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(共20张PPT)
4.2 认识一次函数
课时1 “均匀”变化
1. 从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式，建立坐标系分析模型，理解 “均匀变化” 本质，掌握实际问题数学化方法。
2. 整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。
3. 运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗
先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d，
农村100 L/d。
（1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。
问题1：在坐标纸上描出（t，V）对应的点。
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL ...
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
操作·思考
问题2：漏水量的变化具有什么规律？
这个水龙头一天的漏水量是多少
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL ...
5
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规律：实验时间每增加1min,漏水量增加5mL。
一天有 24×60 = 1440 min，
据此估计这个水龙头一天的漏水量为
5×1440 = 7200 mL。
问题3：分析实验数据，写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式。
V = 5t
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL
5
10
15
20
25
30
35
40
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（2）上表是小明通过实验得到的数据.
思考1：请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点.
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
思考2：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟。
由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L。
一年漏水量：一年按 365 天算，
一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L.
2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d，
农村100 L/d.
不够一个人一年使用.
（3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？
（4）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
V = 5.5t
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。
不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异。
思考·交流
(2) 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？
因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、测量误差。
影响：表格中相同时间漏水量数值不同；
图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；
表达式一次项系数和常数项可能改变。
表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。
图象：更陡。
表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）。
（3）假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化？为什么？
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
操作·思考
（2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
由题意得，香每分钟缩短 0.5 cm，
那么燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是0.5×10 = 5 cm。
则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为 22.4 - 5=17.4 cm。
O
1
2
3
4
5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
(3) 香初始长 22.9 cm，燃尽需 45.8 min。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
(4) l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t。
问题2：为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢
在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min，香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm.
也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。
所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
问题1：香可燃烧部分的长度是如何变化的？
1. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。
答：(1) 烧水升温：恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升。
(2) 汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。
1. 我们知道：海拔高度每上升 1 km，温度下降 6 ℃，某时刻，某地地面温度为 10 ℃，设高出地面 x km处的温度为 y ℃，
(1) 随着海拔高度的上升，温度的下降 （填“是”或“不是”）均匀的.
(2)写出 y 与 x 之间的函数关系式；
是
y ＝10－6x
2. 假设圆柱的高是 8 cm，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化，
(1) 在这个变化的过程中，自变量为 .
(2) 如果圆柱底面半径为 r (单位：cm)，那么圆柱的体积 V (单位：cm3) 可以表示为 ；
(3) 当 r 由 1 cm 变化到 6 cm 时，
V 由 cm3 变化到 cm3 .
圆柱的底面半径
V＝8πr2
8π
288π
认识一次函数的现象
实际问题解决
实验与坐标系关联
变量关系
分析
实验数据采集
坐标系呈现
数据规律推导
均匀变化理解
数据估算应用
模型应用拓展

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