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考点过关1 集合的概念与运算
满分：73分 时间：45分钟
考查要点
集合的概念与表示，集合与元素的关系，集合与集合的关系，集合的运算
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.(2025江苏宿迁一调)已知集合A={x|0≤x≤4,x∈N},B={x|x=3k-1,k∈Z},则A∩B=( )
A. {0,2} B. {2,4} C. {2} D. {1,3}
2.(2024云南昆明三模)如图,已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A. {1,2} B. {3,4} C.{5,6} D. {3,4,5,6}
3. 已知集合A={1,16,4x},B={1,x },若B A,则实数x= ( )
A. 0 B. -4 C. 0或-4 D. 0或±4
4. 已知集合A={1,2,3,4},B≠{x|x=n ,n∈A},则则A∩B的子集个数为 ( )
A. 2 B. 4 C.6 D. 8
5.(2024湖北4月调研)已知集合 且全集U=[-1,20],则U= ( )
A. M∩(CvN) B. N∩(CvM)
C. M∪(CvN) D. N∪(C∪M)
6.设集合 则 ( )
A. M N B. N M
C. N=M D. N∩M=
7.(2025 江苏南通如皋、连云港调研)已知全集U=R，集合A，B 满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是 ( )
A. A=B B. B A
D.(CvA)∩B=
8.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A 为闭集合,下列结论正确的个数是 ( )
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A ,A 为闭集合,则A ∪A 为闭集合;
④若集合A ，A 为闭集合，且A R,A R,则存在c∈R,使得c (A ∪A ).
A. 0 B. 1 C.2 D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.(2025 山东青岛开学考试)下列各组中，M，P表示不同集合的是 ( )
A. M={3,-1},P={(3,-1)}
B. M={(3,1)},P={(1,3)}
C
D. M={y|y=x -1,x∈R},P={(x,y)|y=x -1,x∈R}
10.(2024湖北宜荆荆三模)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B=A∪C，那么下列各式中不一定成立的是 ( )
A. B A
B. C A
11. 已知集合A,B满足A∩B= ,A∪B=Q,全集U=R,则下列说法中可能正确的有 ( )
A. CvA 没有最大元素，CvB 有一个最小元素
B. A有一个最大元素，B没有最小元素
C. A有一个最大元素，B有一个最小元素
D. A没有最大元素，B也没有最小元素
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.(2025江苏南京开学考试)已知集合 若A=B,则
13. (2024九省联考)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 .
14.定义集合P={p|a≤p≤b}的“长度”是b—a,其中a,b∈R.已知集合 且M,N 都是集合{x|1≤x≤2}的子集,那么集合M∩N 的“长度”的最小值是 ；若 ，集合MUN的“长度”大于 ，则n 的取值范围是 .(本题第一空2分，第二空3分)
考点过关 1 集合的概念与运算
1. C 由题知,A={0,1,2,3,4},B={x|x 被3整除余2},则A∩B={2}.
2. A 设全集为U，则阴影部分对应的集合为A∩(CUB)，所以
3. C分析：已知B A，所以集合 B 中的元素必须属于集合A，因此1∈A，x ∈A.根据无序性和确定性，可以是 也可以是 求得的x 值必须保证集合A，B中的元素互异.检验互异性易被忽略，造成错误.此类题主要考查集合中元素的三个属性：确定性、无序性、互异性.一般步骤是，根据互异性进行讨论，根据确定性建立方程，再通过检验确保互异性.
因为A={1,16,4x},B={1,x },且B A,则. 或 4x,解得x=0或x=-4或x=4,而当x=4时,A={1,16,16},舍去,所以x=0或x=-4.
易错警示 对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
4. B A∩B={1,4},其子集个数为
5. D 由 ,得x(x-3)<0,所以0方法突破 求集合的交、并、补时，应先对集合进行化简或计算.若涉及连续区间问题，通常借助数轴来完成；若涉及离散的数集问题，可利用韦恩图解决.
得M N.
7. C 由A (A∩B),可得A B,当A 为B 的真子集时,选项A,B,D都不成立; 恒成立，故选项C正确.
8. C ①因为4-(-2)=6 {-4,-2,0,2,4},故错误;②设a=3k (k ∈Z),b=3k (k ∈Z),则. ，故正确；③设 {n|n=3k,k∈Z},A ={n|n=5k,k∈Z},则3∈A ,5∈A ,3+5 (A ∪A ),故错误;④设A ={n|n=3k,k∈Z},A ={n|n=5k,k∈Z},则A R,A R,存在3+5 (A ∪A ),故正确.
9. ABD 选项 A中,M 是由 3,-1两个元素构成的集合,而集合 P 是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项 C 中, 故M=P;选项,D中，M是二次函数. 的所有因变量组成的集合，即值域，而集合 P 是二次函数. 图象上所有点组成的集合，即一条曲线.
10. ABC 对于选项A,B,设A={1,2,3},B={3,4},C={4},满足A∪B=A∪C,此时B A,C A 均不成立,故选项 A,B
不一定成立;对于选项C,设U={1,2,3,4},A={1,2,3},B={3,4},C={4},满足A∪B=A∪C,此时. {1,2,3}=A∩(CvC),故C不一定成立;对于选项D,若(CvA)∩B= ,则有B A,所以A∪B=A,又A∪C=A,所以C A,所以( ;若(CvA)∩B≠ ,不妨设任意元素 ,所以有a∈(CvA)且a∈B,即a A 且a∈B.又a∈(A∪B),所以a∈(A∪C),又a A,所以a∈C,所以 ，故D正确.
解后反思 不成立的命题只要举出反例即可，正确的命题一定要给出证明.
11. BCD 对于 A,因为A∪B=Q,U=R,所以 ，所以CvA，CvB 都没有最大和最小元素，故 A 不可能成立；对于B，若A={x∈Q|x≤0},B={x∈Q|x>0},则A有一个最大元素，B没有最小元素，故B 可能成立；对于 C，若A={x∈Q|x≤0且x≠-1},B={x∈Q|x>0或x=-1},则A 有一个最大元素，B有一个最小元素，故C 可能成立；对于 D，若 则A 没有最大元素，B也没有最小元素，故D可能成立.
12. — 1 因为 所以 解得 则
13. 5
分析：从集合“长度”整体把握，再到细节控制端点，更易突破.集合 都是集合{x|1≤x≤2}的子集,它们的“长度”分别为 , ，1，集合M，N 的长度固定，且 当 M，N 分别滑动到集合{x|1≤x≤2}的最左端和最右端，或最右端和最左端时，M∩N 的“长度”最小，最小值为 若 则 因为集合 的“长度”为 要使集合MUN 的“长度”大于 只要 M N 不成立即可.也可先考虑 M N，然后结合 求补集由 可得 由 可得 2.易知或故有“长度”的最小值为 或 即集合 M∩N 的“长度”的最小值是 .若 则 故 或n> 即 或 又 故
核心笔记
1.解决集合问题时，要弄清集合中的元素是什么，比如集合{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}三者是不同的.
2.借助集合的图示法来表示集合间的运算，对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解.(练习运用：第2题)
3.根据集合的基本关系或运算求参数的注意点：(1)化简要分类，分类的依据是参数对该不等式或对应的方程的解的影响；(2)关系要分类，已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意空集的特殊性；(3)“端点”要取舍，利用集合之间的关系求参数满足的条件，要注意集合对应区间的端点的取舍.(练习运用:第3题、第13题、第14题)

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