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高一数学月考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 = 1，0，1 ， = 1, ，若 ，则 =（ ）
A．0 B．1 C．0或 1 D．0或 1或 1
【答案】C
【详解】由集合元素的互异性可知 ≠ 1，又因为 ，所以 a的取值只能是 A中的元素，
所以 = 0 或 = 1． 故选：C．
2．已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3}, = { | ≤ 0, ∈ }，则 ∩ =（ ）
A． 1,0 B． 0,1,2,3 C． 0,3 D． 1,0
【答案】D
【详解】因为集合 是所有非正整数组成的集合，所以 ∩ = 1,0 ． 故选：D.
3．“ > > 0 ” 是 “ 2 > 2 ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为 > > 0，所以 2 > 2，反之 = 2, = 1满足 2 > 2，但是不满足 > > 0，
所以“ > > 0 ” 是 “ 2 > 2 ”的充分不必要条件. 故选：B.
4．下列不等式中成立的是（ ）
A. 若 a b 0，则 ac2 bc2 B. 若 a b 0，则 a2 b2
1 1
C. 若 a b 0，则 a2 ab b2 D. 若 a b 0，则
a b
【答案】B
【解析】
A. 若 a b 0，则 ac2 bc2 错误，如 c = 0时， ac2 bc2 ，所以该选项错误；
B. 若 a b 0，则 a2 b2 (a b)(a b) 0, a2 b2 ，所以该选项正确；
C. 若 a b 0，则 a2 ab a(a b) 0, a2 ab，所以该选项错误；
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1 1 b a 1 1
D. 若 a b 0，则 0, ，所以该选项错误. 故选：B
a b ab a b
5．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形
C．平行四边形的对角线互相平分 D． ∈ ， 2 < 0
【答案】C
【详解】
A中，因为 2是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题；
B中，该命题是存在量词命题且是真命题；
C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题；
D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C.
6．已知集合 = 7, 3, 1,2 ， = < < + 3 ，若 ∩ 中有 2个元素，则实数
a的取值范围是（ ）
A． 4, 3 B． 4, 3 C． 4,0 D． 7, 3
【答案】A
【详解】一方面，若 ∩ 中有 2个元素 , < ，则由 , ∈ = , + 3 知 < +
3 = 3.由 , ∈ = 7, 3, 1,2 ，结合 0 < < 3，知 , 只可能分别是 3, 1.
所以 < 3， 1 < + 3，得 4 < < 3；
另一方面，若 4 < < 3，则 < 3 < 1 < + 3，所以 ∩ 有 2个元素 3, 1.
综上， 的取值范围是 4, 3 . 故选：A.
7 1 2．已知正数 , 满足 + 2 = 2，则 + 的最小值为（ ）

A．4 B 9． C．5 D 11．
2 2
【答案】B
【详解】因为正数 , 满足 + 2 = 2，
1 2 1
所以 + = + 2 1 + 2 = 1 5 + 2 + 2 ≥ 1 5 + 2 2 2 ，
2 2 2
1 2 9 2
即 + ≥ ，当且仅当 = 2 2 1 2 9时取等号，因此当 = = 时， + 的最小值为 . 故选：B
2 3 2
8．下列说法正确的是（ ）
A 1．不等式 2 1 1 < 0 的解集为 < < 1
2
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B 1．若 ∈ ，则函数 = 2 + 4 + 的最小值为 2
2+4
C．不等式 2 1 < 3 的解集是 | 1 < < 2
D．当 ∈ 时，不等式 2 + 1 > 0 恒成立，则 k的取值范围是 0,4
【答案】C
【详解】对 A，由 2 1 1 < 0解得 < 1或 > 1，故 A错误；
2
1
对 B，利用基本不等式知 = 2 + 4 + ≥ 2，
2+4
由 2 + 4 = 1 得 2 = 3，故不等式取不到等号，所以 2不是函数的最小值，故 B错误；
2+4
对 C，根据已知 2 1 < 3可得： 3 < 2 1 < 3，解得： 1 < < 2,故 C正确；
对 D，①当 = 0 时，不等式为 1 > 0，恒成立；
2
②当 ≠ 0时，若要使不等式 2 + 1 > 0 恒成立，则 4 < 0，解得 0 < < 4，
> 0
所以当 ∈ 时，不等式 2 + 1 > 0 恒成立，则 k的取值范围是 0,4 ，故 D错误；
故选：C
二、多选题
9．（多选）下列命题中， 是 的充分条件的是（ ）
A． ： 是无理数， ： 2是无理数
B． ：四边形为等腰梯形， ：四边形对角线相等
C． : > 2, : ≥ 1
D． : > , : 2 > 2
【答案】BC
【详解】A中，例如： = 2是无理数， 2 = 2 是有理数，所以 不是 的充分条件；
B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以 是 的充分条件；
C中， > 2 ≥ 1，所以 是 的充分条件；
D中，当 = 0 时， > ，但 2 = 2 = 0，所以 不是 的充分条件． 故选：BC.
10．已知 , 为正数，且 = 1，则下列说法正确的是（ ）
A． + 有最小值 2 B． + 有最大值 2
C． 2 + 2有最小值 2 D． 2 + 2有最大值 2
【答案】AC
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【详解】 , 为正数，且 = 1，则有 + ≥ 2 = 2， 2 + 2 ≥ 2 = 2，当且仅当 = =
1时等号成立，所以 + 有最小值 2， 2 + 2有最小值 2. 故选：AC.
11．若关于 的一元二次不等式 2 + + > 0 , , ∈ 的解集为 2 < < 3 ，则（ ）
A． > 0 B． > 0 C． + = 0 D． + > 0
【答案】BCD
【详解】对于 A，由题意，结合二次函数 = 2 + + 的图象知，抛物线开口应向下，
则 < 0，故 A错误；
对于 B，依题意， < 0，且一元二次方程 2 + + = 0 的两根为 2和 3，
2+ 3 =
由韦达定理， ，故 = > 0， = 6 > 0，即 > 0，故 B正确； 2 × 3 =

对于 C，由上分析可得 + = 0，故 C正确；
对于 D，由上分析可得 + = ( ) + ( 6 ) = 4 > 0，故 D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．已知命题“ ∈ [ 1,2]，使得 2 + 2 + < 0”的否定形式为 .
【答案】 ∈ [ 1,2]，使得 2 + 2 + ≥ 0.
【详解】命题“ ∈ [ 1,2]，使得 2 + 2 + < 0”是全称量词命题，其否定是存在量词命
题，所以所求否定为 ∈ [ 1,2]，使得 2 + 2 + ≥ 0.
故答案为： ∈ [ 1,2]，使得 2 + 2 + ≥ 0.
13．已知 > 0， > 0，且满足 2 + 4 2 + 2 = 3，则 + 2 的最大值为 .
【答案】2
【详解】因 > 0， > 0， 2 + 4 2 + 2 = 3，得( + 2 )2 = 3 + 2 .
再由( + 2 )2 = 3 + 2 ≤ 3 + ( +2 )2，得( + 2 )2 ≤ 4，所以 + 2 ≤ 2.
2
所以 + 2 的最大值为 2. 故答案为：2.
14．若函数 = 2 4 + 4 在区间 , + 1 上的最小值为 4，则 的取值集合为 .
【答案】 1,4
【详解】函数 = 2 4 + 4 = 2 2，对称轴为 = 2，
当 + 1 ≤ 2，即 ≤ 1时，
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2min = + 1 = 4，即 + 1 4 + 1 + 4 = 4，解得 = 1或 = 3（舍去），
当 < 2 < + 1，即 1 < < 2时， min = 2 = 0，不符合题意，舍去，
当 ≥ 2时， min = = 4，即
2 4 + 4 = 4，解得 = 4 或 = 0（舍去），
故 的取值集合为 1,4 . 故答案为： 1,4
四、解答题
15．设全集 = R, = 2 < < 10 , = 2 ≤ ≤ 8 .求 U ， U ∪ ， ∩ ， U ∩
【答案】 U = ≤ 2或 ≥ 10 ， U ∪ = ≤ 8或 ≥ 10 ， ∩ = 2 < ≤ 8 ，
U ∩ = ≤ 2或 > 8 .
【详解】 U = ≤ 2或 ≥ 10 ，
U ∪ = ≤ 2或 ≥ 10 ∪ 2 ≤ ≤ 8 = ≤ 8或 ≥ 10 ，
∩ = 2 < < 10 ∩ 2 ≤ ≤ 8 = 2 < ≤ 8 ，
U ∩ = ≤ 2或 > 8 .
16．证明：如图，梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是 AC BD .
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）必要性. 在等腰梯形 ABCD中， AB DC， ABC DCB，
又∵ BC CB，∴ BAC CDB，∴ AC BD .
（2）充分性.如图，过点D作DE //AC，交 BC的延长线于点 E.
∵ AD//BE，DE //AC，∴四边形 ACED是平行四边形.∴ DE AC .
∵ AC BD，∴ BD DE，∴ E 1 .
又∵ AC//DE，∴ 2 E，∴ 1 2 .
AC DB,
在 ABC 和 DCB中， 2 1,

BC CB,
∴ ABC DCB .∴ AB DC .
∴梯形 ABCD为等腰梯形.
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由（1）（2）可得，梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是 AC BD .
17．火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用 A，B两种型号的
货厢共 50节运送这批货物，已知 35t甲种货物和 15 t乙种货物可装满一节 A型货厢，25t
甲种货物和 35 t乙种货物可装满一节 B型货厢，据此安排 A，B两种货厢的节数，共有几种
方案？若每节 A型货厢的运费是 0.5万元，每节 B型货用的运费是 0.8万元，哪种方案的运
费较少？
【答案】见解析
【解析】解：设安排 A型货厢 x节，B型货厢 y节，总运费为 z
所以， 35x 25y 1530，所以 28 x 30，

15x 35y 1150

x y 50
x, y N
*
x 28 x 29 x 30
又因为 x N* ，所以 或 或 .
y 22 y 21 y 20
所以共有三种方案，方案一安排 A型货厢 28节，B型货厢 22节；
方案二安排 A型货厢 29节，B型货厢 21节；
方案三安排 A型货厢 30节，B型货厢 20节.
当 x 28时，总运费 z 0.5 28 0.8 22 31.6（万元）.

y 22
当 x 29时，总运费 z 0.5 29 0.8 21 31.3（万元）.

y 21
x 30
当 时，总运费 z 0.5 30 0.8 20 31（万元）此时运费较少，
y 20
故方案三的运费最少。
18．如图所示，设矩形 > 的周长为 24，把它沿 翻折，翻折后 ′交 于点 ，
设 = .
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(1)用 表示 ，并求出 的取值范围;
(2)求△ 面积的最大值及此时 的值.
72
【答案】(1) = 12 6 < < 12 (2)最大值为 108 72 2，此时 = 6 2.

【详解】（1）由矩形 > 的周长为 24，且 = ，可得 = 12 ，
在△ 中，易知∠ = ∠ ，所以可得 = ，因此 = ′；
所以 = ′ ′ = = ，
在 Rt △ 2 2中，由勾股定理可得 12 + 2 = ，整理可得 = 12 72，

又 > ，即 > 12 ，依题意解得 6 < < 12，
72
即可得 = 12 6 < < 12

2 1 1 72（ ）在 Rt △ 中， △ = = 12 12 = 108 6 +
432 6 < <
2 2
12 6 < < 12 432 432；又 ，所以 6 + ≥ 2 6 = 72 2，

432
当且仅当 6 = ，即 = 6 2时取等号，

所以 △ = 108 6 +
432 ≤ 108 72 2，

即当 = 6 2时，△ 面积的最大值为 108 72 2.
19．已知函数 = 2 2 + 6 + 9 + + 1．
(1)若 > 0 1 1，且关于 x的不等式 < 0 的解集是 | < < ，求 + 的最小值；

(2)设关于 x的不等式 < 0 在 0,1 上恒成立，求 的取值范围
【答案】(1)8 (2) ∞， 1
【详解】（1）因为 > 0，且关于 x的不等式 < 0的解集是 | < < ，
所以 = 和 = 是方程 2 2 + 6 + 9 + + 1 = 0 的两根，
所以 + = 2 + 6 + 9, = + 1．
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1 1 + 2+6 +9 ( +1)2+ = +4( +1)+4所以 ＝ ＝
+1 +1
＝( + 1) + 4 + 4 ≥ 4+ 4 = 8，当且仅当 a＝1时等号成立，
+1
1 + 1所以 的最小值为 8；

（2）因为关于 x的不等式 < 0在 0,1 上恒成立，
0 < 0 + 1 < 0
所以 1 < 0，所以 1 2 + 6 + 9 + + 1 < 0，解得 < 1，
所以 a的取值范围为 ∞, 1 ．
试卷第 8页，共 8页2025-2026 学年高一上学期数学 10 月月考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时长：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑。
1．集合 = 1，0，1 ， = 1, ，若 ，则 =（ ）
A．0 B．1 C．0或 1 D．0或 1或 1
2．已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3}, = { | ≤ 0, ∈ }，则 ∩ =（ ）
A． 1,0 B． 0,1,2,3 C． 0,3 D． 1,0
3．“ > > 0 ” 是 “ 2 > 2 ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列不等式中成立的是（ ）
A. 若 a b 0，则 ac2 bc2 B. 若 a b 0，则 a2 b2
1 1
C. 若 a b 0，则 a2 ab b2 D. 若 a b 0，则
a b
5．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形
C．平行四边形的对角线互相平分 D． ∈ ， 2 < 0
6．已知集合 = 7, 3, 1,2 ， = < < + 3 ，若 ∩ 中有 2个元素，则实数
a的取值范围是（ ）
A． 4, 3 B． 4, 3 C． 4,0 D． 7, 3
7 1 2．已知正数 , 满足 + 2 = 2，则 + 的最小值为（ ）

A．4 B 9． C 11．5 D．
2 2
8．下列说法正确的是（ ）
A．不等式 2 1 1 < 0 1的解集为 < < 1
2
B 1．若 ∈ ，则函数 = 2 + 4 + 的最小值为 2
2+4
C．不等式 2 1 < 3 的解集是 | 1 < < 2
D．当 ∈ 时，不等式 2 + 1 > 0 恒成立，则 k的取值范围是 0,4
高一数学试卷 第 1页，共 4页
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9．下列命题中， 是 的充分条件的是（ ）
A． ： 是无理数， ： 2是无理数
B． ：四边形为等腰梯形， ：四边形对角线相等
C． : > 2, : ≥ 1
D． : > , : 2 > 2
10．已知 , 为正数，且 = 1，则下列说法正确的是（ ）
A． + 有最小值 2 B． + 有最大值 2
C． 2 + 2有最小值 2 D． 2 + 2有最大值 2
11．若关于 的一元二次不等式 2 + + > 0 , , ∈ 的解集为 2 < < 3 ，则（ ）
A． > 0 B． > 0 C． + = 0 D． + > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。请把答案填在答题卡相应
位置上。
12．已知命题“ ∈ [ 1,2]，使得 2 + 2 + < 0”的否定形式为 .
13．已知 > 0， > 0，且满足 2 + 4 2 + 2 = 3，则 + 2 的最大值为 .
14．若函数 = 2 4 + 4 在区间 , + 1 上的最小值为 4，则 的取值集合为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第
18、19 题 17 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程
写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。
15．设全集 = R, = 2 < < 10 , = 2 ≤ ≤ 8 .求 U ， U ∪ ， ∩ ， U ∩
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16．证明：如图，梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是 AC BD .
17．火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用 A，B两种型号的
货厢共 50节运送这批货物，已知 35t甲种货物和 15 t乙种货物可装满一节 A型货厢，25t
甲种货物和 35 t乙种货物可装满一节 B型货厢，据此安排 A，B两种货厢的节数，共有几种
方案？若每节 A型货厢的运费是 0.5万元，每节 B型货用的运费是 0.8万元，哪种方案的运
费较少？
高一数学试卷 第 3页，共 4页
18．如图所示，设矩形 > 的周长为 24，把它沿 翻折，翻折后 ′交 于点 ，
设 = .
(1)用 表示 ，并求出 的取值范围;
(2)求△ 面积的最大值及此时 的值.
19．已知函数 = 2 2 + 6 + 9 + + 1．
(1)若 > 0，且关于 x的不等式 < 0 的解集是 | < < 1 + 1，求 的最小值；

(2)设关于 x的不等式 < 0 在 0,1 上恒成立，求 的取值范围。
高一数学试卷 第 4页，共 4页

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