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第3章　圆周运动
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
1.匀速圆周运动是一种（　　）
A.匀速运动
B.匀加速运动
C.匀加速曲线运动
D.变速曲线运动
2.静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是（　　）
A.它们的运动周期都是相同的
B.它们的线速度都是相同的
C.它们的线速度大小都是相同的
D.它们的角速度是不同的
3.如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速度大小为ωA、ωB，线速度大小为vA、vB，则（　　）
A.ωA＜ωB，vA＝vB B.ωA＞ωB，vA＝vB
C.ωA＝ωB，vA＜vB D.ωA＝ωB，vA＞vB
4.一个玩具陀螺如图所示。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（　　）
A.a、b和c三点的线速度大小相等
B.a、b和c三点的角速度相等
C.a、b的角速度比c的大
D.c的线速度比a、b的大
5.如图所示，a、b两点分别位于大、小轮的边缘上，c点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑，则角速度相等的是（　　）
A.a　b B.a　c
C.b　c D.a　b　c
6.如图所示，地球绕地轴自转，地球上两点a和b的纬度分别为φ1和φ2，则关于在a、b两点的物体，其线速度大小和角速度的关系，下列说法中正确的是（　　）
A.ωa∶ωb＝1∶1，va∶vb＝1∶1
B.ωa∶ωb＝1∶1，va∶vb＝cos φ1∶cos φ2
C.ωa∶ωb＝1∶1，va∶vb＝sin φ1∶sin φ2
D.ωa＝ωb，va＝vb＝0
7.（多选）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2。A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦的作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的（　　）
A.线速度大小之比为3∶3∶2
B.角速度大小之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.周期之比为2∶3∶3
8.汽车转弯时，可认为前轮和后轮都做圆周运动，但它们的转弯半径不同，如图所示，若汽车外侧前轮的转弯半径为5 m，内侧后轮的转弯半径为2.7 m，外侧前轮转弯时线速度为10 m/s，则此时内侧后轮的线速度是多少？
9.把某一机械手表的分针与时针上的点看作是匀速圆周运动，且分针长度是时针长度的1.5倍，则（　　）
A.分针与时针的周期之比为1∶60
B.分针与时针的角速度之比为12∶1
C.分针与时针末端的线速度之比为8∶1
D.分针与时针的频率之比为1∶12
10.（2024·山东济南期末）如图所示，山地自行车的牙盘、飞轮之间用链条传动。运动员为获得较好加速效果，骑行时将牙盘上的链条放在半径最大的轮盘上，将飞轮上的链条放在半径最小的轮盘上。已知牙盘上最大轮盘的半径为18 cm，飞轮上最小轮盘的半径为2 cm，则牙盘、飞轮边缘上两点的（　　）
A.转速之比为1∶9 B.线速度之比为9∶1
C.角速度之比为9∶1 D.周期之比为1∶9
11.一链条传动装置的示意图如图所示。已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的齿数比为k，以下说法中正确的是（　　）
A.从动轮是顺时针转动的
B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小之比为k
C.从动轮的转速为nk
D.从动轮的转速为
12.皮带传动装置如图所示，皮带轮为O、O'，RB＝RA，RC＝RA。当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度之比、周期之比。
13.如图所示，有一直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒旋转不到半周时，就在圆筒上先后留下a、b两个弹孔，已知aO、bO的夹角为φ，求子弹的速度大小。
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
1.D　匀速圆周运动物体的加速度的方向不断变化，所以是一种变速曲线运动，故D正确，A、B、C错误。
2.A　地球绕自转轴转动时，地球上各点的物体运动周期及角速度都是相同的，A正确，D错误；地球表面上的物体，随地球做圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬线上的物体圆周运动的半径是不同的，只有同一纬线上的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同，B、C错误。
3.D　因杆上A、B两点绕O点转动，故角速度相等，即ωA＝ωB，由于A点转动半径大于B点转动半径，根据v＝ωr可知，vA＞vB，故选D。
4.B　由于a、b、c三点绕同一轴转动，在相等时间内转过的圆心角相等，它们的角速度相同，B正确，C错误；因a、b两点转动半径相等且大于c点的转动半径，由v＝rω知va＝vb＞vc，A、D错误。
5.B　由题图知a、c都在大轮上，同轴转动，则角速度相等，即ωa＝ωc，接触面不打滑，所以两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb，又因为v＝rω，ra＝2rb，所以ωa＝ωb，所以角速度相等的点为a、c两点，故选B。
6.B　在地球表面的物体与地球具有相同的角速度，所以分别在a和b两点的物体的角速度相同，即ωa∶ωb＝1∶1；设地球半径为R，根据几何关系可知，物体随地球转动的半径为Rcos φ，所以v＝ωRcos φ，va∶vb＝cos φ1∶cos φ2，故选B。
7.AD　A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝，有Ta∶Tb＝2∶3，B轮、C轮是同轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝，有Tb∶Tc＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3，故A、D正确，B、C错误。
8.5.4 m/s
解析：汽车转弯时，四个轮有相同的角速度，根据v＝ωr，可得＝，代入数据可得v后＝5.4 m/s。
9.B　分针的周期为T分＝1 h，时针的周期为T时＝12 h，则分针与时针的周期之比为T分∶T时＝1∶12，由ω＝可知，分针与时针的角速度之比为ω分∶ω时＝12∶1，由f＝可知，分针与时针的频率之比为f分∶f时＝12∶1，A、D错误；B正确；由v＝ωr得，分针与时针末端的线速度之比为v分∶v时＝ω分r分∶ω时r时＝18∶1，C错误。
10.A　牙盘、飞轮边缘上两点的线速度相等，由v＝ωr＝＝2πnr，可得＝＝＝＝，故选A。
11.C　主动轮逆时针转动，用链条传动，带动从动轮也逆时针转动，两轮边缘线速度大小相等，A、B错误；由主动轮和从动轮的齿数比为k可得r主∶r从＝k，又2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝nk，C正确，D错误。
12.2∶2∶3　2∶1∶2　3∶3∶2
解析：由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，可得
ωC＝＝＝ωA
所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3
又vB＝RBωB＝RAωA＝
所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2
TA∶TB∶TC＝∶∶＝∶∶＝3∶3∶2。
13.
解析：子弹从a穿入圆筒到从b穿出圆筒，圆筒旋转不到半周，故圆筒转过的角度为π－φ，则子弹穿过圆筒的时间t＝。
在这段时间内，子弹的位移为圆筒的直径d，则子弹的速度v＝＝。
2 / 3第3章　圆周运动
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
核心素养目标 物理观念 1.知道什么是匀速圆周运动。 2.理解线速度、角速度、周期、频率和转速的概念。 3.认识匀速圆周运动中线速度、角速度和周期之间的关系。
科学思维 学会描述物体运动的方法，能从多角度分析物体运动快慢。
知识点一　线速度
1.匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的　　　　都相等的圆周运动称为匀速圆周运动。
2.线速度
（1）定义：物理学中，将做匀速圆周运动的物体上某点通过的　　　　　　与所用　　　　　　　　　之比称为匀速圆周运动的线速度。
（2）方向：其方向沿圆周的　　　　　　。
（3）定义式：v＝　　　　。
（4）注意：做匀速圆周运动的物体，其上任意一点的线速度大小　　　　，但方向却时刻都在　　　　。
知识点二　角速度
1.定义：物理学中，将半径转过的　　　　与　　　　　　　　之比称为匀速圆周运动的角速度。
2.定义式：ω＝　　　　。
3.单位：在国际单位制中，角速度的单位是　　　　　　　，符号是　　　　　　　。
4.注意：对某一确定的匀速圆周运动，角速度是　　　　（选填“变化”“不变”）的。
知识点三　周期、频率和转速
1.周期
（1）定义：把周期性运动每重复一次所需要的　　　　称为周期，用符号　　　　表示。匀速圆周运动的周期等于物体运动一周所用的时间。
（2）意义：用来描述匀速圆周运动的快慢。周期越短，运动越　　　　；周期越长，运动越　　　　。
2.频率
（1）定义：在一段时间内，运动重复的　　　　与这段　　　　　　　之比称为频率，用符号　　　　表示。
（2）f与T的关系：f＝　　　　。
（3）单位：赫兹，符号为　　　　。
3.转速
（1）定义：物体一段时间内转过的　　　　　与这段　　　　　之比，用符号　　　　　表示。
（2）单位：转每秒（r/s）或转每分（r/min）。
（3）n与f的关系：当转速n以　　　　　　为单位时，转速与频率大小相等，即　　　　　　　　。
知识点四　线速度、角速度和周期的关系
1.线速度和周期的关系：v＝　　　　。
2.角速度和周期的关系：ω＝　　　　。
3.线速度和角速度关系：v＝　　　　。
【情景思辨】
1.如图是日常生活中常见到的圆周运动实例，请判断下列说法的正误。
（1）游乐场的摩天轮转动的线速度不变。（　　）
（2）吊扇正常工作时各扇叶的角速度相等。（　　）
（3）吊扇正常工作时扇叶上各点的线速度大小相等。（　　）
（4）吊扇正常工作时扇叶上各点的周期相等。（　　）
2.打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖上旋转，展示自己的球技，如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么在篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
要点一　线速度、角速度和匀速圆周运动
【探究】
　
闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，请同学进行讨论。
【归纳】
1.线速度v
（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
（2）线速度是质点在圆周上各点的瞬时速度，方向沿圆周的切线方向，所以线速度是时刻变化的。
2.角速度
（1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
（2）在匀速圆周运动中，质点的角速度不变。
3.匀速圆周运动
（1）匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在任意相等的时间内通过的圆弧长度都相等的运动叫作匀速圆周运动。
（2）性质：由于物体做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，如图所示，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
【典例1】　（多选）对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是（　　）
A.周期 B.速率
C.角速度 D.线速度
尝试解答
　质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，下列物理量可能不同的是（　　）
A.通过的弧长 B.通过的位移大小
C.转过的角度 D.速度的变化
要点二　圆周运动的物理量之间的关系
1.线速度与角速度的关系：v＝rω
（1）当v一定时，ω与r成反比；
（2）当ω一定时，v与r成正比。
2.线速度与周期、转速的关系：v＝＝2πrn。
3.角速度与周期、转速的关系：ω＝＝2πn。
【典例2】　（多选）A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是（　　）
A.它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3 B.它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3 D.它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
尝试解答
1.（多选）质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（　　）
A.因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C.因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
2.做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m 的圆周运动了100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
（1）线速度的大小；
（2）角速度的大小；
（3）周期的大小。
要点三　常见传动装置及其特点
常见的四类传动装置
装置 特点 转动 方向 规律
同轴传动 A、B两点在同轴的一个圆盘上 角速度、周期相 同 相同 线速度与半径成正比：＝
皮带传动 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 线速度相同 相同 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比： ＝
齿轮传动 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 线速度大小相同 相反 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
摩擦传动 两个轮子紧靠在一起，靠摩擦进行传动，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 线速度大小相同 相反 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比： ＝
【典例3】　如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径的关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
尝试解答
规律总结
传动装置的分析技巧
（1）首先分析是哪种传动装置。
（2）若是皮带（或链条）传动和齿轮传动，与皮带接触的点或与齿轮接触点的线速度一定相同。
（3）若是同轴转动，角速度一定相同。
（4）最后利用v＝ωr分析求解。
1.如图所示，两小孩在玩“跷跷板”，O为“跷跷板”的支点，A、B为“跷跷板”上的两点，AO大于BO。设“跷跷板”转动过程中A、B两点线速度的大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，则（　　）
A.vA＞vB B.vA＜vB
C.ωA＞ωB D.ωA＜ωB
2.一户外健身器材如图所示，当器材上轮子转动时，轮子上A、B两点的（　　）
A.nB＞nA B.TB＞TA
C.vB＞vA D.ωB＞ωA
要点回眸
1.某高速公路收费站的ETC的直杆道闸的示意图如图所示，杆OP的长度为L，当小车靠近道闸时，杆OP绕O点转动放行，在杆OP从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，P端的线速度大小为v，则该转动过程所用的时间为（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
2.如图所示的是“旋转纽扣”游戏。现用力反复拉线两端，纽扣逆顺交替转动，纽扣绕其中心转速最大可达10 r/s。则可知纽扣边缘各质点绕其中心（　　）
A.线速度在同一时刻相同，且可能在变小
B.线速度在同一时刻相同，且一直在变大
C.角速度在同一时刻相同，且可能在变小
D.角速度在同一时刻相同，且一直在变大
3.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（　　）
A. B.
C. D.
4.一个小球做匀速圆周运动，圆周运动的半径为0.5 m，在10 s内转了5圈，则（　　）
A.小球线速度大小为2π m/s
B.小球角速度大小为2π rad/s
C.小球线速度大小为 m/s
D.小球角速度大小为4π rad/s
5.某自行车的链条传动示意图如图所示，某时刻链条传动的速率为v，大、小齿轮角速度分别为ω1、ω2，大、小齿轮的直径分别为d1、d2，则下列关系正确的是（　　）
A.d1ω1＝d2ω2 B.d1ω2＝d2ω1
C.v＝ω2d2 D.v＝ω1d1
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
【基础知识·准落实】
知识点一
1.弧长　2.（1）弧长s　时间t　（2）切线方向　（3）
（4）不变　变化
知识点二
1.角度φ　所用时间t　2.　3.弧度每秒　rad/s　4.不变
知识点三
1.（1）时间　T　（2）快　慢　2.（1）次数　时间　f　（2）　（3）Hz　3.（1）圈数　时间　n　（3）转每秒　n＝f
知识点四
1.　2.　3.rω
情景思辨
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，所以不同高度的各点在相同时间内通过的弧长不同，即不同高度的各点的线速度不同。
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：“闹钟”和“手表”是从不同角度看圆周运动的快慢，闹钟指的是秒针针尖的线速度；手表则指的是秒针转动的角速度。
【典例1】　ABC　匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误。
素养训练
　D　质点做匀速圆周运动时，因线速度的大小不变，故在任意相等的时间内通过的圆弧长度相同；位移是矢量，所以在任意相等的时间内通过的位移方向不一定相同，但是位移大小相同；质点做匀速圆周运动时，角速度是不变的，所以在任意相等的时间内转过的角度是相同的；速度的变化是矢量，任意相等的时间内的速度变化方向不一定相同。故D符合题意。
要点二
知识精研
【典例2】　BC　A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝知TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误。
素养训练
1.CD　当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，C、D正确。
2.（1）10 m/s　（2）0.5 rad/s　（3）4π s
解析：（1）根据线速度的定义式可得
v＝＝ m/s＝10 m/s；
（2）根据v＝ωr可得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s；
（3）T＝＝ s＝4π s。
要点三
知识精研
【典例3】　1∶2∶2　1∶1∶2
解析：由题意可知，A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，即
va∶vb＝1∶1， ①
由ω＝得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2， ②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮上各点的角速度相同，即
ωb∶ωc＝1∶1， ③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2， ④
由②③两式得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，
由①④两式得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
素养训练
1.A　两点同轴转动，则角速度相等，故C、D错误；根据v＝ωr，角速度相等且AO大于BO，可知vA＞vB，故A正确，B错误。
2.C　由于同轴转动，轮上各个点的角速度相同（圆心除外），所以A、B两点的角速度相同，转速相同，周期相同，故A、B、D错误；由v＝ωr，rB＞rA，得线速度vB＞vA，故C正确。
【教学效果·勤检测】
1.D　P点做匀速圆周运动，转动所用时间为t＝×＝，故选D。
2.C　由于纽扣边缘各质点是同圆心转动，所以角速度在同一时刻相同，由于逆顺交替转动，所以角速度可能在变小，不会一直在变大，C正确，D错误；纽扣边缘各质点是同圆心转动，同一时刻角速度相同，转动的半径相同，由线速度公式v＝ωr可知，纽扣边缘各质点的线速度在同一时刻大小相同，由于线速度是矢量，是既有大小，又有方向的物理量，边缘不同位置的质点的线速度方向不同，所以纽扣边缘各质点绕其中心转动的线速度在同一时刻不相同，由于角速度可能在变小，所以线速度可能在变小，不会一直在变大，A、B错误。
3.A　由于甲、乙、丙三个轮子靠摩擦传动，相互之间不打滑，故三个轮子边缘上的线速度大小相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，A正确。
4.C　已知小球10 s转了5圈，则小球的周期为T＝＝ s＝2 s，小球做匀速圆周运动的线速度v＝＝ m/s＝ m/s，故A错误，C正确；小球的角速度ω＝＝ rad/s＝π rad/s，故B、D错误。
5.A　因大、小齿轮边缘的线速度相等，都等于v，则v＝ω1＝ω2，即d1ω1＝d2ω2，故选A。
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第1节　匀速圆周运动快慢的描述
核心素 养目标 物理观念 1.知道什么是匀速圆周运动。
2.理解线速度、角速度、周期、频率和转速
的概念。
3.认识匀速圆周运动中线速度、角速度和周
期之间的关系。
科学思维 学会描述物体运动的方法，能从多角度分析
物体运动快慢。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　线速度
1. 匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的 都相等的圆周运动称为匀速圆周
运动。
弧长　
2. 线速度
（1）定义：物理学中，将做匀速圆周运动的物体上某点通过
的 与所用 之比称为匀速圆周运动的线
速度。
（2）方向：其方向沿圆周的 。
（3）定义式：v＝ 。
（4）注意：做匀速圆周运动的物体，其上任意一点的线速度大
小 ，但方向却时刻都在 。
弧长s　
时间t　
切线方向　
　
不变　
变化　
知识点二　角速度
1. 定义：物理学中，将半径转过的 与 之比称
为匀速圆周运动的角速度。
2. 定义式：ω＝ 。
3. 单位：在国际单位制中，角速度的单位是 ，符号
是 。
4. 注意：对某一确定的匀速圆周运动，角速度是 （选填“变
化”“不变”）的。
角度φ　
所用时间t　
　
弧度每秒　
rad/s　
不变　
知识点三　周期、频率和转速
1. 周期
（1）定义：把周期性运动每重复一次所需要的 称为周
期，用符号 表示。匀速圆周运动的周期等于物体运动
一周所用的时间。
（2）意义：用来描述匀速圆周运动的快慢。周期越短，运动
越 ；周期越长，运动越 。
时间　
T　
快　
慢　
2. 频率
（1）定义：在一段时间内，运动重复的 与这段
之比称为频率，用符号 表示。
（2）f与T的关系：f＝ 。
（3）单位：赫兹，符号为 。
次数　
时间　
f　
　
Hz　
3. 转速
（1）定义：物体一段时间内转过的 与这段 之
比，用符号 表示。
（2）单位：转每秒（r/s）或转每分（r/min）。
（3）n与f的关系：当转速n以 为单位时，转速与频率大
小相等，即 。
圈数　
时间　
n　
转每秒　
n＝f　
知识点四　线速度、角速度和周期的关系
1. 线速度和周期的关系：v＝ 。
2. 角速度和周期的关系：ω＝ 。
3. 线速度和角速度关系：v＝ 。
　
　
rω　
【情景思辨】
1. 如图是日常生活中常见到的圆周运动实例，请判断下列说法的
正误。
（1）游乐场的摩天轮转动的线速度不变。 （　×　）
（2）吊扇正常工作时各扇叶的角速度相等。 （　√　）
（3）吊扇正常工作时扇叶上各点的线速度大小相等。 （　×　）
（4）吊扇正常工作时扇叶上各点的周期相等。 （　√　）
×
√
×
√
2. 打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖上旋转，展示自己的
球技，如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么在篮球
上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动
时的圆心、半径不同，所以不同高度的各点在相同时间内通过的弧
长不同，即不同高度的各点的线速度不同。
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　线速度、角速度和匀速圆周运动
【探究】
闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，请同学进
行讨论。
提示：“闹钟”和“手表”是从不同角度看圆周运动的快慢，闹钟指
的是秒针针尖的线速度；手表则指的是秒针转动的角速度。
【归纳】
1. 线速度v
（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
（2）线速度是质点在圆周上各点的瞬时速度，方向沿圆周的切线
方向，所以线速度是时刻变化的。
2. 角速度
（1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
（2）在匀速圆周运动中，质点的角速度不变。
3. 匀速圆周运动
（1）匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在任意相等的时间内通过
的圆弧长度都相等的运动叫作匀速圆周运动。
（2）性质：由于物体做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变
化，如图所示，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
【典例1】　（多选）对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理
量是（　　）
A. 周期 B. 速率
C. 角速度 D. 线速度
解析：匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率
不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、
B、C正确，D错误。
　质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，下列物理量可能不同
的是（　　）
A. 通过的弧长 B. 通过的位移大小
C. 转过的角度 D. 速度的变化
解析： 　质点做匀速圆周运动时，因线速度的大小不变，故在任意
相等的时间内通过的圆弧长度相同；位移是矢量，所以在任意相等的
时间内通过的位移方向不一定相同，但是位移大小相同；质点做匀速
圆周运动时，角速度是不变的，所以在任意相等的时间内转过的角度
是相同的；速度的变化是矢量，任意相等的时间内的速度变化方向不
一定相同。故D符合题意。
要点二　圆周运动的物理量之间的关系
【归纳】
1. 线速度与角速度的关系：v＝rω
（1）当v一定时，ω与r成反比；
（2）当ω一定时，v与r成正比。
2. 线速度与周期、转速的关系：v＝＝2πrn。
3. 角速度与周期、转速的关系：ω＝＝2πn。
【典例2】　（多选）A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的
时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比
ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是（　　）
A. 它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B. 它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C. 它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D. 它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
解析：A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过
的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度
之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以
rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝知TA∶TB＝ωB∶ωA＝
2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝，所
以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误。
1. （多选）质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（　　）
A. 因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B. 因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C. 因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D. 因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
解析： 　当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，A错
误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，B错误；在用转
速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，
C、D正确。
2. 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100
m，试求物体做匀速圆周运动时：
（1）线速度的大小；
答案： 10 m/s　
解析： 根据线速度的定义式可得
v＝＝ m/s＝10 m/s；
（2）角速度的大小；
答案： 0.5 rad/s　
解析：根据v＝ωr可得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s；
解析： T＝＝ s＝4π s。
（3）周期的大小。
答案： 4π s
要点三　常见传动装置及其特点
【归纳】
常见的四类传动装置
装置 特点 转动 方向 规律
同轴
传动 A、B两点在同轴
的一个圆盘上 角速度、
周期相同 相同 线速度与半径成正
比：＝
装置 特点 转动 方向 规律
皮带
传动 两个轮子用皮带
连接，A、B两点
分别是两个轮子
边缘的点 线速度相
同 相同 角速度与半径成反
比：＝。周期
与半径成正比：
＝
装置 特点 转动 方向 规律
齿轮
传动 两个齿轮轮齿啮
合，A、B两点分
别是两个齿轮边
缘上的点
线速度大
小相同 相反 角速度与半径成反
比：＝。周期
与半径成正比：
＝
装置 特点 转动方向 规律
摩擦
传动 两个轮子紧靠在
一起，靠摩擦进
行传动，A、B两
点分别是两个轮
子边缘的点 线速度大
小相同 相反 角速度与半径成反
比：＝。周期
与半径成正比：
＝
【典例3】　如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴
转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径的关系是rA＝rC＝2rB。若皮带
不打滑，求A、B、C三轮边缘上的a、b、c三点的角速度之比和线速
度之比。
答案：1∶2∶2　1∶1∶2
解析：由题意可知，A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B
两轮边缘上各点的线速度大小相等，即
va∶vb＝1∶1，　①
由ω＝得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2，　②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮上各点的角速度相
同，即
ωb∶ωc＝1∶1，　③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2，　④
由②③两式得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，
由①④两式得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
规律总结
传动装置的分析技巧
（1）首先分析是哪种传动装置。
（2）若是皮带（或链条）传动和齿轮传动，与皮带接触的点或与齿
轮接触点的线速度一定相同。
（3）若是同轴转动，角速度一定相同。
（4）最后利用v＝ωr分析求解。
1. 如图所示，两小孩在玩“跷跷板”，O为“跷跷板”的支点，A、B
为“跷跷板”上的两点，AO大于BO。设“跷跷板”转动过程中
A、B两点线速度的大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，则
（　　）
A. vA＞vB B. vA＜vB
C. ωA＞ωB D. ωA＜ωB
解析： 　两点同轴转动，则角速度相等，故C、D错误；根据v＝
ωr，角速度相等且AO大于BO，可知vA＞vB，故A正确，B错误。
2. 一户外健身器材如图所示，当器材上轮子转动时，轮子上A、B两
点的（　　）
A. nB＞nA B. TB＞TA
C. vB＞vA D. ωB＞ωA
解析： 由于同轴转动，轮上各个点的角速度相
同（圆心除外），所以A、B两点的角速度相同，转速相同，周期相同，故A、B、D错误；由v＝ωr，rB＞rA，得线速度vB＞vA，故C正确。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 某高速公路收费站的ETC的直杆道闸的示意图如图所示，杆OP的
长度为L，当小车靠近道闸时，杆OP绕O点转动放行，在杆OP从与
水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，P端的线速度大小为
v，则该转动过程所用的时间为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　P点做匀速圆周运动，转动所用时间为t＝×＝
，故选D。
2. 如图所示的是“旋转纽扣”游戏。现用力反复拉线两端，纽扣逆顺
交替转动，纽扣绕其中心转速最大可达10 r/s。则可知纽扣边缘各
质点绕其中心（　　）
A. 线速度在同一时刻相同，且可能在变小
B. 线速度在同一时刻相同，且一直在变大
C. 角速度在同一时刻相同，且可能在变小
D. 角速度在同一时刻相同，且一直在变大
解析： 　由于纽扣边缘各质点是同圆心转动，所以角速度在同一
时刻相同，由于逆顺交替转动，所以角速度可能在变小，不会一直
在变大，C正确，D错误；纽扣边缘各质点是同圆心转动，同一时
刻角速度相同，转动的半径相同，由线速度公式v＝ωr可知，纽扣
边缘各质点的线速度在同一时刻大小相同，由于线速度是矢量，是
既有大小，又有方向的物理量，边缘不同位置的质点的线速度方向
不同，所以纽扣边缘各质点绕其中心转动的线速度在同一时刻不相
同，由于角速度可能在变小，所以线速度可能在变小，不会一直在
变大，A、B错误。
3. 如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，
其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度
为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由于甲、乙、丙三个轮子靠摩擦传动，相互之间不打
滑，故三个轮子边缘上的线速度大小相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，
所以ω3＝，A正确。
4. 一个小球做匀速圆周运动，圆周运动的半径为0.5 m，在10 s内转
了5圈，则（　　）
A. 小球线速度大小为2π m/s
B. 小球角速度大小为2π rad/s
C. 小球线速度大小为 m/s
D. 小球角速度大小为4π rad/s
解析： 　已知小球10 s转了5圈，则小球的周期为T＝＝ s＝
2 s，小球做匀速圆周运动的线速度v＝＝ m/s＝
m/s，故A错误，C正确；小球的角速度ω＝＝ rad/s＝π
rad/s，故B、D错误。
5. 某自行车的链条传动示意图如图所示，某时刻链条传动的速率为
v，大、小齿轮角速度分别为ω1、ω2，大、小齿轮的直径分别为
d1、d2，则下列关系正确的是（　　）
A. d1ω1＝d2ω2 B. d1ω2＝d2ω1
C. v＝ω2d2 D. v＝ω1d1
解析： 　因大、小齿轮边缘的线速度相等，都等于v，则v＝ω1
＝ω2，即d1ω1＝d2ω2，故选A。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 匀速圆周运动是一种（　　）
A. 匀速运动 B. 匀加速运动
C. 匀加速曲线运动 D. 变速曲线运动
解析： 　匀速圆周运动物体的加速度的方向不断变化，所以是一
种变速曲线运动，故D正确，A、B、C错误。
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2. 静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是
（　　）
A. 它们的运动周期都是相同的
B. 它们的线速度都是相同的
C. 它们的线速度大小都是相同的
D. 它们的角速度是不同的
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解析： 　地球绕自转轴转动时，地球上各点的物体运动周期及角
速度都是相同的，A正确，D错误；地球表面上的物体，随地球做
圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条自转轴
上，不同纬线上的物体圆周运动的半径是不同的，只有同一纬线上
的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，即使物体的线速度大
小相同，方向也各不相同，B、C错误。
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3. 如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速
度大小为ωA、ωB，线速度大小为vA、vB，则（　　）
A. ωA＜ωB，vA＝vB B. ωA＞ωB，vA＝vB
C. ωA＝ωB，vA＜vB D. ωA＝ωB，vA＞vB
解析： 　因杆上A、B两点绕O点转动，故角速度相等，即ωA＝
ωB，由于A点转动半径大于B点转动半径，根据v＝ωr可知，vA＞
vB，故选D。
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4. 一个玩具陀螺如图所示。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂
直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是
（　　）
A. a、b和c三点的线速度大小相等
B. a、b和c三点的角速度相等
C. a、b的角速度比c的大
D. c的线速度比a、b的大
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解析： 　由于a、b、c三点绕同一轴转动，在相等时间内转过
的圆心角相等，它们的角速度相同，B正确，C错误；因a、b两
点转动半径相等且大于c点的转动半径，由v＝rω知va＝vb＞vc，
A、D错误。
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5. 如图所示，a、b两点分别位于大、小轮的边缘上，c点位于大轮半
径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触
面不打滑，则角速度相等的是（　　）
A. a　b B. a　c
C. b　c D. a　b　c
解析： 　由题图知a、c都在大轮上，同轴转动，则角速度相等，
即ωa＝ωc，接触面不打滑，所以两轮边缘的线速度大小相等，即va
＝vb，又因为v＝rω，ra＝2rb，所以ωa＝ωb，所以角速度相等的点
为a、c两点，故选B。
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6. 如图所示，地球绕地轴自转，地球上两点a和b的纬度分别为φ1和
φ2，则关于在a、b两点的物体，其线速度大小和角速度的关系，下
列说法中正确的是（　　）
A. ωa∶ωb＝1∶1，va∶vb＝1∶1
B. ωa∶ωb＝1∶1，va∶vb＝cos φ1∶cos φ2
C. ωa∶ωb＝1∶1，va∶vb＝sin φ1∶sin φ2
D. ωa＝ωb，va＝vb＝0
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解析： 　在地球表面的物体与地球具有相同的角速度，所以分别
在a和b两点的物体的角速度相同，即ωa∶ωb＝1∶1；设地球半径为
R，根据几何关系可知，物体随地球转动的半径为Rcos φ，所以v＝
ωRcos φ，va∶vb＝cos φ1∶cos φ2，故选B。
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7. （多选）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定
在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2。A轮的半径大小与
C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动
时，由于摩擦的作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分
别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的（　　）
A. 线速度大小之比为3∶3∶2
B. 角速度大小之比为3∶3∶2
C. 转速之比为2∶3∶2
D. 周期之比为2∶3∶3
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解析： 　A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故va∶vb
＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有
na∶nb＝3∶2，根据T＝，有Ta∶Tb＝2∶3，B轮、C轮是同轴转
动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，
根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝，有Tb∶Tc＝1∶1，联立
可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝
3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3，故A、D正确，B、C错误。
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8. 汽车转弯时，可认为前轮和后轮都做圆周运动，但它们的转弯半径
不同，如图所示，若汽车外侧前轮的转弯半径为5 m，内侧后轮的
转弯半径为2.7 m，外侧前轮转弯时线速度为10 m/s，则此时内侧
后轮的线速度是多少？
答案：5.4 m/s
解析：汽车转弯时，四个轮有相同的角速度，根据v＝ωr，可得＝，代入数据可得v后＝5.4 m/s。
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9. 把某一机械手表的分针与时针上的点看作是匀速圆周运动，且分针
长度是时针长度的1.5倍，则（　　）
A. 分针与时针的周期之比为1∶60
B. 分针与时针的角速度之比为12∶1
C. 分针与时针末端的线速度之比为8∶1
D. 分针与时针的频率之比为1∶12
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解析： 　分针的周期为T分＝1 h，时针的周期为T时＝12 h，则
分针与时针的周期之比为T分∶T时＝1∶12，由ω＝可知，分
针与时针的角速度之比为ω分∶ω时＝12∶1，由f＝可知，分针
与时针的频率之比为f分∶f时＝12∶1，A、D错误；B正确；由v
＝ωr得，分针与时针末端的线速度之比为v分∶v时＝ω分r分∶ω时r
时＝18∶1，C错误。
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10. （2024·山东济南期末）如图所示，山地自行车的牙盘、飞轮之间
用链条传动。运动员为获得较好加速效果，骑行时将牙盘上的链
条放在半径最大的轮盘上，将飞轮上的链条放在半径最小的轮盘
上。已知牙盘上最大轮盘的半径为18 cm，飞轮上最小轮盘的半径
为2 cm，则牙盘、飞轮边缘上两点的（　　）
A. 转速之比为1∶9
B. 线速度之比为9∶1
C. 角速度之比为9∶1
D. 周期之比为1∶9
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解析： 　牙盘、飞轮边缘上两点的线速度相等，由v＝ωr＝＝
2πnr，可得＝＝＝＝，故选A。
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11. 一链条传动装置的示意图如图所示。已知主动轮是逆时针转动
的，转速为n，主动轮和从动轮的齿数比为k，以下说法中正确的
是（　　）
A. 从动轮是顺时针转动的
B. 主动轮和从动轮边缘的线速度大小之比为k
C. 从动轮的转速为nk
D. 从动轮的转速为
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解析： 　主动轮逆时针转动，用链条传动，带动从动轮也逆时
针转动，两轮边缘线速度大小相等，A、B错误；由主动轮和从动
轮的齿数比为k可得r主∶r从＝k，又2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝
nk，C正确，D错误。
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12. 皮带传动装置如图所示，皮带轮为O、O'，RB＝RA，RC＝RA。
当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三
点的角速度之比、线速度之比、周期之比。
答案：2∶2∶3　2∶1∶2　3∶3∶2
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解析：由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又
皮带不打滑，所以vA＝vC，可得
ωC＝＝＝ωA
所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3
又vB＝RBωB＝RAωA＝
所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2
TA∶TB∶TC＝∶∶＝∶∶＝3∶3∶2。
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13. 如图所示，有一直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速
转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒旋转不到半周
时，就在圆筒上先后留下a、b两个弹孔，已知aO、bO的夹角为
φ，求子弹的速度大小。
答案：
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解析：子弹从a穿入圆筒到从b穿出圆筒，圆筒旋转不到半周，故
圆筒转过的角度为π－φ，则子弹穿过圆筒的时间t＝。
在这段时间内，子弹的位移为圆筒的直径d，则子弹的速度v＝＝
。
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谢谢观看!
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