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分课时教学设计
第八课时《14.3 角的平分线（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是上一课时角平分线性质定理的延续，核心围绕“性质定理的逆命题”展开．教材先通过交换“角平分线上的点到角两边距离相等”的题设与结论，提出“到角两边距离相等的点是否在角平分线上”的问题，引导学生利用全等三角形证明该逆命题成立，得出角平分线的判定定理；再结合三角形角平分线相交于一点的例题，既巩固了判定定理的应用，又揭示了“角的平分线是角内部到两边距离相等的点的集合”这一本质．内容遵循“提出猜想—证明定理—应用定理”的逻辑，衔接了上一课时知识，同时为后续三角形相关几何问题（如内心性质）的学习奠定基础，渗透了“互逆命题”的数学思想．
学习者分析 学生已掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定方法（AAS、HL等），具备一定的几何推理能力，能理解“性质”与“判定”的互逆关系，这为学分线的判定定理提供了基础．但存在两方面不足：一是易混淆性质定理与判定定理的适用场景，可能在解题时误将“由点在角平分线上推距离相等”（性质）与“由距离相等推点在角平分线上”（判定）混用；二是在证明“三角形三条角平分线交于一点”时，难以快速联想到通过“判定定理”证明第三点在角平分线上，且对“点到直线的距离”（含三角形边所在直线）的概念理解不够透彻，在复杂图形中易漏画垂线段．
教学目标 1．理解“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的判定，并能证明这个判定定理； 2．运用角平分线的判定定理解决实际问题．
教学重点 理解“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的判定定理，并能完成证明．
教学难点 区分角平分线的性质定理与判定定理的适用场景，及运用判定定理证明三角形三条角平分线交于一点．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的判定，并能证明这个判定定理； 2．运用角平分线的判定定理解决实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说角的平分线的性质定理． 答案：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．你能说说证明几何命题的一般步骤吗？ 答案：（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 导入：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复分线的性质定理，为探究角平分线的判定定理做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 引导：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设：一个点在一个角的平分线上． 结论：它到角的两边的距离相等． 交换题设和结论 新命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 追问：得到的命题还成立吗？快来证一证吧. 已知：如图，P 是∠AOB内部一点，PC⊥OA，PD⊥OB，C、 D 分别是垂足,且 PC＝PD . 求证：点 P 在∠ AOB 的平分线上． 证明：作射线OP， ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠PCO=∠PDO． 在Rt△PCO和Rt△PDO中， ∵ ∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴OP是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上． 归纳：角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 符号语言: ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 且PD=PE， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 作用：用来说明两个角相等或一条射线是角的平分线． 注意：不能缺少 PD⊥OA，PE⊥OB 这两个条件． 指出：角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线． 讨论：角的平分线的性质与判定的关系 预设：角的平分线的性质与判定是互逆的，它们的条件和结论相反． 例：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 分析：（1）由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等； （2）要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上． 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE． 同理PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF． 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等． （2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上． ∴△ABC的三条角平分线交于一点．学生活动3： 学生小组合作探究角平分线的判定定理，并与角平分线的性质定理进行对比辨析，然后独立尝试解决例题并在组内交流班内汇报，最后认真听老师的点评活动意图说明： 通过探究角平分线的逆命题，理解角平分线的判定定理，并运用判定定理解决实际问题环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：14.3角的平分线（第2课时）一、角平分线的判定定理 二、应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，于点，于点．若，则的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 答案：B 2．如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ． 答案： 3．如图，交于点O，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 选做题： 4．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 证明：（1）如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为 . 答案： 3．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 答案：见解析 【解析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 解：证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 选做题： 4．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 答案：A 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 证明：（1）作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：由（1）可知：， 在和中， ， ， ，同理可证： ，即．
教学反思 本节课通过“逆命题猜想—定理证明—例题应用”的流程，基本达成教学目标，多数学生能理解判定定理并完成简单证明．在定理推导环节，通过对比性质定理的题设与结论，帮助学生快速建立判定定理的认知；但部分学生仍混淆性质与判定的逻辑方向．此外，在证明三角形三条角平分线交于一点时，学生难以想到“先证两条角平分线交点到三边距离相等，再用判定定理证交点在第三条角平分线上”的思路．后续教学需通过对比性质与判定强化辨析，同时在复杂问题中引导学生“分步推理”，先明确目标，再逆向推导所需条件，提升逻辑推理的针对性．
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同步探究学案
课题 14.3 角的平分线（第2课时） 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的判定，并能证明这个判定定理； 2．运用角平分线的判定定理解决实际问题．
重点 理解“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的判定定理，并能完成证明．
难点 区分角平分线的性质定理与判定定理的适用场景，及运用判定定理证明三角形三条角平分线交于一点．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说角的平分线的性质定理． 2．你能说说证明几何命题的一般步骤吗？
新知探究 本节课来研究： 角平分线的判定定理。 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设：_________________． 结论：_________________． 交换题设和结论 新命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在____________． 问题：得到的命题还成立吗？快来证一证吧. 已知：如图，P 是∠AOB内部一点，PC⊥OA，PD⊥OB，C、 D 分别是垂足,且 PC＝PD . 求证：点 P 在∠ AOB 的平分线上． 归纳：角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的______上． 符号语言: ∵PD⊥____，PE⊥____， 且PD=____， ∴点P在_______的平分线上. 作用：用来说明两个角____或一条射线是角的______． 注意：不能缺少 PD⊥____，PE⊥_____ 这两个条件． 归纳：角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的______． 角的平分线的性质与判定的关系 角的平分线的性质与判定是互逆的，它们的条件和结论_____． 例：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 分析：（1）由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等； （2）要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上． 证明：
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，于点，于点．若，则的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ． 3．如图，交于点O，．求证：． 选做题： 4．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【综合拓展类练习】 5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为 . 3．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 选做题： 4．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：．
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第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线
（第2课时）
1．理解“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的判定，并能证明这个判定定理；
2．运用角平分线的判定定理解决实际问题．
1．说一说角的平分线的性质定理．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．你能说说证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
题设：一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
交换题设和结论
新命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
得到的命题还成立吗？快来证一证吧.
已知：如图，P 是∠AOB内部一点，PC⊥OA，PD⊥OB，C、 D 分别是垂足,且 PC＝PD .
求证：点 P 在∠ AOB 的平分线上．
证明：作射线OP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO=∠PDO．
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
∵
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上．
　　符号语言:
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
且PD=PE，
∴点P在∠AOB 的平分线上.
作用：用来说明两个角相等或一条射线是角的平分线．
注意：不能缺少 PD⊥OA，PE⊥OB 这两个条件．
角的平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
　　角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线．
角的平分线的性质与判定的关系
点在角的平分线上
点到角两边的距离相等
性质
题设
结论
题设
结论
角的平分线的性质与判定是互逆的，它们的条件和结论相反．
判定
例：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：
（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
（2）△ABC的三条角平分线交于一点．
分析：（1）由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等；
（2）要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上．
证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE．
同理PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF．
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
（2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上．
∴△ABC的三条角平分线交于一点．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，于点，于点．若，则的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
B
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ．
104°
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，交于点O，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分，∴．
4．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A．三边中线的交点
B．三个角的平分线的交点
C．三边高线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【知识技能类练习】选做题：
B
【综合拓展类练习】
5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．
(1)延长至点，求证：平分；
(2)若，求的度数．
证明：（1）如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示：
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
又∵，，
∴平分．
【综合拓展类练习】
5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．
(1)延长至点，求证：平分；
(2)若，求的度数．
（2）设，由（1）知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
角的平分线的判定
内容
作用
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
用来说明两个角相等或一条射线是角的平分线
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为 .
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，，垂足分别为，．求证：平分．
证明：，
．
在和中，
，
．
，
∴平分．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ）
A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．角平分线的定义
D．角平分线是对称轴
A
【综合拓展类作业】
5．如图，在四边形中，，为的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
证明：（1）作，垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分；
【综合拓展类作业】
5．如图，在四边形中，，为的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
（2）由（1）可知：，
在和中，
，
，
，同理可证：
，即．

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