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第2节　科学探究：向心力
第2课时　向心力与向心加速度
1.下列说法正确的是（　　）
A.如果物体所受的合力是变力，那么物体一定做曲线运动
B.做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
C.做圆周运动的物体其合力一定指向圆心
D.曲线运动一定是变速运动
2.关于向心力的说法正确的是（　　）
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
3.大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在其中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，以下说法正确的是（　　）
A.游客的速度不变化，加速度为零
B.游客的速度不变化，加速度也不变化
C.游客的速度要变化，加速度却不变化
D.游客的速度要变化，加速度也要变化
4.（多选）中国古代玩具饮水鸟的示意图如图所示，饮水鸟的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中（　　）
A.P点的线速度小于Q点的线速度
B.P点的角速度等于Q点的角速度
C.P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D.P、Q两点的线速度方向相反
5.一个在水平面上做匀速圆周运动的物体，如果半径不变，而速率增加为原来速率的3倍时，其向心力是36 N，则物体原来受到的向心力的大小是（　　）
A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
6.如图所示，转笔是大部分同学都会一个小游戏，在转笔时，重的一端到支撑点的距离要近一点，这样才能使笔在手指上更稳定地绕该点转动， 假设重的一端的尾部是A点，轻的一端的尾部是B点，支撑点为O，OA∶OB＝2∶3，笔绕支撑点匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A.相同时间内A点和B点转过的角度之比为3∶2
B.相同时间内A点和B点走过的弧长之比为3∶2
C.A、B两点向心加速度之比为2∶3
D.相同时间内OA和OB扫过的面积相等
7.（多选）如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上（图示位置），且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上（俯视）。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是（　　）
A.小球的速度变大
B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小
D.细绳对小球的拉力变大
8.如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　）
A.A的速度比B的大
B.A与B的向心力大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
9.（多选）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球移到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断正确的是（　　）
A.Q受到桌面的支持力变大
B.Q受到桌面的静摩擦力变大
C.小球P运动的角速度变大
D.小球P运动的转数变大
10.如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆铰接。当竖直杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆之间的张角为θ。下列图像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是（　　）
11.（多选）如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是（　　）
A.A、B两球受到的向心力大小之比为2∶1
B.A、B两球角速度之比为1∶1
C.A、B两球运动半径之比为1∶2
D.A、B两球线速度大小之比为1∶2
12.如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比。
13.如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内。已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小。
第2课时　向心力与向心加速度
1.D　物体所受的合力是变力，物体不一定做曲线运动，例如非匀变速直线运动，选项A错误； 做曲线运动的物体的加速度不一定是变化的，例如平抛运动，选项B错误；只有做匀速圆周运动的物体其合力才指向圆心，选项C错误；曲线运动的速度方向一定变化，则一定是变速运动，选项D正确。
2.B　向心力是物体做圆周运动的原因，物体由于有向心力才做圆周运动，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误。
3.D　游客随摩天轮做匀速圆周运动时线速度大小不变，方向沿圆周的切线方向时刻改变，所以线速度是变化的；而加速度大小an＝不变，方向指向圆心，也时刻改变；即游客的速度要变化，加速度也要变化。故选D。
4.BD　根据同轴转动角速度相等知，P、Q两点的角速度大小相同，故B正确；根据v＝ωr及P点运动半径大，知P点线速度较大，故A错误；根据a＝ω2r及P点运动半径大，知P点向心加速度较大，故C错误； P、Q两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。
5.B　根据向心力公式得F1＝m；当速率为原来的3倍时有F2＝m＝36 N，联立解得F1＝4 N，选项B正确。
6.C　A、B两点同轴转动，角速度相同，相同时间内转过的角度相同，由s＝vt＝ωrt，a＝ω2r可知弧长之比、向心加速度之比均等于半径之比，故A、B错误，C正确；相同时间内转过的角度相同，而半径不相等，所以OA、OB扫过的面积不相等，故D错误。
7.BC　由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直，不改变速度大小，故A错误；由v＝ωr可知，v不变，r变大，则角速度ω变小，故B正确；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则向心力变小，故C正确；细绳对小球的拉力F＝m，v不变，r变大，则F变小，故D错误。
8.D　
A、B两个座椅具有相同的角速度，A的运动半径比B的小，根据公式v＝ωr可知，A的速度比B的小，故A错误；根据公式F＝mω2r可知，A的向心力比B的小，故B错误；对任一座椅，受力如图所示，绳子的拉力与其所受的重力的合力提供向心力，则mgtan θ＝mω2r，tan θ＝，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向的夹角θ较小，故C错误；缆绳拉力T＝，则悬挂A的缆绳拉力较小，由牛顿第三定律可知悬挂A的缆绳所受的拉力较小，故D正确。
9.BCD　对小球进行受力分析，如图所示，设绳子拉力为T，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子长度为l，则有Tcos θ＝mg，Tsin θ＝mω2r，r＝lsin θ，解得ω＝，当小球位置升高时，夹角θ增大，角速度增大，C正确；因2πn＝ω，ω增大，所以转速n增大，D正确；对金属块进行受力分析，如图所示，金属块处于平衡状态，有N＝mQg＋Tcos θ＝（mQ＋m）g，支持力不变，A错误；f＝Tsin θ＝mgtan θ，小球位置升高，θ增大，静摩擦力增大，B正确。
10.D　小球受到重力mg和轻杆的拉力T的共同作用，将拉力进行分解，由圆周运动规律可知小球在水平方向上，有Tsin θ＝mω2lsin θ，式中l为杆的长度，在竖直方向上，有Tcos θ＝mg，联立解得ω＝，根据函数关系知D正确，A、B、C错误。
11.BCD　两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，因为mA∶mB＝2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确；由v＝rω可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，D正确。
12.3∶2
解析：球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球所受到的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供。
分别隔离A、B受力分析，如图所示，由于A、B放在水平面上，故G＝N，又有A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，
对A：FOA－FAB＝mrω2
对B：FAB'＝2mrω2
又FAB＝FAB'，
联立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2。
13.sin θ　
解析：小球受力如图所示，由向心力公式得mgtan θ＝
且r＝Rsin θ
由小球竖直方向受力平衡得
Ncos θ＝mg
联立以上三式解得
v＝sin θ，N＝。
3 / 4第2课时　向心力与向心加速度
核心素养目标 物理观念 理解向心力的定义，知道向心力的大小与物体质量、转动半径、角速度的定量关系。 理解向心加速度的概念，知道其方向总是指向圆心且时刻改变。
科学思维 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力，通过实例认识向心力的作用及来源。 掌握向心加速度的公式，并能利用向心加速度公式进行有关计算。
科学探究 在“探究影响向心力大小的因素”的实验过程中，熟悉控制变量法的应用，提高科学探究的能力。
知识点一　向心力的大小
1.向心力大小的决定因素
在m、r相同时，向心力F与角速度的平方ω2成正比；在m、ω相同时，向心力F与半径r成正比；在ω、r相同时，向心力F与质量m成正比。
2.公式：F＝　　　　或F＝　　　　　　。
知识点二　向心加速度
1.定义
既然做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由　　　　产生的加速度，这个加速度称为　　　　　　　　。
2.大小
a＝　　　　＝。
3.方向
向心加速度总是指向　　　　。虽然匀速圆周运动中向心加速度大小不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速运动。
【情景思辨】
　如图所示，圆桌在匀速转动，水杯相对于圆桌静止。请判断下列说法的正误。
（1）水杯在匀速转动的过程中处于平衡状态。（　　）
（2）水杯受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用。（　　）
（3）水杯所受摩擦力的方向与速度的方向时刻相反。（　　）
（4）水杯所受摩擦力的方向与速度的方向时刻垂直。（　　）
（5）水杯的加速度方向与运动方向相同。（　　）
（6）水杯的加速度方向指向圆心。（　　）
（7）水杯的加速度描述速度方向变化的快慢。（　　）
要点一　向心力的理解及来源分析
【探究】
　如图所示，飞机在空中水平面内做匀速圆周运动，小球在光滑漏斗内壁上做匀速圆周运动。
　（1）试分析飞机和小球受到哪些力的作用？
（2）它们的向心力由什么力提供？
【归纳】
1.向心力的大小
F＝mrω2＝m＝mr。
2.向心力的方向
向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
3.向心力的作用效果——改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。
4.向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的。它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
（1）当物体做匀速圆周运动时，由于物体沿切线方向的加速度为零，即切线方向的合力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力产生向心加速度。
（2）当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小。
【典例1】　（多选）下列关于向心力的叙述中，正确的是（　　）
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用
C.向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
D.向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供
尝试解答
　如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩坐在距圆心为r处的P点不动（P未画出），关于小孩的受力，以下说法正确的是（　　）
A.小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B.小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C.小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D.若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变
要点二　向心加速度
【探究】
　如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（漫画），小球系在绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：
（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
（2）具有向心加速度的物体的线速度大小改变吗？
（3）向心加速度是如何产生的？
【归纳】
1.向心加速度的物理意义：描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示线速度大小变化的快慢。
2.向心加速度的方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。
3.向心加速度的大小：a＝＝ω2r＝r＝（2πf）2r＝ωv。
4.圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
5.变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
【典例2】　如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上的两点，下列几种说法中正确的是（　　）
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度之比为2∶1
尝试解答
方法技巧
向心加速度公式的应用技巧
（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相等。
（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
（3）向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
1.（多选）A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像如图所示，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）
A.A物体运动的线速度大小不变
B.A物体运动的角速度大小不变
C.B物体运动的角速度大小不变
D.B物体运动的角速度与半径成正比
2.（多选）小球的质量为m，如图所示，用长为L的轻绳固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子P，把轻绳沿水平方向拉直，无初速度释放后，当轻绳碰到钉子的瞬间，则（　　）
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减少到零
C.小球的向心力突然增大
D.小球的向心加速度不变
要点三　匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
匀速圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
（1）确定研究对象、轨迹圆周（含圆心、半径和轨道平面）。
（2）受力分析，确定向心力的大小（合成法、正交分解法等）。
（3）根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程。
（4）统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论。
2.几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力 分析 力的分 解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝ mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2r
或mgtan θ＝mω2r
【典例3】　图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO'转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m。转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
（1）绳子拉力的大小；
（2）转盘角速度的大小。
尝试解答
【变式训练】
　上例中，若转盘角速度变大，则绳子与竖直方向的夹角如何变化？绳子拉力如何变化？
规律方法
匀速圆周运动解题策略
（1）知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
（2）分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的。
（3）根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解。
1.（多选）如图所示，质量不计的轻质弹性杆插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是（　　）
A.小球所受的合外力大小为mω2R
B.小球所受的合外力大小为m
C.小球对杆作用力的大小为m
D.小球对杆作用力的大小为m
2.（多选）一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（　　）
A.A球的角速度小于B球的角速度
B.A球的线速度小于B球的线速度
C.A球运动的周期大于B球运动的周期
D.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力要点回眸
1.下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中，正确的是（　　）
A.物体除其他的力外还受到向心力的作用 B.向心力是一个恒力
C.物体所受的合力提供向心力 D.向心力的大小一直在变化
2.在自由式滑雪U形场地比赛中，运动员从半圆形场地的坡顶下滑至最低点的过程中速率不变，则关于运动员加速度方向的说法正确的是（　　）
A.一定指向圆心
B.一定不指向圆心
C.只在最低点时指向圆心
D.不能确定是否指向圆心
3.一压路机的示意图如图所示，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B分别为大轮和小轮边缘上的点，在压路机前进时（　　）
A.A、B两点的转速之比nA∶nB＝1∶1
B.A、B两点的线速度之比vA∶vB＝3∶2
C.A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶2
D.A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3
4.有一箱鸡蛋在转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的鸡蛋质量为m，它（可视为质点）到转轴的距离为R，则其周围鸡蛋对该鸡蛋的作用力大小可表示为（　　）
A.mg B.
C.mRω2 D.
5.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的（　　）
A.向心力大小相同
B.运动周期不同
C.运动线速度大小相同
D.运动角速度相同
第2课时　向心力与向心加速度
【基础知识·准落实】
知识点一
2.mrω2　m
知识点二
1.向心力　向心加速度　2.rω2　3.圆心
情景思辨
（1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）×　（6）√　（7）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：飞机受到重力和空气对飞机的作用力，二者的合力提供向心力；小球受筒壁的弹力和重力作用，二者的合力提供向心力。
【典例1】　ACD　向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以是一个变力，故A正确；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，D正确；向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确。
素养训练
　C　由于小孩随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，合力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能提供向心力，因此小孩会受到静摩擦力的作用，选项A、B错误，C正确；由于小孩随圆盘转动半径不变，当圆盘的转速变小时，角速度变小，由F＝mω2r可知，所需向心力变小，在P点受到的静摩擦力变小，选项D错误。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）变化。有向心加速度。
（2）向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
（3）向心力产生向心加速度。
【典例2】　A　
A、B为球体上的两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，根据v＝ωr可知，A、B两点的线速度之比为∶1，B错误；根据a＝ω2r可知，A、B两点的向心加速度之比为∶1，D错误。
素养训练
1.AC　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝ 可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。
2.AC　轻绳碰到钉子的瞬间，小球的线速度不发生改变，故B错误；由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，小球的角速度变为原来的2倍，故A正确；由F＝m知，小球的向心力也变为原来的2倍，向心加速度也变为原来的2倍，故C正确，D错误。
要点三
知识精研
【典例3】　（1）750 N　（2） rad/s
解析：（1）
如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中T为绳子的拉力，在竖直方向，有
Tcos 37°－mg＝0
解得T＝＝750 N。
（2）人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
mgtan 37°＝mω2R
根据几何关系，有R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝＝ rad/s。
变式训练
　角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大。
素养训练
1.AD　小球所受合外力提供匀速圆周运动需要的向心力，即F合＝mω2R，故A正确，B错误；小球受重力和杆对它的作用力N，根据力的合成有N2－（mg）2＝，所以N＝m，故C错误，D正确。
2.AC　
两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，F合＝，由牛顿第二定律可得＝mω2R＝＝
所以ω＝ ①
v＝ ②
T＝2π ③
筒壁对小球的弹力N＝ ④
A球运动的半径大于B球运动的半径。由①式可知A球的角速度小于B球的角速度；由②式可知A球的线速度大于B球的线速度；由③式可知A球的运动周期大于B球的运动周期；由④式结合牛顿第三定律可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力。所以选项A、C正确。
【教学效果·勤检测】
1.C　物体做匀速圆周运动需要一个指向圆心的合外力，并不是还要受到一个向心力作用，故A错误；物体做匀速圆周运动需要向心力，它始终指向圆心，因此方向不断改变，向心力不是恒力，故B错误；物体做匀速圆周运动需要向心力，所以物体的合外力正好提供向心力，让物体做匀速圆周运动，故C正确；匀速圆周运动的物体所受的向心力大小不变，方向改变，故D错误。
2.A　运动员从坡顶下滑至最低点过程中做匀速圆周运动，匀速圆周运动中加速度为向心加速度，向心加速度始终指向圆心，A正确。
3.D　A、B两点做圆周运动的线速度都等于汽车前进的速度，A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据v＝2πrn可知转速之比为2∶3，故A、B错误；A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据公式v＝rω可知，线速度相等时，角速度与半径成反比，所以A、B两点的角速度之比ωA：ωB＝2∶3，故C错误；根据a＝ vω可知，A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正确。
4.D　鸡蛋做匀速圆周运动，受重力和其周围鸡蛋对该鸡蛋的作用力F，合力提供向心力，根据牛顿第二定律则有水平方向Fsin θ＝mω2R（θ为F与竖直方向的夹角），竖直方向Fcos θ－mg＝0，解得其周围鸡蛋对该鸡蛋的作用力大小F＝，故D正确，A、B、C错误。
5.D　
对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力、绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力
F＝mgtan θ， ①
θ不同，则F大小不同，故A错误；
由向心力公式得F＝mω2r， ②
设小球做圆周运动的平面与悬挂点间的高度差为h，由几何关系得r＝htan θ， ③
由①②③得ω＝，可知角速度与绳子的长度和转动半径无关，两球角速度相同，故D正确；又由周期T＝可知两球运动周期相同，故B错误；两球转动的角速度相同，转动半径不等，由v＝ωr可知，线速度大小不同，故C错误。
8 / 8(共80张PPT)
第2课时　向心力与向心加速度
核心
素养
目标 物理观念 理解向心力的定义，知道向心力的大小与物体质
量、转动半径、角速度的定量关系。
理解向心加速度的概念，知道其方向总是指向圆心
且时刻改变。
科学思维 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力，通
过实例认识向心力的作用及来源。
掌握向心加速度的公式，并能利用向心加速度公式
进行有关计算。
科学探究 在“探究影响向心力大小的因素”的实验过程中，
熟悉控制变量法的应用，提高科学探究的能力。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　向心力的大小
1. 向心力大小的决定因素
在m、r相同时，向心力F与角速度的平方ω2成正比；在m、ω相同
时，向心力F与半径r成正比；在ω、r相同时，向心力F与质量m成
正比。
2. 公式：F＝ 或F＝ 。
mrω2　
m　
知识点二　向心加速度
1. 定义
既然做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个
由 产生的加速度，这个加速度称为 。
2. 大小
a＝ ＝。
3. 方向
向心加速度总是指向 。虽然匀速圆周运动中向心加速度大
小不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速运动。
向心力　
向心加速度　
rω2　
圆心　
【情景思辨】
　如图所示，圆桌在匀速转动，水杯相对于圆桌静止。请判断下列说
法的正误。
（1）水杯在匀速转动的过程中处于平衡状态。 （　×　）
（2）水杯受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用。 （　×　）
（3）水杯所受摩擦力的方向与速度的方向时刻相反。 （　×　）
×
×
×
（4）水杯所受摩擦力的方向与速度的方向时刻垂直。 （　√　）
（5）水杯的加速度方向与运动方向相同。 （　×　）
（6）水杯的加速度方向指向圆心。 （　√　）
（7）水杯的加速度描述速度方向变化的快慢。 （　√　）
√
×
√
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　向心力的理解及来源分析
【探究】
　如图所示，飞机在空中水平面内做匀速圆周运动，小球在光滑漏斗
内壁上做匀速圆周运动。
（1）试分析飞机和小球受到哪些力的作用？
（2）它们的向心力由什么力提供？
提示：飞机受到重力和空气对飞机的作用力，二者的合力提
供向心力；小球受筒壁的弹力和重力作用，二者的合力提供
向心力。
【归纳】
1. 向心力的大小：F＝mrω2＝m＝mr。
2. 向心力的方向：向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故
向心力是变力。
3. 向心力的作用效果——改变线速度的方向。由于向心力始终指
向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线
速度的大小。
4. 向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的。它可以由重力、弹力、摩擦力
等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力
的分力提供。
（1）当物体做匀速圆周运动时，由于物体沿切线方向的加速度为
零，即切线方向的合力为零，物体受到的合外力一定指向圆
心，以提供向心力产生向心加速度。
（2）当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力
在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改
变线速度的大小。
【典例1】　（多选）下列关于向心力的叙述中，正确的是（　　）
A. 向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B. 做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向
心力的作用
C. 向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
D. 向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，
或者由某一个力的分力来提供
解析：向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以是一个变力，故A正
确；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合
力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分
析向心力，故B错误，D正确；向心力时刻指向圆心，与速度垂直，
所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确。
如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩坐在距圆心为r处的P点不动（P未画出），关于小孩的受力，以下说法正确的是（　　）
A. 小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B. 小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C. 小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D. 若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变
解析： 　由于小孩随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，合力
一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能提供向心
力，因此小孩会受到静摩擦力的作用，选项A、B错误，C正确；由于
小孩随圆盘转动半径不变，当圆盘的转速变小时，角速度变小，由F
＝mω2r可知，所需向心力变小，在P点受到的静摩擦力变小，选项D
错误。
要点二　向心加速度
【探究】
　如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（漫画），小球系在绳的另
一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：
（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？
若变化，变化的原因是什么？
提示： 变化。有向心加速度。
（2）具有向心加速度的物体的线速度大小改变吗？
提示： 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的
大小。
（3）向心加速度是如何产生的？
提示： 向心力产生向心加速度。
【归纳】
1. 向心加速度的物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示线速度大小变化
的快慢。
2. 向心加速度的方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，
方向时刻改变。
3. 向心加速度的大小
a＝＝ω2r＝r＝（2πf）2r＝ωv。
4. 圆周运动的性质
不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆
周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线
运动。
5. 变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度
有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示
速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以
变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
【典例2】　如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B
为球体上的两点，下列几种说法中正确的是（　　）
A. A、B两点具有相同的角速度
B. A、B两点具有相同的线速度
C. A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D. A、B两点的向心加速度之比为2∶1
解析：A、B为球体上的两点，因此A、B两点的角速
度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图
所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周
运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、
Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝
Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，根据v＝ωr可知，A、B两点的线速度之比为∶1，B错误；根据a＝ω2r可知，A、B两点的向心加速度之比为∶1，D错误。
方法技巧
向心加速度公式的应用技巧
（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相等。
（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相
同时，向心加速度与半径成正比。
（3）向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适
用于变速圆周运动。
1. （多选）A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的
图像如图所示，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）
A. A物体运动的线速度大小不变
B. A物体运动的角速度大小不变
C. B物体运动的角速度大小不变
D. B物体运动的角速度与半径成正比
解析： 　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝
可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB
为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的
角速度大小不变，故C正确，D错误。
2. （多选）小球的质量为m，如图所示，用长为L的轻绳固定于O点，
在O点正下方处钉有一颗钉子P，把轻绳沿水平方向拉直，无初速
度释放后，当轻绳碰到钉子的瞬间，则（　　）
A. 小球的角速度突然增大
B. 小球的线速度突然减少到零
C. 小球的向心力突然增大
D. 小球的向心加速度不变
解析： 　轻绳碰到钉子的瞬间，小球的线速度不发生改变，故
B错误；由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，小
球的角速度变为原来的2倍，故A正确；由F＝m知，小球的向心
力也变为原来的2倍，向心加速度也变为原来的2倍，故C正确，D
错误。
要点三　匀速圆周运动问题分析
【归纳】
1. 匀速圆周运动问题的求解方法
匀速圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力
情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力
情况。
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
（1）确定研究对象、轨迹圆周（含圆心、半径和轨道平面）。
（2）受力分析，确定向心力的大小（合成法、正交分解法等）。
（3）根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程。
（4）统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论。
2. 几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝
mω2lsin θ
或mgtan θ
＝mω2r
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2r
【典例3】　图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装
置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在
座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可
简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕
竖直转轴OO'转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止
时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m。转盘逐渐加速转动，经过一段时
间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝
37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
（1）绳子拉力的大小；
答案： 750 N　
解析： 如图所示，对人和座椅进行受力
分析，图中T为绳子的拉力，在竖直方向，
有Tcos 37°－mg＝0
解得T＝＝750 N。
（2）转盘角速度的大小。
答案： rad/s
解析：人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的
合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
mgtan 37°＝mω2R
根据几何关系，有R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝＝ rad/s。
【变式训练】
　上例中，若转盘角速度变大，则绳子与竖直方向的夹角如何变化？
绳子拉力如何变化？
答案：角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大。
规律方法
匀速圆周运动解题策略
（1）知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题
的一个关键环节。
（2）分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的。
（3）根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解。
1. （多选）如图所示，质量不计的轻质弹性杆插入桌面上的小孔中，
杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为
R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是（　　）
A. 小球所受的合外力大小为mω2R
B. 小球所受的合外力大小为m
C. 小球对杆作用力的大小为m
D. 小球对杆作用力的大小为m
解析： 　小球所受合外力提供匀速圆周运动需要的向心力，即
F合＝mω2R，故A正确，B错误；小球受重力和杆对它的作用力N，
根据力的合成有N2－（mg）2＝，所以N＝m，故C
错误，D正确。
2. （多选）一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质
量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运
动，如图所示，A的运动半径较大，则（　　）
A. A球的角速度小于B球的角速度
B. A球的线速度小于B球的线速度
C. A球运动的周期大于B球运动的周期
D. A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
解析： 　两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀
速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力
作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，F合
＝，由牛顿第二定律可得＝mω2R＝＝
所以ω＝　①
v＝　②
T＝2π　③
筒壁对小球的弹力N＝　④
A球运动的半径大于B球运动的半径。由①式可知A球的角速度小于
B球的角速度；由②式可知A球的线速度大于B球的线速度；由③式
可知A球的运动周期大于B球的运动周期；由④式结合牛顿第三定
律可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力。所以选项A、
C正确。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中，正确的是
（　　）
A. 物体除其他的力外还受到向心力的作用
B. 向心力是一个恒力
C. 物体所受的合力提供向心力
D. 向心力的大小一直在变化
解析： 　物体做匀速圆周运动需要一个指向圆心的合外力，并不
是还要受到一个向心力作用，故A错误；物体做匀速圆周运动需要
向心力，它始终指向圆心，因此方向不断改变，向心力不是恒力，
故B错误；物体做匀速圆周运动需要向心力，所以物体的合外力正
好提供向心力，让物体做匀速圆周运动，故C正确；匀速圆周运动
的物体所受的向心力大小不变，方向改变，故D错误。
2. 在自由式滑雪U形场地比赛中，运动员从半圆形场地的坡顶下滑至
最低点的过程中速率不变，则关于运动员加速度方向的说法正确的
是（　　）
A. 一定指向圆心
B. 一定不指向圆心
C. 只在最低点时指向圆心
D. 不能确定是否指向圆心
解析： 　运动员从坡顶下滑至最低点过程中做匀速圆周运动，匀
速圆周运动中加速度为向心加速度，向心加速度始终指向圆心，A
正确。
3. 一压路机的示意图如图所示，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，
A、B分别为大轮和小轮边缘上的点，在压路机前进时（　　）
A. A、B两点的转速之比nA∶nB＝1∶1
B. A、B两点的线速度之比vA∶vB＝3∶2
C. A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶2
D. A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3
解析： 　A、B两点做圆周运动的线速度都等于汽车前进的速度，
A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据v＝2πrn可知转速之比
为2∶3，故A、B错误；A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根
据公式v＝rω可知，线速度相等时，角速度与半径成反比，所以
A、B两点的角速度之比ωA：ωB＝2∶3，故C错误；根据a＝ vω可
知，A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正确。
4. 有一箱鸡蛋在转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆周运动，其中一个
处于中间位置的鸡蛋质量为m，它（可视为质点）到转轴的距离为
R，则其周围鸡蛋对该鸡蛋的作用力大小可表示为（　　）
A. mg B.
C. mRω2 D.
解析： 　鸡蛋做匀速圆周运动，受重力和其周围鸡蛋对该鸡蛋的
作用力F，合力提供向心力，根据牛顿第二定律则有水平方向Fsin
θ＝mω2R（θ为F与竖直方向的夹角），竖直方向Fcos θ－mg＝0，
解得其周围鸡蛋对该鸡蛋的作用力大小F＝，故
D正确，A、B、C错误。
5. 如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并
在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的（　　）
A. 向心力大小相同 B. 运动周期不同
C. 运动线速度大小相同 D. 运动角速度相同
解析： 　对其中一个小球受力分析，如图所
示，受重力、绳子的拉力，由于小球做匀速圆周
运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，
合力指向圆心，由几何关系得合力
F＝mgtan θ，　①
θ不同，则F大小不同，故A错误；
由向心力公式得F＝mω2r，　②
设小球做圆周运动的平面与悬挂点间的高度差为h，由几何关系得r
＝htan θ，　③
由①②③得ω＝，可知角速度与绳子的长度和转动半径无关，两
球角速度相同，故D正确；又由周期T＝可知两球运动周期相
同，故B错误；两球转动的角速度相同，转动半径不等，由v＝ωr
可知，线速度大小不同，故C错误。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 如果物体所受的合力是变力，那么物体一定做曲线运动
B. 做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
C. 做圆周运动的物体其合力一定指向圆心
D. 曲线运动一定是变速运动
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解析： 　物体所受的合力是变力，物体不一定做曲线运动，例如
非匀变速直线运动，选项A错误； 做曲线运动的物体的加速度不一
定是变化的，例如平抛运动，选项B错误；只有做匀速圆周运动的
物体其合力才指向圆心，选项C错误；曲线运动的速度方向一定变
化，则一定是变速运动，选项D正确。
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2. 关于向心力的说法正确的是（　　）
A. 物体由于做圆周运动而产生了向心力
B. 向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C. 对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D. 做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
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解析： 　向心力是物体做圆周运动的原因，物体由于有向心力才
做圆周运动，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它
不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合力完全提供向心
力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，
即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果
命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力
的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误。
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3. 大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在其
中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，以下说法正确的是
（　　）
A. 游客的速度不变化，加速度为零
B. 游客的速度不变化，加速度也不变化
C. 游客的速度要变化，加速度却不变化
D. 游客的速度要变化，加速度也要变化
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解析： 　游客随摩天轮做匀速圆周运动时线速度大小不变，方向
沿圆周的切线方向时刻改变，所以线速度是变化的；而加速度大小
an＝不变，方向指向圆心，也时刻改变；即游客的速度要变化，
加速度也要变化。故选D。
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4. （多选）中国古代玩具饮水鸟的示意图如图所示，饮水鸟的神奇之
处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，
“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身
去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆
动过程中（　　）
A. P点的线速度小于Q点的线速度
B. P点的角速度等于Q点的角速度
C. P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D. P、Q两点的线速度方向相反
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解析： 　根据同轴转动角速度相等知，P、Q两点的角速度
大小相同，故B正确；根据v＝ωr及P点运动半径大，知P点线速
度较大，故A错误；根据a＝ω2r及P点运动半径大，知P点向心
加速度较大，故C错误； P、Q两点的线速度均与杆垂直，方向
相反，故D正确。
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5. 一个在水平面上做匀速圆周运动的物体，如果半径不变，而速率增
加为原来速率的3倍时，其向心力是36 N，则物体原来受到的向心
力的大小是（　　）
A. 2 N B. 4 N
C. 6 N D. 8 N
解析： 　根据向心力公式得F1＝m；当速率为原来的3倍时有F2
＝m＝36 N，联立解得F1＝4 N，选项B正确。
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6. 如图所示，转笔是大部分同学都会一个小游戏，在转笔时，重的一
端到支撑点的距离要近一点，这样才能使笔在手指上更稳定地绕该
点转动， 假设重的一端的尾部是A点，轻的一端的尾部是B点，支
撑点为O，OA∶OB＝2∶3，笔绕支撑点匀速转动，下列说法正确
的是（　　）
A. 相同时间内A点和B点转过的角度之比为3∶2
B. 相同时间内A点和B点走过的弧长之比为3∶2
C. A、B两点向心加速度之比为2∶3
D. 相同时间内OA和OB扫过的面积相等
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解析： 　A、B两点同轴转动，角速度相同，相同时间内转过的角
度相同，由s＝vt＝ωrt，a＝ω2r可知弧长之比、向心加速度之比均
等于半径之比，故A、B错误，C正确；相同时间内转过的角度相
同，而半径不相等，所以OA、OB扫过的面积不相等，故D错误。
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7. （多选）如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长
细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉
子A、B均在一条直线上（图示位置），且细绳的一大部分沿顺时
针方向缠绕在两钉子上（俯视）。现使小球以初速度v0在水平面上
沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在
绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是（　　）
A. 小球的速度变大 B. 小球的角速度变小
C. 小球的向心力变小 D. 细绳对小球的拉力变大
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解析： 　由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直，不改变
速度大小，故A错误；由v＝ωr可知，v不变，r变大，则角速度ω变
小，故B正确；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则向心力变
小，故C正确；细绳对小球的拉力F＝m，v不变，r变大，则F变
小，故D错误。
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8. 如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同
长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆
盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　）
A. A的速度比B的大
B. A与B的向心力大小相等
C. 悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D. 悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
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解析： 　A、B两个座椅具有相同的角速度，A的运动半
径比B的小，根据公式v＝ωr可知，A的速度比B的小，故
A错误；根据公式F＝mω2r可知，A的向心力比B的小，故
B错误；对任一座椅，受力如图所示，绳子的拉力与其
所受的重力的合力提供向心力，则mgtan θ＝mω2r，tan θ＝，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向的夹角θ较小，故C错误；缆绳拉力T＝，则悬挂A的缆绳拉力较小，由牛顿第三定律可知悬挂A的缆绳所受的拉力较小，故D正确。
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9. （多选）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端
固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平
面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球移到一个更高一些的水
平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌
面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断正确的是（　）
A. Q受到桌面的支持力变大
B. Q受到桌面的静摩擦力变大
C. 小球P运动的角速度变大
D. 小球P运动的转数变大
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解析： 　对小球进行受力分析，如图所示，设
绳子拉力为T，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子长
度为l，则有Tcos θ＝mg，Tsin θ＝mω2r，r＝lsin
θ，解得ω＝，当小球位置升高时，夹角θ增
大，角速度增大，C正确；因2πn＝ω，ω增大，所
以转速n增大，D正确；对金属块进行受力分析，
如图所示，金属块处于平衡状态，有N＝mQg＋Tcos θ＝（mQ＋m）g，支持力不变，A错误；f＝Tsin θ＝mgtan θ，小球位置升高，θ增大，静摩擦力增大，B正确。
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10. 如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆铰接。当竖直
杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆之间的张角为θ。下列图
像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是（　　）
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解析： 小球受到重力mg和轻杆的拉力T的共同作用，将拉力进
行分解，由圆周运动规律可知小球在水平方向上，有Tsin θ＝
mω2lsin θ，式中l为杆的长度，在竖直方向上，有Tcos θ＝mg，联
立解得ω＝，根据函数关系知D正确，A、B、C错误。
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11. （多选）如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳
连接，当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时，两球在杆上恰好不发
生滑动。若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下
列说法中正确的是（　　）
A. A、B两球受到的向心力大小之比为2∶1
B. A、B两球角速度之比为1∶1
C. A、B两球运动半径之比为1∶2
D. A、B两球线速度大小之比为1∶2
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解析： 　两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两
球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动
半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，因为
mA∶mB＝2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确；由v
＝rω可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，D正确。
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12. 如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，
当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对
球的拉力之比。
答案：3∶2
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解析：球所受的重力和水平面的支
持力在竖直面内，且是一对平衡
力，故球所受到的向心力由杆的OA
段和AB段的拉力提供。分别隔离A、B受力分析，如图所示，由于A、B放在水平面上，故G＝N，又有A、B固定在同一根轻杆
上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，
对A：FOA－FAB＝mrω2
对B：FAB'＝2mrω2
又FAB＝FAB'，
联立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2。
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13. 如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周
运动，轨道平面在水平面内。已知小球与半球形碗的球心O的连
线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为
g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小。
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答案：sin θ　
解析：小球受力如图所示，由向心力公式得mgtan
θ＝
且r＝Rsin θ
由小球竖直方向受力平衡得
Ncos θ＝mg
联立以上三式解得
v＝sin θ，N＝。
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