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第四章 一次函数
4.2 认识一次函数
4.2.3 一次函数解决分段计费问题
1.学生能够理解分段计费问题的本质，掌握根据不同计费标准建立费用
与相关变量之间关系式的方法.
2. 能根据所建立的关系式，准确计算不同情况下的费用，并能通过方程
求解特定费用下对应的变量值.
回顾 如果两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
函数是正比例函数
关系式为：y=kx(k为常数，k≠0)
关系式为：y=kx+b (k为常数，k≠0)
这些费用背后隐藏着怎样的数学规律呢？今天我们就化身‘精算师’，破解租车公司的选择难题和水费账单的秘密！
同学们，打车时司机师傅会根据里程收费，而家里的水费也是按不同档位计算的.
用水类别 基本水价 水资源税 污水处理费 终端水价
居 民 阶梯水价 阶梯水量 2.29(一阶) 0-144m (含) 0.30 1.21 3.80(一阶)
4.58(二阶) 144-207m (含） 6.09(二阶)
6.87(三阶) 207m 以上 8.38(三阶)
非居民 3.51 0.72 1.57 5.80
特行 15.54 3.00 1.57 20.11
问题1 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准:直接按里程计费，每千米15元.乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1km按1km计算).
(1)假设该单位用车里程为 30km，你建议租用哪家公司的客车
解：甲公司费用：15×30=450元.
乙公司费用：10×30+200=300+200=500元.
因为450<500，所以当用车里程为 30km 时，建议租用甲公司的客车.
甲公司的计费标准:每千米15元.
乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元.
解：甲公司费用：15×52=780元.
乙公司费用：10×52+200=520+200=720元.
因为780＞500，所以当用车里程为 52km 时，建议租用乙公司的客车.
(2)假设该单位用车里程为 52km，你建议租用哪家公司的客车
甲公司的计费标准:每千米15元.
乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元.
(3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同
解：设用车里程为x千米时，公司的收费标准为y元.
甲公司的收费是： y=15x元，乙公司的收费是：y=(10x+200)元.
由题意得： 15x=10x+200.
解得： x=40.
即当用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同.
归纳总结
解决分段计费问题的一般步骤：
1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则；
2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式；
3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式；
4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，可能需要分段讨论.
问题2 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准:
计费档 户年用水量 x / m3 单价/(元/ m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
(1)当220＜x≤300时，写出水费y(单位:元)与x之间的关系式；
解:当220y=3.45×220+4.83×(x-220),
即 y=4.83x-303.6.
计费档 户年用水量 x / m3 单价/(元/ m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
(2)某户一年用水量是 250m3，求该户这一年的水费;
解:当x=250时，y=4.83×250-303.6=903.9(元).
(3)某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量.
解:因为3.45×220=759，4.83×300-303.6=1145.4,
759 <1 000.5 <1 145.4,
所以该户年用水量属于第二档.
设该户年用水量为xm3，则
1000.5=4.83x-303.6.
解这个方程，得 x=270.
因此，该户去年一年的用水量为270m3.
计费档 户年用水量 x / m3 单价/(元/ m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
(3)某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量.
思考 (1)在例3中，当x>300时，你能写出水费y(单位:元)与用水量x之间的关系式吗
(2)像例3这样计费有什么意义
解:当x＞300时，用水量属于第三档.于是
y=3.45×220+4.83×(300-220)+5.83×(x-300),
即 y=5.83x-603.6.
分阶梯计费意义在于：鼓励居民节约用水！
设计计费规则时要注意：①要充分考虑不同用户的实际需求和承受能力；
②保证计费规则的公平性；
③简单明了，方便用户理解和计算.
(4)生活中还有哪些情况用到类似的计费方法
①快递收费，根据重量和距离分段计费；
②个人所得税缴纳；
③医疗报销分段，根据费用区间分段计算实际报销金额.
(3)设计计费规则时要注意什么
1.为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准:
①若每户居民每月用电量不超过 100 度，则按 0.50 元/度计算:②若每户居民每月用电量超过 100 度,则超过部分按 0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)，现假设某户居民某月用电量是x(单位:度)，电费为y(单位:元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
C
A
B
C
D
2.某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用y(元)与超出流量x(GB)的部分数据如表：
已知总费用y(元)是超出流量x(GB)的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出_______GB．
超出流量x(GB) 0 1 2 3 4 ...
总费用y（元） 18 21 24 27 30 ...
15
3.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．
(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；
解：当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y=2x；
当x＞20时，y与x的函数表达式是：y=2×20+2.6（x-20）=2.6x-12
(2)小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份 四月份 五月份 六月份
交费金额 30元 34元 42.6元
解：因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y=2x,
六月份的水费超过40元，x＞20， 此时y=2.6x-12，
所以把y=30代入y=2x中得， 解得x=15；
把y=34代入y=2x中得， 解得x=17；
把y=42.6代入y=2.6x-12中得， 解得x=21．
所以， 15+17+21=53．
答：小明家这个季度共用水53m3．
小明家这个季度共用水多少立方米？
时段 收费标准
白天停车 (8：00至20：00) 停车2小时以内(含2小时)，不收费
停车超过2小时，且在6小时以内(含6小时)，超过部分每小时收费3元
停车超过6小时，且在12小时以内(含12小时)，超过部分每小时收费5元
夜间停车 (20：00至次日8：00) 无论停车时间长短10元/辆·次
持续两天及两天以上停车，仅前2小时免费，超过2小时，超过部分每小时收费4元，不足1小时的按1小时计算收费 请回答下列问题：
(1)若小刘在9：00进入停车场，到18：30驶出停车场，则小刘应缴停车费多少元？
解：小刘从9：00到18：30在该停车场共停车9.5小时，
因为6＜9.5＜12，所以5×(9.5－6)＋3×(6－2)＝29.5(元)，所以小刘应缴停车费29.5元
4.从苍山回来之后，小颖和同学回到酒店后发现酒店停车场的收费标准如下：
(2)设白天停车时长为x(x≤12)小时，应缴总费用为y元，请写出y与x之间的函数解析式；
解：解：由题意可得
①当0＜x≤2时，y＝0；
②当2＜x≤6时，y＝3(x－2)＝3x－6；
③当6＜x≤12时，y＝5(x－6)＋3×(6－2)＝5x－18；
(3)若小王在驶出该停车场时缴费232元，求小王的停车时长．
解：由(2)可得停1天(24小时)应缴52元，
因为232＞52，所以小王停留时间超过1天，
设持续几天停车时，停车费用为w元，停车时间为t小时(t＞24且t为整数)，
所以w＝4(t－2)＝4t－8，令w＝232，则有4t－8＝232，解得t＝60，
因为不足1小时的按1小时计算收费，
所以小王的停车时长在59小时～60小时之间，包含60小时．
解决分段计费问题的一般步骤：
1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则；
2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式；
3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式；
4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，可能需要分段讨论.

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