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模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数z＝（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝2，则｜a＋b｜＝（　　）
A.1　 　　B.　　　 C.　　　D.
3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（－1，），则cos α＋sin＝（　　）
A.－　　B.　　 C.　　　D.－
4.已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β＝（　　）
A. B.－
C.或－ D.或
5.函数y＝2sin的图象（　　）
A.关于原点成中心对称
B.关于y轴成轴对称
C.关于点成中心对称
D.关于直线x＝成轴对称
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，其面积为，则＝（　　）
A.3 B.
C. D.
7.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A-BD-P的大小为（　　）
A.30°　　　B.45°　　 C.60°　　　D.75°
8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为（　　）
A.30 B.10
C.33 D.12
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知a＝（1，2），b＝（－4，t），则下列结论正确的是（　　）
A.若a∥b，则t＝8
B.若a⊥b，则t＝2
C.｜a－b｜的最小值为5
D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t＜2
10.设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D-ABC的体积可能为（　　）
A.12 B.18
C.24 D.54
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是（　　）
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知sin（α＋）－cos α＝，则cos（2α＋）＝　　　　　　.
13.已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，若（a＋λb）∥（2a＋b），则λ＝　　　　，若（a＋μb）⊥（2a＋b），则μ＝　　　　.
14.如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋（10－a2）i，z2＝＋（2a－5）i，a∈R.若＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值.
16.（本小题满分15分）在①2cos2B＋cos 2B＝0；②bcos A＋acos B＝＋1，这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，　　　　，求△ABC的面积S的大小.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝，BC＝BB1＝2.
（1）求证：AC1∥平面A1BD；
（2）求点D到平面ABC1的距离.
18.（本小题满分17分）矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.
（1）在DC上是否存在点E使得AD∥平面PBE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角P-AD-B的余弦值.
19.（本小题满分17分）已知向量m＝（1，cos ωx），n＝（sin ωx，）（ω＞0），函数f（x）＝m·n，且f（x）图象上的一个最高点为P，与P最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）＝a在区间上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos＝1，求f（A）的取值范围.
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1.A　2.D　3.D　4.B　5.C
6.C　设△ABC的面积为S，由题意知S＝bcsin A，即＝c·sin 60°，解得c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8×＝13，即a＝.由正弦定理可得＝＝＝.故选C.
7.A　如图，作AO⊥BD交BD于点O，连接PO，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P的平面角.∵AO＝＝，∴tan∠AOP＝＝，故二面角A-BD-P的大小为30°.
8.B　因为BC⊥CD，所以BD＝.又AB⊥底面BCD，所以AD＝，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论＝，可得π＝，所以球O的表面积为4π＝10π＝10.故选B.
9.BC　由a∥b，得t＝－8，A不正确；由a⊥b，得－4＋2t＝0，t＝2，B正确；｜a－b｜＝，当t＝2时，｜a－b｜取得最小值5，C正确；当a·b＜0时，即－4＋2t＜0，得t＜2，当a与b反向时，t＝－8，故若向量a与向量b的夹角为钝角，则t＜－8，或－8＜t＜2，D不正确.故选B、C.
10.AB　设等边△ABC的边长为a，则有S△ABC＝×a2＝9，解得a＝6.设△ABC外接圆的半径为r，则r＝×a＝2，则球
心到平面ABC的距离为＝2，所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6＝18.故选A、B.
11.ABC　由题意及图形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE.由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一底面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，由几何体的性质及图形知，△BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，由题意知点A，B到直线EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故A、B、C正确，D错误.
12.－　解析：sin（α＋）－cos α＝sin α－cos α＝sin（α－）＝，∴cos（2α＋）＝cos［2（α－）＋π］＝－cos［2（α－）］＝2sin2（α－）－1＝－.
13.　－　解析：∵（a＋λb）∥（2a＋b），∴存在唯一实数n，使得a＋λb＝n（2a＋b），∴1＝2n，λ＝n，解得λ＝n＝.∵（a＋μb）⊥（2a＋b），且向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，∴（a＋μb）·（2a＋b）＝2a2＋（1＋2μ）a·b＋μb2＝2＋1＋2μ＋4μ＝0，解得μ＝－.
14.　解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱锥D-AEF的体积V≤××＝（当且仅当a＝b＝1时等号成立）.
15.解：由题意，得＝－（10－a2）i，则＋z2＝－（10－a2）i＋＋（2a－5）i＝＋（a2＋2a－15）i.
因为＋z2可以与任意实数比较大小，所以＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以＝，＝（－1，1）.所以·＝×（－1）＋1×1＝.
16.解：因为4S＝b2＋c2－a2，cos A＝，S＝bcsin A，
所以2bcsin A＝2bccos A.
显然cos A≠0，所以tan A＝1，又A∈，所以A＝.
若选择①，由2cos2B＋cos 2B＝0得，cos2B＝.又B∈，
所以B＝，由＝，得a＝＝＝2.
又sin C＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，所以S＝absin C＝.
若选择②，bcos A＋acos B＝＋1，则bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＋＝c＝＋1，
所以S＝bcsin A＝××（＋1）×＝.
17.解：（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接AB1交A1B于点M，连接DM，如图.
由四边形ABB1A1为平行四边形，得M为AB1的中点，又点D是棱B1C1的中点，所以AC1∥DM，
因为AC1 平面A1BD，DM 平面A1BD，
所以AC1∥平面A1BD.
（2）设点D到平面ABC1的距离为h，
由A1A⊥底面ABC，AB 底面ABC，
得A1A⊥AB，由AB＝AC＝，BC＝2，
得AB2＋AC2＝BC2，则AC⊥AB，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1 平面ACC1A1，
所以AB⊥平面ACC1A1，
又AC1 平面ACC1A1，所以AB⊥AC1，
又AC1＝＝＝，
所以＝·AB·AC1＝.
连接AD，作AN⊥BC交BC于点N，
因为△ABC为等腰直角三角形，所以AN＝1，
又AN 底面ABC，所以AN⊥AA1，又AA1∥CC1，
所以AN⊥CC1，
又CC1，BC 平面B1BCC1，CC1∩BC＝C，
所以AN⊥平面B1BCC1.
由＝，得··h＝··AN，
又＝·DC1·CC1＝×1×2＝1，所以h＝.
即点D到平面ABC1的距离为.
18.解：（1）存在.如图所示，
连接AC，BP，设AC交BP于点F，∵CP∥AB，且CP＝AB，∴＝＝.
取DC的三等分点E，使＝，连接EF，PE，BE，则EF∥AD，
又EF 平面PBE，AD 平面PBE，∴AD∥平面PBE.
故存在满足条件的点E，且E是线段CD上靠近点C的三等分点.
（2）在矩形ABCD中，AP＝BP＝，AB＝2，
∴AP2＋BP2＝AB2，∴AP⊥BP.又平面ADP⊥平面ABCP，BP 平面ABCP，平面ADP∩平面ABCP＝AP，∴BP⊥平面ADP，∴BP⊥DP，∴BD2＝DP2＋BP2＝1＋2＝3.
在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥DB，又PD⊥AD，PD 平面ADP，BD 平面ADB，平面ADP∩平面ADB＝AD，
∴∠PDB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PDB中，cos∠PDB＝＝＝，∴二面角P-AD-B的余弦值为.
19.解：（1）f（x）＝m·n＝sin ωx＋cos ωx
＝2（sin ωx＋cos ωx）＝2sin.
∵f（x）图象上的一个最高点为P，与P最近的一个最低点的坐标为，∴＝－＝，∴T＝π，又ω＞0，
∴ω＝＝2.∴f（x）＝2sin.
（2）当x∈时，≤2x＋≤，由f（x）＝2sin的图象（图略）可知，
当a∈[，2）时，f（x）＝a在区间上有两解；
当a∈[－，）或a＝2时，f（x）＝a在区间上有一解；
当a＜－或a＞2时，f（x）＝a在区间上无解.
（3）在锐角△ABC中，0＜B＜，－＜－B＜，
又cos＝1，∴－B＝0，∴B＝.
在锐角△ABC中，0＜A＜，A＋B＞，
∴＜A＜，∴＜2A＋＜，∴sin∈，∴f（A）＝2sin∈（－，）.
∴f（A）的取值范围是（－，）.
2 / 3(共43张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数z＝ （其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点
位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z＝ ＝ ＝ ＝1＋i，对应的点为
（1，1），在第一象限.
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2. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝2，则｜a
＋b｜＝（　　）
A. 1 B.
C. D.
解析：　∵｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2a·b，∴a·b＝ ，
∵｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＋4a·b，∴｜a＋b｜2＝6，∴｜a＋
b｜＝ .
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3. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有一点P（－1， ），则 cos α＋ sin ＝（　　）
A. － B.
C. D. －
解析：　因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重
合，终边上有一点P（－1， ），所以 cos α＝ ＝－ .则
cos α＋ sin ＝2 cos α＝－ .
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4. 已知tan α，tan β是方程x2＋3 x＋4＝0的两个根，且－ ＜α
＜ ，－ ＜β＜ ，则α＋β＝（　　）
A. B. －
C. 或－ D. 或
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解析：　因为tan α，tan β是方程x2＋3 x＋4＝0的两个根，所
以tan α＋tan β＝－3 ，tan α·tan β＝4，所以tan（α＋β）＝
＝ ＝ .因为－ ＜α＜ ，－ ＜β＜ ，且tan
α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，所以tan α＜0，tan β＜0，所以
－ ＜α＜0，－ ＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝
－ .故选B.
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5. 函数y＝2 sin 的图象（　　）
A. 关于原点成中心对称 B. 关于y轴成轴对称
C. 关于点 成中心对称 D. 关于直线x＝ 成轴对称
解析：　由形如y＝A sin （ωx＋φ）函数图象的对称中心和对称
轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ＝0，故函数的
图象关于点 成中心对称.
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6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝
60°，b＝1，其面积为 ，则 ＝（　　）
A. 3 B.
C. D.
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解析：　设△ABC的面积为S，由题意知S＝ bc sin A，即 ＝
c· sin 60°，解得c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋
16－8× ＝13，即a＝ .由正弦定理可得 ＝
＝ ＝ .故选C.
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7. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝ ，
那么二面角A-BD-P的大小为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
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解析：　如图，作AO⊥BD交BD于点O，连接
PO，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，
∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P
的平面角.∵AO＝ ＝ ，∴tan∠AOP＝
＝ ，故二面角A-BD-P的大小为30°.
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8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率
的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在
球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝ ，
BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为（　　）
A. 30 B. 10
C. 33 D. 12
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解析：　因为BC⊥CD，所以BD＝ .又AB⊥底面BCD，所
以AD＝ ，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为
.利用张衡的结论 ＝ ，可得π＝ ，所以球O的表面积为
4π ＝10π＝10 .故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知a＝（1，2），b＝（－4，t），则下列结论正确的是（　　）
A. 若a∥b，则t＝8
B. 若a⊥b，则t＝2
C. ｜a－b｜的最小值为5
D. 若向量a与向量b的夹角为钝角，则t＜2
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解析：　由a∥b，得t＝－8，A不正确；由a⊥b，得－4＋2t
＝0，t＝2，B正确；｜a－b｜＝ ，当t＝2
时，｜a－b｜取得最小值5，C正确；当a·b＜0时，即－4＋2t＜
0，得t＜2，当a与b反向时，t＝－8，故若向量a与向量b的夹角
为钝角，则t＜－8，或－8＜t＜2，D不正确.故选B、C.
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10. 设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，△ABC为等边三
角形且面积为9 ，则三棱锥D-ABC的体积可能为（　　）
A. 12 B. 18
C. 24 D. 54
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解析：　设等边△ABC的边长为a，则有S△ABC＝ × a2＝
9 ，解得a＝6.设△ABC外接圆的半径为r，则r＝ × a＝
2 ，则球心到平面ABC的距离为 ＝2，所以点D
到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最
大值为 ×9 ×6＝18 .故选A、B.
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11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动
点E，F，且EF＝ ，则下列结论中正确的是（　　）
A. AC⊥BE
B. EF∥平面ABCD
C. 三棱锥A-BEF的体积为定值
D. △AEF的面积与△BEF的面积相等
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解析：　由题意及图形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE. 由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其
一底面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面
ABCD，由几何体的性质及图形知，△BEF的面积是定值，A点到
平面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定
值，由题意知点A，B到直线EF的距离不相等，故△AEF的面积
与△BEF的面积不相等，故A、B、C正确，D错误.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知 sin （α＋ ）－ cos α＝ ，则 cos （2α＋ ）＝ .
解析： sin （α＋ ）－ cos α＝ sin α－ cos α＝ sin （α－
）＝ ，∴ cos （2α＋ ）＝ cos ［2（α－ ）＋π］＝－ cos
［2（α－ ）］＝2 sin 2（α－ ）－1＝－ .
－ 　
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13. 已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，若（a＋
λb）∥（2a＋b），则λ＝ ，若（a＋μb）⊥（2a＋
b），则μ＝ .
解析：∵（a＋λb）∥（2a＋b），∴存在唯一实数n，使得a
＋λb＝n（2a＋b），∴1＝2n，λ＝n，解得λ＝n＝ .
∵（a＋μb）⊥（2a＋b），且向量a，b的夹角为60°，｜
a｜＝1，｜b｜＝2，∴（a＋μb）·（2a＋b）＝2a2＋（1＋
2μ）a·b＋μb2＝2＋1＋2μ＋4μ＝0，解得μ＝－ .
　
－ 　
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14. 如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，
AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D-AEF体积的
最大值为 .
　
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解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，
DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF. 又
AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以
AF⊥EF，AF⊥DB. 又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平
面AEF，所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角
形ABD斜边上的高，所以AE＝ ，设AF＝a，FE＝b，则
△AEF的面积S＝ ab≤ · ＝ × ＝ ，所以三棱锥D-
AEF的体积V≤ × × ＝ （当且仅当a＝b＝1时等号成立）.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）设O为坐标原点，已知向量 ， 分
别对应复数z1，z2，且z1＝ ＋（10－a2）i，z2＝ ＋（2a
－5）i，a∈R. 若 ＋z2可以与任意实数比较大小，求
· 的值.
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解：由题意，得 ＝ －（10－a2）i，
则 ＋z2＝ －（10－a2）i＋ ＋（2a－5）i＝
＋（a2＋2a－15）i.
因为 ＋z2可以与任意实数比较大小，所以 ＋z2是实数，所以
a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，
所以z1＝ ＋i，z2＝－1＋i.
所以 ＝ ， ＝（－1，1）.
所以 · ＝ ×（－1）＋1×1＝ .
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16. （本小题满分15分）在①2 cos 2B＋ cos 2B＝0；②b cos A＋a cos
B＝ ＋1，这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线
中，并解决相应问题.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边
分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝
， 　　，求△ABC的面积S的大小.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：因为4S＝b2＋c2－a2，
cos A＝ ，S＝ bc sin A，
所以2bc sin A＝2bc cos A.
显然 cos A≠0，所以tan A＝1，
又A∈ ，所以A＝ .
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若选择①，由2 cos 2B＋ cos 2B＝0得， cos 2B＝ .
又B∈ ，所以B＝ ，
由 ＝ ，得a＝ ＝ ＝2.
又 sin C＝ sin [π－（A＋B）]＝ sin （A＋B）
＝ sin A cos B＋ cos A sin B
＝ × ＋ × ＝ ，
所以S＝ ab sin C＝ .
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若选择②，b cos A＋a cos B＝ ＋1，
则b cos A＋a cos B＝b· ＋a· ＝ ＋
＝c＝ ＋1，
所以S＝ bc sin A＝ × ×（ ＋1）× ＝ .
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17. （本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面
ABC，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝ ，BC＝BB1＝2.
（1）求证：AC1∥平面A1BD；
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解：证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接AB1交A1B于点M，连接DM，如图.
由四边形ABB1A1为平行四边形，得M为
AB1的中点，
又点D是棱B1C1的中点，所以AC1∥DM，
因为AC1 平面A1BD，DM 平面A1BD，
所以AC1∥平面A1BD.
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（2）求点D到平面ABC1的距离.
解：设点D到平面ABC1的距离为h，由A1A⊥底面ABC，AB 底面ABC，
得A1A⊥AB，
由AB＝AC＝ ，BC＝2，
得AB2＋AC2＝BC2，则AC⊥AB，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1 平面
ACC1A1，
所以AB⊥平面ACC1A1，
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又AC1 平面ACC1A1，所以AB⊥AC1，
又AC1＝ ＝ ＝ ，
所以 ＝ ·AB·AC1＝ .
连接AD，作AN⊥BC交BC于点N，
因为△ABC为等腰直角三角形，所以AN＝1，
又AN 底面ABC，所以AN⊥AA1，
又AA1∥CC1，所以AN⊥CC1，
又CC1，BC 平面B1BCC1，CC1∩BC＝C，
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所以AN⊥平面B1BCC1.由 ＝ ，得 · ·h＝
· ·AN，又 ＝ ·DC1·CC1＝ ×1×2＝1，所以h＝
.即点D到平面ABC1的距离为 .
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18. （本小题满分17分）矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，P为线段DC
的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.
（1）在DC上是否存在点E使得AD∥平面PBE？若存在，求出
点E的位置；若不存在，请说明理由；
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解：存在.如图所示，
连接AC，BP，设AC交BP于点F，
∵CP∥AB，且CP＝ AB，∴ ＝ ＝ .
取DC的三等分点E，使 ＝ ，连接
EF，PE，BE，则EF∥AD，又EF 平
面PBE，AD 平面PBE，∴AD∥平面PBE.
故存在满足条件的点E，且E是线段CD
上靠近点C的三等分点.
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（2）求二面角P-AD-B的余弦值.
解：在矩形ABCD中，AP＝BP＝ ，AB＝2，
∴AP2＋BP2＝AB2，∴AP⊥BP.
又平面ADP⊥平面ABCP，BP 平面ABCP，平面ADP∩
平面ABCP＝AP，
∴BP⊥平面ADP，∴BP⊥DP，
∴BD2＝DP2＋BP2＝1＋2＝3.
在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2，
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∴AD⊥DB，又PD⊥AD，PD 平面ADP，BD 平面
ADB，平面ADP∩平面ADB＝AD，
∴∠PDB为二面角P-AD-B的平面角，
在Rt△PDB中， cos ∠PDB＝ ＝ ＝ ，
∴二面角P-AD-B的余弦值为 .
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19. （本小题满分17分）已知向量m＝（1， cos ωx），n＝（ sin
ωx， ）（ω＞0），函数f（x）＝m·n，且f（x）图象上的
一个最高点为P ，与P最近的一个最低点的坐标为
.
（1）求函数f（x）的解析式；
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解：f（x）＝m·n＝ sin ωx＋ cos ωx
＝2（ sin ωx＋ cos ωx）＝2 sin .
∵f（x）图象上的一个最高点为P ，与P最近的一个最低点的坐标为 ，
∴ ＝ － ＝ ，∴T＝π，又ω＞0，
∴ω＝ ＝2.∴f（x）＝2 sin .
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（2）设a为常数，判断方程f（x）＝a在区间 上的解的个数；
解：当x∈ 时， ≤2x＋ ≤ ，由f（x）＝2
sin 的图象（图略）可知，
当a∈[，2）时，f（x）＝a在区间 上有两解；
当a∈[－ ， ）或a＝2时，f（x）＝a在区间
上有一解；当a＜－ 或a＞2时，f（x）＝a在区间
上无解.
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（3）在锐角△ABC中，若 cos ＝1，求f（A）的取值范围.
解：在锐角△ABC中，0＜B＜ ，－ ＜ －B＜ ，
又 cos ＝1，∴ －B＝0，∴B＝ .
在锐角△ABC中，0＜A＜ ，A＋B＞ ，
∴ ＜A＜ ，∴ ＜2A＋ ＜ ，
∴ sin ∈ ，
∴f（A）＝2 sin ∈（－ ， ）.
∴f（A）的取值范围是（－ ， ）.
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