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章末检测（六）　立体几何初步
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，A'O'＝6，B'O'＝2，则△OAB的面积为（　　）
A.1 B.3
C.6 D.12
2.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（　　）
A.相交 B.异面
C.异面或相交 D.平行
3.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，则截面把圆锥母线分成的两段的比是（　　）
A.1∶3 B.1∶（－1）
C.1∶9 D.∶2
4.已知平面α⊥平面β，直线m α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为（　　）
A.S1＞S2 B.S1＜S2
C.S1＝S2 D.以上都不是
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（　　）
A.A1O∥D1C B.A1O∥平面B1CD1
C.A1O⊥BC D.A1O⊥平面AB1D1
7.已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（　　 ）
A.8π B.16π
C.8π D.4π
8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有（　　）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是（　　）
A.l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B.l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D.l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
10.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是（　　）
A.异面直线BD与AC的夹角为90°
B.∠BAC＝60°
C.三棱锥D-ABC是正三棱锥
D.平面ADC和平面ABC垂直
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　　　　　　.
13.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为，则球O的表面积为　　　　.
14.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝4，点P在棱AA1上，且AP＝1，若EF∥平面PBD，则CF＝　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求三棱锥V-ABC的体积.
16.（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F-BD-C的余弦值.
17.（本小题满分15分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.
（1）求证：EF∥平面A1B1BA；
（2）求直线A1B1与平面BCB1夹角的大小.
18.（本小题满分17分）如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
（1）证明：CD⊥平面A1OC；
（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值.
19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝.
（1）求证：B1C∥平面A1BM；
（2）求证：AC1⊥平面A1BM；
（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
章末检测（六）　立体几何初步
1.D　2.C　3.B　4.C　5.A
6.B　∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O 平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1.
7.C　设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，则r＞2，由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则2l＝rh，即h＝，又l2＝r2＋h2，所以l2＝r2＋，解得l2＝＝，
由r＞2，则－＝－＋≤，当且仅当＝，即r＝2时，l取最小值4，此时圆锥的侧面积为πrl＝2×4π＝8π.故选C.
8.C　由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P-DBC是一个鳖臑，因为DE 平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E-BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E-BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P-ABD和F-ABD都是鳖臑，故选C.
9.ACD　利用常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，B对；例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错.故选A、C、D.
10.ABC　对于A，由已知条件知BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角，又因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD，因为BD⊥AD，AD∩CD＝D，所以BD⊥平面ACD.因为AC 平面ACD，所以BD⊥AC.所以异面直线BD与AC的夹角为90°，故选项A正确；对于B，因为BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，且AD＝BD＝CD，所以AB＝BC＝CA，所以△ABC是等边三角形，可得∠BAC＝60°，故选项B正确；对于C，因为DA＝DB＝DC，且AB＝BC＝CA，DA，DB，DC两两垂直，所以D在平面ABC内的投影是△ABC的中心，所以三棱锥D-ABC是正三棱锥，故选项C正确；对于D，因为三棱锥D-ABC是正三棱锥，所以侧面ADC和底面ABC不垂直，故选项D不正确.
11.BC　连接AD1，D1F，A1D（图略），因为AD1∥EF，平面AEF即平面AEFD1，易知A1D⊥平面AEFD1，故DD1与AF不垂直，故A错误；因为A1G∥D1F，A1G 平面AEFD1，D1F 平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C正确；点G到平面AEF的距离即点A1到平面AD1F的距离，显然D错误.故选B、C.
12.①③④ ②（或②③④ ①）　解析：∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.又∵④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④ ②.若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α.又∵④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④ ①.
13.36π　解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥O-ABC的体积最大.设球O的半径为R，∴VO-ABC＝VC-AOB＝××R2×R＝＝，解得R＝3，则球O的表面积S＝4πR2＝36π.
14.1　解析：由题意可知，长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形.连接AC交BD于O，连接PO.因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO.在PA1上截取PQ，使得PQ＝PA＝1.连接QC，易知O为AC的中点，所以QC∥PO，所以EF∥QC.又EQ∥FC，所以四边形EQCF是平行四边形，所以QE＝CF.又AE＋CF＝4，AE＋A1E＝4，所以A1E＝CF＝EQ＝A1Q＝1，所以CF＝1.
15.解：（1）证明：因为O，M分别是AB，VA的中点，所以MO∥VB.
因为MO 平面MOC，VB 平面MOC，所以VB∥平面MOC.
（2）因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC 平面ABC，所以OC⊥平面VAB.
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝，
所以VV-ABC＝VC-VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝.
所以三棱锥V-ABC的体积为.
16.解：（1）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，所以BD⊥平面AED.
（2）取BD的中点G，连接CG，FG（图略）.
因为CB＝CD，所以CG⊥BD.
因为FC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以FC⊥BD.
又FC∩CG＝C，所以BD⊥平面FCG，
所以BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角.
在等腰三角形BCD中，因为∠BCD＝120°，所以CG＝CB.
又CB＝CF，所以GF＝＝CG，故cos∠FGC＝.
因此二面角F-BD-C的余弦值为.
17.解：（1）证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，
因为点E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF 平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
（2）如图，取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，
所以四边形NEAA1为平行四边形，所以A1N∥AE且A1N＝AE.
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，A1N⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，则易证得BB1⊥平面ABC.
因为AE 平面ABC，所以BB1⊥AE，A1N⊥BB1，
又BB1∩BC＝B，所以A1N⊥平面BCB1，
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1的夹角.
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1的夹角为30°.
18.解：（1）证明：连接CE（图略）.在直角梯形ABCD中，
因为AB＝BC＝AD＝a，点E是AD的中点，∠BAD＝90°，
所以四边形ABCE是正方形，所以BE⊥AC.
在四棱锥A1-BCDE中，BE⊥A1O，BE⊥OC.
因为A1O∩OC＝O，A1O 平面A1OC，OC 平面A1OC，
所以BE⊥平面A1OC.又因为DE∥BC，DE＝BC，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE.又由（1）知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
所以四棱锥A1-BCDE的体积V＝×S×A1O＝a3.
由a3＝36，解得a＝6.
19.解：（1）证明：如图，连接AB1交A1B于O，连接OM.
在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.
又OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
（2）证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，
BM 平面ABC，所以AA1⊥BM.
因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.
又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.
因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.
在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝，
所以∠AC1C＝∠A1MA，所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M＝M，所以AC1⊥平面A1BM.
（3）存在点N，且当点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图.
因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝CC1.
又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN，
因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面AA1C1C.
又因为DN 平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.
3 / 4(共46张PPT)
章末检测（六）立体几何初步
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，A'O'＝6，B'O'＝2，
则△OAB的面积为（　　）
A. 1 B. 3
C. 6 D. 12
解析：　△OAB是直角三角形，其两条直角边分别是4和6，则其
面积是12.
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2. 分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 异面
C. 异面或相交 D. 平行
解析：　（1）若两条直线与两
异面直线的交点有4个，如图①，
两条直线异面；（2）若两条直线
与两异面直线的交点有3个，如图
②，两条直线相交.故选C.
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3. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是
1∶3，则截面把圆锥母线分成的两段的比是（　　）
A. 1∶3
C. 1∶9
解析：　设截面圆的半径为r，原圆锥的底面半径为R，则 ＝
，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为1∶ ，故截面把圆锥母
线段分成的两段比是1∶（ －1）.故选B.
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4. 已知平面α⊥平面β，直线m α，α∩β＝l，则“m⊥l”是
“m⊥β”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：　若m⊥l，则根据面面垂直的性质定理可得m⊥β；若
m⊥β，则由l β，可得m⊥l.故选C.
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5. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为 ，则正
三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为（　　）
A. S1＞S2 B. S1＜S2
C. S1＝S2 D. 以上都不是
解析：　斜高h'＝ ＝ ，S1＝ （c＋
c'）h'＝ （3×2＋3×4）× ＝9 ，S2＝ ×22＋ ×42＝
5 ，∴S1＞S2.故选A.
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6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于
直线A1O，下列说法正确的是（　　）
A. A1O∥D1C B. A1O∥平面B1CD1
C. A1O⊥BC D. A1O⊥平面AB1D1
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解析：　∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的
中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，
B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O 平面
A1DO，∴A1O∥平面B1CD1.
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7. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小
值时，圆锥的侧面积为（　　 ）
A. 8π B. 16π
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解析：　设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，
则r＞2，由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则2l
＝rh，即h＝ ，又l2＝r2＋h2，所以l2＝r2＋ ，
解得l2＝ ＝ ，由r＞2，则 － ＝－ ＋ ≤ ，当且仅当 ＝ ，即r＝2 时，l取最小值4，此时圆锥的侧面积为πrl＝2 ×4π＝8 π.故选C.
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8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖
臑”.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面
ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，
则图中的鳖臑有（　　）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
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解析：　由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，
PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为
PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P-
DBC是一个鳖臑，因为DE 平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD
＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，
所以DE⊥平面PBC，可知四面体E-BCD的四个面都是直角三角
形，即四面体E-BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P-ABD和
F-ABD都是鳖臑，故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是（　　）
A. l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B. l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C. l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D. l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
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解析：　利用常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，B对；例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错.故选A、C、D.
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10. 如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和
△ACD折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是（　　）
A. 异面直线BD与AC的夹角为90°
B. ∠BAC＝60°
C. 三棱锥D-ABC是正三棱锥
D. 平面ADC和平面ABC垂直
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解析：　对于A，由已知条件知BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角，又因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD，因为BD⊥AD，AD∩CD＝D，所以BD⊥平面ACD. 因为AC 平面ACD，所以BD⊥AC.所以异面直线BD与AC的夹角为90°，故选项A正确；对于B，因为BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，且AD＝BD＝CD，所以AB＝BC＝CA，所以△ABC是等边三角形，可得∠BAC＝60°，故选项B正确；对于C，因为DA＝DB＝DC，且AB＝BC＝CA，DA，DB，DC两两垂直，所以D在平面ABC内的投影是△ABC的中心，所以三棱锥D-ABC是正三棱锥，故选项C正确；对于D，因为三棱锥D-ABC是正三棱锥，所以侧面ADC和底面ABC不垂直，故选项D不正确.
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11. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，
CC1，BB1的中点，则（　　）
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
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解析：　连接AD1，D1F，A1D（图略），因为AD1∥EF，平
面AEF即平面AEFD1，易知A1D⊥平面AEFD1，故DD1与AF不垂
直，故A错误；因为A1G∥D1F，A1G 平面AEFD1，D1F 平面
AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B正确；平面AEF截正方体
所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为 ，故C正确；点G
到平面AEF的距离即点A1到平面AD1F的距离，显然D错误.故选
B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条
不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④
m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出
你认为正确的一个命题： .
①③④ ②（或②③④ ①）　
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又∵④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④ ②.若②α⊥β，③
n⊥β，则n∥α.
又∵④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④ ①.
解析：∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的
两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.
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13. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上
的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为 ，则球O的表面积
为 .
解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直
径的端点时，三棱锥O-ABC的体积最大.设球O的
半径为R，∴VO-ABC＝VC-AOB＝ × ×R2×R＝
＝ ，解得R＝3，则球O的表面积S＝4πR2＝36π.
36π　
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14. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展
开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动
点，AE＋CF＝4，点P在棱AA1上，且AP＝1，若EF∥平面
PBD，则CF＝ .
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解析：由题意可知，长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形.连接AC交BD于O，连接PO. 因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO. 在PA1上截取PQ，使得PQ＝PA＝1.连接
QC，易知O为AC的中点，所以QC∥PO，所以EF∥QC. 又EQ∥FC，所以四边形EQCF是平行四边形，所以QE＝CF. 又AE＋CF＝4，AE＋A1E＝4，所以A1E＝CF＝EQ＝ A1Q＝1，所以CF＝1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面
ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝ ，O，M
分别为AB，VA的中点.
（1）求证：VB∥平面MOC；
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解：证明：因为O，M分别是AB，
VA的中点，
所以MO∥VB.
因为MO 平面MOC，VB 平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
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（2）求三棱锥V-ABC的体积.
解：因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平
面ABC＝AB，OC 平面ABC，所以OC⊥
平面VAB.
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在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝ ，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ ，
所以VV-ABC＝VC-VAB＝ OC·S△VAB＝ ×1× ＝ .
所以三棱锥V-ABC的体积为 .
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16. （本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等
腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，
AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
（1）求证：BD⊥平面AED；
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解：证明：因为四边形ABCD是等腰
梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此
∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，所以BD⊥平面AED.
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（2）求二面角F-BD-C的余弦值.
解：取BD的中点G，连接CG，FG（图略）.
因为CB＝CD，所以CG⊥BD.
因为FC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以FC⊥BD.
又FC∩CG＝C，所以BD⊥平面FCG，
所以BD⊥FG，
所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角.
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在等腰三角形BCD中，因为∠BCD＝120°，所以CG＝ CB.
又CB＝CF，所以GF＝ ＝ CG，故 cos ∠FGC＝ .
因此二面角F-BD-C的余弦值为 .
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17. （本小题满分15分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
AB＝AC＝3，BC＝2 ，AA1＝ ，BB1＝2 ，点E和F分别
为BC和A1C的中点.
（1）求证：EF∥平面A1B1BA；
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解：证明：如图，连接A1B. 在△A1BC中，
因为点E和F分别是BC和A1C的中点，所以
EF∥BA1.又EF 平面A1B1BA，所以EF∥平
面A1B1BA.
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（2）求直线A1B1与平面BCB1夹角的大小.
解：如图，取BB1的中点M和B1C的中
点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，
所以NE∥B1B，NE＝ B1B，故NE∥A1A且
NE＝A1A，
所以四边形NEAA1为平行四边形，所以
A1N∥AE且A1N＝AE.
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因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，A1N⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，则易证得BB1⊥平面ABC.
因为AE 平面ABC，所以BB1⊥AE，A1N⊥BB1，
又BB1∩BC＝B，所以A1N⊥平面BCB1，
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1的夹角.
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，
又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝ ＝4.
在Rt△A1NB1中， sin ∠A1B1N＝ ＝ ，因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1的夹角为30°.
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18. （本小题满分17分）如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BAD＝90°，AB＝BC＝ AD＝a，E是AD的中点，O是AC
与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到
四棱锥A1-BCDE.
（1）证明：CD⊥平面A1OC；
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解：证明：连接CE（图略）.在直角梯形ABCD中，
因为AB＝BC＝ AD＝a，点E是AD的中点，∠BAD＝90°，
所以四边形ABCE是正方形，
所以BE⊥AC.
在四棱锥A1-BCDE中，
BE⊥A1O，BE⊥OC.
因为A1O∩OC＝O，A1O 平面A1OC，OC 平面A1OC，
所以BE⊥平面A1OC.
又因为DE∥BC，DE＝BC，所以四边形BCDE是平行四
边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
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（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为
36 ，求a的值.
解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE.
又由（1）知，A1O⊥BE，所
以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
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平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
所以四棱锥A1-BCDE的体积V＝ ×S×A1O＝ a3.由
a3＝36 ，解得a＝6.
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19. （本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥
底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ .
（1）求证：B1C∥平面A1BM；
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解：证明：如图，连接AB1交
A1B于O，连接OM.
在△B1AC中，因为M，O分别为
AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.
又OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
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（2）求证：AC1⊥平面A1BM；
解：证明：因为侧棱AA1⊥底面
ABC，BM 平面ABC，所以
AA1⊥BM.
因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所
以BM⊥AC.
又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面
ACC1A1，所以BM⊥AC1.
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因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.
在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ ，
所以∠AC1C＝∠A1MA，
所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以
A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M＝M，
所以AC1⊥平面A1BM.
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解：存在点N，且当点N为BB1的中点，即 ＝ 时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图.
因为D，M分别为AC1，AC的中点，
（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请说明理由.
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所以DM∥CC1，且DM＝ CC1.
又因为N为BB1的中点，
所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四边形BNDM为平行四边形，
所以BM∥DN，
因为BM⊥平面ACC1A1，
所以DN⊥平面AA1C1C.
又因为DN 平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.
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