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习题课1　变力做功和机车启动问题
1.质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2 启动，所受阻力大小恒为1.0×103 N，汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是（　　）
A.2 kW B.22 kW
C.1.1 kW D.20 kW
2.（2024·山东济宁期中）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0（k，F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　）
A.F0h0 B.kF0h0
C.F0h0＋k D.h0
3.一物体所受的力F随位移s发生如图所示的变化，这一过程中，力F对物体所做的功为（　　）
A.7 J　 B.8 J
C.6 J D.－6 J
4.质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
5.汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P。快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，哪个图像正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（　　）
6.如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（g取10 m/s2）（　　）
A.物体加速度大小为2 m/s2
B.4 s末F的功率大小为42 W
C.F的大小为21 N
D.4 s内F做功的平均功率为42 W
7.一台起重机将静止在地面上且质量为m＝1×103 kg的货物匀加速竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s（取g＝10 m/s2，不计额外功）。若起重机的额定功率为60 kW，求：
（1）起重机在这2 s内的平均功率；
（2）货物匀加速运动的最长时间及运动过程中能达到的最大速度。
8.（多选）一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，重物上升的高度为h，重力加速度为g，则整个过程中，下列说法正确的是（　　）
A.钢绳的最大拉力为
B.钢绳的最大拉力为
C.重物的最大速度v2＝
D.重物匀加速运动的加速度为－g
9.一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　）
10.一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速，受到的阻力不变，加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车（　　）
A.做匀加速直线运动
B.质量为200 kg
C.所受阻力大小为2 000 N
D.v'＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
11.我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移s＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速率v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的，重力加速度取g＝10 m/s2，求飞机滑跑过程中：
（1）加速度a的大小；
（2）牵引力的平均功率P。
习题课1　变力做功和机车启动问题
1.B　根据牛顿第二定律得F－F阻＝ma，则F＝F阻＋ma＝1 000 N＋5 000×2 N＝11 000 N，汽车第1 s末的速度大小为v＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，所以汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率为P＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，故B正确。
2.C　由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功为W＝h＝h0＝F0h0＋k，故选C。
3.C　力F对物体做的功等于s轴上方的正功（梯形面积）与s轴下方的负功（三角形面积）的代数和。S梯形＝×（4＋3）×2 J＝7 J，S三角形＝－×（5－4）×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选C。
4.C　当汽车速度为v时，汽车做匀速运动，则此时F＝F阻，根据功率与速度的关系P＝Fv，得汽车受到的阻力大小为F阻＝F＝，当车速为时，根据功率与速度的关系得P＝F1·，则F1＝，根据牛顿第二定律得F1－F阻＝ma，解得汽车的瞬时加速度的大小为a＝，故选C。
5.C　功率减小一半后，汽车的速度由于惯性来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动。由公式P＝Fv知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故汽车做加速度越来越小的减速运动，最终匀速运动，故C正确。
6.B　由速度—时间图像可得物体加速度a＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，得F＝＝10.5 N，4 s 末F的功率P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W，4 s内F做功的平均功率＝＝＝ W＝21 W。故B正确。
7.（1）2.4×104 W　（2）2.5 s　6 m/s
解析：（1）依题意，由运动学公式可知货物的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2
货物在2 s内上升的高度为h＝at2＝4 m
由牛顿第二定律可得F－mg＝ma
F＝1.2×104 N
起重机牵引力做功为W＝Fh＝4.8×104 J
起重机在这2 s内的平均功率P＝＝2.4×104 W。
（2）由功率公式可得匀加速直线运动的末速度
v'＝＝ m/s＝5 m/s
货物匀加速运动的最长时间tm＝＝ s＝2.5 s
当起重机牵引力等于货物重力时货物速度最大，则有
vm＝＝ m/s＝6 m/s。
8.BCD　由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P后，随着v增加，钢绳拉力F变小，当F＝mg时重物达到最大速度v2，故v2＝；最大拉力Fm＝mg＋ma＝，a＝－g，故A错误，B、C、D正确。
9.A　在v-t图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，－F阻＝ma，当速度v不变时，加速度a为零，在v-t图像中为一条水平线；当速度v变大时，加速度a变小，在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，所以选项B、D错误；同理，在t1～t2时间内－F阻＝ma'，图像变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，选项A正确，C错误。
10.C　由题图可知，加速度变化，赛车不是做匀加速直线运动，故A错误；当赛车的速度最大时，加速度为零，由题图可知最大速度v＝100 m/s，此时有P＝F阻v，可得F阻＝2 000 N，故C正确；图线的反向延长线与纵轴的交点为a0＝－4 m/s2，根据牛顿第二定律有F－F阻＝ma，其中F＝，可得－F阻＝ma，则有a＝－，此时有F阻＝－ma0，可得m＝500 kg，故B错误；v'＝50 m/s时，F'＝＝ N＝4 000 N，故D错误。
11.（1）2 m/s2　（2）8.4×106 W
解析：（1）飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有v2＝2as ①
代入数据解得
a＝2 m/s2。 ②
（2）设飞机滑跑受到的阻力为F阻，依题意有
F阻＝0.1mg ③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma ④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有＝ ⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率
P＝F ⑥
联立②③④⑤⑥式得
P＝8.4×106 W。
3 / 3习题课1　变力做功和机车启动问题
核心素养目标 科学思维 1.掌握求解变力做功的几种常用方法。 2.会分析机车的两种启动方式。
科学探究 通过生活中机车启动问题，培养学生逻辑推理能力。
要点一　求变力做功的常用方法
1.用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝，可得W＝Pt，求功。
2.用图像法求功
若已知F-s图像和P-t图像，则F-s图像中图线与s轴所围的面积及P-t图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移s0内力F做的功W＝s0。在图乙中，0～t0时间内物体做功W＝·t0。
3.用平均力求功
若力F随位移s线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2。
4.用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg（Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝－μmgs。
5.转换研究对象法
如图所示，人站在地上以恒力拉绳子，使小车向左运动，求绳子拉力对小车所做的功。绳子拉力对小车来说是个变力（大小不变，方向改变），人拉绳的力是恒力，于是转换研究对象，用人拉绳的力所做的功来求绳子拉力对小车做的功。
【典例1】　
在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为（　　）
A.0 B.FR
C.πFR D.2πFR
尝试解答
1.（2024·山东烟台一中期中）一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离s的变化情况如图所示，则在0～8 m的运动过程中F做的功为（　　）
A.4 J B.6 J
C.18 J D.22 J
2.如图所示，某人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在水平面上的物体缓慢移动。开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距地面的高度为h。求绳子的拉力F'对物体做的功。（绳的质量、滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）
要点二　机车的两种启动方式
两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和 v-t图像
OA 段 过程 分析 v↑→F＝↓→a＝↓ a＝（不变）→F不变→P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程 分析 F＝f、a＝0、f＝ v↑→F＝↓→a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 — F＝f→a＝0→以vm＝匀速运动
【典例2】　在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍（g取10 m/s2），则：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
尝试解答
【典例3】　目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。现有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同，它在平直水平路面上行驶时，受到的阻力F阻是车重力的0.1倍，g取10 m/s2。
（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2 的加速度做匀加速直线运动，这一过程中牵引力为多大？能维持多长时间？
尝试解答
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－F阻＝ma，联系力和速度的方程P＝Fv，结合v-t图像进行分析。
（1）机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小F阻，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法
牵引力F＝ma＋F阻，匀加速的最后速度v'＝，时间t＝。
（3）瞬时加速度的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
1.（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重力的0.1倍，（g＝10 m/s2）则（　　）
A.汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B.汽车的额定功率为120 kW
C.汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D.当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
2.一列高速列车总质量m＝465 t，其额定功率P＝5 300 kW，在水平直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重力的0.018倍。列车以额定功率工作，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）当行驶速度v＝10 m/s时，列车的牵引力和加速度的大小；
（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
1.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（　　）
A.0 B.－Fh
C.－2Fh D.Fh
2.在机械化生产水平较低时，人们经常利用石磨把粮食颗粒加工成粗面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心O的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为（　　）
A.0 B.2πrF
C.2Fr D.－2πrF
3.（多选）如图所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移s0，下列说法正确的是（　　）
A.甲图和乙图合外力做功相等
B.丙图和丁图合外力做功相等
C.四个图合外力做功均相等
D.四个图中合外力做功最多的是丙图
4.质量m＝2×103 kg的汽车，发动机额定功率为P＝80 kW，若汽车在平直公路上行驶时，所受阻力恒为F阻＝4×103 N，那么：
（1）汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少；
（2）若汽车以额定功率起动，当速度为5 m/s时，加速度a是多少。
习题课1　变力做功和机车启动问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　C　小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、l2、…、ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1、W2＝Fl2、…、Wn＝Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F（l1＋l2＋…＋ln）＝F＝πFR。
素养训练
1.C　根据W＝Fs可知，力F做的功等于F-s图像的面积，s轴上方为正功，s轴下方为负功，总功为三部分的代数和，则W＝（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，故选C。
2.Fh
解析：在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力（F'方向改变），但拉力F'的作用效果与恒力F的作用效果相同，因此绳子的拉力F'对物体做的功等于力F所做的功。
由题图可知，力F的作用点移动的位移大小为
s＝－＝h
则WF'＝WF＝Fs＝Fh。
要点二
知识精研
【典例2】　见解析
解析：（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，可知汽车的加速度逐渐减小到零。
（2）F－f＝ma1
P额＝Fv1
f＝0.1mg
联立解得v1＝ m/s。
（3）当汽车速度达到最大时，a2＝0，F'＝f，P＝P额，故
vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
【典例3】　（1）30 m/s　（2）3 000 N　40 s
解析：（1）当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即
F＝F阻＝kmg＝2 000 N
可得P＝F阻vm
可解得vm＝＝30 m/s。
（2）超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－F阻＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，则P＝F1v1
解得v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
素养训练
1.BD　汽车在前5 s内做匀加速运动，加速度a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－F阻＝ma得F＝F阻＋ma＝（0.1×2×103×10＋2×103×3）N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，F1＝＝ N＝6 000 N，F1－F阻＝ma1，解得a1＝2 m/s2，D正确。
2.（1）5.3×105 N　0.96 m/s2　（2）63.3 m/s
解析：（1）由题意可知F阻＝0.018mg，列车以额定功率工作，当行驶速度v＝10 m/s时，设牵引力为F1。由P＝F1v，得F1＝＝ N＝5.3×105 N，根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a≈0.96 m/s2，列车的加速度方向与牵引力方向一致。
（2）行驶速度达到最大值时，设牵引力为F2，当F2＝F阻时，列车行驶速度最大，此时P＝F阻vmax，得vmax＝≈63.3 m/s，列车的最大行驶速度方向与牵引力方向一致。
【教学效果·勤检测】
1.C　把运动的全过程分成两段，上升过程中空气阻力对小球做的功W1＝Fhcos 180°＝－Fh；下降过程中空气阻力对小球做的功W2＝Fhcos 180°＝－Fh，所以全过程中空气阻力对小球做的功为W＝W1＋W2＝－2Fh，故C正确。
2.B　由题意可知，推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，为圆周切线方向，根据微元法可知，推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，所以推力所做的功W＝Fs＝2πrF，故B正确。
3.AD　F-s图像中，图线与s轴围成的面积表示力F所做的功，由题图可知，甲、乙图所围的面积相等，丙图所围的面积最大，丁图所围的面积最小，故W丙＞W甲＝W乙＞W丁，选项A、D正确。
4.（1）20 m/s　（2）6 m/s2
解析：（1）当a＝0，即F＝F阻时，汽车速度达到vm，
根据P＝Fvm＝F阻vm，代入数据可得vm＝20 m/s。
（2）当v＝5 m/s时，根据P＝Fv
代入数据可得F＝1.6×104 N
根据牛顿第二定律，有F－F阻＝ma
代入数据可得a＝6 m/s2。
5 / 5(共60张PPT)
习题课1　变力做功和机车启动问题
核心素 养目标 科学思维 1.掌握求解变力做功的几种常用方法。
2.会分析机车的两种启动方式。
科学探究 通过生活中机车启动问题，培养学生逻辑推
理能力。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　求变力做功的常用方法
1. 用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝
，可得W＝Pt，求功。
2. 用图像法求功
若已知F-s图像和P-t图像，则F-s图像中图线与s轴所围的面积及P-t
图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移s0内力F
做的功W＝s0。在图乙中，0～t0时间内物体做功W＝·t0。
3. 用平均力求功
若力F随位移s线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将
劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝
·x＝kx2。
4. 用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方
向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，
求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力
所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为
s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg（Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝－μmgs。
5. 转换研究对象法
如图所示，人站在地上以恒力拉绳子，使小车向左运动，求绳子拉
力对小车所做的功。绳子拉力对小车来说是个变力（大小不变，方
向改变），人拉绳的力是恒力，于是转换研究对象，用人拉绳的力
所做的功来求绳子拉力对小车做的功。
【典例1】　在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两
个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉
至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所
做的功为（　　）
A. 0 B. FR
D. 2πFR
解析：小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是
变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成
直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公
式计算，然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、
l2、…、ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1、W2＝Fl2、…、Wn＝
Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F（l1＋l2
＋…＋ln）＝F＝πFR。
1. （2024·山东烟台一中期中）一物体在运动中受水平拉力F的作用，
已知F随运动距离s的变化情况如图所示，则在0～8 m的运动过程中
F做的功为（　　）
A. 4 J B. 6 J
C. 18 J D. 22 J
解析： 　根据W＝Fs可知，力F做的功等于F-s图像的面积，s轴上
方为正功，s轴下方为负功，总功为三部分的代数和，则W＝
（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，故选C。
2. 如图所示，某人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在水平面上的物
体缓慢移动。开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当
拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距地面
的高度为h。求绳子的拉力F'对物体做的功。（绳的质量、滑轮的
质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）
答案：Fh
解析：在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力（F'方向
改变），但拉力F'的作用效果与恒力F的作用效果相同，因此绳子
的拉力F'对物体做的功等于力F所做的功。由题图可知，力F的作
用点移动的位移大小为
s＝－＝h
则WF'＝WF＝Fs＝Fh。
要点二　机车的两种启动方式
两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图
像
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
OA段 过程 分析
运动 性质 加速度减小的加速直
线运动
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB段 过程 分析
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 —
【典例2】　在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为
10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍（g取10 m/s2），则：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变
化？
解析： 若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P
额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，可知
汽车的加速度逐渐减小到零。
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
解析： F－f＝ma1
P额＝Fv1
f＝0.1mg
联立解得v1＝ m/s。
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
答案：见解析
解析： 当汽车速度达到最大时，a2＝0，F'＝f，P＝P
额，故
vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
【典例3】　目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连
接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千
米。现有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，
假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同，它在平直水平路面
上行驶时，受到的阻力F阻是车重力的0.1倍，g取10 m/s2。
（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
答案： 30 m/s　
解析： 当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引
力与阻力平衡，即
F＝F阻＝kmg＝2 000 N
可得P＝F阻vm
可解得vm＝＝30 m/s。
（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直
线运动，这一过程中牵引力为多大？能维持多长时间？
答案： 3 000 N　40 s
解析：超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－F阻＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，则P＝F1v1
解得v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F
－F阻＝ma，联系力和速度的方程P＝Fv，结合v-t图像进行分析。
（1）机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小
F阻，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法
牵引力F＝ma＋F阻，匀加速的最后速度v'＝，时间t＝
。
（3）瞬时加速度的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
1. （多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加
速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t
图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻
力为车重力的0.1倍，（g＝10 m/s2）则（　　）
A. 汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B. 汽车的额定功率为120 kW
C. 汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D. 当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2m/s2
解析： 　汽车在前5 s内做匀加速运动，加速度a＝3 m/s2，由牛
顿第二定律F－F阻＝ma得F＝F阻＋ma＝（0.1×2×103×10＋
2×103×3）N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率
P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，
汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝＝60 m/s，C错误；
当汽车速度为20 m/s时，F1＝＝ N＝6 000 N，F1－F阻＝
ma1，解得a1＝2 m/s2，D正确。
2. 一列高速列车总质量m＝465 t，其额定功率P＝5 300 kW，在水平
直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重力的0.018倍。列车
以额定功率工作，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）当行驶速度v＝10 m/s时，列车的牵引力和加速度的大小；
答案： 5.3×105 N　0.96 m/s2　
解析： 由题意可知F阻＝0.018mg，列车以额定功率工
作，当行驶速度v＝10 m/s时，设牵引力为F1。由P＝F1v，得
F1＝＝ N＝5.3×105 N，根据牛顿第二定律，有F1－
F阻＝ma，解得a≈0.96 m/s2，列车的加速度方向与牵引力方
向一致。
（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
答案： 63.3 m/s
解析： 行驶速度达到最大值时，设牵引力为F2，当F2
＝F阻时，列车行驶速度最大，此时P＝F阻vmax，得vmax＝
≈63.3 m/s，列车的最大行驶速度方向与牵引力方向一
致。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为
h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，
空气阻力对小球做的功为（　　）
A. 0 B. －Fh
C. －2Fh D. Fh
解析： 　把运动的全过程分成两段，上升过程中空气阻力对小球
做的功W1＝Fhcos 180°＝－Fh；下降过程中空气阻力对小球做的
功W2＝Fhcos 180°＝－Fh，所以全过程中空气阻力对小球做的功
为W＝W1＋W2＝－2Fh，故C正确。
2. 在机械化生产水平较低时，人们经常利用石磨把粮食颗粒加工成粗
面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为
F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心O的距离为r，磨盘绕轴缓
慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为（　　）
A. 0 B. 2πrF
C. 2Fr D. －2πrF
解析： 　由题意可知，推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨
杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，为圆周切线方
向，根据微元法可知，推力对磨盘所做的功等于推力的大小与
推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，所以推力所做的功W＝Fs
＝2πrF，故B正确。
3. （多选）如图所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体
在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移s0，
下列说法正确的是（　　）
A. 甲图和乙图合外力做功相等
B. 丙图和丁图合外力做功相等
C. 四个图合外力做功均相等
D. 四个图中合外力做功最多的是丙图
解析： 　F-s图像中，图线与s轴围成的面积表示力F所做的功，
由题图可知，甲、乙图所围的面积相等，丙图所围的面积最大，丁
图所围的面积最小，故W丙＞W甲＝W乙＞W丁，选项A、D正确。
4. 质量m＝2×103 kg的汽车，发动机额定功率为P＝80 kW，若汽车
在平直公路上行驶时，所受阻力恒为F阻＝4×103 N，那么：
（1）汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少；
答案： 20 m/s　
（2）若汽车以额定功率起动，当速度为5 m/s时，加速度a是多
少。
答案： 6 m/s2
解析：当v＝5 m/s时，根据P＝Fv，代入数据可得F＝1.6×104
N，根据牛顿第二定律，有F－F阻＝ma，代入数据可得a＝6
m/s2。
解析： 当a＝0，即F＝F阻时，汽车速度达到vm，
根据P＝Fvm＝F阻vm，代入数据可得vm＝20 m/s。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
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1. 质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动，所受阻
力大小恒为1.0×103 N，汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是
（　　）
A. 2 kW B. 22 kW
C. 1.1 kW D. 20 kW
解析： 　根据牛顿第二定律得F－F阻＝ma，则F＝F阻＋ma＝1
000 N＋5 000×2 N＝11 000 N，汽车第1 s末的速度大小为v＝at＝
2×1 m/s＝2 m/s，所以汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率为P＝
Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，故B正确。
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2. （2024·山东济宁期中）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F
与深度h的关系为F＝kh＋F0（k，F0已知），石头沿竖直方向做直
线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为
（　　）
A. F0h0 B. kF0h0
解析： 　由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功为W＝
h＝h0＝F0h0＋k，故选C。
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3. 一物体所受的力F随位移s发生如图所示的变化，这一过程中，力F
对物体所做的功为（　　）
A. 7 J B. 8 J
C. 6 J D. －6 J
解析： 　力F对物体做的功等于s轴上方的正功（梯形面积）与s
轴下方的负功（三角形面积）的代数和。S梯形＝×（4＋3）×2 J
＝7 J，S三角形＝－×（5－4）×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功
为W＝7 J－1 J＝6 J，故选C。
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4. 质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为
P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车
做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度大小为（　　）
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解析： 　当汽车速度为v时，汽车做匀速运动，则此时F＝F阻，根
据功率与速度的关系P＝Fv，得汽车受到的阻力大小为F阻＝F＝
，当车速为时，根据功率与速度的关系得P＝F1·，则F1＝，
根据牛顿第二定律得F1－F阻＝ma，解得汽车的瞬时加速度的大小
为a＝，故选C。
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5. 汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P。快进入闹
市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功
率继续行驶。下面四个图像中，哪个图像正确表示了从司机减小油
门开始，汽车的速度与时间的关系（　　）
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解析： 　功率减小一半后，汽车的速度由于惯性来不及变化，根
据功率和速度关系公式P＝Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力
向后，汽车做减速运动。由公式P＝Fv知，功率一定时，速度减小
后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故汽车做加速度越来越
小的减速运动，最终匀速运动，故C正确。
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6. 如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用
下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙
所示，由此可知（g取10 m/s2）（　　）
A. 物体加速度大小为2 m/s2
B. 4 s末F的功率大小为42 W
C. F的大小为21 N
D. 4 s内F做功的平均功率为42 W
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解析： 　由速度—时间图像可得物体加速度a＝0.5 m/s2，由牛顿
第二定律得2F－mg＝ma，得F＝＝10.5 N，4 s 末F的功率
P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W，4 s内F做功的平均功率＝＝
＝ W＝21 W。故B正确。
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7. 一台起重机将静止在地面上且质量为m＝1×103 kg的货物匀加速竖
直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s（取g＝10 m/s2，不计额外
功）。若起重机的额定功率为60 kW，求：
（1）起重机在这2 s内的平均功率；
答案： 2.4×104 W　
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解析： 依题意，由运动学公式可知货物的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2，货物在2 s内上升的高度为
h＝at2＝4 m，由牛顿第二定律可得F－mg＝ma
F＝1.2×104 N，起重机牵引力做功为W＝Fh＝4.8×104 J，
起重机在这2 s内的平均功率P＝＝2.4×104 W。
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（2）货物匀加速运动的最长时间及运动过程中能达到的最大速度。
答案： 2.5 s　6 m/s
解析：由功率公式可得匀加速直线运动的末速度
v'＝＝ m/s＝5 m/s
货物匀加速运动的最长时间tm＝＝ s＝2.5 s
当起重机牵引力等于货物重力时货物速度最大，则有
vm＝＝ m/s＝6 m/s。
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8. （多选）一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，
当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，之后起重
机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为
止，重物上升的高度为h，重力加速度为g，则整个过程中，下列说
法正确的是（　　）
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解析： 　由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中
钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P后，随着v增加，钢绳
拉力F变小，当F＝mg时重物达到最大速度v2，故v2＝；最大拉
力Fm＝mg＋ma＝，a＝－g，故A错误，B、C、D正确。
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9. 一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随
时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下
列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　）
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解析： 在v-t图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由
牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，－F阻＝ma，当速度v不变
时，加速度a为零，在v-t图像中为一条水平线；当速度v变大时，加
速度a变小，在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，所以选项
B、D错误；同理，在t1～t2时间内－F阻＝ma'，图像变化情况与
0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突
变，选项A正确，C错误。
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10. 一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速，受到的阻力不变，
加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车（　　）
A. 做匀加速直线运动
B. 质量为200 kg
C. 所受阻力大小为2 000 N
D. v'＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
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解析： 　由题图可知，加速度变化，赛车不是做匀加速直线运
动，故A错误；当赛车的速度最大时，加速度为零，由题图可知
最大速度v＝100 m/s，此时有P＝F阻v，可得F阻＝2 000 N，故C正
确；图线的反向延长线与纵轴的交点为a0＝－4 m/s2，根据牛顿第
二定律有F－F阻＝ma，其中F＝，可得－F阻＝ma，则有a＝
－，此时有F阻＝－ma0，可得m＝500 kg，故B错误；v'＝50 m/s
时，F'＝＝ N＝4 000 N，故D错误。
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11. 我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机
C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水
平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移s＝
1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速率v＝80 m/s。已知飞机质
量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的，重力加
速度取g＝10 m/s2，求飞机滑跑过程中：
（1）加速度a的大小；
答案： 2 m/s2　
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解析： 飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运
动，有v2＝2as　①
代入数据解得
a＝2 m/s2。　②
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（2）牵引力的平均功率P。
答案： 8.4×106 W
解析：设飞机滑跑受到的阻力为F阻，依题意有
F阻＝0.1mg　③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma　④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有＝　⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率
P＝F　⑥
联立②③④⑤⑥式得
P＝8.4×106 W。
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