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(共36张PPT)
5.1 任意角
生活中的周期现象
生活中的周期现象
昼夜变化
四季交替
月亮圆缺
潮汐变化
简谐振动
交变电流变化
圆周运动
......
这些循环往复、周而复始的变化规律称为周期性.
从数学的角度，如何刻画这种变化呢？
1 创设情景，导入新知
现实世界中的现象
函数
刻画
幂
函数
指数
函数
对数函数
函数图像和性质
函数模型的应用
周期性
？
函数
三角函数
圆周运动是一种常见的周期性变化现象。圆上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？
旋转的角度
1 创设情景，导入新知
问题1：初中对角的定义是什么呢？
　0°~360°
　具有公共顶点的两条射线组成的图形（静态定义）
问题2：初中学习过的角有哪些？
问题3：角的范围是多少？
锐角 直角 钝角 平角 周角
生活中的角度都在这个范围里吗？
实例1
实例2
实例3
实例4
发现：角是由旋转而来
实例1、2：向后翻腾两周半、转体一周半屈体这样的动作，这里的旋转量都比360°（一周）大，表明角具有任意性.
实例3、4：顺时针、逆时针表明角具有方向性.
因此，需要对角的概念进行推广.
1 创设情景，导入新知
任意角的定义
角是一条射线绕着它的端点旋转形成的图形，记作：ɑ、β、γ......
与角有关的两个方面：旋转方向和旋转量
正角：按照逆时针方向旋转形成的角.
+
-
零角：一条射线没有作任何的旋转形成的角.
负角：按照顺时针方向旋转形成的角.
角的范围的推广
旋转方向：
角的范围的推广
旋转可以进行任意圈次
从而将角度突破0°~360°的范围,推广到任意角．
旋转量：
正角
+
-
零角
负角
方向用
正负表示
角的范围的推广
几何概念代数化
记任意角=
2 问题驱动，探究新知
角的加减运算
两个角相等：如果一个角的旋转方向和旋转大小与另一个角的旋转方向和旋转量都一样，就称这两个角相等（α＝β）
角的大小关系：正角>零角>负角
角能像实数那样进行加减运算吗？
角的加法
设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β
相反角：角α的相反角记为－α
我们把射线OA绕O点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角
相反角
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋(－β)。这样，角的减法可以转化为角的加法
角的减法
角的减法可以类比实数的减法
45°-60°=45°+（-60°）=-15°
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
C
C
C
C
45°+60°=105°
45°+（-60°）=-15°
（-45°）+（-60°）=-105°
（-45°）+60°=15°
代数表示和几何表示
γ
2 问题驱动，探究新知
如图，将一个圆周角进行12等分，分点分别记为Ai，其中i=1,2,3,…,12．
α=γ？
α<β？
为方便研究，有必要将角放在一个统一的标准下讨论！
直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的 “周而复始”的变化规律
研究角的工具
O
x
y
统一标准
（1）使角的顶点与原点重合
（2）始边与 x 轴的非负半轴重合
将任意角放到直角坐标系中讨论
象限角和轴线角的定义
为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
思考：角的终边可能落在哪些位置？
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角的终边落在第几象限，那么这个角是第几象限角。
思考：任意一个角，一定是象限角吗？
角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何象限，习惯上称为轴线角．
-50°
x
y
O
x
y
O
210°
-450°
x
y
O
405°
x
y
O
-200°
x
y
O
3 初步应用，理解定义
下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限角？
1.锐角与第一象限角是什么关系？
思考：
锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，比如-315°在第一象限，但它不是锐角。
O
x
y
B
2.钝角与第二象限角是什么关系？
钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。
3.第二象限角一定比第一象限角大吗？
不一定，象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小。
O
x
y
B
O
x
y
B
O
x
y
B
O
x
y
B
观察归纳：所有与45°终边相同的角，可统一表示为：
代数特征
几何直观
以45o的终边为始边，再逆时针(k>0)或顺时针(k<0)旋转|k|圈.
O
x
y
B
在直角坐标系做出45°、405°、765°、-315°、-675°的角并观察归纳特征。
{ β | β=α+k·360 , k∈Z }
每次的旋转量
旋转起始角
表示在α的基础上旋转的次数
所有与 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合
终边相同的角
任何与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
特殊
一般
具体
抽象
终边相同的角
例1：在0o~360o范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
与－950°12′终边相同的角为－950°12′+k·360°，k∈Z
∵当k=3时，－950°12′+3×360°＝129°48′
∴在0°～360°范围 内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角。
4 典例训练
例2：写出终边在y轴上的角的集合．
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角．因此，所有与90°角终边相同的角 构成集合
S１＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝
S２＝｛β｜β＝270° ＋k·360°，k∈Z｝
于是，终边在y轴上的角的集合
　　S＝S１∪S２
＝｛β｜β＝90°＋２k·180°,k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋180°＋２k·180°,k∈Z｝
＝｛β｜β＝90°＋２k·180°,k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋(２k＋１)180°,k∈Z｝
＝｛β｜β＝90°＋n · 180°,n∈Z｝
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，S中满足不等式
-360°≤ β ＜720°的元素β有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现 它与X轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上 的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合
s＝｛β｜β＝45°＋k·360°，k∈z｝∪｛β｜β＝225°＋k·360°，k∈z｝
＝｛β｜β＝45°＋n·180°，n∈z｝
S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有
45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°．
周期现象
三角函数
角
任意角
角的概念
正角
零角
负角
角的运算
象限角和轴线角
终边相同的角
S={β│β=ɑ+k·360°,k∈Z}
课堂小结
谢 谢 大 家！

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