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第2节　振动的描述
题组一　振动特征的描述
1.〔多选〕一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子的运动说法正确的是（　　）
A.振幅为0.1 m
B.周期为1.2 s
C.1.2 s内的路程是0.6 m
D.t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m
2.（2025·福建福州高二下期中）如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A.振子的振幅为4 cm
B.在0～4 s内振子做了4次全振动
C.t＝1 s时，振子受到的弹簧弹力大小为零
D.t＝1 s时，振子的速度为正的最大值
题组二　简谐运动的x-t图像
3.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t＝0），过周期，振子具有正方向的最大速度。那么下列四幅图像中能够正确反映振子的振动情况的图线是（　　）
4.简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示。则下列说法中不正确的是（　　）
A.弹簧振子的周期为4 s
B.弹簧振子的振幅为10 cm
C.t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
D.若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4 cm
题组三　简谐运动的位移表达式
5.一位游客在某码头欲乘坐游船，当日风浪较大，游船不停的上下浮动。游船的上下浮动可以简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为6.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是（　　）
A.1 s B.2 s
C.3 s D.4 s
6.一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（　　）
A.第0.2 s末质点的加速度最大
B.第0.4 s末质点的加速度方向是B→O
C.第0.7 s末质点距离O点2.5 cm处
D.在0.1 s到0.3 s质点运动的路程大于5 cm
7.一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图像如图所示。a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，且b、d两点关于平衡位置对称，则下列说法正确的是（　　）
A.质点做简谐运动的方程为x＝Asin t
B.质点在位置b与位置d时速度大小相同，方向不同
C.质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等
D.质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等
题组四　简谐运动的多解问题
8.〔多选〕弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达某点P时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间是（　　）
A.1.6 s　 B.1.4 s C. s　 D.0.8 s
9.（2025·福建厦门高二上阶段练习）弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动时（　　）
A.经过平衡位置的动量都相同
B.加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相同
C.无论从何时开始计时，经过半个周期弹簧振子经过的路程等于两倍振幅
D.无论从何时开始计时，经过四分之一个周期弹簧振子经过的路程等于振幅
10.〔多选〕一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则（　　）
A.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
11.〔多选〕如图所示的是一简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是（　　）
A.该简谐运动的振幅为6 cm，周期为8 s
B.在6～8 s，振子由负向最大位移处向平衡位置运动
C.图中的正弦曲线表示振子的运动轨迹
D.该振动图像对应的表达式为x＝3sin t（cm）
12.A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。试根据图像写出：
（1）A与B各自的振幅、周期。
（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
（3）在时间t＝0.05 s时两质点的位移（可用三角函数表示）。
13.（2025·福州一中高二下期末）如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA＝0.1 kg，mB＝0.1 kg，弹簧的劲度系数为k＝40 N/m，剪断A、B间的细绳后，A做简谐运动，不计空气等阻力，弹簧始终没有超过弹性限度，g取10 m/s2。求：
（1）剪断细绳瞬间的回复力大小；
（2）A做简谐运动的振幅；
（3）A在最高点时的弹簧弹力大小。
第2节　振动的描述
1.AC　t＝1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，得 t＝0时刻在负向最大位移处，则振幅为0.1 m，A正确；由于是第二次到正向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得T＝0.8 s，B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s为T，t＝0.6 s时刻振子位于平衡位置，位移为零，D错误。
2.D　由题图乙可知振子的振幅为2 cm，故A错误；由题图乙可知周期为2 s，在0～4 s内振子做了2次全振动，故B错误；t＝1 s时，振子处于平衡位置，振子受到的弹簧弹力大小等于悬挂物体的重力，故C错误；由题图乙可知t＝1 s时，振子处于平衡位置，向上振动，振子的速度为正的最大值，故D正确。
3.D　由时刻振子具有最大速度可知，时刻振子的位移为0，故A、C两项错误；由时刻振子具有正向的最大速度可知，振子在0时刻处于负向最大位移处，B项错误，D项正确。
4.C　周期是振子完成一次全振动的时间，由图知，弹簧振子的周期为T＝4 s，故A正确；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图可知，弹簧振子的振幅为10 cm，故B正确；振子的周期为4 s，由周期性知，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移与t＝1 s时振子相对平衡位置的位移相同，为0，故C错误；若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2 cm/s×2 s＝4 cm，故D正确。
5.B　把船的上下浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其位移公式为y＝Acos t，代入数据得y＝20cos t（cm），当y＝10 cm时，可得t＝，t＝1 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t＝2 s，故选B。
6.D　由图像可知，0.2 s末质点在平衡位置，正在向负方向运动，所以此时速度最大，加速度最小，故A错误；0.4 s末质点在负向最大位移处，速度最小，加速度最大，并且加速度方向指向平衡位置，是正方向，即加速度方向是O→B，故B错误；t＝0.7 s时，已运动T，根据简谐运动的函数关系x＝5sin＝5sin，可得第0.7 s 末质点距离O点x＝ cm，故C错误；结合C项的分析可知，0.1 s时，x＝ cm，0.3 s时，x＝－ cm，所以在0.1 s到0.3 s质点运动的路程等于s＝2× cm＝5 cm＞5 cm，故D正确。
7.C　根据图像可得周期T＝8 s，故圆频率ω＝＝ rad/s，简谐运动方程为x＝Asin t，故A错误；由振动图像可知，质点在位置b与位置d时速度大小相同，方向相同，故B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等，均为2 s，故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中时间相同但位移大小不同，所以平均速度不同，故D错误。
8.BC　假设弹簧振子在B、C之间振动，
若振子开始先向左振动，如图甲所示，振子的振动周期为T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过时间是t＝ s－0.2 s＝ s；
若振子开始先向右振动，如图乙所示，振子的周期为T＝
4×s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。
9.C　弹簧振子在一个周期内两次经过平衡位置的速度方向不同，故动量不相同，故A错误；弹簧振子做简谐运动，其回复力满足F＝－kx，结合牛顿第二定律F＝ma，可知a＝，加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，故B错误；假设弹簧振子从任意位置P开始运动，设此时振子的位移为x（x＜A），当振子向远离平衡位置方向运动时，先从P点运动到最大位移处，路程为A－x，再从最大位移处运动到与P点关于平衡位置对称的位置P'，路程为A＋x，这半个周期内走过的路程s＝＋＝2A，当振子向衡位置方向运动时，先从P点运动到平衡位置，路程为x，再从平衡位置运动到与P点关于平衡位置对称的位置P'，路程为A＋，这半个周期内走过的路程s＝x＋A＋＝2A，故C正确；若弹簧振子从平衡位置两侧的某一位置远离平衡位置时，经过四分之一个周期的平均速度小于整个周期的平均速度，路程小于A，若弹簧振子从平衡位置两侧的某一位置衡位置时，经过四分之一个周期的平均速度大于整个周期的平均速度，路程大于A，故D错误。
10.AD　若振幅为0.1 m，则t＝＋nT（n＝0，1，2，…）。当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s。故选项A正确，B错误；若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s。
　
②振子振动如图乙中实线所示。
由x＝Asin（ωt＋φ0）知t＝0时，－＝Asin φ0，φ0＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则周期为2 s。综上所述可知C错误，D正确。
11.BD　该简谐运动的振幅为3 cm，周期为8 s，A错误；振动图像表示简谐运动的位移x随时间t的变化，不表示运动轨迹，B正确，C错误；由ω＝可知ω＝，故x＝3sin t（cm），D正确。
12.（1）0.5 cm　0.4 s　0.2 cm　0.8 s
（2）xA＝0.5sin（5πt＋π）cm
xB＝0.2sincm
（3）xA＝－ cm　xB＝0.2sin π（cm）
解析：（1）由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
（2）由题图知：A中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ0＝π，由T＝0.4 s得ω＝＝5π rad/s，则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin（5πt＋π）cm。B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π rad/s，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm。
（3）将t＝0.05 s分别代入两个表达式得
xA＝0.5sin（5π×0.05＋π）cm＝－0.5× cm＝－ cm，
xB＝0.2sincm＝0.2sin π（cm）。
13.（1）1 N　（2）0.025 m　（3）0
解析：（1）剪断细绳前，弹簧弹力大小为F弹＝mAg＋mBg
剪断绳子的瞬间，A做简谐振动的回复力为
F回＝F弹－mAg＝mBg＝0.1×10 N＝1 N。
（2）由题意，可得剪断绳子瞬间弹簧的形变量为
x1＝＝＝ m＝0.05 m
A处于平衡位置时，弹簧的形变量为
x2＝＝＝＝0.025 m
根据简谐振动的特点，则A做简谐振动的振幅为
A＝x1－x2＝0.025 m。
（3）根据对称性可知，A在最高点时回复力大小等于最低点时回复力大小，设A在最高点时的弹簧弹力大小F弹'，则有F弹'＋mAg＝1 N
解得F弹'＝0。
3 / 3第2节　振动的描述
素养目标
1.知道振幅、周期、频率及全振动的概念。2.知道简谐运动的位移图像是一条正弦（或余弦）曲线。3.能正确获取简谐运动的位移图像中的信息，并能进行相应计算。4.理解简谐运动的位移公式，能从中获取振幅、周期（频率）等相关信息，解答有关问题 。
知识点一｜振动特征的描述
1.振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的　　　　　　称为振幅，用A表示。
（2）物理意义：表示振动的　　　　。
2.周期和频率
（1）全振动：如图所示，做简谐运动的物体由B点经过O点到达C点，再由C点经过O点返回B点，重新回到原来的状态，我们说物体完成了一次　　　　　。
（2）周期
①定义：在一段时间内，物体完成一次　　　　　所经历的时间称为周期。用T表示。
②物理意义：表示振动的　　　。
（3）频率
①定义：物体完成　　　　　的次数与这段时间之比称为频率，用f表示。
②物理意义：表示振动的　　　　。
③单位：赫兹，符号为Hz。
（4）周期和频率的关系：f＝。
（5）固有周期（固有频率）：
①定义：物体仅在　　　　　作用下振动时，振动的周期、频率与振幅的大小无关，只由振动系统本身的性质决定，其振动的周期（或频率）称为固有周期（或固有频率）。
②特点：固有周期（或固有频率）是振动系统本身的属性，与物体是否振动　　　　。
知识点二｜简谐运动的位移图像
1.x-t图像的建立
建立平面直角坐标系，横坐标表示时间t，纵坐标表示弹簧振子相对　　　　　的位移x。根据数据所得的图像为弹簧振子做简谐运动的位移—时间图像，也称为振动图像。
2.x-t图像的特点
简谐运动的振动图像是一条正弦（或余弦）曲线。
3.x-t图像的意义
直观地表示做简谐运动物体的　　　　随时间按正弦（或余弦）规律变化的情况。
4.x-t图像直接反应的信息（如图所示）
（1）振幅A：曲线在纵轴方向上的　　　　　等于振幅A。
（2）周期T：曲线中相邻两个相同状态间隔的时间等于周期T。
知识点三｜简谐运动的位移公式
1.位移公式：x＝　　　　　　　。
其中：x代表振动物体偏离平衡位置的位移；t代表时间；A代表简谐运动的振幅；ω代表简谐运动的　　　　　。
2.圆频率ω与周期T之间的关系：ω＝。
【情境思辨】
　如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间做简谐运动，D为B、O间的某点。
（1）弹簧振子的振幅是指振子的位移。（　　）
（2）振子经历DOCOD的过程是一次全振动。（　　）
（3）振子从平衡位置O出发到又回到平衡位置O的时间为一个周期。（　　）
（4）物体振动的频率越小，说明振动得越快。（　　）
（5）若振子振动的振幅为A，圆频率为ω，振子经过平衡位置O开始计，则位移表达式x＝Asin ωt。（　　）
要点一　振动特征的描述
【探究】
如图所示的是一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点为其平衡位置，B、C点为振动的最大位移处，tOD＝tDC，E点与D点关于O点对称，水平向右为正方向。
请思考：
（1）振子经历DCDOBOD过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
（2）振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
（3）振子经历C→O、O→B过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移分别是多少？
（4）振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移分别是多少？
【归纳】
1.全振动的四个特征
（1）振动特征：一个完整的振动过程。
（2）物理量特征：位移（x）、速度（v）、加速度（a）等各个物理量第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向第一次回到出发点。
（3）时间特征：历时一个周期。
（4）路程特征：振幅的4倍。
2.简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 （1）振幅等于位移大小的最大值； （2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： （1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）； （2）t＝T时，s＝2A； （3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A
振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
【典例1】　〔多选〕如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位移处，若振子振幅为5 cm，由B运动到C的时间为2 s，则（　　）
A.从O点再次回到O点为一次全振动
B.振子经过10 s，振子通过的路程为50 cm
C.振子从B到C的平均速度为5 cm/s
D.振子的经过的路程为5 cm时所用的时间一定为1 s
思路点拨：（1）振子由B运动到C的时间为。
（2）振子的经过的路程为A时所用的时间不一定为。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
易错警示
　　只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为s＝A。
1.〔多选〕（2025·福州八县高二下期中）如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间为2 s，则（　　）
A.振动周期为4 s，振幅为10 cm
B.从B开始经过6 s，振子通过的路程为60 cm
C.从O→B→O，弹簧弹力的冲量为0
D.从A开始经过20 s，振子加速度方向向右
2.一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系正确的是（　　）
A.t1＝t2 B.t1＜t2
C.t1＞t2 D.无法判断
要点二　简谐运动的x-t图像
【探究】
如图所示，横坐标t表示振动时间，纵坐标x表示振子偏离平衡位置的位移，建立坐标系，结合运动传感器获得竖直悬挂的弹簧振子做简谐运动的位移—时间图像。
（1）简谐运动的图像就是物体的运动轨迹吗？
（2）通过图像你能直接获取哪些物理量？
【归纳】
利用x-t图像获取的信息
（1）直接读出简谐运动的振幅A和周期T，如图甲所示，再根据f＝求出频率。
（2）直接读出任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
（3）判断任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a时刻质点向x轴正方向振动。
（4）判断某段时间内位移、速度、加速度的变化情况：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，在t1时刻到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
【典例2】　〔多选〕一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知（　　）
A.质点振动的频率是4 Hz
B.质点振动的振幅是2 cm
C.t＝3 s时，质点的速度方向沿x轴正方向
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A.振子的振幅为8 cm
B.振子的运动轨迹为余弦曲线
C.在0.1 s末振子的速度方向沿x轴正方向
D.在0.2 s末振子的加速度最大，速度为零
2.（2024·福建高考2题）如图a所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图b所示，则试管（　　）
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t＝0.1 s时速度为零
D.在t＝0.2 s时加速度方向竖直向下
要点三　简谐运动的位移表达式
1.简谐运动的位移表达式x＝Asin（ωt＋φ0）的应用
（1）由表达式直接读出振幅A、圆频率ω和初相位φ0。
（2）根据ω＝或ω＝2πf可求周期T或频率f，可求某一时刻质点的位移x。
2.表达式和图像的关系
函数表达式和图像两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的，x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin与对应的图像间的关系如图所示。
【典例3】　〔多选〕某质点做简谐运动的位移表达式为x＝3sincm，则（　　）
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为0.3 s
C.质点振动的周期为 s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.〔多选〕（2025·福建龙岩高二下期中）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A.t＝0.2 s时，振子的位移为6 cm
B.0.1 s末和0.7 s末，振子的速度方向相同
C.在0.4～0.8 s时间内，振子的速度和加速度方向始终相同
D.振子做简谐运动的表达式为x＝12cos （cm）
2.〔多选〕一质点在竖直方向做简谐运动，取竖直向上为正方向，其运动的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.质点振动的振幅为16 cm
B.质点振动的频率为4 Hz
C.t＝2 s时质点的速度方向向下
D.质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt（cm）
要点四　简谐运动的多解问题
简谐运动的周期性形成的多解问题
（1）若t2－t1＝nT，n＝1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量（x、a、v）均大小相等，方向相反。
（3）若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则：
①当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体一定到达平衡位置；
②当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体一定到达最大位移处；
③当t1时刻物体在其他位置时，t2时刻物体到达何处没有确定的位置判断，只能视具体情况而定。
【典例4】　〔多选〕弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.4 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　）
A. s B.1 s
C. s D.2 s
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.〔多选〕一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时，振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时，x＝0.1 m；t＝4 s时，x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为（　　）
A.0.1 m， s B.0.1 m，2.5 s
C.0.1 m，8 s D.0.2 m， s
2.一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（　　）
A.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等
要点回眸
1.钓鱼是一种很多人喜欢的休闲娱乐方式，图为钓鱼时鱼漂的示意图，此时静止在水面上，某次鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，鱼漂将上下振动，不考虑阻力的影响，鱼漂的运动可以看成简谐运动，若取竖直向上为正方向，下列图像能描述该鱼漂振动情况的是（　　）
2.关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是（　　）
A.振幅等于四分之一个周期内路程的大小
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
3.〔多选〕一弹簧振子的位移公式为y＝0.1sin 2.5πt（m），位移y的单位为m，时间t的单位为s。则（　　）
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为0.8 s
C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度最大
D.在t＝0.1 s时，振子的位移为 m
4.如图所示的是一质点做简谐运动的图像，由图像可知（　　）
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.在 t＝0.1 s时，质点的速度最大
C.在 t＝0.25 s时，质点的速度方向与位移方向相同
D.质点运动过程中，振幅为10 cm
5.（2025·福建福州高二下期中）如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。
（1）在t0时刻，振子的速度方向与位移的方向　　　　　（填“相同”或“相反”）；
（2）在t0与t1两个时刻，弹簧振子的速度方向　　　　　（填“相同”或“相反”）；
（3）从t＝1 s到t＝1.5 s时间内，弹簧振子做加速度　　　　　（填“增大”或“减小”）的减速运动。
第2节　振动的描述
【基础知识落实】
知识点一
1.（1）最大距离　（2）强弱　2.（1）全振动　（2）①全振动　
②快慢　（3）①全振动　②快慢　（5）①回复力　②无关
知识点二
1.平衡位置　3.位移　4.（1）最大值
知识点三
1.Asin ωt　圆频率
情境思辨
（1）×　（2）×　（3）×　（4）×　（5）√
【核心要点突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
（2）时间t＝T，路程s＝2A，位移x＝2A。
（3）两个过程的各量都相同：时间t＝T，路程s＝A，位移x＝A。
（4）D→C→D过程：时间t＝T，路程s＝2CD＜A，位移x＝0。
D→O→E过程：时间t＝T，路程s＝DO＋OD＞A，位移x＝DO＋OD＞A。
【典例1】　BC　从O点再次回到O点不是一次全振动，故A错误；由题意可知，B运动到C的时间为2 s，故其周期T＝4 s，振子经过10 s＝2.5T，振子通过的路程为2.5×4A＝50 cm，故B正确；振子从B到C的平均速度为v＝＝5 cm/s，故C正确；只有振子从最大位移处到平衡位置处或从平衡位置到最大位移处经过的路程才等于A＝5 cm时所用的时间且一定为1 s，除此之外振子经过的路程为A＝5 cm 时所用的时间一定不为1 s，故D错误。
素养训练
1.AB　A、B间距离为20 cm，A到B运动时间为2 s，则振幅A＝10 cm，周期为T＝4 s，从B开始经过6 s，振子振动了1.5个周期，振子通过的路程是s＝1.5×4A＝60 cm，故A、B正确；从O→B→O，弹簧弹力方向始终向右，冲量不为0，故C错误；从A开始经过20 s，即5个周期，振子位于A处，振子加速度方向向左，故D错误。
2.B　根据振子远离平衡位置时速度减小，衡位置时速度增大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝A处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝A处的平均速度，而位移大小相等，则t1＜t2，故A、C、D错误，B正确。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）它反映了同一物体在不同时刻对应的位置坐标，是正弦曲线。而弹簧振子的运动轨迹为直线，简谐运动图像不是物体的运动轨迹。
（2）直接获取振幅、周期、某时刻振子的位置、振动方向。
【典例2】　BC　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，选项A错误，B正确；t＝3 s时，质点经过平衡位置，沿x轴正方向运动，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误。
素养训练
1.D　由图可知，振子的振幅为4 cm，故A错误；振子在平衡位置附近做往返运动，运动轨迹为直线，故B错误；由图像切线的斜率表示速度可知在0.1 s末振子的速度方向沿x轴负方向，故C错误；在0.2 s末振子在最大位移处，则回复力最大，所以加速度最大，速度为零，故D正确。
2.B　根据题图b可知，振幅为A＝1.0 cm；周期为T＝0.4 s，则频率为f＝＝ Hz＝2.5 Hz，故A错误，B正确；根据题图b可知，t＝0.1 s时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；根据题图b可知，t＝0.2 s时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
要点三
【典例3】　AD　由x＝3sincm可知，A＝3 cm，ω＝ rad/s，则T＝＝3 s，A正确，B、C错误；将t＝0.75 s 代入表达式中可得x＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确。
素养训练
1.AC　由题图乙可得0.1 s末弹簧振子速度为正方向，0.7 s末弹簧振子速度为负方向，0.1 s末和0.7 s末振子的速度方向相反，故B错误；由题图乙可得在0.4～0.8 s时间内，振子的速度和加速度方向始终相同，均指向平衡位置，故C正确；由题图乙得振幅为A＝12 cm，振动的圆频率为ω＝＝π rad/s，所以振子做简谐运动的表达式为x＝12sin （cm），故D错误；t＝0.2 s时，振子的位移为x＝12sincm＝6 cm，故A正确。
2.CD　由图像可知，质点振动的振幅为8 cm，故A错误；由图像可知，质点振动周期为4 s，频率为f＝＝0.25 Hz，故B错误；由图像可知，t＝2 s时质点的速度方向向下，故C正确；由于圆频率ω＝＝0.5π rad/s，所以质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt（cm），故D正确。
要点四
【典例4】　AD　若振子从O点开始向右按下面路线振动，如图甲所示，则振子的振动周期为T1＝4×s＝2 s；
若振子从O点开始向左按如图乙所示的路线振动，M1为M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2＝0.4 s＋0.2 s＋ s＝ s，故选A、D。
素养训练
1.AD　若振子的振幅为0.1 m， s＝T（n＝0，1，2，3…），则周期最大值为 s，选项A正确，B、C错误；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1 m 处，经过的时间为T（n＝0，1，2，3…），则 s＝T（n＝0，1，2，3…），所以周期的最大值为 s，且4 s为半个周期的奇数倍，t＝4 s时，应x＝0.1 m，与实际相符，故选项D正确。
2.C　如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，故选项A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt＜，故选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，回复力相同，加速度必相等，选项C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D错误。
【教学效果检测】
1.B　不考虑阻力的影响，鱼漂做简谐运动，题中取竖直向上为正方向，鱼漂开始振动时的位置在负位移的最大值处，结合所给选项只有选项B符合条件，其余选项均错误。故选B。
2.D　由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内走过的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，振子的位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz时，1 s内速度方向改变100次，D正确。
3.BD　弹簧振子的振幅为0.1 m，选项A错误；弹簧振子的周期为T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，此时振子的位移最大，则振子的运动速度为零，选项C错误；在t＝0.1 s时，振子的位移为y＝0.1sin m＝ m，选项D正确。
4.B　简谐运动图像反映质点的位移随时间变化的情况，不是质点的运动轨迹，故A错误；在t＝0.1 s时，质点在平衡位置，速度最大，故B正确；在t＝0.25 s时，质点的位移为负，速度为正，可知质点的速度方向与位移方向相反，故C错误；由图可知，质点运动过程中，振幅为 5 cm，故D错误。
5.（1）相同　（2）相反　（3）增大
解析：（1）根据题图乙可知，在t0时刻随后的极短时间内，振子的位移增大，振子远离平衡位置，可知t0时刻振子的速度方向与位移的方向相同。
（2）根据题图乙可知，在t1时刻随后的极短时间内，振子的位移减小，振子衡位置，可知t1时刻振子的速度方向与位移的方向相反，结合上述可知，在t0与t1两个时刻，弹簧振子的速度方向相反。
（3）根据题图乙可知，从t＝1 s到t＝1.5 s时间内，振子远离平衡位置，位移逐渐增大，振子的回复力与位移大小成正比，回复力增大，则振子的合力增大，即振子的加速度增大，可知弹簧振子做加速度增大的减速运动。
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第2节　振动的描述
1.知道振幅、周期、频率及全振动的概念。2.知道简谐运动的位移图像是一条正弦（或余弦）曲线。3.能正确获取简谐运动的位移图像中的信息，并能进行相应计算。4.理解简谐运动的位移公式，能从中获取振幅、周期（频率）等相关信息，解答有关问题 。
素养目标
01
基础知识落实
02
核心要点突破
03
教学效果检测
04
课时作业
目 录
01
PART
基础知识落实
知识点一｜振动特征的描述
1. 振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的 称为振幅，用A表示。
（2）物理意义：表示振动的 。
最大距离　
强弱　
（1）全振动：如图所示，做简谐运动的物体由B点经过O点到达C点，再
由C点经过O点返回B点，重新回到原来的状态，我们说物体完成了一
次 。
（2）周期
①定义：在一段时间内，物体完成一次 所经历的时间称为周
期。用T表示。
②物理意义：表示振动的 。
全振动　
全振动　
快慢　
2. 周期和频率a
（3）频率
①定义：物体完成 的次数与这段时间之比称为频率，用f表示。
②物理意义：表示振动的 。
③单位：赫兹，符号为Hz。
全振动　
快慢　
（4）周期和频率的关系：f＝。
（5）固有周期（固有频率）：
①定义：物体仅在 作用下振动时，振动的周期、频率与振幅的
大小无关，只由振动系统本身的性质决定，其振动的周期（或频率）称为
固有周期（或固有频率）。
②特点：固有周期（或固有频率）是振动系统本身的属性，与物体是否振
动 。
回复力　
无关　
知识点二｜简谐运动的位移图像
1. x-t图像的建立
建立平面直角坐标系，横坐标表示时间t，纵坐标表示弹簧振子相对
的位移x。根据数据所得的图像为弹簧振子做简谐运动的位移—时间
图像，也称为振动图像。
2. x-t图像的特点
简谐运动的振动图像是一条正弦（或余弦）曲线。
3. x-t图像的意义
直观地表示做简谐运动物体的 随时间按正弦（或余弦）规律变化
的情况。
平衡
位置　
位移　
4. x-t图像直接反应的信息（如图所示）
（1）振幅A：曲线在纵轴方向上的 等于振幅A。
（2）周期T：曲线中相邻两个相同状态间隔的时间等于周期T。
最大值　
知识点三｜简谐运动的位移公式
1. 位移公式：x＝ 。
其中：x代表振动物体偏离平衡位置的位移；t代表时间；A代表简谐运动的
振幅；ω代表简谐运动的 。
2. 圆频率ω与周期T之间的关系：ω＝。
Asin ωt　
圆频率　
【情境思辨】
　如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间做简谐运动，D为B、O
间的某点。
（1）弹簧振子的振幅是指振子的位移。 （　×　）
（2）振子经历DOCOD的过程是一次全振动。 （　×　）
（3）振子从平衡位置O出发到又回到平衡位置O的时间为一个周期。
（　×　）
（4）物体振动的频率越小，说明振动得越快。 （　×　）
（5）若振子振动的振幅为A，圆频率为ω，振子经过平衡位置O开始计，
则位移表达式x＝Asin ωt。 （　√　）
×
×
×
×
√
02
PART
核心要点突破
要点一　振动特征的描述
【探究】如图所示的是一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点
为其平衡位置，B、C点为振动的最大位移处，tOD＝tDC，E点与D点关于O
点对称，水平向右为正方向。
请思考：
（1）振子经历DCDOBOD过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是
多少？
提示：时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
（2）振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是
多少？
提示：时间t＝T，路程s＝2A，位移x＝2A。
（3）振子经历C→O、O→B过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多
少？位移分别是多少？
提示：两个过程的各量都相同：时间t＝T，路程s＝A，位移x＝A。
（4）振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少？通过的路程
分别是多少？位移分别是多少？
提示：D→C→D过程：时间t＝T，路程s＝2CD＜A，位移x＝0。
D→O→E过程：时间t＝T，路程s＝DO＋OD＞A，位移x＝DO＋OD＞A。
【归纳】
1. 全振动的四个特征
（1）振动特征：一个完整的振动过程。
（2）物理量特征：位移（x）、速度（v）、加速度（a）等各个物理量第
一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向第一次回到出发点。
（3）时间特征：历时一个周期。
（4）路程特征：振幅的4倍。
2. 简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与
位移 （1）振幅等于位移大小的最大值；
（2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的
变化
振幅与
路程
振幅与
周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定
的，与振幅无关
【典例1】　〔多选〕如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平
衡位置，B、C为两侧的最大位移处，若振子振幅为5 cm，由B运动到C的
时间为2 s，则（　　）
A. 从O点再次回到O点为一次全振动
B. 振子经过10 s，振子通过的路程为50 cm
C. 振子从B到C的平均速度为5 cm/s
D. 振子的经过的路程为5 cm时所用的时间一定为1 s
思路点拨：（1）振子由B运动到C的时间为。
（2）振子的经过的路程为A时所用的时间不一定为。
√
√
解析：从O点再次回到O点不是一次全振动，故A错误；由题意可知，B运
动到C的时间为2 s，故其周期T＝4 s，振子经过10 s＝2.5T，振子通过的路
程为2.5×4A＝50 cm，故B正确；振子从B到C的平均速度为v＝＝5
cm/s，故C正确；只有振子从最大位移处到平衡位置处或从平衡位置到最
大位移处经过的路程才等于A＝5 cm时所用的时间且一定为1 s，除此之外
振子经过的路程为A＝5 cm 时所用的时间一定不为1 s，故D错误。
易错警示
　　只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为
s＝A。
1. 〔多选〕（2025·福州八县高二下期中）如图所示，弹簧振子在A、B间
做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间为2
s，则（　　）
A. 振动周期为4 s，振幅为10 cm
B. 从B开始经过6 s，振子通过的路程为60 cm
C. 从O→B→O，弹簧弹力的冲量为0
D. 从A开始经过20 s，振子加速度方向向右
√
√
解析：A、B间距离为20 cm，A到B运动时间为2 s，则振幅A＝10 cm，周期为T＝4 s，从B开始经过6 s，振子振动了1.5个周期，振子通过的路程是s＝1.5×4A＝60 cm，故A、B正确；从O→B→O，弹簧弹力方向始终向右，冲量不为0，故C错误；从A开始经过20 s，即5个周期，振子位于A处，振子加速度方向向左，故D错误。
2. 一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置
第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大正位移处第一次运动到x
＝处所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系正确的是（　　）
A. t1＝t2 B. t1＜t2
C. t1＞t2 D. 无法判断
√
解析：　根据振子远离平衡位置时速度减小，衡位置时速度增
大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝A处的平均速度大
于从最大正位移处第一次运动到x＝A处的平均速度，而位移大小相等，
则t1＜t2，故A、C、D错误，B正确。
要点二　简谐运动的x-t图像
【探究】
如图所示，横坐标t表示振动时间，纵坐标x表示振子偏离平衡位置的位
移，建立坐标系，结合运动传感器获得竖直悬挂的弹簧振子做简谐运动的
位移—时间图像。
（1）简谐运动的图像就是物体的运动轨迹吗？
提示：它反映了同一物体在不同时刻对应的位置坐标，是正弦曲线。而弹
簧振子的运动轨迹为直线，简谐运动图像不是物体的运动轨迹。
（2）通过图像你能直接获取哪些物理量？
提示：直接获取振幅、周期、某时刻振子的位置、振动方向。
【归纳】
利用x-t图像获取的信息
（1）直接读出简谐运动的振幅A和周期T，如图甲所示，再根据f＝求
出频率。
（2）直接读出任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示，质点在
t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
（4）判断某段时间内位移、速度、加速度的变化情况：先判断质点在这
段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，在t1时刻
到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度
增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平
衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
（3）判断任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a
点，下一时刻离平衡位置更远，故a时刻质点向x轴正方向振动。
【典例2】　〔多选〕一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图
所示，由图可知（　　）
A. 质点振动的频率是4 Hz
B. 质点振动的振幅是2 cm
C. t＝3 s时，质点的速度方向沿x轴正方向
D. t＝3 s时，质点的振幅为零
√
√
解析：由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25
Hz，选项A错误，B正确；t＝3 s时，质点经过平衡位置，沿x轴正方向运
动，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移大小，与质
点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，
所以选项D错误。
1. 一弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A. 振子的振幅为8 cm
B. 振子的运动轨迹为余弦曲线
C. 在0.1 s末振子的速度方向沿x轴正方向
D. 在0.2 s末振子的加速度最大，速度为零
解析：　由图可知，振子的振幅为4 cm，故A错误；振子在平衡位置附近
做往返运动，运动轨迹为直线，故B错误；由图像切线的斜率表示速度可
知在0.1 s末振子的速度方向沿x轴负方向，故C错误；在0.2 s末振子在最大
位移处，则回复力最大，所以加速度最大，速度为零，故D正确。
√
2. （2024·福建高考2题）如图a所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，
将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简
谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如
图b所示，则试管（　　）
A. 振幅为2.0 cm
B. 振动频率为2.5 Hz
C. 在t＝0.1 s时速度为零
D. 在t＝0.2 s时加速度方向竖直向下
√
解析：　根据题图b可知，振幅为A＝1.0 cm；周期为T＝0.4 s，则频率为
f＝＝ Hz＝2.5 Hz，故A错误，B正确；根据题图b可知，t＝0.1 s时质点
处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；根据题图b可知，t＝0.2 s时质
点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
要点三　简谐运动的位移表达式
1. 简谐运动的位移表达式x＝Asin（ωt＋φ0）的应用
（1）由表达式直接读出振幅A、圆频率ω和初相位φ0。
（2）根据ω＝或ω＝2πf可求周期T或频率f，可求某一时刻质点的位移x。
2. 表达式和图像的关系
函数表达式和图像两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的，x＝Asin
（ωt＋φ0）＝Asin与对应的图像间的关系如图所示。
【典例3】　〔多选〕某质点做简谐运动的位移表达式为x＝3sin
cm，则（　　）
A. 质点的振幅为3 cm
B. 质点振动的周期为0.3 s
D. t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
解析：由x＝3sincm可知，A＝3 cm，ω＝ rad/s，则T＝＝3 s，
A正确，B、C错误；将t＝0.75 s 代入表达式中可得x＝0，故t＝0.75 s时，
质点回到平衡位置，D正确。
√
√
1. 〔多选〕（2025·福建龙岩高二下期中）如图甲所示，弹簧振子以O点为
平衡位置，在光滑的水平面上的A、B
两点之间做简谐运动，取向右为正方
向，振子的位移x随时间t的变化如图
乙所示。下列说法正确的是（　　）
B. 0.1 s末和0.7 s末，振子的速度方向相同
C. 在0.4～0.8 s时间内，振子的速度和加速度方向始终相同
√
√
解析：由题图乙可得0.1 s末弹簧振子速度为正方向，0.7 s末弹簧振子速度为负方向，0.1 s末和0.7 s末振子的速度方向相反，故B错误；由题图乙可得在0.4～0.8 s时间内，振子的速度和加速度方向始终相同，均指向平衡位置，故C正确；由题图乙得振幅为A＝12 cm，振动的圆频率为ω＝＝π rad/s，所以振子做简谐运动的表达式为x＝12sin （cm），故D错误；t＝0.2 s时，振子的位移为x＝12sincm＝6 cm，故A正确。
2. 〔多选〕一质点在竖直方向做简谐运动，取竖直向上为正方向，其运动
的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 质点振动的振幅为16 cm
B. 质点振动的频率为4 Hz
C. t＝2 s时质点的速度方向向下
D. 质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt（cm）
√
√
解析：由图像可知，质点振动的振幅为8 cm，故A错误；由图像可知，质点振动周期为4 s，频率为f＝＝0.25 Hz，故B错误；由图像可知，t＝2 s时质点的速度方向向下，故C正确；由于圆频率ω＝＝0.5π rad/s，所以质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt （cm），故D正确。
要点四　简谐运动的多解问题
简谐运动的周期性形成的多解问题
（1）若t2－t1＝nT，n＝1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一
位置，描述运动的物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体的
位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量（x、a、v）均大小相等，
方向相反。
①当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体一定到达平衡位置；
②当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体一定到达最大位移处；
③当t1时刻物体在其他位置时，t2时刻物体到达何处没有确定的位置判断，
只能视具体情况而定。
（3）若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则：
【典例4】　〔多选〕弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O
时开始计时，经过0.4 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点
M，则弹簧振子的周期可能为（　　）
B. 1 s D. 2 s
√
√
解析：若振子从O点开始向右按下面路线振动，如
图甲所示，则振子的振动周期为T1＝4×
s＝2 s；
若振子从O点开始向左按如图乙所示的路线振动，M1为M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2＝0.4 s＋0.2 s＋ s＝ s，故选A、D。
1. 〔多选〕一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时，振子
的位移x＝－0.1 m；t＝ s时，x＝0.1 m；t＝4 s时，x＝0.1 m。该振子的
振幅和周期可能为（　　）
B. 0.1 m，2.5 s
C. 0.1 m，8 s
√
√
解析：　若振子的振幅为0.1 m， s＝T（n＝0，1，2，3…），
则周期最大值为 s，选项A正确，B、C错误；若振子的振幅为0.2 m，由
简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再
反向运动到x＝0.1 m 处，经过的时间为T（n＝0，1，2，3…），则
s＝T（n＝0，1，2，3…），所以周期的最大值为 s，且4 s为半
个周期的奇数倍，t＝4 s时，应x＝0.1 m，与实际相符，故选项D正确。
2. 一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（　　）
A. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一
定等于T的整数倍
C. 若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
√
解析：　如图所示，图中的a、b、c三点位移大
小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，
故选项A错误；图中的a、d两点的位移大小相
等、方向相反，Δt＜，故选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，回复力相同，加速度必相等，选项
C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相
等，选项D错误。
要点回眸
03
PART
教学效果检测
1. 钓鱼是一种很多人喜欢的休闲娱乐方式，图为钓鱼时鱼漂的示意图，此
时静止在水面上，某次鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，鱼漂
将上下振动，不考虑阻力的影响，鱼漂的运动可以看成简谐运动，若取竖
直向上为正方向，下列图像能描述该鱼漂振动情况的是（　　）
√
解析：　不考虑阻力的影响，鱼漂做简谐运动，题中取竖直向上为正方
向，鱼漂开始振动时的位置在负位移的最大值处，结合所给选项只有选项
B符合条件，其余选项均错误。故选B。
2. 关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是（　　）
A. 振幅等于四分之一个周期内路程的大小
B. 周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C. 一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D. 频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
解析：由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内走过的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，振子的位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz时，1 s内速度方向改变100次，D正确。
√
3. 〔多选〕一弹簧振子的位移公式为y＝0.1sin 2.5πt（m），位移y的单位
为m，时间t的单位为s。则（　　）
A. 弹簧振子的振幅为0.2 m
B. 弹簧振子的周期为0.8 s
C. 在t＝0.2 s时，振子的运动速度最大
√
√
解析：　弹簧振子的振幅为0.1 m，选项A错误；弹簧振子的周期为T＝
＝ s＝0.8 s，选项B正确；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，此时振子的位移
最大，则振子的运动速度为零，选项C错误；在t＝0.1 s时，振子的位移为
y＝0.1sin m＝ m，选项D正确。
4. 如图所示的是一质点做简谐运动的图像，由图像可知（　　）
A. 质点的运动轨迹为正弦曲线
B. 在 t＝0.1 s时，质点的速度最大
C. 在 t＝0.25 s时，质点的速度方向与位移方向相同
D. 质点运动过程中，振幅为10 cm
解析：　简谐运动图像反映质点的位移随时间变化的情况，不是质点的
运动轨迹，故A错误；在t＝0.1 s时，质点在平衡位置，速度最大，故B正
确；在t＝0.25 s时，质点的位移为负，速度为正，可知质点的速度方向与
位移方向相反，故C错误；由图可知，质点运动过程中，振幅为 5 cm，故
D错误。
√
5. （2025·福建福州高二下期中）如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做
简谐运动，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。
（1）在t0时刻，振子的速度方向与位移的方向 　　（填“相同”或“相
反”）；
相同　
解析：根据题图乙可知，在t0时刻随后的极短时间内，振子的位移增
大，振子远离平衡位置，可知t0时刻振子的速度方向与位移的方向相同。
（2）在t0与t1两个时刻，弹簧振子的速度方向 　 　（填“相同”或“相
反”）；
相反　
解析：根据题图乙可知，在t1时刻随后的极短时间内，振子的位移减小，振子衡位置，可知t1时刻振子的速度方向与位移的方向相反，结合上述可知，在t0与t1两个时刻，弹簧振子的速度方向相反。
（3）从t＝1 s到t＝1.5 s时间内，弹簧振子做加速度 　　（填“增大”或
“减小”）的减速运动。
增大
解析：根据题图乙可知，从t＝1 s到t＝1.5 s时间内，振子远离平衡位置，位移逐渐增大，振子的回复力与位移大小成正比，回复力增大，则振子的合力增大，即振子的加速度增大，可知弹簧振子做加速度增大的减速运动。
04
PART
课时作业
题组一　振动特征的描述
1. 〔多选〕一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时
刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位
置且速度为零。下列有关该振子的运动说法正确的是（　　）
A. 振幅为0.1 m
B. 周期为1.2 s
C. 1.2 s内的路程是0.6 m
D. t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m
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√
解析：t＝1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，得 t＝0时刻在负向最大位移处，则振幅为0.1 m，A正确；由于是第二次到正向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得T＝0.8 s，B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s为T，t＝0.6 s时刻振子位于平衡位置，位移为零，D错误。
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2. （2025·福建福州高二下期中）如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简
谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子
的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A. 振子的振幅为4 cm
B. 在0～4 s内振子做了4次全振动
C. t＝1 s时，振子受到的弹簧弹力大小为零
D. t＝1 s时，振子的速度为正的最大值
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解析：　由题图乙可知振子的振幅为2 cm，故A错误；由题图乙可知周期
为2 s，在0～4 s内振子做了2次全振动，故B错误；t＝1 s时，振子处于平衡
位置，振子受到的弹簧弹力大小等于悬挂物体的重力，故C错误；由题图
乙可知t＝1 s时，振子处于平衡位置，向上振动，振子的速度为正的最大
值，故D正确。
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题组二　简谐运动的x-t图像
3. 如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某
时刻作为计时零点（t＝0），过周期，振子具有正方向的最大速度。那么
下列四幅图像中能够正确反映振子的振动情况的图线是（　　）
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解析：　由时刻振子具有最大速度可知，时刻振子的位移为0，故A、
C两项错误；由时刻振子具有正向的最大速度可知，振子在0时刻处于负
向最大位移处，B项错误，D项正确。
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4. 简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小
球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速
运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向
为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振
动图线如图乙所示。则下列说法中不正确的是（　　）
A. 弹簧振子的周期为4 s
B. 弹簧振子的振幅为10 cm
C. t＝17 s时振子相对平衡位置的位
移是10 cm
D. 若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4 cm
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解析：周期是振子完成一次全振动的时间，由图知，弹簧振子的周期为T＝4 s，故A正确；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图可知，弹簧振子的振幅为10 cm，故B正确；振子的周期为4 s，由周期性知，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移与t＝1 s时振子相对平衡位置的位移相同，为0，故C错误；若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2 cm/s×2 s＝4 cm，故D正确。
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题组三　简谐运动的位移表达式
5. 一位游客在某码头欲乘坐游船，当日风浪较大，游船不停的上下浮动。
游船的上下浮动可以简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为
6.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高
度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登
船的时间是（　　）
A. 1 s B. 2 s
C. 3 s D. 4 s
√
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解析：　把船的上下浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高
点时计时，其位移公式为y＝Acos t，代入数据得y＝20cos t（cm），当y
＝10 cm时，可得t＝，t＝1 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间
是2t＝2 s，故选B。
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6. 一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振
动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（　　）
A. 第0.2 s末质点的加速度最大
B. 第0.4 s末质点的加速度方向是B→O
C. 第0.7 s末质点距离O点2.5 cm处
D. 在0.1 s到0.3 s质点运动的路程大于5 cm
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解析：　由图像可知，0.2 s末质点在平衡位置，正在向负方向运动，所
以此时速度最大，加速度最小，故A错误；0.4 s末质点在负向最大位移
处，速度最小，加速度最大，并且加速度方向指向平衡位置，是正方向，
即加速度方向是O→B，故B错误；t＝0.7 s时，已运动T，根据简谐运动的
函数关系x＝5sin＝5sin，可得第0.7 s 末质点距离O点x
＝ cm，故C错误；结合C项的分析可知，0.1 s时，x＝ cm，0.3 s
时，x＝－ cm，所以在0.1 s到0.3 s质点运动的路程等于s＝2× cm＝
5 cm＞5 cm，故D正确。
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7. 一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图像如图所示。
a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，且b、d两点关于平衡位置对
称，则下列说法正确的是（　　）
B. 质点在位置b与位置d时速度大小相同，方向不同
C. 质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等
D. 质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等
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解析：　根据图像可得周期T＝8 s，故圆频率ω＝＝ rad/s，简谐运动
方程为x＝Asin t，故A错误；由振动图像可知，质点在位置b与位置d时速
度大小相同，方向相同，故B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的
时间相等，均为2 s，故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中时间相
同但位移大小不同，所以平均速度不同，故D错误。
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题组四　简谐运动的多解问题
8. 〔多选〕弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计
时，振子第一次到达某点P时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则
振子第三次经过P点还要经过的时间是（　　）
A. 1.6 s B. 1.4 s
D. 0.8 s
√
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解析：　假设弹簧振子在B、C之间振动，若振子开始先
向左振动，如图甲所示，振子的振动周期为T＝×4 s
＝ s，则振子第三次通过P点还要经过时间是t＝ s－0.2 s＝ s；
若振子开始先向右振动，如图乙所示，振子的周期为T＝4×s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。
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9. （2025·福建厦门高二上阶段练习）弹簧振子在光滑水平面上做简谐运
动时（　　）
A. 经过平衡位置的动量都相同
B. 加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相同
C. 无论从何时开始计时，经过半个周期弹簧振子经过的路程等于两倍振幅
D. 无论从何时开始计时，经过四分之一个周期弹簧振子经过的路程等于
振幅
√
解析：　弹簧振子在一个周期内两次经过平衡位置的速度方向不同，故
动量不相同，故A错误；弹簧振子做简谐运动，其回复力满足F＝－kx，结
合牛顿第二定律F＝ma，可知a＝，加速度大小与位移大小成正比，方
向与位移方向相反，故B错误；
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假设弹簧振子从任意位置P开始运动，设此时振子的位移为x（x＜A），当
振子向远离平衡位置方向运动时，先从P点运动到最大位移处，路程为A－
x，再从最大位移处运动到与P点关于平衡位置对称的位置P'，路程为A＋x，
这半个周期内走过的路程s＝＋＝2A，当振子向衡位
置方向运动时，先从P点运动到平衡位置，路程为x，再从平衡位置运动到
与P点关于平衡位置对称的位置P'，路程为A＋，这半个周期内走过
的路程s＝x＋A＋＝2A，故C正确；若弹簧振子从平衡位置两侧的某
一位置远离平衡位置时，经过四分之一个周期的平均速度小于整个周期的
平均速度，路程小于A，若弹簧振子从平衡位置两侧的某一位置衡
位置时，经过四分之一个周期的平均速度大于整个周期的平均速度，路程
大于A，故D错误。
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10. 〔多选〕一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子
的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则（　　）
C. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
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解析：　若振幅为0.1 m，则t＝＋nT（n＝0，1，2，…）。当n＝0
时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s。故选项A正确，B错误；若
振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大
为2 s。
　
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②振子振动如图乙中实线所示。
由x＝Asin（ωt＋φ0）知t＝0时，－＝Asin φ0，φ0＝－，即振子由C点振动
到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用
时至少为，则T最大为6 s；若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振
动到D点，则周期为2 s。综上所述可知C错误，D正确。
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11. 〔多选〕如图所示的是一简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是
（　　）
A. 该简谐运动的振幅为6 cm，周期为8 s
B. 在6～8 s，振子由负向最大位移处向平衡位置运动
C. 图中的正弦曲线表示振子的运动轨迹
解析：　该简谐运动的振幅为3 cm，周期为8 s，A错误；振动图像表示
简谐运动的位移x随时间t的变化，不表示运动轨迹，B正确，C错误；由ω
＝可知ω＝，故x＝3sin t（cm），D正确。
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12. A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。试根据图像写出：
（1）A与B各自的振幅、周期。
答案：0.5 cm　0.4 s　0.2 cm　0.8 s
解析：由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
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（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
答案：xA＝0.5sin（5πt＋π）cm
xB＝0.2sincm
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解析： 由题图知：A中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ0＝π，由T＝0.4 s得ω＝＝5π rad/s，则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin（5πt＋π）cm。B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π rad/s，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm。
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（3）在时间t＝0.05 s时两质点的位移（可用三角函数表示）。
答案：xA＝－ cm　xB＝0.2sin π（cm）
解析：将t＝0.05 s分别代入两个表达式得
xA＝0.5sin（5π×0.05＋π）cm＝－0.5× cm＝－ cm，
xB＝0.2sincm＝0.2sin π（cm）。
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13. （2025·福州一中高二下期末）如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着
A、B两物体，mA＝0.1 kg，mB＝0.1 kg，弹簧的劲度系数为k＝40 N/m，剪
断A、B间的细绳后，A做简谐运动，不计空气等阻力，弹簧始终没有超过
弹性限度，g取10 m/s2。求：
（1）剪断细绳瞬间的回复力大小；
答案：1 N　
解析：剪断细绳前，弹簧弹力大小为F弹＝mAg＋mBg
剪断绳子的瞬间，A做简谐振动的回复力为
F回＝F弹－mAg＝mBg＝0.1×10 N＝1 N。
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（2）A做简谐运动的振幅；
答案：0.025 m　
解析： 由题意，可得剪断绳子瞬间弹簧的形变量为
x1＝＝＝ m＝0.05 m
A处于平衡位置时，弹簧的形变量为
x2＝＝＝＝0.025 m
根据简谐振动的特点，则A做简谐振动的振幅为
A＝x1－x2＝0.025 m。
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（3）A在最高点时的弹簧弹力大小。
答案：0
解析：根据对称性可知，A在最高点时回复力大小等于最低点时回复力大小，设A在最高点时的弹簧弹力大小F弹'，则有F弹'＋mAg＝1 N
解得F弹'＝0。
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