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习题课二　振动图像与波的图像的综合问题　波的多解问题
题组一　振动图像与波的图像的综合
1.一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是 t＝1 s时的波形图，图乙是波中某质点的位移随时间变化的振动图像（两图均用同一时刻计时），图乙的振动图像对应图甲上的质点可能是（　　）
A.x＝1 m处的质点 B.x＝2 m处的质点
C.x＝3 m处的质点 D.x＝4 m处的质点
2.〔多选〕（2025·福建福州期末）一列简谐横波沿x轴传播，图甲是波传播到x＝5 m的质点M时的波形图，令此时刻t＝0，图乙是质点N（x＝3 m）的振动图像，Q是位于x＝10 m处的质点，则下列说法正确的是（　　）
A.Q点开始振动的方向沿－y方向
B.t＝0至t＝3 s时间内，质点M的路程为10 cm
C.质点Q和原点的振动方向始终相反
D.t＝9.5 s，质点Q的位移为－5 cm
3.某横波在介质中沿x轴传播，图甲为t＝0.75 s时的波形图，图乙为P点的振动图像。那么下列说法正确的是（　　）
A.质点L与质点N的运动方向总相同
B.该波沿x轴正方向传播
C.在0.5 s时间内，质点P向右运动了1 m
D.t＝1 s时，质点P处于平衡位置，并正在向y轴负方向运动
题组二　波的多解问题
4.如图所示，已知一简谐横波的频率小于5 Hz，横波在一条直线上传播，某时刻的波形如图中实线所示，经过t＝0.2 s后波形如图中的虚线所示，则它的波速可能是（　　）
A.32.5 m/s B.37.5 m/s
C.62.5 m/s D.87.5 m/s
5.一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图（a）所示，x＝3 m处质点的振动图像如图（b）所示，则波速可能是（　　）
　
A. m/s　B. m/s　C. m/s　D. m/s
6.〔多选〕（2025·福建三明高二下期末）如图实线是某时刻的波形图像，虚线是经过0.2 s时的波形图像，判断正确的是（　　）
A.波传播的距离可能为3 m
B.周期不可能是 s或0.8 s
C.若波速是35 m/s，波向左传播
D.若0.2 s小于一个周期时，传播的距离为5 m或1 m
题组三　波的传播与波形问题
7.图甲是某列简谐横波在t＝0.05 s时的波形图的一部分，图乙是位于坐标原点的质点的振动图像，P点的横坐标为7.5 m，Q点的横坐标为20 m，下列说法不正确的是（　　）
　　
A.该列波沿x轴负方向传播
B.该列波的传播速度为200 m/s
C.再经0.062 5 s时质点P的加速度最大
D.从该时刻开始经4.5 s质点P通过的路程等于900 cm
8.（2025·福建福州高二下期中）水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列简谐波某时刻的波形如图中实线所示，经过1 s后的波形如图中的虚线所示。已知波的周期为T，且0.5 s＜T＜1 s，则（　　）
A.当波向x轴负方向传播时，波速等于5 m/s
B.若这1 s内x＝1 m处的质点M通过的路程为10 cm，则波沿x轴正方向传播
C.当波沿x轴正方向传播时，x＝1 m处的质点M和x＝2.5 m处的质点N在这1 s内通过的路程相等
D.当波沿x轴负方向传播时，再经过0.4 s后，简谐波与实线波形图重合
9.〔多选〕一列简谐横波t＝0时的波形如图中实线所示，经过时间3 s后变成图中虚线所示的波形。已知波向左传播，图中坐标为（12，2）的A质点，经时间5 s后振动状态传播到B质点，则（　　）
A.此波的波速可能是3 m/s
B.t＝0时刻，B质点在平衡位置，速度沿y轴正向
C.0～5 s时间内，A质点的路程可能为10 cm
D.0～5 s时间内，B质点的路程可能为15 cm
10.（2025·福建泉州高二下期末）图甲为亚运会艺术体操比赛中中国队选手进行带操比赛的画面，某段过程中彩带的运动可简化为沿x轴正方向传播的简谐横波，图乙为这列简谐横波在某时的波形图，M点刚开始振动，图丙为某质点以该时刻作为计时起点的振动图像，求：
（1）该波的波速大小；图丙是P、M中哪一质点的振动图像；
（2）平衡位置位于x＝3 m处的N点（未画出）经多长时间第一次到达波峰；
（3）经1 s的时间质点Q走过的路程。
11.一列简谐横波在x轴上传播，在t1＝0和t2＝0.05 s时，其波形分别用如图所示的实线和虚线表示。求：
（1）当波速为280 m/s时，波的传播方向如何？
（2）以此波速（280 m/s）传播，t＝0时，x＝8 m 处的质点P从平衡位置运动至波谷所需的最短时间是多少？
习题课二　振动图像与波的图像的综合问题波的多解问题
1.B　波沿x轴正方向传播，由题图乙可得在t＝1 s时刻，质点在平衡位置，且向y轴负方向运动，由题图甲及简谐波沿x轴正方向传播可判断选项中的x＝2 m处的质点在平衡位置，且沿y轴负方向运动，故B正确，A、C、D错误。
2.AC　根据题图乙可知t＝0时刻N点从平衡位置向上振动，根据同侧法可知波沿x轴正方向传播，t＝0时刻刚传到M点时，M振动的方向沿－y方向，所以Q点开始振动的方向沿－y方向，故A正确；t＝0至t＝3 s时间内，质点M的路程为s＝×4A＝30 cm，B错误；Q点到O点的距离为10 cm，即两者相距为s＝10 m＝2λ，所以质点Q和原点的振动方向始终相反，C正确；由波动图像知这列波的波长为4 m，由振动图像知周期为4 s，则传播速度为v＝，解得v＝1 m/s，在9.5 s时间内，波传播的距离为s＝9.5 m，根据波的平移法可知，质点Q点的振动形式与0.5 m处的振动形式一样，此时质点Q的位移为－10× cm＝－5 cm，D错误。
3.D　由波的图像可知，质点L与质点N的运动方向总是相反，故A错误；由振动图像可知，t＝0.75 s时，P点振动方向向下，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；质点P在其平衡位置附近来回振动，并不随波迁移，故C错误；由振动图像可知，t＝1 s时，质点P处于平衡位置，且在沿y轴负方向运动，故D正确。
4.B　根据T＝，频率小于5 Hz，则T＞0.2 s，可知波传播的时间t＝0.2 s小于一个周期，传播的距离不到一个波长，波长λ＝10 m，若波向左传播，传播的距离为x1＝λ＝2.5 m，则波速为v＝＝ m/s＝12.5 m/s，若波向右传播，传播的距离为x2＝λ＝7.5 m，则波速为v＝＝ m/s＝37.5 m/s，故选B。
5.A　由x＝3 m处质点的振动图像（b）可知，波的周期为 T＝4 s，质点在t＝2 s时从平衡位置向下振动，结合波的传播方向可知，x＝3 m处质点可能处在λ处，则有λ＝3 m，解得λ＝ m（n＝0，1，2，3…），则波速可能是v＝＝ m/s＝ m/s（n＝0，1，2，3…），当n＝0时v＝ m/s，当n＝1时，v＝ m/s，当n＝2时v＝ m/s，因此由题意可知A正确，B、C、D错误。
6.AC　由题图可知λ＝4 m，若波向左传播时，传播的距离为x＝nλ＋λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，3，…），当n＝0时0.2 s小于一个周期，x＝3 m，当n＝1时x＝7 m，若波向右传播时，传播的距离为x＝nλ＋＝（4n＋1）m（n＝0，1，2，3，…）。当n＝0时0.2 s小于一个周期，x＝1 m，当n＝1时x＝5 m，故A正确，D错误；当向左传播时，传播的时间为t＝nT＋T，T＝ s＝ s。当n＝0时，T＝ s，当向右传播时，传播的时间为t＝nT＋，则T＝ s＝ s。当n＝0时T＝0.8 s，故B错误；当向左传播时，波速v＝＝ m/s＝m/s。当n＝1时v＝35 m/s，可知该波向左传播，故C正确。
7.A　因为周期T＝0.1 s，所以在t＝0.05 s时，位于坐标原点的质点正处于平衡位置向下运动，所以波应该是向x轴正方向传播的，故A错误；波速为v＝＝ m/s＝200 m/s，故B正确；波峰从x＝5 m位置传播到P需要的时间为t＝ s＝0.012 5 s，再过半个周期，即再经过0.05 s时质点P到达波谷位置，所以再经0.062 5 s时质点P到达波谷位置，加速度有最大值，故C正确；因为4.5 s等于45个周期，根据路程与振幅的关系可知，在4.5 s内质点P通过的路程为s＝45×4A＝900 cm，故D正确。
8.B　若波向x轴负方向传播，由于经过1 s后的波形如题图中的虚线所示，则有Δt＝nT＋（n＝0，1，2，3…），根据题意有0.5 s＜T＜1 s，解得n＝1，T＝ s，根据图像可知波长为4 m，则波传播速度为v＝＝ m/s＝7 m/s，故A错误；若这1 s内x＝1 m处的质点M通过的路程为10 cm，由于10＝5A，即质点运动时间为T，由于1 s＝＝T＋，可知将实线波形向右平移得到虚线波形，若这1 s内x＝1 m处的质点M通过的路程为10 cm，则波沿x轴正方向传播，故B正确；当波沿x轴正方向传播时，在这1 s内有Δt＝nT＋（n＝0，1，2，3，…），根据题意有0.5 s＜T＜1 s，解得n＝1，T＝0.8 s，由于T＋＝1 s，可知，质点M通过的路程为xM＝5A＝10 cm，根据同侧法，波沿x轴正方向传播，质点N沿y轴正方向运动，其在一个周期内运动的路程为4A＝8 cm，由于质点N计时起点时刻衡位置运动，则其在内运动的路程大于一个振幅2 cm，可知质点N在这1 s内通过的路程大于10 cm，即x＝1 m处的质点M和x＝2.5 m处的质点N在这1 s内通过的路程不相等，故C错误；根据上述分析，当波沿x轴负方向传播时，周期T＝ s，由于＝0.7，即时间间隔不等于周期的整数倍，可知，当波沿x轴负方向传播时，再经过0.4 s后，简谐波与实线波形图不重合，故D错误。
9.AC　由图可知λ＝12 m，由3 s＝nT＋T，得T＝ s，v＝＝4n＋3（m/s），当n＝0时，T＝4 s，v＝3 m/s，故A正确；若T＝4 s，则v＝3 m/s，B质点离A质点的距离为vt＝15 m，为1λ，当t＝0时，B质点恰好经平衡位置向上运动，0～5 s时间内，A质点振动1T，路程为5A＝10 cm，C正确；若n＝1，则T＝ s，则v＝7 m/s，B质点离A质点的距离为vt＝35 m，为2λ，当 t＝0时，B质点沿y轴负方向运动，0～5 s内B质点的路程为 cm，故B、D错误。
10.（1）2.5 m/s　P　（2）0.9 s　（3）100 cm
解析：（1）根据题图乙可知波长λ＝1 m，根据题图丙可知周期为T＝0.4 s，则波速
v＝＝2.5 m/s
由题图丙可知，该质点在零时刻从平衡位置开始向负向最大位移处运动，根据题图乙可判断该质点为P。
（2）t＝0时刻0.75 m处质点处于波峰位置，此状态传播到N点的时间为
Δt＝＝ s＝0.9 s。
（3）经1 s的时间即2T，质点Q走过的路程
s＝×4A＝100 cm。
11.见解析
解析：（1）假设波沿x轴正方向传播，则
Δs＝λ＋nλ＝（2＋8n）m（n＝0，1，2，…）
v＝＝ m/s＝（40＋160n）m/s（n＝0，1，2，…）
当波速为280 m/s时，有40＋160n＝280，n＝，与实际不符，假设不成立。
假设波沿x轴负向传播，则
Δs'＝λ＋nλ＝（6＋8n）m，（n＝0，1，2，…）
v'＝＝ m/s＝（120＋160n）m/s。
当波速为280 m/s时，
有280＝（120＋160n），n＝1，假设成立
（2）T＝＝ s
所以P质点第一次到达波谷所需最短时间为
t＝＝ s≈2.1×10－2 s。
3 / 3习题课二　振动图像与波的图像的综合问题　波的多解问题
素养目标
1.理解振动图像和波的图像的区别，学会解答有关综合问题。2.理解波的多解问题的成因及解决问题的思路。
要点一　振动图像与波的图像的综合
1.振动图像与波的图像的比较
振动图像（y-t 图像） 波的图像（y-x图像）
研究对象 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图像信息 直 读 （1）周期T、振幅A （2）各时刻质点的位移 （1）波长λ、振幅A （2）任意一质点在该时刻的位移
判 断 各时刻速度、加速度方向 （1）任意一质点在该时刻加速度方向 （2）波形图、传播方向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2.三步求解振动图像与波的图像综合问题
【典例1】　〔多选〕（2025·福建福州高二下期末）图甲为某一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，图乙为M质点的振动图像，则下列说法正确的是（　　）
A.该简谐波的传播速度为4 m/s
B.这列波的传播方向沿x轴负方向
C.t＝2.0 s时M质点的振动速度小于Q质点的振动速度
D.从t＝0时刻开始P质点的振动方程y＝－0.2cos（2πt）cm
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.〔多选〕一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点。图乙表示介质中某质点的振动图像。下列说法正确的是（　　）
A.质点Q的振动图像与图乙相同
B.在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
C.平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图乙所示
D.在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
2.〔多选〕图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P、Q分别为波上的两个质点，图乙为Q点的振动图像，则（　　）
A.波沿－x方向传播
B.波的传播速度大小为0.4 m/s
C.t＝0.15 s时，Q点的加速度达到正向最大
D.t＝0.10 s到0.25 s的过程中，P点通过的路程为30 cm
要点二　波的多解问题
1.波的多解问题形成的原因
（1）波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2.解决波动多解应注意的问题
（1）质点到达最大位移处，有正向和负向最大位移两种可能。
（2）质点由平衡位置开始振动，有起振方向相反的两种可能。
（3）只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】　如图所示的是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s时刻的波形图。
（1）若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
（2）若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期；
（3）若波速v＝25 m/s，求t＝0时刻P点的振动方向。
尝试解答
规律方法
解决波的多解问题的一般思路
（1）首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
（2）对设定的传播方向，首先确定Δt和T（或确定Δx和λ）的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内（或一个波长内）的情况，然后在此基础上加nT（或nλ）。
（3）应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
1.〔多选〕如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.1 s时刻的波形图，质点S的横坐标x＝2.5 m，波源不在坐标原点O，则下列说法正确的是（　　）
A.质点S的振幅为0.12 m
B.波的频率可能为10 Hz
C.波的传播速度可能为10 m/s
D.质点S沿x轴正方向运动
2.（2025·福建泉州高二下期中）如图所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s后的波形图。
（1）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.2 s，求它的周期；
（2）若波沿x轴正方向传播，且周期满足T＜0.2 s＜2T，求波的传播速度。
要点三　波的传播与波形问题
【探究】
1.简谐运动在介质中传播形成简谐波，其图像均为正弦式曲线。
2.波的传播特点
（1）波传播的是振动的形式和能量，振动质点不随波迁移。
（2）沿波的传播方向，各质点的起振方向相同，重复波源的振动。
3.波的传播速度：v＝＝λf，且v＝。
4.波的图像具有周期性、重复性的特点，即每隔整数倍个周期波形完全相同。
【典例3】　（2025·福建龙岩高二下期末）如图所示，一根弹性绳沿x轴方向放置，左端在原点O，用手握住绳的左端使其沿y轴方向做周期T＝2 s的简谐运动，在绳上形成一列简谐波，M、N为绳上的两质点，其平衡位置坐标分别为xM＝1 m，xN＝4.5 m，从波传到M质点开始计时，求：
（1）该机械波传播速度的大小；
（2）画出波刚传播到质点N时的波形图；
（3）经多长时间N质点第一次到达波峰。
尝试解答
1.（2025·福建南平高二下期末）在一均匀介质中，由波源S发出的波同时沿x轴正、负两个方向传播。t＝0时波源S开始振动，振动图像如图所示。则波源S振动半个周期时，x轴上形成的波形图为（　　）
2.〔多选〕（2025·福建三明高二下期中）一根张紧的水平弹性绳上的a、b两点相距d＝12.0 m，b点在a点的右方，一列振幅为A的简谐横波沿绳向右传播，以a质点某次处在正方向最大位移处开始计时，此时b质点正经过平衡位置向负方向运动，t＝1.5 s时，b质点第一次达到正方向最大位移处，该机械波的波速可能为（　　）
A.8 m/s B.6 m/s
C.1.6 m/s D.1 m/s
1.〔多选〕一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.75 s时的波形图如图甲所示，x＝1.5 m处的质点P的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A.图甲中质点N速度方向沿y轴正方向
B.图甲中质点M的速度与加速度均为零
C.再经过t＝0.5 s质点L与质点N的位移相同
D.再经过t＝1.75 s质点P第一次到达波峰
2.〔多选〕如图所示，甲图为t＝0 s时某一列沿x轴正方向传播的横波的图像，乙图为该波传播方向上某一质点的振动图像，下列说法正确的是（　　）
A.这列波传播的速度是1 m/s
B.乙图描述的质点在t＝0时位移为
C.x＝0.25 m处的质点在t＝0时的振动方向沿y轴正方向
D.平衡位置在x＝1.25 m处的质点在t＝1 s时经过y＝A处并向y轴负方向运动
3.〔多选〕在xOy平面内有一列沿x轴传播的简谐横波，波速为2 m/s，振幅为10 cm。M、N是平衡位置相距2 m的两个质点，如图所示。在t＝0时，M通过其平衡位置沿y轴正方向运动，N位于其平衡位置下方最大位移处。则（　　）
A.该波的周期可能为 s
B.该波的波长可能为 m
C.当t＝1 s时，质点M可能运动到N点的位置
D.经过4 s，质点M运动的路程可能为40 cm
4.〔多选〕如图所示，一列横波在x轴上传播，在t1＝0时刻的波形如图中实线所示，t2＝0.10 s时刻的波形如图中虚线所示，下列说法中正确的是（　　）
A.由该波形曲线读出这列波的振幅为0.2 m
B.该波形曲线上x＝5 m处的质点振动的周期可能是0.3 s
C.若周期大于（t2－t1），则可能的最小波速是20 m/s
D.若周期大于（t2－t1），则可能的最大波速是140 m/s
习题课二　振动图像与波的图像的综合问题　波的多解问题
【核心要点突破】
要点一
【典例1】　AB　简谐波的传播速度为v＝＝ m/s＝4 m/s，故A正确；根据题图乙可知，0时刻，M质点向下振动，根据题图甲，利用同侧法可知，波的传播方向沿x轴负方向，故B正确；由于周期为1 s，可知t＝2.0 s时的波形与0时刻的波形相同，根据题图甲可知，此时M质点的位移小于Q质点的位移，则M质点的振动速度大于Q质点的振动速度，故C错误；从t＝0时刻开始P质点的振动方程为y＝Acos t＝0.2cos（2πt）cm，故D错误。
素养训练
1.BCD　t＝时刻，题图乙表示介质中的某质点从平衡位置向下振动，而题图甲中质点Q在t＝时刻从平衡位置向上振动，平衡位置在坐标原点的质点从平衡位置向下振动，所以质点Q的振动图像与题图乙不同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如题图乙所示，选项A错误，选项C正确；在t＝0时刻，质点P处在波谷位置，速率为零，与其平衡位置的距离最大，加速度最大，而质点Q运动到平衡位置，速度最大，加速度为零，即在t＝0时刻，质点P的加速度比质点Q的大，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大，选项B、D正确。
2.AC　根据Q点的振动图像可知，在t＝0.10 s时刻，质点Q向下振动，结合波形图可知，波沿－x方向传播，A正确；波的传播速度大小为v＝＝ m/s＝40 m/s，B错误；t＝0.15 s时，Q点处在波谷位置，则此时加速度达到正向最大，C正确；因波的周期为T＝0.2 s，则t＝0.10 s到0.25 s的过程中经历了T，因为P点在t＝0.10 s时刻不是在波峰、波谷位置，也不是在平衡位置，则通过的路程不等于3A＝30 cm，D错误。
要点二
【典例2】　（1）（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，3，…）
（2）0.8 s　（3）沿y轴负方向
解析：（1）由图像可知λ＝4 m，若波沿x轴负方向传播，0～0.2 s传播的距离可能为
Δx＝λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，3，…）
传播的速度为v＝＝（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，3，…）。
（2）若波沿x轴正方向传播，传播的时间与周期关系为
Δt＝T（n＝0，1，2，3，…）
得T＝＝ s（n＝0，1，2，3，…）
当n＝0时周期最大，即最大周期为0.8 s。
（3）若波速v＝25 m/s，波在0.2 s内传播的距离Δx＝vΔt＝5 m＝λ，即传播了λ＝λ的距离，结合题图知波沿x轴正方向传播，
所以P点在t＝0时刻沿y轴负方向振动。
素养训练
1.AC　质点S的振幅等于波的振幅，由题图知，振幅为0.12 m，A正确；波沿x轴正方向传播，则Δt＝nT＋＝0.1 s（n＝0，1，2，3…），周期为T＝ s（n＝0，1，2，3…），频率为f＝＝ Hz＝ Hz（n＝0，1，2，3…），所以波的频率可能为2.5 Hz、12.5 Hz、……不可能为10 Hz，B错误；波速为v＝λf，由题图可知λ＝4 m，v＝4× m/s＝10（4n＋1）m/s（n＝0，1，2，3…），当n＝0 时，v＝10 m/s，C正确；简谐横波的传播过程是振动形式的传播，质点不会沿波的传播方向运动，D错误。
2.（1）0.27 s　（2）25 m/s
解析：（1）波沿x轴负方向传播时，有Δt＝0.2 s＝T，n＝0，1，2…
由此可得T＝ s，n＝0，1，2…
同时由T＞0.2 s即可得n＝0，T＝0.27 s。
（2）波沿x轴正方向传播时，有Δt＝0.2 s＝T，n＝0，1，2…
T＝ s　T＜0.2 s＜2T
则n＝1，T＝0.16 s
同时由λ＝4 m，可得v＝＝ m/s＝25 m/s。
要点三
【典例3】　（1）1 m/s　（2）见解析图　（3）5 s
解析：（1）由题图可知简谐波的波长为λ＝2 m，可得
v＝＝1 m/s。
（2）简谐波沿x轴正方向传播，根据平移法可得波刚传播到质点N时的波形图为
（3）由（2）中波的图像，可得该波从M点传播到N点所需时间为t1＝＝3.5 s
由图可知，N质点的起振方向沿y轴负方向，可知从开始振动到第一次到达波峰所需时间为t2＝T＝1.5 s，可得t＝t1＋t2＝5 s，从计时时刻起经5 s N质点第一次到达波峰。
素养训练
1.A　由波源的振动图像可知，波源的起振方向沿y轴正方向，即波前的起振方向也是沿y轴正方向，波源振动半个周期，向左和向右分别形成半个波长的波形。故选A。
2.AC　由于波向右传播，根据“a点位移达到正向最大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形图，如图所示，因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”。即λ＝ab＝12 m（n＝0，1，2…），t＝1.5 s时，b质点第一次达到正方向最大位移处，则T＝Δt＝1.5 s，波速为v＝＝ m/s（n＝0，1，2…），当n＝0时，v＝8 m/s；当n＝1时，v＝ m/s；当n＝2时，v＝ m/s；当n＝3时，v＝1.6 m/s。故选A、C。
【教学效果检测】
1.AD　由题图乙可知质点P在t＝0.75 s时沿y轴负方向运动，结合上下坡法可得该波沿x轴负方向运动，故题图甲中N点速度方向沿y轴正方向，故A正确；题图甲中质点M的速度为零，加速度最大，故B错误；再经过t＝0.5 s质点L与质点N分别位于波谷与波峰，位移不同，故C错误；沿波的传播方向上，与P点距离最近的波峰到P点的距离Δx＝3.5 m，波速v＝＝2 m/s，故传播到P点的时间为Δt＝＝ s＝1.75 s，故D正确。
2.AD　由题图可知，波长为2 m，周期为2 s，则波速为v＝＝1 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0.25 s时质点的位移为A，则有A＝Asin（ωt＋θ），其中t＝，解得 θ＝，所以当t＝0时质点的位移为y＝Asin＝A，故B错误；由题图甲结合“上下坡法”可知在x＝0.25 m处的质点在t＝0时的振动方向沿y轴负方向，故C错误；由题图甲可知，t＝0时x＝0.25 m处质点的位移为y＝Asin ＝A，由同侧法可知，此时该质点沿y轴负方向运动，根据平移法可知，经过1 s此振动形式刚好传到x＝1.25 m处，则平衡位置在x＝1.25 m处的质点在t＝1 s时经过y＝A 处并向y轴负方向运动，故D正确。
3.AD　若该波沿x轴正方向传播，则nλ＋λ＝2 m，即λ＝ m（n＝0，1，2，3，…），周期T＝＝ s（n＝0，1，2，3…），若该波沿x轴负方向传播，则nλ＋λ＝2 m，即λ＝ m（n＝0，1，2，3…），周期T＝＝ s（n＝0，1，2，3…），当n＝2时，T＝ s，但是 m不是两种情况下的波长值，选项A正确，B错误；机械波传播的过程中，质点只能在自己平衡位置附近振动，而不随波迁移，选项C错误；若波沿x轴正方向传播，则周期可能为4 s，则经过4 s，质点M运动的路程可能为4A＝40 cm，选项D正确。
4.CD　由该波形曲线读出这列波的振幅为0.2 cm，故A错误；若波向右传播，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1，2…），解得T＝ s（n＝0，1，2…），当波向左传播时，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1，2…），解得T＝ s（n＝0，1，2…），由数学关系知无论n取何值，周期都不可能为0.3 s，故B错误；由图可知该波的波长为8 m，若周期大于（t2－t1），即Δt＜2T，可得当波沿x轴正方向传播时，可能的周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1），当波沿x轴负方向传播时，可能的周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1），由波速公式v＝，可知速度最小时，周期T最大，分析上面两类情况可知，当周期最大时，波沿x轴正方向传播，且在Δt＝＋nT（n＝0，1）中，取n＝0，即Δt＝，则T大＝0.4 s，最小波速vmin＝＝20 m/s，当速度v最大时，周期T最小，分析上面两类情况可知，当周期最小时，波沿x轴负方向传播，且在Δt＝＋nT（n＝0，1）中，取n＝1，即Δt＝＋T，则T小＝ s，最大速度vmax＝＝140 m/s，故C、D正确。
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习题课二　振动图像与波的图像的综合问题　波的多解问题
1.理解振动图像和波的图像的区别，学会解答有关综合问题。
2.理解波的多解问题的成因及解决问题的思路。
素养目标
01
核心要点突破
02
教学效果检测
03
课时作业
目 录
01
PART
核心要点突破
要点一　振动图像与波的图像的综合
1. 振动图像与波的图像的比较
振动图像（y-t 图像） 波的图像（y-x图像）
研究对象 某一质点的位移随时间变化的规
律 某时刻所有质点的空间分
布规律
图像
振动图像（y-t 图像） 波的图像（y-x图像）
图像
信息 直读 （1）周期T、振幅A （2）各时刻质点的位移 （1）波长λ、振幅A
（2）任意一质点在该时
刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 （1）任意一质点在该时
刻加速度方向
（2）波形图、传播方
向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有
形状不变 随时间推移，图像沿传播
方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录
像” 一群人在某时刻动作的
“拍照”
2. 三步求解振动图像与波的图像综合问题
【典例1】　〔多选〕（2025·福建福州高二下期末）图甲为某一列沿x轴传
播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，图乙为M质点的振动图像，则下列说
法正确的是（　　）
A. 该简谐波的传播速度为4 m/s
B. 这列波的传播方向沿x轴负方向
C. t＝2.0 s时M质点的振动速度小于Q质点的振动速度
D. 从t＝0时刻开始P质点的振动方程y＝－0.2cos（2πt）cm
√
√
解析：简谐波的传播速度为v＝＝ m/s＝4 m/s，故A正确；根据题图乙可
知，0时刻，M质点向下振动，根据题图甲，利用同侧法可知，波的传播方
向沿x轴负方向，故B正确；由于周期为1 s，可知t＝2.0 s时的波形与0时刻
的波形相同，根据题图甲可知，此时M质点的位移小于Q质点的位移，则M
质点的振动速度大于Q质点的振动速度，故C错误；从t＝0时刻开始P质点
的振动方程为y＝Acos t＝0.2cos（2πt）cm，故D错误。
1. 〔多选〕一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图
甲所示，P、Q是介质中的两个质点。
图乙表示介质中某质点的振动图像。
下列说法正确的是（　　）
A. 质点Q的振动图像与图乙相同
B. 在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
C. 平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图乙所示
D. 在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
√
√
√
解析：t＝时刻，题图乙表示介质中的某质点从平衡位置向下振动，而题图甲中质点Q在t＝时刻从平衡位置向上振动，平衡位置在坐标原点的质点从平衡位置向下振动，所以质点Q的振动图像与题图乙不同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如题图乙所示，选项A错误，选项C正确；在t＝0时刻，质点P处在波谷位置，速率为零，与其平衡位置的距离最大，加速度最大，而质点Q运动到平衡位置，速度最大，加速度为零，即在t＝0时刻，质点P的加速度比质点Q的大，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大，选项B、D正确。
2. 〔多选〕图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P、Q分别为
波上的两个质点，图乙为Q点的振动图像，则（　　）
A. 波沿－x方向传播
B. 波的传播速度大小为0.4 m/s
C. t＝0.15 s时，Q点的加速度达到正向最大
D. t＝0.10 s到0.25 s的过程中，P点通过的路程为30 cm
√
√
解析：根据Q点的振动图像可知，在t＝0.10 s时刻，质点Q向下振动，结合波形图可知，波沿－x方向传播，A正确；波的传播速度大小为v＝＝ m/s＝40 m/s，B错误；t＝0.15 s时，Q点处在波谷位置，则此时加速度达到正向最大，C正确；因波的周期为T＝0.2 s，则t＝0.10 s到0.25 s的过程中经历了T，因为P点在t＝0.10 s时刻不是在波峰、波谷位置，也不是在平衡位置，则通过的路程不等于3A＝30 cm，D错误。
要点二　波的多解问题
1. 波的多解问题形成的原因
（1）波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2. 解决波动多解应注意的问题
（1）质点到达最大位移处，有正向和负向最大位移两种可能。
（2）质点由平衡位置开始振动，有起振方向相反的两种可能。
（3）只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】　如图所示的是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s时刻的波形图。
（1）若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
答案：（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，3，…）
解析：由图像可知λ＝4 m，若波沿x轴负方向传播，0～0.2 s传播的距离可
能为
Δx＝λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，3，…）
传播的速度为v＝＝（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，3，…）。
（2）若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期；
答案：0.8 s　
解析：若波沿x轴正方向传播，传播的时间与周期关系为
Δt＝T（n＝0，1，2，3，…）
得T＝＝ s（n＝0，1，2，3，…）
当n＝0时周期最大，即最大周期为0.8 s。
（3）若波速v＝25 m/s，求t＝0时刻P点的振动方向。
答案：沿y轴负方向
解析：若波速v＝25 m/s，波在0.2 s内传播的距离Δx＝vΔt＝5 m＝λ，即传
播了λ＝λ的距离，结合题图知波沿x轴正方向传播，
所以P点在t＝0时刻沿y轴负方向振动。
规律方法
解决波的多解问题的一般思路
（1）首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有
其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
（2）对设定的传播方向，首先确定Δt和T（或确定Δx和λ）的关系，一般
先确定最简单的情况，即一个周期内（或一个波长内）的情况，然后在此
基础上加nT（或nλ）。
（3）应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限
制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意
识，认真分析题意。
1. 〔多选〕如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时刻
的波形图，虚线为t＝0.1 s时刻的波形图，质点S的横坐标x＝2.5 m，波源
不在坐标原点O，则下列说法正确的是（　　）
A. 质点S的振幅为0.12 m
B. 波的频率可能为10 Hz
C. 波的传播速度可能为10 m/s
D. 质点S沿x轴正方向运动
√
√
解析：质点S的振幅等于波的振幅，由题图知，振幅为0.12 m，A正确；波沿x轴正方向传播，则Δt＝nT＋＝0.1 s（n＝0，1，2，3…），周期为T＝ s（n＝0，1，2，3…），频率为f＝＝ Hz＝ Hz（n＝0，1，2，3…），所以波的频率可能为2.5 Hz、12.5 Hz、……不可能为10 Hz，B错误；波速为v＝λf，由题图可知λ＝4 m，v＝4× m/s＝10（4n＋1）m/s（n＝0，1，2，3…），当n＝0 时，v＝10 m/s，C正确；简谐横波的传播过程是振动形式的传播，质点不会沿波的传播方向运动，D错误。
2. （2025·福建泉州高二下期中）如图所示，实线是某时刻的波形图，虚
线是0.2 s后的波形图。
（1）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.2 s，求它的周期；
答案：0.27 s　
解析：波沿x轴负方向传播时，有Δt＝0.2 s＝T，n＝0，1，2…
由此可得T＝ s，n＝0，1，2…
同时由T＞0.2 s即可得n＝0，T＝0.27 s。
（2）若波沿x轴正方向传播，且周期满足T＜0.2 s＜2T，求波的传播
速度。
答案：25 m/s
解析：波沿x轴正方向传播时，有Δt＝0.2 s＝T，n＝0，1，2…
T＝ s　T＜0.2 s＜2T
则n＝1，T＝0.16 s
同时由λ＝4 m，可得v＝＝ m/s＝25 m/s。
要点三　波的传播与波形问题
【探究】
1. 简谐运动在介质中传播形成简谐波，其图像均为正弦式曲线。
2. 波的传播特点
（1）波传播的是振动的形式和能量，振动质点不随波迁移。
（2）沿波的传播方向，各质点的起振方向相同，重复波源的振动。
3. 波的传播速度：v＝＝λf，且v＝。
4. 波的图像具有周期性、重复性的特点，即每隔整数倍个周期波形完
全相同。
【典例3】　（2025·福建龙岩高二下期末）如图所示，一根弹性绳沿x轴方
向放置，左端在原点O，用手握住绳的左端使其沿y轴方向做周期T＝2 s的
简谐运动，在绳上形成一列简谐波，M、N为绳上的两质点，其平衡位置
坐标分别为xM＝1 m，xN＝4.5 m，从波传到M质点开始计时，求：
（1）该机械波传播速度的大小；
答案：1 m/s　
解析：由题图可知简谐波的波长为λ＝2 m，可得
v＝＝1 m/s。
（2）画出波刚传播到质点N时的波形图；
答案：见解析图
解析：简谐波沿x轴正方向传播，根据平移法可得波刚传播到质点N时的波
形图为
解析：由（2）中波的图像，可得该波从M点传播到N点所需时间为t1＝
＝3.5 s
由图可知，N质点的起振方向沿y轴负方向，可知从开始振动到第一次到达
波峰所需时间为t2＝T＝1.5 s，可得t＝t1＋t2＝5 s，从计时时刻起经5 s N质
点第一次到达波峰。
（3）经多长时间N质点第一次到达波峰。
答案：5 s
1. （2025·福建南平高二下期末）在一均匀介质中，由波源S发出的波同时
沿x轴正、负两个方向传播。t＝0时波源S开始振动，振动图像如图所示。
则波源S振动半个周期时，x轴上形成的波形图为（　　）
√
解析：　由波源的振动图像可知，波源的起振方向沿y轴正方向，即波前
的起振方向也是沿y轴正方向，波源振动半个周期，向左和向右分别形成半
个波长的波形。故选A。
2. 〔多选〕（2025·福建三明高二下期中）一根张紧的水平弹性绳上的a、
b两点相距d＝12.0 m，b点在a点的右方，一列振幅为A的简谐横波沿绳向
右传播，以a质点某次处在正方向最大位移处开始计时，此时b质点正经过
平衡位置向负方向运动，t＝1.5 s时，b质点第一次达到正方向最大位移
处，该机械波的波速可能为（　　）
A. 8 m/s B. 6 m/s
C. 1.6 m/s D. 1 m/s
√
√
解析：由于波向右传播，根据“a点位移达到正向最
大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、
b间的最简波形图，如图所示，因未明确a、b距离与波长
的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”。即λ＝ab＝12 m（n＝0，1，2…），t＝1.5 s时，b质点第一次达到正方向最大位移处，则T＝Δt＝1.5 s，波速为v＝＝ m/s（n＝0，1，2…），当n＝0时，v＝8 m/s；当n＝1时，v＝ m/s；当n＝2时，v＝ m/s；当n＝3时，v＝1.6 m/s。故选A、C。
02
PART
教学效果检测
1. 〔多选〕一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.75 s时的波形图如图甲
所示，x＝1.5 m处的质点P的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是
（　　）
A. 图甲中质点N速度方向沿y轴正方向
B. 图甲中质点M的速度与加速度均为零
C. 再经过t＝0.5 s质点L与质点N的位移相同
D. 再经过t＝1.75 s质点P第一次到达波峰
√
√
解析：　由题图乙可知质点P在t＝0.75 s时沿y轴负方向运动，结合上下
坡法可得该波沿x轴负方向运动，故题图甲中N点速度方向沿y轴正方向，
故A正确；题图甲中质点M的速度为零，加速度最大，故B错误；再经过t
＝0.5 s质点L与质点N分别位于波谷与波峰，位移不同，故C错误；沿波的
传播方向上，与P点距离最近的波峰到P点的距离Δx＝3.5 m，波速v＝＝2
m/s，故传播到P点的时间为Δt＝＝ s＝1.75 s，故D正确。
2. 〔多选〕如图所示，甲图为t＝0 s时某一列沿x轴正方向传播的横波的图像，乙图为该波传播方向上某一质点的振动图像，下列说法正确的是（　　）
A. 这列波传播的速度是1 m/s
C. x＝0.25 m处的质点在t＝0时的振动方向沿y轴正方向
√
√
解析：　由题图可知，波长为2 m，周期为2 s，则波速为v＝＝1 m/s，
故A正确；由题图乙可知，t＝0.25 s时质点的位移为A，则有A＝Asin（ωt
＋θ），其中t＝，解得 θ＝，所以当t＝0时质点的位移为y＝Asin＝A，
故B错误；由题图甲结合“上下坡法”可知在x＝0.25 m处的质点在t＝0时
的振动方向沿y轴负方向，故C错误；由题图甲可知，t＝0时x＝0.25 m处质点的位移为y＝Asin ＝A，由同侧法可知，此时该质点沿y轴负方向运动，根据平移法可知，经过1 s此振动形式刚好传到x＝1.25 m处，则平衡位置在x＝1.25 m处的质点在t＝1 s时经过y＝A 处并向y轴负方向运动，故D正确。
3. 〔多选〕在xOy平面内有一列沿x轴传播的简谐横波，波速为2 m/s，振
幅为10 cm。M、N是平衡位置相距2 m的两个质点，如图所示。在t＝0时，
M通过其平衡位置沿y轴正方向运动，N位于其平衡位置下方最大位移处。
则（　　）
C. 当t＝1 s时，质点M可能运动到N点的位置
D. 经过4 s，质点M运动的路程可能为40 cm
√
√
解析：　若该波沿x轴正方向传播，则nλ＋λ＝2 m，即λ＝ m（n＝
0，1，2，3，…），周期T＝＝ s（n＝0，1，2，3…），若该波沿x轴
负方向传播，则nλ＋λ＝2 m，即λ＝ m（n＝0，1，2，3…），周期T
＝＝ s（n＝0，1，2，3…），当n＝2时，T＝ s，但是 m不是两种
情况下的波长值，选项A正确，B错误；机械波传播的过程中，质点只能在
自己平衡位置附近振动，而不随波迁移，选项C错误；若波沿x轴正方向传
播，则周期可能为4 s，则经过4 s，质点M运动的路程可能为4A＝40 cm，
选项D正确。
4. 〔多选〕如图所示，一列横波在x轴上传播，在t1＝0时刻的波形如图中实线所示，t2＝0.10 s时刻的波形如图中虚线所示，下列说法中正确的是（　　）
A. 由该波形曲线读出这列波的振幅为0.2 m
B. 该波形曲线上x＝5 m处的质点振动的周期可能是0.3 s
√
√
解析：　由该波形曲线读出这列波的振幅为0.2 cm，故A错误；若波向
右传播，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1，2…），解得T＝ s（n
＝0，1，2…），当波向左传播时，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，
1，2…），解得T＝ s（n＝0，1，2…），由数学关系知无论n取何
值，周期都不可能为0.3 s，故B错误；
由图可知该波的波长为8 m，若周期大于（t2－t1），即Δt＜2T，可得当波
沿x轴正方向传播时，可能的周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1），当波
沿x轴负方向传播时，可能的周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1），由
波速公式v＝，可知速度最小时，周期T最大，分析上面两类情况可知，当
周期最大时，波沿x轴正方向传播，且在Δt＝＋nT（n＝0，1）中，取n＝0，
即Δt＝，则T大＝0.4 s，最小波速vmin＝＝20 m/s，当速度v最大时，周
期T最小，分析上面两类情况可知，当周期最小时，波沿x轴负方向传播，
且在Δt＝＋nT（n＝0，1）中，取n＝1，即Δt＝＋T，则T小＝ s，最大
速度vmax＝＝140 m/s，故C、D正确。
03
PART
课时作业
题组一　振动图像与波的图像的综合
1. 一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是 t＝1 s时的波形图，图乙是波中
某质点的位移随时间变化的振动图像（两图均用同一时刻计时），图乙的
振动图像对应图甲上的质点可能是（　　）
A. x＝1 m处的质点 B. x＝2 m处的质点
C. x＝3 m处的质点 D. x＝4 m处的质点
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√
解析：　波沿x轴正方向传播，由题图乙可得在t＝1 s时刻，质点在平衡
位置，且向y轴负方向运动，由题图甲及简谐波沿x轴正方向传播可判断选
项中的x＝2 m处的质点在平衡位置，且沿y轴负方向运动，故B正确，A、
C、D错误。
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2. 〔多选〕（2025·福建福州期末）一列简谐横波沿x轴传播，图甲是波传
播到x＝5 m的质点M时的波形图，令此时刻t＝0，图乙是质点N（x＝3 m）
的振动图像，Q是位于x＝10 m处的质点，则下列说法正确的是（　　）
A. Q点开始振动的方向沿－y方向
B. t＝0至t＝3 s时间内，质点M的路程为10 cm
C. 质点Q和原点的振动方向始终相反
D. t＝9.5 s，质点Q的位移为－5 cm
√
√
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解析：根据题图乙可知t＝0时刻N点从平衡位置向上振动，根据同侧法可知波沿x轴正方向传播，t＝0时刻刚传到M点时，M振动的方向沿－y方向，所以Q点开始振动的方向沿－y方向，故A正确；t＝0至t＝3 s时间内，质点M的路程为s＝×4A＝30 cm，B错误；Q点到O点的距离为10 cm，即两者相距为s＝10 m＝2λ，所以质点Q和原点的振动方向始终相反，C正确；由波动图像知这列波的波长为4 m，由振动图像知周期为4 s，则传播速度为v＝，解得v＝1 m/s，在9.5 s时间内，波传播的距离为s＝9.5 m，根据波的平移法可知，质点Q点的振动形式与0.5 m处的振动形式一样，此时质点Q的位移为－10× cm＝－5 cm，D错误。
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3. 某横波在介质中沿x轴传播，图甲为t＝0.75 s时的波形图，图乙为P点的
振动图像。那么下列说法正确的是（　　）
A. 质点L与质点N的运动方向总相同
B. 该波沿x轴正方向传播
C. 在0.5 s时间内，质点P向右运动了1 m
D. t＝1 s时，质点P处于平衡位置，并正在向y轴负方向运动
√
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解析：　由波的图像可知，质点L与质点N的运动方向总是相反，故A错
误；由振动图像可知，t＝0.75 s时，P点振动方向向下，所以该波沿x轴负
方向传播，故B错误；质点P在其平衡位置附近来回振动，并不随波迁移，
故C错误；由振动图像可知，t＝1 s时，质点P处于平衡位置，且在沿y轴负
方向运动，故D正确。
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题组二　波的多解问题
4. 如图所示，已知一简谐横波的频率小于5 Hz，横波在一条直线上传播，
某时刻的波形如图中实线所示，经过t＝0.2 s后波形如图中的虚线所示，则
它的波速可能是（　　）
A. 32.5 m/s B. 37.5 m/s
C. 62.5 m/s D. 87.5 m/s
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解析：　根据T＝，频率小于5 Hz，则T＞0.2 s，可知波传播的时间t＝
0.2 s小于一个周期，传播的距离不到一个波长，波长λ＝10 m，若波向左
传播，传播的距离为x1＝λ＝2.5 m，则波速为v＝＝ m/s＝12.5 m/s，
若波向右传播，传播的距离为x2＝λ＝7.5 m，则波速为v＝＝ m/s＝
37.5 m/s，故选B。
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5. 一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图（a）所示，x＝
3 m处质点的振动图像如图（b）所示，则波速可能是（　　）
　
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解析：　由x＝3 m处质点的振动图像（b）可知，波的周期为 T＝4 s，质
点在t＝2 s时从平衡位置向下振动，结合波的传播方向可知，x＝3 m处质点
可能处在λ处，则有λ＝3 m，解得λ＝ m（n＝0，1，2，
3…），则波速可能是v＝＝ m/s＝ m/s（n＝0，1，2，
3…），当n＝0时v＝ m/s，当n＝1时，v＝ m/s，当n＝2时v＝ m/s，因
此由题意可知A正确，B、C、D错误。
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6. 〔多选〕（2025·福建三明高二下期末）如图实线是某时刻的波形图
像，虚线是经过0.2 s时的波形图像，判断正确的是（　　）
A. 波传播的距离可能为3 m
C. 若波速是35 m/s，波向左传播
D. 若0.2 s小于一个周期时，传播的距离为5 m或1 m
√
√
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解析：由题图可知λ＝4 m，若波向左传播时，传播的距离为x＝nλ＋λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，3，…），当n＝0时0.2 s小于一个周期，x＝3 m，当n＝1时x＝7 m，若波向右传播时，传播的距离为x＝nλ＋＝（4n＋1）m（n＝0，1，2，3，…）。当n＝0时0.2 s小于一个周期，x＝1 m，当n＝1时x＝5 m，故A正确，D错误；当向左传播时，传播的时间为t＝nT＋T，T＝ s＝ s。当n＝0时，T＝ s，当向右传播时，传播的时间为t＝nT＋，则T＝ s＝ s。当n＝0时T＝0.8 s，故B错误；当向左传播时，波速v＝＝ m/s＝m/s。
当n＝1时v＝35 m/s，可知该波向左传播，故C正确。
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题组三　波的传播与波形问题
7. 图甲是某列简谐横波在t＝0.05 s时的波形图的一部分，图乙是位于坐标原点的质点的振动图像，P点的横坐标为7.5 m，Q点的横坐标为20 m，下列说法不正确的是（　　）
A. 该列波沿x轴负方向传播
B. 该列波的传播速度为200 m/s
C. 再经0.062 5 s时质点P的加速度最大
D. 从该时刻开始经4.5 s质点P通过的路程等于900 cm
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解析：　因为周期T＝0.1 s，所以在t＝0.05 s时，位于坐标原点的质点正
处于平衡位置向下运动，所以波应该是向x轴正方向传播的，故A错误；波
速为v＝＝ m/s＝200 m/s，故B正确；波峰从x＝5 m位置传播到P需要的
时间为t＝ s＝0.012 5 s，再过半个周期，即再经过0.05 s时质点P到达
波谷位置，所以再经0.062 5 s时质点P到达波谷位置，加速度有最大值，
故C正确；因为4.5 s等于45个周期，根据路程与振幅的关系可知，在4.5 s
内质点P通过的路程为s＝45×4A＝900 cm，故D正确。
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8. （2025·福建福州高二下期中）水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒
发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种
“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列简谐波
某时刻的波形如图中实线所示，经过1 s后的波
形如图中的虚线所示。已知波的周期为T，且
0.5 s＜T＜1 s，则（　　）
A. 当波向x轴负方向传播时，波速等于5 m/s
B. 若这1 s内x＝1 m处的质点M通过的路程为10 cm，则波沿x轴正方向传播
C. 当波沿x轴正方向传播时，x＝1 m处的质点M和x＝2.5 m处的质点N在这
1 s内通过的路程相等
D. 当波沿x轴负方向传播时，再经过0.4 s后，简谐波与实线波形图重合
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解析：　若波向x轴负方向传播，由于经过1 s后的波形如题图中的虚线所
示，则有Δt＝nT＋（n＝0，1，2，3…），根据题意有0.5 s＜T＜1 s，解
得n＝1，T＝ s，根据图像可知波长为4 m，则波传播速度为v＝＝ m/s＝
7 m/s，故A错误；若这1 s内x＝1 m处的质点M通过的路程为10 cm，由于10
＝5A，即质点运动时间为T，由于1 s＝＝T＋，可知将实线波形向右平
移得到虚线波形，若这1 s内x＝1 m处的质点M通过的路程为10 cm，则波
沿x轴正方向传播，故B正确；
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当波沿x轴正方向传播时，在这1 s内有Δt＝nT＋（n＝0，1，2，3，…），
根据题意有0.5 s＜T＜1 s，解得n＝1，T＝0.8 s，由于T＋＝1 s，可知，
质点M通过的路程为xM＝5A＝10 cm，根据同侧法，波沿x轴正方向传播，
质点N沿y轴正方向运动，其在一个周期内运动的路程为4A＝8 cm，由于质
点N计时起点时刻衡位置运动，则其在内运动的路程大于一个振幅
2 cm，可知质点N在这1 s内通过的路程大于10 cm，即x＝1 m处的质点M和
x＝2.5 m处的质点N在这1 s内通过的路程不相等，故C错误；
根据上述分析，当波沿x轴负方向传播时，周期T＝ s，由于＝0.7，即
时间间隔不等于周期的整数倍，可知，当波沿x轴负方向传播时，再经过
0.4 s后，简谐波与实线波形图不重合，故D错误。
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9. 〔多选〕一列简谐横波t＝0时的波形如图中实线所示，经过时间3 s后变
成图中虚线所示的波形。已知波向左传播，图中坐标为（12，2）的A质
点，经时间5 s后振动状态传播到B质点，则（　　）
A. 此波的波速可能是3 m/s
B. t＝0时刻，B质点在平衡位置，速度沿y轴正向
C. 0～5 s时间内，A质点的路程可能为10 cm
D. 0～5 s时间内，B质点的路程可能为15 cm
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解析：　由图可知λ＝12 m，由3 s＝nT＋T，得T＝ s，v＝＝4n＋
3（m/s），当n＝0时，T＝4 s，v＝3 m/s，故A正确；若T＝4 s，则v＝3
m/s，B质点离A质点的距离为vt＝15 m，为1λ，当t＝0时，B质点恰好经平
衡位置向上运动，0～5 s时间内，A质点振动1T，路程为5A＝10 cm，C正
确；若n＝1，则T＝ s，则v＝7 m/s，B质点离A质点的距离为vt＝35 m，
为2λ，当 t＝0时，B质点沿y轴负方向运动，0～5 s内B质点的路程为
cm，故B、D错误。
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10. （2025·福建泉州高二下期末）图甲为亚运会艺术体操比赛中中国队选
手进行带操比赛的画面，某段过程中彩带的运动可简化为沿x轴正方向传播
的简谐横波，图乙为这列简谐横波在某时的波形图，M点刚开始振动，图
丙为某质点以该时刻作为计时起点的振动图像，求：
（1）该波的波速大小；图丙是P、M中哪一质点的振动图像；
答案：2.5 m/s　P　
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解析：根据题图乙可知波长λ＝1 m，根据题图丙可知周期为T＝0.4 s，则波速
v＝＝2.5 m/s
由题图丙可知，该质点在零时刻从平衡位置开始向负向最大位移处运动，
根据题图乙可判断该质点为P。
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（2）平衡位置位于x＝3 m处的N点（未画出）经多长时间第一次到达
波峰；
答案：0.9 s　
解析： t＝0时刻0.75 m处质点处于波峰位置，此状态传播到N点的时间为
Δt＝＝ s＝0.9 s。
（3）经1 s的时间质点Q走过的路程。
解析：经1 s的时间即2T，质点Q走过的路程
s＝×4A＝100 cm。
答案：100 cm
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11. 一列简谐横波在x轴上传播，在t1＝0和t2＝0.05 s时，其波形分别用如
图所示的实线和虚线表示。求：
（1）当波速为280 m/s时，波的传播方向如何？
答案：见解析
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解析：假设波沿x轴正方向传播，则
Δs＝λ＋nλ＝（2＋8n）m（n＝0，1，2，…）
v＝＝ m/s＝（40＋160n）m/s（n＝0，1，2，…）
当波速为280 m/s时，有40＋160n＝280，n＝，与实际不符，假设不成立。
假设波沿x轴负向传播，则
Δs'＝λ＋nλ＝（6＋8n）m，（n＝0，1，2，…）
v'＝＝ m/s＝（120＋160n）m/s。
当波速为280 m/s时，
有280＝（120＋160n），n＝1，假设成立
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（2）以此波速（280 m/s）传播，t＝0时，x＝8 m 处的质点P从平衡位置运
动至波谷所需的最短时间是多少？
答案：见解析
解析：T＝＝ s
所以P质点第一次到达波谷所需最短时间为
t＝＝ s≈2.1×10－2 s。
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