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第四章 一次函数
4.2 认识一次函数
4.2.2 一次函数与正比例函数
1. 理解正比例函数和一次函数的概念以及它们的联系.
2.能结合具体情境体会一次函数的意义，并能写出一次函数的关系式.
小萍一家准备自驾川藏线，从成都出发前往西藏，全程约 2100 公里.出发前，爸爸给小萍布置了一个特别的 “任务”，帮全家规划这次旅行.
西藏
任务一 出发前的准备
出发前，爸爸带着小萍去加油站加油.当天汽油单价是 8 元 / 升.
8 元 / 升
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x/L
0
1
2
3
4
5
y/元
0
8
16
24
32
40
这是加油的总价y(单位：元)和加油量x(单位：L)之间的关系，随着加油量x的增加，加油总价y的变化是“均匀”的吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x/L
0
1
2
3
4
5
y/元
0
8
16
24
32
40
+8
+8
+8
+8
+8
是均匀的，加油量每增加1升，加油总价都增加8元.
问题1 写出y与x之间的关系式，并说明理由.
解：y与x之间的关系式为： y=8x .
任务二 油耗的计算
出发后，汽车在高速公路上保持着稳定的速度行驶.
汽车油箱中原有汽油40L，汽车每行驶50km耗油4L，你能将行驶路程x(单位：km)和耗油量y(单位：L)之间的关系做成表格样子吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}行驶路程x/km
0
50
100
150
200
250
300
耗油量y/L
问题2 (1)完成下表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}行驶路程x/km
0
50
100
150
200
250
300
耗油量y/L
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式.
解:由题意可得每行驶1km耗油量为 L， 所以y = 0.08x .
0
4
8
12
16
20
24
(3)写出油箱剩余油量z(单位：L)与汽车行驶路程x之间的关系式.
解：由题意可得原有汽油 40L，并且剩余油量 = 原有油量 - 耗油，
所以z = 40 - 0.08x
任务三 费用的计算
在旅途中，除了加油费用，每天还会产生餐饮、住宿等费用，大约每天 1000 元.
问题3 加油总费用为2000元，行驶天数为x天，写出这次旅行的总费用 W(元)与行驶天数x之间的函数关系式.
解：由题意可得加油总费用为2000元，
并且旅行总费用=加油总费用+其他费用，
所以W = 1000x + 2000.
问题4 (1)在以上的规划中，我们得到
①y=8x； ②y= ； ③ z=40 - ； ④W = 1000x + 2000.
他们有什么共同的特征？
共同特征：
(1) 两个变量的次数都是一次；
(2) 自变量 x 的系数都不为 0；
(3)常数b可以是任意实数；
(4)都含有两个变量的等式.
如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
归纳总结
对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的.
例1 判断下列函数是否为一次函数，若是，写出k 和 b 的值.
(1) y = 8x
是，k = 8，b = 0
(2) y = -3????????
?
不是一次函数，自变量的次数不是 1
不是一次函数，自变量 x 的次数是-1次
例2 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系；
(2)圆的面积y(单位：cm?)与它的半径x(单位：cm)之间的关系；
解：由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；
解：由圆的面积公式，得y=πx?，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；
例2 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?
(3)某水池有水15m?，现打开进水管进水，进水速度为5m?/h，经过x h这个水池内有水y m?.
解：这个水池每小时增加水5m?，x h增加水5x m?，因而y=15+5x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
注意：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
变式 下列问题中，两个变量成正比例的是( )
A．圆的面积 S 与它的半径 r
B．三角形面积一定时，某一边 a 和该边上的高 h
C．正方形的周长C 与它的边长 a
D．周长不变的长方形的长 a 与宽 b
C
探究 (1)例2中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？
① 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系为y=60x .
k =60，b = 0；
k =60表示每小时汽车行驶路程的的变化量.
探究 (1)例2中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？
② 某水池有水15m?，现打开进水管进水，进水速度为5m?/h，经过x h这个水池内有水 y=15+5x m?
k =5，b = 15；
k =5 表示每1h进水5m?，b =15 表示水池一开始有水15m?.
探究 (2)一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响？
在实际问题中，k和b有具体的现实意义，需具体问题，具体分析.
当k≠ 0，b=0时，y=kx为正比例函数，例如，若y表示路程，x表示时间，k可能表示速度；
当k≠ 0，b≠0时，y=kx+b为一次函数，例如，若y表示蓄水池内水的体积，x表示时间，k可能进水速度.
例3 物理实验课上，小李用弹簧悬挂不同质量的砝码，测量出了一组数据(弹簧长度y/cm与砝码质量x/kg)，记录在表格中，并得出以下结论，其中不正确的是( )
A. x是自变量，y是因变量
B. 弹簧不挂砝码时的长度为0 cm
C. 砝码每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm
D. 在弹簧的弹性范围内，y与x之间的关系式是y＝10＋0.5x
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
B
变式 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35 km/h.
(1) 假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义；
解：刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1s汽车的速度减少35 km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h，所以 y 与 t 的关系式是
y = -35t + 120.其中，k = - 35表示每秒汽车速度的变化量，b = 120表示刹车开始时汽车的速度.
变式 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35 km/h.
(2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01s).
解：汽车停止时速度y=0，解方程0 = -35t+120，得t = ≈3.43.因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43s.
一次函数的特征:(1)自变量x的次数是1；(2)一次项系数k≠0；(3)常数b可以是任意实数.
2.下列函数：(1)y＝5x；(2)y＝0.2x﹣1；(3) ；(4)y＝x2﹣1；(5) 中，是一次函数的有(　　)个．
A．4 B．3
C．2 D．1
1.(2025上海)下列函数中，是正比例函数的是(　　)．
A．y＝3x+1 B．y＝3x2
C． D．
D
B
3. (新定义阅读理解题)把(a，b)叫做一次函数y=ax+b(a≠0，a，b为实数)的“相关数”，若“相关数“为(m-2，m?-4)的一次函数是正比例函数，求该正比例函数的关系式.
解：设“相关数”为(m-2，m2-4)的一次函数是y=(m-2)x+(m2-4)，
所以正比例函数的关系式为y = -4x .
4. 已知函数y = (m - 2)x3-???? + m + 7.
(1) 当 m 为何值时，y是x的一次函数？
?
解：由y = (m - 2)x3-???? + m + 7是x的一次函数，得
?
解得m＝﹣2．
故当m＝﹣2时，y = (m - 2)x3-???? + m + 7是一次函数.
?
4. 已知函数y = (m - 2)x3-???? + m + 7.
(2) 若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
?
解：由(1)知m=-2，表达式y = (m - 2)x3-|m| + m + 7
故原方程为当y＝3时，3＝ - 4x+5，解得x ＝ ，
故当x＝ 时，y的值为3．
5. 某橙子种植农户现有20吨橙子需要销售，经市场调查，采用批发、零售两种销售方式，这两种销售方式每天的销量及每吨所获的利润如表：
假设该种植户售完20吨橙子，共批发了x吨，所获总利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
解：由题意可得，y＝1200x+2000(20﹣x)＝﹣800x+40000，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣800x+40000.
销售方式
批发
零售
销量(吨/天)
5
2
利润(元/吨)
1200
2000
(2)因人手不够，该种植户每天只能采用一种销售方式销售，且正好7天销售完所有橙子，试计算该种植户所获总利润是多少元？
解：设批发a天，则零售(7﹣a)天，
5a+2(7﹣a)＝20，
解得，a＝2，
则x＝5a＝10，
故y＝﹣800x+40000＝﹣800×10+40000＝32000，
答：该种植户所获总利润是32000元．
(1)自变量x的次数是1；(2)一次项系数k≠0；
(3)常数b可以是任意实数.
如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
概念
一次函数与
正比例函数
一次函数
的特征

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