体A-EFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体A-EFG的外接球半径r＝ ＝ a，由4πr2＝ ，解得r＝ ，所以a＝ r＝ × ＝ .1234567891011121314151614. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求此正四棱锥的底面边长与内切球半径比.12345678910111213141516解：上层轮廓近似的正四棱锥如图所示，O'为底面中心，O为内切球球心，OF⊥平面PCD且E为CD中点，令内切球半径为r，AB＝BC＝CD＝DA＝2a，∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴4S△PCD＝2SABCD，即4× ×PE×CD＝2AD×CD，故PE＝2a，则PO'＝ a，又∵ ＝ ，即 ＝ ，∴r＝ .∴正四棱锥的底面边长与内切球半径比为2 .1234567891011121314151615. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2 .（1）求AB的长度；12345678910111213141516解：设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图①的最短路程为AC1＝ .如图②的最短路程为AC1＝＝ ，∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为 .由题意得 ＝2 ，解得x＝2.即AB的长度为2.12345678910111213141516（2）求该长方体外接球的表面积.解：设长方体外接球的半径为R，则（2R）2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝ ，∴S＝4πR2＝6π，即该长方体外接球的表面积为6π.1234567891011121314151616. 一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求：（1）圆锥的侧面积；解：如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB外接圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π，∴R3＝729，R＝9，∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.12345678910111213141516∵SE是直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，AD2＝SD×DE＝16×2＝32，∴SA＝12 ，AD＝4 ，∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4 ×12 ＝96π.12345678910111213141516（2）圆锥内切球的体积.解：设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r.∵△SAB的周长为2×（12 ＋4 ）＝32 ，∴ r×32 ＝ ×8 ×16，解得r＝4，∴圆锥内切球的体积V球＝ πr3＝ π.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 培优课 与球相关的“切”与“接”.docx 培优课 与球相关的“切”与“接”.pptx 培优课 与球相关的“切”与“接”（练习，含解析）.docx
资源列表
