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第四章 一次函数
课时2 认识一次函数
4.2 认识一次函数
1. 理解一次函数和正比例函数的概念，会判断一个函数是否是一次函数.
2. 能根据已知条件确定一次函数的表达式.
问题 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)的关系见下表：
(1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗?
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
是“均匀”的.
问题 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)的关系见下表：
(2) 写出y与x之间的关系式.
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
y与x之间的关系式为y=3+0.5x(x≥0).
知识点1 一次函数与正比例函数
思考
某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L.
(1) 完成下表：
{616DA210-FB5B-4158-B5E0-FEB733F419BA}行使路程x/km
0
50
100
150
200
250
300
耗油量y/L
0
4
8
12
24
16
20
思考
某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L.
(2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？
y=0.08x(0≤x≤500).
思考
某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L.
(3) 写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式.
z=40-0.08x(0≤x≤500).
观察下面的三个函数关系式：
(1) y=3+0.5x
(2) y=0.08x
(3) z=40－0.08x
讨论一下这三个函数关系式有什么共同点?
共同特点：
(1) 都是含有两个变量的等式；
(2) 变量的次数都是一次；
(3) 自变量x的系数都不为0.
请你写出一个具有这种特点的关系式.
Q=40t+6（不唯一）
如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k， b 是常数，且k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
注意：正比例函数是特殊的一次函数.
正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
跟踪训练 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数?
(1) y=-8x； (2) y=8x； (3) y=5x2+6； (4) y=1-x；
(5) y=?x2； (6) y=2+2(x-1)； (7) y=ax+b； (8) y=x?32 .
解：(1)(4)(5)(6)(8)是一次函数，
(1)(5)(6)是正比例函数.
?
一次函数：形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数.
正比例函数：形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数.
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系；
解：（1）由路程=速度×时间，得y=60x ，
y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(2) 圆的面积y(单位：cm2)与它的半径x(单位：cm)之间的关系.
（2）由圆的面积公式，得y=πx2，
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(3) 某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，经过x h这个水池有水y m3.
（3）这个水池每时增加水5m3，x h增加水5x m3，
因而y=15+5x，
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
思考 (1) 例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少?它们的实际意义是什么?
（1）y=60x中k=60，b=0，
k的实际意义是汽车的行驶速度，
b的实际意义是汽车与出发地之间的距离；
y=15+5x中k=5，b=15，
k的实际意义是水池中每小时增加的水量，
b的实际意义是水池内原有的水量.
(2) 一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响?
(2) 一般地，k决定y随x变化的快慢，b决定开始时y的值.
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35 km/h.
(1) 假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义；
例2 (1) 假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义；
解：(1) 刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1s汽车的速度减少35km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h，
所以y与t的关系式是y=-35t+120.
其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹街车开始时汽车的速度.
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35 km/h.
(2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01s).
(2) 汽车停止时速度y=0，
解方程0=-35t+120，得t=247≈3.43.
因此，该汽车从刹车到停止所需的时间约为3.43s.
?
1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是(　　)
A. y＝－2x B. y＝－x2
C. y＝2(x－2) D. y＝2x
2.下列函数中，是一次函数的是(　　)
A. y＝8x2 B. y＝x＋1
C. y＝8x D. y＝1x+1
?
A
B
3. (1)当m为何值时，函数y=(m-2)x +n+1是一次函数?
(2) 当m为何值时，函数y=(m-2)x +n+1是正比例函数?
解：(1) 根据一次函数的定义，得m2－3=1，m－2≠0，
解得m=－2.
(2) 根据正比例函数的定义，得m2－3＝1，m－2≠0，且n＋1＝0，
∴ m＝－2，n＝－1.
m2-3
m2-3
解：由题意得y＋2x＝12，
∴ y＝－2x＋12.
y是x的一次函数．
4. 用长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙(足够长)，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，与其相邻的另一边长为y米. 写出x与y之间表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数.
解：(1) y=200+320t，y是t的一次函数.
5. 写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数.
如图，A，B两站相距200 km，一列火车从B站出发以
320 km/h的速度驶向C站，火车离A站的路程y(km)随行驶时间t(h)的变化而变化.
A
B
200 km
C
y km
5. (2) 如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒.所需火柴棒的根数s随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}小鱼的条数
1
2
3
4
所需火柴的根数
8
14
20
26
…
解：(2) s=8+6(n-1)，即s=6n+2，
s是n的一次函数.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}小鱼的条数
1
2
3
4
所需火柴的根数
8
14
20
26
…
一次函数
一次函数
正比例函数
列一次函数关系式
形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数
形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数
特例
b=0
(1)找等量关系；
(2)用字母列出等式；
(3)将等式变形成一次函数的一般形式

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